CC BY
38
2009 Теоретические основы прикладной дискретной математики №3(5)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
УДК 519.7
НИЖНИЕ И ВЕРХНИЕ ОКРЕСТНОСТИ В МНОЖЕСТВЕ С ЗАМЫКАНИЕМ1
Н. Г. Парватов
Томский государственный университет, г. Томск, Россия
E-mail: parvatov@mail.tsu.ru
Изучаются свойства операции замыкания в пространстве (множестве с замыканием), обеспечивающие существование для его подмножеств конечных нижних и верхних окрестностей. Доказывается теорема о финитарности пространства, в котором конечно-порождаемые классы обладают конечными нижними окрестностями. Обобщаются известные теоремы А. В. Кузнецова о полноте и С. В. Яблонского о верхних окрестностях. Рассматриваемые вопросы представляют интерес в связи с проблемами полноты и выразимости, а также эффективного задания замкнутых совокупностей в пространствах дискретных функций с замыканием относительно суперпозиции.
Ключевые слова: проблемы полноты и выразимости, теоремы А. В. Кузнецова и С. В. Яблонского.
1. Пространство
Пусть в упорядоченной включением системе B(P) подмножеств множества P (далее будем говорить проще — в множестве P) задана операция замыкания ' [1,2]. Иными словами, для любого подмножества X С P определено его замыкание — подмножество X' С P, причём для любых множеств X и Y из B(P) выполняются условия
X С X', X' = X", (X С Y) ^ (X' С Y').
В соответствии с [3] множество P с операцией замыкания ' в нём, то есть пару (P, '), будем называть пространством. Множества элементов пространства, совпадающие со своими замыканиями, называются замкнутыми множествами или замкнутыми классами пространства. Множество X называется порождающим для замкнутого класса X'. Пространство, замкнутыми классами которого являются всевозможные подалгебры некоторой универсальной алгебры, называется финитарным. Финитарные пространства охарактеризованы в теореме Г. Биркгофа и О. Фринка [4], из которой, в частности, следует, что пространство тогда и только тогда финитарно, когда в нём объединение любой направленной вверх системы замкнутых классов замкнуто.
Пространства комбинаторных объектов (функций, графов, разбиений и др.) возникают в различных областях дискретной математики, но рассматриваемые далее вопросы наиболее важные приложения имеют в теории функциональных систем, при изучении некоторых функциональных и логических пространств.
1 Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.
2. Проблема выразимости и нижние окрестности
В пространстве (Р, ') для любого подмножества X С Р подмножество У С Р будем называть X-мажорирующим, X-минорирующим или X-порождающим, если выполняется соответствующее включение:
X' С У', X' Э У' или X' = У'.
Множество X элементов пространства будем называть конечно-порождаемым, если существует конечное X-порождающее множество.
Проблема выразимости множества X в пространстве (Р, ') состоит в описании (в приложениях это описание должно быть по возможности эффективным) всех X-мажорирующих подмножеств этого пространства. Эта проблема возникает при изучении дискретных функций с операциями суперпозиции. Естественным средством решения этой проблемы является указание некоторой такой системы Б замкнутых подмножеств пространства (Р, '), что для любого множества У Е В(Р) включение X' С У' равносильно отсутствию в Б класса, включающего У. Систему Б, обладающую указанным свойством, будем называть нижней окрестностью множества X в пространстве (Р, '). Иными словами, нижняя окрестность множества X — это всякая система замкнутых классов пространства, не включающих X, такая, что всякий, не включающий X замкнутый класс, можно расширить до класса из этой системы.
Отметим некоторые свойства нижних окрестностей. Во-первых, ясно, что каждое множество X элементов пространства обладает нижней окрестностью, например тривиальной, состоящей из всех не включающих X замкнутых классов пространства. Далее, максимальные по включению замкнутые классы пространства среди классов, не включающих X, станем называть X-максимальными, а их совокупность станем обозначать через Б (X), а также через Б (ж) в случае одноэлементного множества X = (ж). Несложно понять, что система Б(X) включена во всякую нижнюю окрестность множества X. Нижнюю окрестность, состоящую из попарно не сравнимых по включению классов, будем называть безызбыточной. Иными словами, безызбыточная нижняя окрестность перестаёт быть нижней окрестностью после удаления из неё любого класса. В случае своего существования безызбыточная нижняя окрестность множества X совпадает с системой Б (X) и является наименьшей по включению нижней окрестностью множества X. Из конечной нижней окрестности множества X, опять в случае её существования, можно выделить безызбыточную нижнюю окрестность Б(X). Множество X, обладающее конечной нижней окрестностью, оказывается конечно-порожда-емым, так как элементы X-порождающего множества можно выбрать из дополнений X \ К для всевозможных классов К Е Б (X).
Представляют интерес условия, при которых конечно-порождаемые подмножества пространства (Р, ') имеют конечные нижние окрестности. Проблема поиска таких условий в более слабой форме была поставлена и частично решена в [3]. Имеет место
Теорема 1. Пространство, в котором каждое конечно-порождаемое подмножество имеет конечную нижнюю окрестность, финитарно.
Доказательство. Рассмотрим направленную вверх систему Б замкнутых множеств пространства (Р, '). Очевидно включение иБ С (иБ)'. Докажем обратное включение. С этой целью из множества (иБ)' выберем произвольно элемент а. Отметим, что объединение иБ является (а)-мажорирующим. Тогда если множество (а) (очевидно, конечно-порождённое) имеет конечную нижнюю окрестность Б (а), то система Б
обладает следующим свойством: её объединение не включено ни в один из классов системы Б (а). В силу конечности системы Б (а) этим свойством обладает уже некоторая конечная подсистема П С Б .В силу конечности системы ^ и направленности системы Б в системе Б в качестве элемента содержится класс, включающий объединение иЯ. системы Я. Этот класс, обозначим его буквой К, не включён ни в один из классов системы Б (а), а потому является (а)-мажорирующим. Так как класс К замкнут (вместе со всеми классами системы Б), то имеют место включения (а) С К' = К С иБ. В силу выбора а доказано равенство иБ = (иБ)'. ■
Обратная теорема не имеет места: пространство бесконечной циклической группы с замыканием относительно групповых операций финитарно, тем не менее в нём собственные подгруппы не имеют конечных нижних окрестностей. Можно утверждать лишь, что в пространстве с финитарным замыканием конечно-порождаемые подмножества имеют безызбыточные нижние окрестности [2].
В связи с теоремой 1 представляют интерес конструктивные достаточные условия, при которых в финитарном пространстве конечно-порождаемое подмножество имеет конечную нижнюю окрестность. Подобные условия обобщают теорему А. В. Кузнецова о полноте из [5]. Эта теорема неоднократно обобщалась и передоказывалась [6-9], в том числе самим А. В. Кузнецовым в [3]. Несмотря на это, задача поиска подобных обобщений, поставленная в [3], не утратила своей актуальности и по сей день. Она актуальна в связи с (возможным и действительным) появлением новых классов управляющих систем, приводящим к необходимости решать проблемы полноты и выразимости в новых постановках.
3. Предупорядоченное пространство
Пусть в множестве Р определено (рефлексивное и транзитивное) отношение пред-порядка ^ [10]. Множество X элементов из Р будем называть наследственным классом в предупорядоченном множестве (Р, ^), если вместе с любым своим элементом ж множество X содержит и всякий элемент у Е Р, такой, что у ^ ж. Наследственные множества комбинаторных объектов возникают естественным образом в различных областях дискретной математики, таких, как теория графов, теория дискретных функций, математическая логика и др. Наследственное множество X можно задать указанием некоторого такого подмножества У С X, что X является наименьшим по включению наследственным классом среди наследственных классов, включающих У. В этой ситуации множество У будем называть порождающим для наследственного класса X, а наследственный класс X будем обозначать через У^. Наследственное множество X можно задать также указанием некоторого такого подмножества У С Р \ X, что X является наибольшим по включению наследственным классом среди наследственных классов, имеющих пустое пересечение с множеством У. В этом случае X состоит из всевозможных таких элементов ж из Р, что для любого элемента у Е У не выполняется неравенство у ^ ж. В этой ситуации множество У будем называть запрещающим для X в (Р, ^), а наследственный класс X будем обозначать через Р \ У^.
Следует понимать, что дополнения наследственных классов предупорядоченно-го множества (Р, ^) сами являются наследственными классами в множестве (Р, ^) с двойственным предупорядочением. При этом запрещающее множество наследственного класса X в предупорядоченном множестве (Р, ^) является порождающим для наследственного класса Р \ X в (Р, ^). Этот факт согласуется с введёнными выше обозначениями.
Также полезно знать, что объединения и пересечения наследственных классов сами являются наследственными классами. Причём, если задана система наследственных классов и для каждого класса указаны некоторое порождающее и некоторое запрещающее множества, то объединение этих порождающих множеств будет порождающим множеством объединения наследственных классов системы, а объединение запрещающих множеств будет запрещающим для пересечения наследственных классов системы.
Предупорядочение ^ и замыкание ' станем называть по отношению друг к другу согласованными, если замкнутые классы пространства (Р, ') являются одновременно наследственными классами предупорядоченного множества (Р, ^). Равносильно, согласованность означает выполнение импликации
(ж ^ у) ^ ((ж)' С (у)')
для любых элементов ж и у из Р. При выполнении обратных импликаций предупоря-дочение ^ называется индуцированным замыканием '.
Множество Р, рассматриваемое вместе с определёнными в нём согласованными по отношению друг к другу замыканием ' и предупорядочением ^, то есть тройку (Р, ', ^) станем называть предупорядоченным пространством. При этом о замкнутых классах пространства (Р, ') и наследственных классах предупорядоченного множества (Р, ') будем говорить как о замкнутых и наследственных классах предупорядоченного пространства (Р, ', ^). В предупорядоченном пространстве замкнутые классы являются одновременно наследственными и, следовательно, допускают задание посредством запрещающих множеств. В приложениях подобный способ задания часто оказывается эффективным (по терминологии книги [10] — «хорошим»). В связи с этим в дальнейшем наряду с прочими проблемами будем рассматривать проблему поиска условий, при которых замкнутый класс в предупорядоченном пространстве имеет конечное запрещающее множество.
4. Обобщённая теорема А. В. Кузнецова
Имеет место
Лемма 1. Пусть для некоторых множеств В1 и В2 и для любого множества X из В(Р) выполняется включение
X' П В1 С ^ П В2)'. (1)
Тогда в предупорядоченном пространстве (Р, ', ^) для любого замкнутого класса ф, такого, что Q = (ф П Б1)', всякий класс ф1 из Б(ф) обладает конечным запрещающим множеством В2 \ ф1, то есть имеет место равенство Р \ ф1 = (В2 \ ф1)^.
Доказательство. Включение (В2 \ ф1)^ С Р \ ф1 следует из согласованности замыкания с предупорядочением. Докажем обратное включение. Выберем произвольно элемент а в множестве Р \ ф1 и покажем, что наследственный класс (а)^ имеет непустое пересечение с В2 \ ф1 (тогда элемент а принадлежит (В2 \ ф1)^, и желаемое включение доказано). Предположим противное. Тогда (а)^ П В2 С ф1. Используя это включение, ф-максимальность множества ф1 и включение (1), получаем последовательность включений
ф П В1 С (ф1 и (а))' П В1 С ((ф1 и (а))^ П В2)' = ((ф^ и (а)^) П В2)' =
= ((ф1^ П В2) и ((а)^ П В2))' С Q1,
откуда Q = (Q П Bi)' С Qi. Полученное противоречие завершает доказательство леммы. ■
В связи с леммой 1 согласованные в множестве P предупорядочение ^ и замыкание ' станем называть сильно согласованными, если множество P является объединением направленной вверх системы N конечных подмножеств и существует функция а : N ^ N, такая, что для любых множеств B1 Е N, B2 = a(B1) и X Е B(P) выполняется включение (1). Также будем говорить в этой ситуации, что предупорядочение ^ сильно согласовано с замыканием ' при помощи системы N и отображения а. Предупорядоченное пространство, в котором предупорядочение сильно согласовано с замыканием, будем называть сильно предупорядоченным.
Поскольку в финитарном пространстве конечно-порождаемые подмножества имеют безызбыточные нижние окрестности, следствием леммы 1 является
Теорема 2. В финитарном сильно предупорядоченном пространстве всякое ко-нечно-порождаемое подмножество обладает конечной нижней окрестностью, каждый класс которой имеет конечное запрещающее множество.
Теорема 2 указывает достаточные условия существования конечных нижних окрестностей у конечно-порождаемых подмножеств пространства, чем обобщает теорему А. В. Кузнецова о полноте из [5]. Вместе с тем в теореме речь идёт не просто о существовании конечных нижних окрестностей, но о существовании нижних окрестностей, состоящих из классов с конечными множествами запретов. Как указывалось, в приложениях задание замкнутых классов конечными запрещающими множествами оказывается эффективным. Тем самым теорема 2 усиливает теорему А. В. Кузнецова.
5. Запрещающие множества и верхние окрестности
В интересующих нас приложениях существование конечного запрещающего множества у замкнутого класса предупорядоченного пространства является благоприятным, позволяя получить эффективный алгоритм распознавания принадлежности этому классу. В связи с этим представляют интерес условия, при которых замкнутый класс имеет в предупорядоченном пространстве конечное запрещающее множество. Желая найти некоторые такие условия, введём в рассмотрение (двойственное к понятию нижней окрестности) понятие верхней окрестности множества X в пространстве. Именно, станем называть так систему H замкнутых классов пространства, не включённых в X', если всякий не включённый в X' замкнутый класс пространства можно сузить (удаляя элементы) до класса из H.
Отметим некоторые свойства. Ясно, что всякое множество X элементов пространства обладает верхней окрестностью, например тривиальной, состоящей из всех не включённых в X' замкнутых классов. Более того, всякое множество X обладает верхней окрестностью
Hy = {{y}'|y Е Y}
для некоторого множества Y С P\X'. Эта верхняя окрестность состоит из замкнутых классов с одноэлементными порождающими множествами. Её можно получить из произвольной верхней окрестности H, выбрав в множество Y по элементу из дополнений Z \ X', где Z Е H. Безызбыточная (состоящая из попарно не сравнимых по включению классов) верхняя окрестность в случае своего существования обязана совпадать с системой H(X) всех X-минимальных классов пространства. При этом X-минимальным называем минимальный по включению замкнутый класс среди подмножеств пространства, не включённых в X'. Вне зависимости от того, образуют X-минимальные классы
верхнюю окрестность множества X или нет, они обладают, очевидно, одноэлементными порождающими множествами (поскольку оказываются минимальными по включению классами в любой верхней окрестности вида Hy ).
Из конечной нижней окрестности, опять в случае её существования, можно выделить безызбыточную.
Заметим, что система Hy является верхней окрестностью множества X в предупо-рядоченном пространстве, если множество Y является запрещающим для замкнутого класса X'. Если же предупорядочение пространства индуцировано замыканием, то верно обратное. Именно, при индуцированном предупорядочении для любого множества Y С P \ X' система Hy тогда и только тогда является верхней окрестностью замкнутого класса X', когда для него множество Y является запрещающим. Из сказанного следует, что существование конечного запрещающего множества для замкнутого класса в предупорядоченном пространстве влечёт существование у замкнутого класса конечной верхней окрестности, а при индуцированном предупорядочении равносильно существанию конечной верхней окрестности. Представляется интересной задача выявления условий, при которых в предупорядоченном пространстве замкнутые классы с конечными верхними окрестностями обладают конечными запрещающими множествами. Подобные условия обобщают теорему С. В. Яблонского из [ІІ] о верхней окрестности. Как будет показано далее, подобные условия выполняются в сильно предупорядоченном пространстве.
Лемма 2. Пусть Y С P и система Hy является верхней окрестностью замкнутого класса X в сильно предупорядоченном пространстве (P, ', ^). Тогда пересечение всех включающих X { y} -максимальных классов, где y Є Y, совпадает с X.
Доказательство. Ясно, что это пересечение включает X. Покажем, что включение не может быть строгим. Для этого выберем произвольно не принадлежащий X элемент z пространства. Поскольку множество Y является запрещающим для X при индуцированном предупорядочении, в множестве Y найдётся элемент y, такой, что {y}' С {z}'. По теореме 2 система S(y) является нижней окрестностью множества X. По этой причине (^^мажорирующее) множество {z} не содержится ни в одном из классов этой системы, в отличие от (не ^^мажорирующего) множества X, содержащегося в каком-то из классов системы. Отсюда z не содержится в рассматриваемом пересечении и лемма доказана. ■
Следствием этой леммы является
Теорема 3. В сильно предупорядоченном пространстве замкнутые классы с конечной верхней окрестностью обладают конечными запрещающими множествами.
Доказательство. Рассмотрим в сильно предупорядоченном пространстве замкнутый класс X, обладающей конечной верхней окрестностью. Тогда его конечной верхней окрестностью оказывается система H(X) = Hy для некоторого конечного подмножества Y С P \ X. В силу леммы 2 запрещающим множеством для X является объединение F запрещающих множеств Fk для всевозможных включающих X классов K из S(y), таких, что y Є Y. Запрещающие множества Fk можно выбрать конечными в силу теоремы 2. Тогда конечным окажется и запрещающее множество F замкнутого класса X. ■
6. Пример использования: замыкание относительно суперпозиции
Условимся через Ре обозначать множество, состоящее из всех функций f : Еп ^ Е при всевозможных натуральных п. Это множество будем рассматривать вместе с согласованными в нём замыканием относительно суперпозиции [5-7] и предупорядоче-нием ^ относительно отождествления (переменных), таким, что неравенство f ^ д означает возможность получить функцию f из функции д отождествлением переменных. Замыкание множества X функций из Ре , обозначаемое через [X], состоит из всевозможных функций, вычисляемых термами, отличными от переменных, в которых функциональные символы интерпретируются в множестве X, а переменные принимают значения в множестве Е. В действительности, замыкание относительно суперпозиции сильно согласовано с предупорядочением относительно отождествления. Это вытекает из следующей леммы, в которой через Р^ обозначено множество всех функций в Ре , зависящих не более чем от п переменных.
Лемма 3. Для любых натуральных п и т = |Е||е|п и любого подмножества X С Ре имеет место включение
[X] П р(п) С X П Р(т)].
Доказательство. Функция f Е [X] П Р(п) вычисляется термом, составленным из функциональных символов функций из X и символов переменных ж1,... ,жп. В некотором таком терме рассмотрим подтерм д(Н1,... , Нг), где д — символ функции из X, а Н1,... , Нг — некоторые термы, вычисляющие, очевидно, какие-то функции из Р(п). Если какие-то термы Н вычисляют одинаковые функции, то можно избавиться от этого, отождествив соответствующие переменные у функции д, то есть заменив её некоторой функцией из X^ и удалив лишние подформулы. Проделав это пока возможно, получим терм для f, в образовании которого участвуют символы функций из множества X^, зависящих не более чем от т = |Р(п)| = |Е||е|п переменных. ■
Непосредственно из леммы получаем
Следствие 1. В множестве Ре замыкание относительно суперпозиции и предупо-рядочение относительно отождествления сильно согласованы посредством системы N и отображения а, где N состоит из множеств Р(п) при натуральных п и а(Р(п)) = Р(т) для т = |Е||е|п.
Отсюда с использованием теорем 2 и 3 можно получить теорему А. В. Кузнецова о полноте из [3], а также теорему С. В. Яблонского о верхних окрестностях из [11]. Рассмотренный пример отнюдь не исчерпывает область применения теорем 2 и 3.
7. Пример использования: алгебра предикатов
Станем обозначать через П е множество всевозможных предикатов р : Еп ^ (И, Л), где Е, как и прежде, фиксированное конечное множество, а п принимает всевозможные натуральные значения. Множество П е будем рассматривать с (3, Л)-замыканием, понимая под ним замыкание относительно операций конъюнкции и проектирования, а также операций отождествления и перестановки переменных [12]. При этом (3, Л)-замыкание множества X предикатов из Пе обозначается через [X]. Множество [X] состоит из предикатов, выражаемых формулами первого порядка, в которых предикатные символы интерпретируются в множестве X, предметные переменные интерпретируются в множестве Е, а логические символы принадлежат множеству
(3, Л). В силу возможного переобозначения связанных переменных и известного логического закона (именно следующего закона: 3жА Л В = 3ж(А Л В), если ж не входит в В), в предыдущей фразе слово «формулами» можно заменить фразой «предварёнными формулами». Также в множестве П е будем рассматривать согласованное с (3, Л)-замыканием предупорядочение ^ относительно отождествления (переменных), при котором неравенство р ^ д означает возможность получить предикат р из предиката д отождествлением переменных. На самом деле, предупорядочение сильно согласовано с замыканием в множестве П в силу следующей леммы.
Лемма 4. Для любых натуральных п и т = |Е||е|п и любого подмножества X С Пе имеет место включение
[X] П пЕп) с X П ПЕт)].
Здесь через П Еп) обозначено множество всех предикатов в П е , имеющих не более п аргументов.
Доказательство. Рассмотрим предикат р, принадлежащий множеству [X] П П Е^, то есть зависящий не более чем от п переменных, для определённости ж1,...,жп, и выражающийся в силу сделанного ранее замечания некоторой предварённой формулой вида
3жп+1... 3жп+5(р1 Л ■ ■ ■ Л рг). (2)
В ней предикаты р^ принадлежат множеству X и зависят (для определённости) от переменных из следующего списка: ж1,... ,жп+5. Рассмотрим далее всевозможные наборы аЬ = (а1,..., ап+5) значений этих переменных в множестве Е, делающие истинной бескванторную часть р1 Л ■ ■ ■ Л рг формулы (2). Удалим часть этих наборов, оставив в рассмотрении наборы с различными и всеми возможными началами а = (а1,... , ап) из Еп. Если выполняется неравенство п + 5 > т (где т = |Е||е|п ), то у рассматриваемых наборов какие-то две компоненты, скажем г-я и ] -я (где 1 ^ ^ п + 5),
совпадают. Это позволяет в формуле (2) соответствующие этим компонентам переменные ж^ и ж^- отождествить, заменив их одной буквой ж^ (и удалив, если потребуется, ставшие бесполезными кванторные приставки). Проделаем это, пока возможно. После этого осталось заменить предикаты р^, входящие с одинаковыми переменными, равносильными предикатами из множества X^ П П Е^), входящими без одинаковых переменных. Полученная в результате формула равносильна исходной и выражает всё тот же предикат р. Тем самым лемма доказана. ■
Следствие 2. В множестве Пе (3, Л)-замыкание и предупорядочение относительно отождествления сильно согласованы посредством системы N и отображения а, где N состоит из множеств пЕп) при натуральных п и а(Р(п)) = Р(т) для т = |Е||е|п.
Рассмотренное пространство П представляет интерес в связи с функциями многозначной логики в силу соответствия Галуа из [12], определяемого отношением сохранения функцией предиката. Используя это соответствие Галуа и теоремы 2 и 3, из следствия 2 можно снова получить как теоремы С. В. Яблонского о верхних окрестностях из [11], так и теорему А. В. Кузнецова о полноте из [3].
ЛИТЕРАТУРА
1. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. СПб.: Лань, 2005.
2. Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968.
3. Кузнецов А. В. Структуры с замыканием и критерии функциональной полноты // Успехи матем. наук. 1961. Т. XVI. №2 (98). С. 201-202.
4. Birkhoff G., Frink O. Representations of lattices by sets // Transactions on American mathematical society. 1948. V. 64. P. 299-316.
5. Яблонский С. В. Функциональные построения в k-значной логике // Труды матем. ин-та им. Стеклова. 1958. Т. 51. С. 5-142.
6. Мальцев А. И. Итеративные алгебры Поста. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1976.
7. Мальцев А. И. Итеративные алгебры и многообразия Поста // Алгебра и логика. 1966. Т. 5. №2. С. 5-24.
8. Парватов Н. Г. Замечания о конечной порождаемости замкнутых классов // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер. 1. 2004. Т. 11. №3. С. 32-47.
9. Парватов Н. Г. Наследственные системы дискретных функций // Там же. Сер. 2. 2007. Т. 14. №2. С. 76-91.
10. Дистель Р. Теория графов. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2002.
11. Яблонский С. В. О строении верхней окрестности для предикатно-описуемых классов в Pk // Докл. АН СССР. 1974. Т. 218. №2. С. 302-307.
12. Боднарчук В. Г., Калужнин Л. А., Котов В. Н., Ромов Б. А. Теория Галуа для алгебр Поста // Кибернетика. 1969. №3. С. 1-10; №5. С. 1-9.
