Нейросетевой метод идентификации и анализа модели деформирования металлических конструкций в условиях ползучести Текст научной статьи по специальности «Математика»

Васильев А.Н.1, Кузнецов Е.Б.2, Леонов С.С.3

1 Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Санкт-Петербург, д.т.н., профессор кафедры «Высшая математика», a.n.vasilyev@ gmail. com

2 Московский авиационный институт, Москва, д.ф.-м.н., профессор кафедры «Дифференциальные

уравнения», kuznetsov @ mai . ru

3 Московский авиационный институт, Москва, аспирант кафедры «Дифференциальные

уравнения», powerandglory@yandex . ru

НЕЙРОСЕТЕВОЙ МЕТОД ИДЕНТИФИКАЦИИ И АНАЛИЗА МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЙ В УСЛОВИЯХ

ПОЛЗУЧЕСТИ

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

Ползучесть, разрушение, параметр поврежденности, искусственные нейронные сети, нейросетевой базис, продолжение решения по параметру, системы дифференциальных уравнений.

АННОТАЦИЯ

В работе рассматривается задача идентификации параметров модели, описывающей процессы деформирования и разрушения металлических конструкций в условиях ползучести. В качестве определяющих соотношений используются уравнения теории структурных параметров Ю.Н. Работнова с одним скалярным параметром поврежденности, имеющие две особые точки. Для решения указанной задачи применяется метод, в основе которого лежат принципы нейросетевого моделирования. Данный подход позволяет как определить параметры модели, так и получить приближенное решение задачи. Для ускорения процесса идентификации также предложено использовать метод продолжения решения по параметру. В работе найдены параметры модели растяжения образцов из стали 45 в условиях ползучести при постоянных напряжении и температуре. Соответствующие этим параметрам решения хорошо согласуются с экспериментальными данными и результатами других авторов.

1. Введение. В последние десятилетия все более широкое применение находят модели, способные описывать процессы деформирования и разрушения конструкций при сложном напряженном состоянии. Особое внимание уделяется возможности учета ползучести материала в области высоких и умеренных температур. Это связано как с возросшими требованиями к точности прогнозирования длительной прочности конструкций, так и с увеличением количества практических задач, требующих решения, в числе которых исследование поведения конструкций из металлических, керамических и композитных материалов при сложных температурно-силовых режимах. Одним из наиболее эффективных подходов к решению подобных задач является использование уравнений известных теорий ползучести (теории старения, упрочнения, наследственности, теории структурных параметров Ю.Н. Работнова и т. д.). Однако, все такие уравнения, как правило, содержат несколько материальных констант (характеристик ползучести), которые необходимо определять на основании информации о протекании процесса деформирования, основным источником которой является эксперимент. Учитывая то, что характеристики ползучести могут зависеть от вида используемого материала и его состояния, режима нагружения, температуры, типа анизотропии и других факторов, задача их идентификации имеет весьма сложный характер. В данной работе представлен унифицированный метод идентификации параметров модели, описывающей процессы ползучести и разрушения конструкций по результатам эксперимента. В качестве основы для разрабатываемого подхода приняты принципы и методы нейросетевого моделирования.

2. Метод нейронных сетей. Следуя монографии [1], рассмотрим построение нейронной

сети для системы m обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) Г -ого порядка с p

неизвестными скалярными параметрами, задаваемыми вектором а=(а1,..., ар)Т

(г\а) = О, Г е [/„/] щ

\ с начальными условиями

У('о) = Уо =

у'Со)= Ур

^ ( -I V/ Л =

(2)

Здесь F(t,у,у',...,у(г), а) = (Г1 ^,У,У ',•••,У(г),а), ••• Гт(t,У, У ',...,у(г),<

V1 'С/ ) = V

) , а) ,... ,Тт (t, У, У ',... , У , ^

вектор-функция векторного аргумента; (t, У, У ',...,У(г), а), 1=1,... ,т - скалярные функции

векторного аргумента; У(t)=(у 1 (t),...,ут(t))Т - искомое решение, вектор-функция скалярного

*

аргумента, в общем случае неявно зависящая от параметров а1,..., ар ; 10 - начальная точка; t

- правый конец интервала изменения аргумента; уу (t ) = ( уу 1,... ,Уут )Т, | =0,... ,Г — 1 - векторы

, \ . (л, \ &у(t) значений функции у ^) и ее Г — 1 первых производных в точке 10 ; у (t ) =-:— ;

Л t )=У (t).

При описании физических процессов на области изменения параметров а1,..., ар могут накладываться ограничения вида

«¿е^с^ 1 = 1,...,р. (3)

Пусть для задачи (1)-(2) также выполнены условия теоремы Коши о существовании и теоремы о единственности решения начальной задачи. Кроме того, имеются I экспериментальных наблюдений

\где Уд=(уец 1,...,уечт)Т - векторы значений у^) в точках 11 соответственно.

Решение начальной задачи (1)-(2), удовлетворяющее соотношениям (4), будем искать, используя методы нейросетевого моделирования. Для этого каждую компоненту вектор-функции

у (Г) разложим по нейросетевому базису

N..

■ = : = 1.....(5)

где wl• =( wl• 1,..., w¡х )Т - матрицы настраиваемых параметров (нейросетевых коэффициентов); Wj = ( с^ а у) ; Су - линейно входящие параметры; а^ = ( а1, а2:) - нелинейно входящие параметры; ^ - количество нейронов в разложении (5).

Тип нейросетевого базиса (t, а ¡у) задается скалярной функцией скалярного

аргумента ф ■ (X), так называемой функцией активации

Vj(t, аи ) = Ф I(Х) ,Х = t,a И) , где • ) - заданная функция (например, 'ф^, а ¡у ) = а• + а2 ). Активационная функция может быть задана в форме гиперболического тангенса, радиальной базисной функции (например, в виде гауссианы ф(X) = ехр{— X2} ) или иной форме, описанной в монографии [1].

Заменяя в задаче (1)-(2) и экспериментальных данных (4) компоненты вектор-функции у ^) на нейросетевые разложения (5), составим нормированный функционал ошибки в интегральной форме, как сумму взвешенных невязок

т Г I 1

Лалрг,,...* .) = V А] |/(£У>У'.-Ум.«)| ^ -

■=1

г-1

/=о

9=1

Здесь у (г, w1,..., wm) = ( у1 (t, w1),..., (t, wm))T - вектор нейросетевых разложений;

т

6,>0 - штрафные множители; •(Г — Г0) + у; -Г + 6, -I) .

1=1

На практике обычно используется дискретное представление [1] функционала ошибки (6)

(

м

= У,Г,-Г*,*)

=1

Й=1

+

(7)

г-1 2 1

\у(/\*а>) - уп - >■;

.!=<-> -3=1

В данной формуле вектор-функция F(Г, у, у',..., у'"', а) вычисляется на множестве пробных точек {^ }М=1, генерируемых случайным образом по равномерному закону

распределения на отрезке

т

м+у, -г+6,. -I).

[ г о, г ] [1];

м

количество пробных точек;

1=1

Для нахождения неизвестных параметров а1,..., ар и нейросетевых коэффициентов w1,..., wm решается задача минимизации функционала ошибки (6) (или (7)) с учетом ограничений (3)

(8)

В результате решения задачи (8) получим значения параметров а1,..., ар и вектор

* *

настраиваемых параметров w1,..., wm , которые доставляют минимум функционалу (6) (или (7)). Нейросетевое решение задачи запишется в виде

* \ Г~ ак I

(9)

у(0 = у (/, .. ), г е [/„,г*].

Отметим, что минимизация функционала ошибки ведется не до глобального минимума, а до момента, когда его значение становится меньше наперед заданного значения точности П , т.е. J <п . И именно это значение функционала принимается за приближенное минимальное J *. Для того чтобы избежать остановки процесса минимизации в точке локального минимума, производится периодическая (после нескольких итераций алгоритма минимизации) перегенерация пробных точек { ^ }м=1 [1].

Для иллюстрации описанного подхода рассмотрим задачу идентификации параметров модели одноосного растяжения прутков (диаметр й=42 мм) из стали 45, широко используемой в авиации (например, для создания деталей трубопроводной арматуры после закалки и отпуска), при постоянных напряжении а0 и температуре Т .

3. Растяжение образцов из стали 45. Для описания поведения металлов в условиях ползучести вплоть до разрушения будем использовать уравнения теории структурных параметров Ю.Н. Работнова [2] с одним скалярным параметром поврежденности ш в форме системы двух ОДУ первого порядка [3, 4]:

at

dco givjmoxT).

. dt

Где е - деформация ползучести; а - действующее напряжение; t - время; Т -температура; функциональные зависимости, входящие в правые части, определяются по результатам эксперимента.

В статье [3] показано, что функция Ч* (О), Т) может быть выбрана в виде

4>{G>J) = a>-a(\-a>a+iy\

(11)

где а и m - параметры модели, зависящие в общем случае от температуры Т .

Таким образом, подставляя соотношение (11) в систему ОДУ (10), в случае постоянной температуры получим:

а с = /(сг)

ск а« I

(1

doj _ g(cт) dt

(12)

of(\-of+x)m Функции f (о) и д(о) для стали 45 выберем в виде [3]

П<т) = в£<т\ё(<т) = ву.

где BE,BM,n,k - характеристики ползучести материала.

При постоянном напряжении а=а0= const получим следующую систему ОДУ для данной задачи

ds dt

со

О-

со

1

¿¡СО dt

Я <

0 U

(13)

f(\

СО II со

«+1 J

В качестве начальных условий для системы (13) берутся однородные

t = 0: со = е = 0. Аналитическое решение задачи (13)-(14) можно записать в виде [5]

= 1 -{l - (« + l)(m + \)Bjj%ty+l

\ )

— В стп

(14)

(15)

п-1

Учитывая, что при разрушении параметр поврежденности принимает значение равное

*

единице, из первого соотношения (15) получим значение длительной прочности t данной конструкции

4. Идентификация параметров. Введем обозначения: у(г)=(в(г),0)(г))Т ;

= -——; /2(у,у\В&,а,т,к) = ^СЗ В° 0

dt

of( 1

«+1

СО

У ............ dt af^i-

of+ly

Видно, что система ОДУ (13) с начальными условиями (14) по структуре схожа с задачей (1)-(2) ( m = 2, г = 1, p = 6), поэтому будем проводить идентификацию параметров системы (13), используя подход, описанный в разделе 2. В качестве дополнительных данных будем использовать

результаты эксперимента на одноосное растяжение цилиндрических образцов из стали 45 при некотором уровне напряжения а0 и температуре Т = 850° С [3] .

(16)

где tq - момент времени снятия q -ого экспериментального значения, Eq и wq -экспериментальное значение деформации ползучести и параметра поврежденности в момент времени tq соответственно.

Используя в нейросетевом разложении (5) базисные функции специального вида, мы получим

¿ (/.с.а) У г . th(о,. t- а2 ,) ■ (1 - a,, i - а,. ) .

=1

N-,

(17)

.-1

á(t,b,d) = X^'^f~ d*h)' I1" + d*Ji)

h =1

Здесь c = { cj } , b = { bj } - векторы линейно входящих параметров; a = { а^} ,

d={ d¡j2} - матрицы нелинейно входящих параметров; / = 1, ...,4 .

Для задачи (13)-(14) функционал ошибки (7) запишется в виде

м Й=1

dé 2 + dco вА

dt Р(М dt P(£>)

(18)

2 2 1 \ 2 1 \

g=l

g=l

Здесь {}h=1 - набор пробных точек, равномерно распределенных на отрезке [0, t ] ; выражение под знаком первой суммы берется в точке t ="%h; P(w) = wa(l-(Oa+1)m;

R = (2 -6 -M + 61 + S2 + (S3 + 64) -l)-1.

Для идентификации параметров BE, Вы,п ,k, а ,m решается задача

J(Bs,Bs},п,к,а, т,с. а. Ь.(!) min. (19)

Учитывая особенности протекания процесса деформирования, на параметры модели необходимо наложить следующие ограничения

Вг > О, Вв > 0, и > 0, к > 0, а > 0, т > 0. (20)

Таким образом, имеем задачу минимизации с ограничениями типа неравенств (19)-(20), в

результате решения которой найдем значения параметров ВЕ ,B(,n,k, a ,m и коэффициенты

* * i * i *

нейросетевого разложения c , а , b , d , доставляющие минимум функционалу (18). Подставляя нейросетевые коэффициенты в (17), получим приближенное решение задачи.

5. Параметры нейросети и результаты эксперимента. Идентификация параметров системы ОДУ (13) проводится для трех значений напряжений а0 = 35; 40; 45 МПа. Число базисных функций в нейросетевом разложении, количество пробных и экспериментальных точек, значения штрафных множителей, а также другие параметры нейросети приведены в табл. 1.

О 0 , МПа 5 5! 52 5з 54 N 1 N 2 M l n

35 10 10 10 10 10 3 3 30 14 5 -10-4

40 1 1 1 1 1 4 3 20 10 5 -10-4

О 0 , МПа 6 61 62 63 64 N1 N 2 M l П

45 104 105 105 105 105 4 3 20 12 5 -10—4

Экспериментальные данные для деформации ползучести взяты из работы [3], для параметра поврежденности результаты эксперимента пересчитаны по формуле м = в/в*, где 8* -значение деформации ползучести в момент разрушения.

6. Результаты вычислений. Задача минимизации (19)-(20) решалась в вычислительной среде Mathcad 14 методом сопряженных градиентов [6]. Параметры, входящие в систему ОДУ (13), полученные в результате решения задачи (19)-(20) и приведенные в работе [3], представлены в табл. 2. В табл. 3 даны основные сведения о процессе деформирования, где 61 ,6 8* -относительная погрешность длительной прочности и деформации ползучести в момент разрушения соответственно; tn - время счета.

Таблица 2. Характеристики ползучести

Результаты О0 , МПа 7-> Л —1 Б8° 0, ч „к —1 , ч а т

Статья [3] 35 0.0115 0.0202 0.849 2.83

40 0.034 0.0512

45 0.0883 0.1163

Задача (19)-(20) 35 0.0079 0.0157 0.947 3.873

40 0.0383 0.0619 0.806 1.966

45 0.1603 0.2552 0.297 1.479

Таблица 3. Основные сведения о процессе деформирования

Результаты * t , ч 8* 61 *, % 68*, % J* -105 ^ , с

03 П Параметры [3] 7.0005 0.5716 4.39 10.77 - -

Задача (19)-(20) 6.7348 0.5072 0.43 1.73 4.691 934

5 го Эксперимент [3] 6.7061 0.5161 - - - -

03 П Параметры [3] 2.7601 0.6647 7.37 7.98 - -

Задача (19)-(20) 3.0158 0.6185 1.21 0.47 12.517 762

0 Эксперимент [3] 2.9796 0.6155 - - - -

03 П Параметры [3] 1.2145 0.7593 0.82 19.9 - -

Задача (19)-(20) 1.2187 0.6281 0.47 0.82 17.16 973

5 Эксперимент [3] 1.2245 0.6333 - - - -

Ниже приводятся приближенные нейросетевые решения для деформации ползучести

(0 = 0.112

й(0.49бг +0.047) | 3 й(0.019г +0.167)

(0.93-0.088Г) ' (1.629-0.24к)

Ш(9.197Г + 1.65 10"3)

+0.022--

(1.091-0.0170

^ з (Г) = 5.789-

Й(-0.814г-0.137)

-+3.669 ■

(1.034-0.260 й(0.012г- 2.744 -10~;) (0.937-0.734Г)

0.065-

24.711-

й(1.82б10"3г + 0.026) (1.221 + 0.1270 Ш(0.183г +0.027)

(0.868-8.041-10^0

(21)

и параметра поврежденности

(22)

Рис. 1. Деформация ползучести -у

'> ч

Рис. 2. Параметр поврежденности Графики зависимостей деформации ползучести и параметра поврежденности от времени показаны на рис. 1-2, где точками, квадратами и ромбами обозначены результаты эксперимента для значений напряжения а0 = 35; 40; 45 МПа соответственно, непрерывные и пунктирные линии - аналитические зависимости, соответствующие параметрам модели, полученным в работе [3] и при решении задачи (19)-(20) соответственно. Значения напряжения указаны на рисунках около соответствующих графиков.

На рис. 3-4 представлены нейросетевые решения (21)-(22), изображаемые пунктирными линиями, остальные обозначения сохраняются.

0.8

Рис. 3. Деформация ползучести, нейросетевые решения

Рис. 4. Параметр поврежденности, нейросетевые решения 7. Метод продолжения решения по параметру. Анализируя начальную задачу (13)-(14) можно видеть, что она содержит две особые точки ш= 0 и ш= 1 в которых правые части уравнений системы (13) обращаются в бесконечность. Метод нейронных сетей позволяет обойти данную особенность и получить параметры модели, а также приближенное решение данной задачи. Однако особенность остается, и можно ожидать, что если нам удастся устранить ее, то это позволит сократить временные затраты на минимизацию функционала ошибки и позволит использовать более простые формы активационной функции в (17). Для этого предварительно преобразуем исход-ную задачу (13)-(14), используя метод продолжения решения по параметру [7].

Параметризуем уравнения системы (13), полагая, что деформация ползучести, параметр поврежденности и время являются функциями параметра К

£ = £(к), а>= оХк), I = Г(лг). (23)

Параметр к можно выбирать различными способами (например, как наилучший параметр [7]). Для задачи (13)-(14) выберем его в форме

= )2 - (¿М2 - | йГя (1 - Р &)2 . (24)

Тогда параметризованная система примет вид

ds

ад

dK ^BtfT^o?' da

bA

0)

(1 -of+lf

dK +

Начальные условия (14) для системы (25) перепишутся в виде

л: = 0: = й) = г = 0.

(26)

Отметим следующие преимущества использования параметра К :

1. Обусловленность полученной системы (25) близка к наилучшей;

2. Система (25) имеет более простой вид по сравнению с (13), так как правые части первых двух уравнений и знаменатель третьего уравнения системы (25) являются постоянными величинами;

3. Можно получить значения параметра в экспериментальных точках (16) Кч и в момент

*

разрушения к по приведенным формулам

= + + В1<?> + + (27)

Для определения параметров системы (25) также будем использовать метод нейронных сетей. Выбирая активационную функцию в форме гиперболи-ческого тангенса, запишем нейросетевое разложение (5) в виде

"1 ,

= - th (fi^sr + а,.йХлг:Ь:(!) = ■ th(ßf0}к + dl.),

; =1

l\ s) = ■ th (S0Jк + sl}) .

(28)

j=i

Для задачи (25)-(26) функционал ошибки (7) запишется в виде

2

.4

Й=1

de Bjy;;

dK Q

dto В А

dK Q

+

dt P(S) 2

dK Q -1 К

-<5,|г(0,с,а)|2 +S2 |ü^0,b,d)|2 + S3 \t(0^, s)|2

+

(29)

1

L

1

1

г fi

Здесь R' = ( 3 -S -M + + Zs,)-1 ; Q=V 1+B2 O20n + B2a02ok ; { ^ }

i= 1 i = 4

пробных точек, равномерно распределенных на отрезке [0, К ] .

Для идентификации параметров ВЕ,Вш,п ,k , а ,т решается задача

3 (Bs,Ва,и,к,а, т,с,а,b.d, г,s) min.

M h }h=1

набор

(30)

с ограничениями типа неравенств (20).

Задача минимизации (30), (20) решалась для О0 = 35 МПа. Число базисных функций в нейросетевом разложении, количество пробных и экспериментальных точек, значения штрафных

множителей, а также другие параметры нейросети для параметризованной задачи приведены в табл. 4. Параметры, входящие в систему ОДУ (25), полученные в результате решения задачи (30), (20) и приведенные в работе [3], представлены в табл. 5. В табл. 6 даны основные сведения о процессе деформирования.

Таблица 4. Параметры^нейросети

а0, МПа Ô ô;, 1 = 1,... ,6 N 1 N 2 N з M n

35 10 100 1 1 2 30 14 5 -104

Таблица 5. Характеристики ползучести

Результаты Т"» n —1 Б,а0, ч Г) k —1 Бша0, ч а m

Статья [3] 0.0115 0.0202 0.849 2.83

Задача (30), (20) 0.0108 0.0209 0.811 2.903

Таблица 6. Основные сведения о процессе деформирования

Результаты * t , ч 8» S t *, % S 8*, % J * -105 tn , с

Статья [3] 7.00049 0.5716 4.2 9.72 - -

Задача (30), (20) 6.78742 0.5185 1.21 0.46 7.061 385

Эксперимент [3] 6.70612 0.5161 - - - -

Приближенное нейросетевое решение задачи (25)-(26) имеет вид

s (*-) = 1.227 ■ îh(9.157 -10"V+ 4.833 ■ 10_î);

= :.52".±:?.494.10"; (31)

toс) = 3.656 ■ îh(0.072k + 1.065) - 3.069 ■ til(0.099a: - 1.722).

Графики для задачи (25)-(26) аналогичны представленным на рис. 1-4.

8. Выводы. В качестве основных результатов работы можно выделить:

1. Применение метода нейронных сетей к решению задачи Коши для систем ОДУ Г -ого порядка с неизвестными скалярными параметра-ми и набором дополнительных данных. Описан процесс построения нейронной сети, а также алгоритм решения;

2. Использование указанного подхода для решения задачи идентифи-кации параметров модели ползучести и разрушения образцов из стали 45 при постоянных напряжении и температуре - задачи, описываемой системой двух ОДУ первого порядка теории структурных парамет-ров Ю.Н. Работнова;

3. Нахождение параметров и нейросетевых решений для рассматри-ваемой модели в случае трех начальных напряжений а0 = 35,40,45 МПа. Результаты расчетов показывают хорошее качественное и количественное согласование с экспериментальными данными и результатами, представленными в работе [3] (табл. 2-3, рис. 1-4), что говорит о применимости нейросетевого подхода к решению задач данного класса;

4. Применение метода продолжения решения по параметру к рассмат-риваемой задаче привело к значительному уменьшению времени счета (табл. 6), что достигается за счет возможности использования более простых форм активационных функций. При этом точность полученного решения не уменьшается (табл. 5-6).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований, проекты 13-08-00473,14-01-00660 и 14-01-00733.

Литература

1. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Нейросетевое моделирование. Принципы. Алгоритмы. Приложения. - СПб.: Изд-во СПбГПУ 2009. - 528 с.

2. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. - М.: Наука, 1966. - 752 с.

3. Горев Б.В., Захарова Т.Э., Клопотов И.Д. К описанию процесса ползучести и разрушения материалов с немонотонным изменением деформационно-прочностных свойств // Физическая мезомеханика. - 2002. - Т. 5. -№ 2. - С. 17-22.

4. Gorev B.V., Klopotov I.D., Lyubashevskaya I.V._Creep and damage behavior of AK4-1T and VT-9 alloys under different stress states // Theor. and Appl. Fract. Mech. 1998. Vol. 29. P. 1-10.

5. Горев Б.В., И.В. Любашевская, Панамарев В.А., Иявойнен С.В. Описание процесса ползучести и разрушения

современных конструкционных материалов с использованием кинетических уравнений в энергетической форме // ПМТФ. - 2014. - Т. 55. - № 6. - С. 132-144.

6. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. - М.: Мир, 1974. - 376 с.

7. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения и наилучшая параметризация. - М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 224 с.