CC BY
5Ф
И
З
И
К
О
-МА ТЕМА ТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Р.А. Бисенгалиев, В.С. Тугульчиева, А.О. Исмаилов, А.Д. Оразова, Д.Б. Довлетов, Д.Р. Аймаганбет, Захид Зайдулла
НИЛЬПОТЕНТЫ
Данная статья посвящена исследованию нильпотентов и некоторым их применениям при решении алгебраических задач. Цель работы заключается в том, чтобы оценить роль нильпотентов в алгебре, в частности, в линеаризации матричного многочлена, а также выявить связи между нильпотентностью и обратимостью элементов кольца, рассмотреть нильпотенты в алгебре матриц.
Ключевые слова: Кольцо, идеал, нильрадикал, нильпотент.
Определение. A - коммутативное кольцо ^ I(Q А) - называется идеалом кольца, если выполняются следующие условия:
1. I является аддитивной подгруппой А по сложению, т.е. х — у el Vx,yel; 2. a* xel VaeA, Vxel
П р и м е р : L^2*L = {2*K, keL} - идеал.
Определение. Для любого а е А (кольцо), обозначим < а >= {а * х,х е А} - наименьший идеал А, содержащий элемент а. Построенный идеал называется главным идеалом, порожденным а. П р и м е р : 2*L=<2>
Определение. Пусть А - коммутативное кольцо, тогда идеал J называется простым, если
1) J ф <1> = А;
2) из ab е J следует, что либо а е J, либо b е J, V a, b е J. П р и м е р : В кольце целых чисел А = L идеал J = p • А - простой для любого p - простого числа. Определение: Пусть R - кольцо. Элемент х (е R) называется нильпотентом, если хт = 0, где т -некоторое натуральное число. Наименьшее т такое, что хт = 0 называется степенью нильпотентности элемента х. В частности xk 1 ф 0.
П р и м е р. Нулевой элемент 0 произвольного кольца К является нильпотентным элементом степени нильпотентности 1, который называется тривиальным нильпотентом.
П р и м е р. В кольце вычетов Lvn, где p - простое число, класс вычетов р - нильпотент с индексом нильпотентности n, т. к. (р)п = рп = 0.
Предложение. Любой нильпотентный элемент кольца является делителем нуля. П р и м е р . Элемент 2 является делителем нуля в L6, т. к. 2 • 3 = 66 = 0, но не является нильпо-
тентом.
Теорема . 1) Пусть А - коммутативное кольцо, тогда множество N = {x сA: хт = 0, т > 1} является идеалом;
2) В кольце A/N нет ненулевых нильпотентов.
© Р.А. Бисенгалиев, В.С. Тугульчиева, А.О. Исмаилов, А.Д. Оразова, Д.Б. Довлетов, Д.Р. Аймаганбет, Захид Зайдулла, 2022.
Замечание: Следующий пример показывает, что в случае некоммутативного кольца утверждение неверно.
П р и м е р . А = ф), В = нильпотенты в М2(Е), а матрица
А + В = уже не является нильпотентной.
Определение . Идеал N называется нильрадикалом кольца А. П р и м е р : Покажем, что в 28, идеал <2> является нильрадикалом. <2 > = {2 • 0 = 0, 2 • 1= 2,2 • 2 = 4,2 • 3 = 6,2 • 4 = 8 = 0,2 • 5 = 10 = 2,2^б = Т2 = 4,2^7 = 14 = 6} = {0,2,4,6}. Осталось показать, что 0,2,4 и 6 - нильпотенты: 0 - тривиальный нильпотент, (2)3 = 8 = 0 => 2 - нильпотент степени 3. Аналогично, 4 - нильпотент 2 порядка, а 6 - третьего. Таким образом, <2 > является нильрадикалом в
Теорема. Нильрадикал N кольца А совпадает с пересечением всех простых идеалов в А.
Предложение. Пусть N - нильрадикал коммутативного кольца К. Тогда для любого элемента х с
N: элемент 1 - х - обратим, причем обратный к нему записывается в виде многочлена от х степени п - 1,
где п - степень нильпотентности элемента х.
Следствие. Если а(6 А) - обратимый элемент, х(6 А) - нильпотентный элемент, то а - х - обратим
в А, причем (а — х)-1 = а-1 + а-2х + а-3х2 + +а-4х3 + —+ а-пх"-1.
0 : 0 0 2 ) или ( ) тп простая пппвепкя ппкячыкярт. что /42 — ■
матрица А является нильпотентом степени нильпотентности 2.
/5 —3 2\
П р и м е р: Покажем, что матрица А = (15 —9 б) - нильпотентна
\10 —6 4/
1 способ - будем находить степень матрицы А, пока не получим нулевую матрицу. Имеем:
/5 —3 2\/5 —3 2\ /25 — 45 + 20 —15 + 27 — 12 10 — 18 + 8 4 Л2=(15 —9 6)115 —9 6) = ( 75 — 135 + 60 —45 + 81 — 36 30 — 54 + 24) = 03. 10 —6 4 10 —6 4 50 — 90 + 40 —30 + 54 — 24 20 — 36 + 16
П р и м е р : Если А = или ^ то простая проверка показывает, что Л2 = 02 и значит
Следовательно, А - нильпотент индекса 2.
2 способ - доказать, что собственные значения этой матрицы равны нулю:
det (Л -ЯЯ) =
5-Я -3 15 -9-Я
10
— г
2 6
= (5 - Я)( -9 - Я)(4 - Я)- 180 - 180 + 20(9 + Я) + 45(4
-6 4 —Я
Я) + 36(5 - Я) = - Я3 + 61Я - 180 - 180 - 180 + 180 + 20Я + 180 - 45Я + 180 - 36Я = - Я3
Итак, характеристический многочлен имеет вид (—1)тЯт. Здесь т = 3. Значит с(А) = {0}. Следовательно, в силу теоремы, матрица А - нильпотентна.
П р и м е р : Найдём все нильпотенты порядка 2 в алгебре М2(^), К - поле, т. е. решим матричное
уравнение Л2 = 02, где А - неизвестная матрица. Запишем эту матрицу в виде неизвестных коэффициентов (X у^
кг
A =
2
/х у\
( ■£). Возведём её во 2 степень: /х у\ /х у\ = /0 0ч СУ Кг СУ (0 0/.
х
Z
Получим / X2 + yz \z(x + С)
у(х + С) С2 + yz
)=с
0)
Таким образом, получаем систему уравнений:
fx2 + yz = 0 (1) y(x + 0 = 0 (2) z(x + t) = 0 (3)' .C2 + yz = 0 (4)
Решим систему (1) - (4):
Из уравнений (2) и (3) возникают два случая:
1) х + / Ф 0 (*). Тогда у = г = 0. Подставив эти значения в (1) и (4) получим, что х = / = 0 => х + / = 0, что противоречит условию (*). Следовательно, в этом случае система (1)-(4) не имеет решений, а значит, и исходное матричное уравнение также не имеет решений.
2) х + / = 0 => / = -х. Подставляя полученное равенство в (1) и (4), получим два одинаковых уравнения
вида
х2 + yz = 0. Отсюда z У
— 1 2 у 1 X2,
при условии, что у Ф 0.
/X у \
Получаем ответ: А = (-1 2 _ ), где х 6 у 6 ^\{0}. \ у х х/
( X у W X у \ _ _/ х2 - у-1 х2у ху -ух \
Проверка: (-у-1 х2 -xJ (-у-1 х2 -х) - -y-i х2_х + -y-i _ х2 -у-1 х2 у + х2)
(0 0). (о о).
/х у \
Таким образом, множество всех нильпотентных матриц индекса 2 М2(М2(Ш)) = {( -1 2 _ ),
\ у X X/
х Е К,у Е ^\{0}} содержит бесконечно много ненулевых нильпотентов.
П р и м е р : Продолжим предыдущий пример: найдём все нильпотенты степени 3 в М2(К). Аналогично, решаем матричное уравнение Л3 = О2. Получаем
i х3 + yz(2x + t) у(х2 +yz + t(x + t))\_ /0 0\ \z(t2 + yz + x(x + t)) t3+yz(x + 2t) ) = (0 o)'
Получили систему
' x3 + yz(2x + t) = 0 y(x2 +yz + t(x + t)) = 0 z(t2 +yz + x(x + t)) = 0
^ t3 +yz(x + 2t) = 0 Снова, из второго и третьего уравнения системы возникают два случая:
1)х2 + yz + t(x + t) Ф 0 (*) Тогдаy = z = x = t = 0, но это противоречит условию
(*). Следовательно, в этом случае решений нет. 2)х2 + yz + t(x + t) = 0 (**) Выразим отсюда yz
yz = - (х2 + t(x + t)) и подставим в первое уравнение системы: х3 - (2х + t)(x2 + t(x + t)) - 0. х3 - 3x2t - 3xt2 -t3 - О. -(x + t)3 = 0=> t = - X' Подставим в (**): yz = - x2 => z = -x2y~1, у Ф 0
Получаем ответ, а вместе с ним и множество всех нильпотентов индекса 3 N3 (М2 (К)) = {A -/X у \
\-х2у-1 -х\ х, У ЕК, Уф0}
Вывод. Nk(M2(K)) один и тот же при всех к >2. Таким образом, нильрадикал N(M2 (К) - {A - \-х2у-1 -.), X, у ЕК, у Ф 0}'
Библиографический список
1.Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. 3-е издание - М.: Физико-математическая литература, 2004 г. - 272 с.
2.Фадеев Д. К. Лекции по алгебре - М.: Наука, 1984 г. - 416 с.
3.Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру - М.: Мир, 1972 г. - 160 с.
4.Басс Х. [Bass H.] Алгебраическая K-теория: пер. с англ. М.: Мир, 1973 г. - 602 с.
5.Кострикин А. И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия - М.: Наука, 1978 г. - 304 с.
6.Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. - М.: Наука, 1975 г. - 402 с.
БИСЕНГАЛИЕВ РЕНАТ АЛЕКСАНДРОВИЧ - к.ф.-м.н., доцент, Калмыцкий государственный университет им. Б.Б. Городовикова, Россия.
ТУГУЛЬЧИЕВА ВИКТОРИЯ СТАНИСЛАВОВНА - старший преподаватель, Калмыцкий государственный университет им. Б.Б. Городовикова, Россия.
ИСМАИЛОВ АХМАТЖАН ОРАЗБАЕВИЧ- магистрант, Калмыцкий государственный университет им. Б.Б. Городовикова, Россия.
ОРАЗОВА АЙНУР ДОВЛЕДОВНА - магистрант, Калмыцкий государственный университет им. Б.Б. Городовикова, Россия.
ДОВЛЕТОВ ДЖЕЙХУН БЕРДИМЫРА Т ОГЛЫ - магистрант, Калмыцкий государственный университет им. Б.Б. Городовикова, Россия.
АЙМАГАНБЕТ ДИНАРА РУСЛАНКЫЗЫ - магистрант, Калмыцкий государственный университет им. Б.Б. Городовикова, Россия.
ЗАХИД ЗАЙДУЛЛА - магистрант, - магистрант, Калмыцкий государственный университет им. Б.Б. Городовикова, Россия.
