Нейросетевая аппроксимация границы области достижимости летательного аппарата. 2. Трехмерный случай Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

электронное научно-техническое издание

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл № ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0420900025. ISSN 1994-0408_

Нейросетевая аппроксимация границы области достижимости летательного аппарата. 2. Трехмерный случай

# 08, август 2009 автор: Козлова О. Г.

УДК 519.6

[email protected] МГТУ им. Н.Э. Баумана

Первые публикации

Программы и программные системы

Учебные программы

Студенческая

Общие проблемы инженерного образования

Инженер в современной России

Экобионика

Зарубежное образование

История технического прогресса

Будущий инженер

Вне рубрик

Расширеный поиск Подписаться на новости

ПОИСК

Ред.совет Специальности Рецензентам Авторам Архив

Пароль

Для летальных аппаратов (ЛА) разных классов актуальной является задача обеспечения их траекторной безопасности. Для решения этой задачи необходимо построение области достижимости ЛА в реальном времени, что, очевидно, может быть выполнено с помощью многократного интегрирования соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако такой подход требует неприемлемо больших вычислительных ресурсов. Целью работы является исследование возможности применения нейронных сетей для построения области достижимости ЛА. Работа является продолжением работы [1], в которой более детально приведены постановка задачи, а также описания используемых нейронных сетей.

1. Постановка задачи

. . ОШ1

Уравнения движения центра масс ЛА в нормальной земной системе координат описываются

следующей системой нелинейных дифференциальных уравнений [2]:

(1)

V €>

где - скорость ЛА,

|ш у ____________ .,________,_____, - угол поворота траектории, - высота ЛА,

Кг я

- тангенциальная перегрузка, ускорение свободного падения.

■ нормальная перегрузка,

ь

■ скоростной угол крена,

Вектор управления ЛА задается вектором

Область достижимости ЛА определяется как множество значений вектора координат его центра масс в

момент времени * полученных при заданном начальном состоянии ЛА и всех возможных допустимых управлениях. Очевидно, что динамика области достижимости может быть описана динамикой ее границ.

В работе [2] были получены структуры управлений, приводящих на границы области достижимости при фиксированным угле крена. Структура управления, приводящего на дальнюю границу области достижимости, имеет вид (рис. 1):

(2)

СОБЫТИЯ

Международная

научно-практическая

конференция

"Использование технологий дистанционного обучения в высшей школе "

III Международная

научно-практическая

конференция

"Информационная среда вуза XXI века"

НОВОСТНАЯ ЛЕНТА

12.10.2009

Всероссийская научная школа для участников программы «Участник Молодежного Научно -Инновационного Конкурса» (У.М.Н.И.К)

14.09.2009 Абитуриенты смогут поступать только в пять вузов - проект приказа

24.08.2009

Комсомольская правда > 24.08.2009 > Евгений СТРИГУНОВ > Толковым студентам -платникам государство будет помогать

13.07.2009

РИА "Новости " > 13.07.2009 > Около 28 тысяч студентов вузов переведены с платных на бюджетные места в 2009 году

8.07.2009

Письмо Рособразования от 29.05.2009 N 20-353 "О Конкурсе 2009 года на соискание медалей Российской академии наук с премиями для молодых ученых РАН... "

весна

Логин

ВХОД

регистрация забыли пароль?

Пресс-релизы Библиотека Конференции Выставки

t~

где - время перехода на особый участок управления

= 0

Д

■ длительность полета,

«I =И: и; ' = «Г, U, =[uL : J : .

оска объявлений рхив

Ассоциация технических Университетов Информация о проекте Авторы

Координационный совет

Рисунок 1 - Структура оптимальных управлений, приводящих на дальнюю границу области достижимости 2. Структура нейронных сетей В работе рассматривается три нейронных сети [1].

Нейронная сеть 1 (HCl) определяет координаты границы области достижимости ЛА при задании

где

граничного управления. Входной слой сети состоит из элементов

ц тГ

момент времени переключения нормальной перегрузки со значения до

угол крена ЛА. Сеть содержит два скрытых слоя, содержащих одинаковое количество персептронов с функцией активации - гиперболический тангенс. Выходной слой сети состоит из трех нейронов с

линейной функцией активации, соответствующих координатам ' и ^ конечного положения ЛА (рисунок 2).

Рисунок 2 - Входы - выходы нейронной сети НС1

Нейронная сеть типа НС 1, фактически, заменяет интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих движение центра масс ЛА с граничными управлениями.

Нейронная сеть 2 (НС2) определяет расстояние до границы области достижимости в заданном

Р

Г, а.

. . - - ж & .

направлении. Входной слои сети состоит из элементов , , , где , - углы,

которые определяют требуемое направление в пространстве. Выходом сети является длина радиус-вектора конечного положения ЛА на дальней границе области достижимости (рисунок 3).

Рисунок 3 - Входы - выходы нейронной сети НС2

Нейронная сеть 3 (НСЗ) определяет управление, приводящее ЛА на границу области достижимости в

IГ, е, т, й aß

заданном направлении. Входной слой сети состоит из элементов " , " , , где

которые определяют требуемое направление в пространстве. Выходом сети являются параметры

управления ' и ' где ^ — 1 - -1 _ момент времени переключения нормальной перегрузки К значения до значения ^ , ' - заданный угол крена ЛА (рисунок 4).

углы,

Рисунок 4 - Входы - выходы нейронной сети НС3

со

3. Схема исследования

Рассматривается задача (5), в которой входные величины варьируются в следующих пределах:

F„ s3314Wc Здесь " - скорость звука в воздухе.

Обучающая выборка состоит из 4500 элементов. Из нее случайным образом выбирается 20% проверочных точек для определения момента окончания обучения. Начальные веса и пороговые элементы нейронов каждого слоя устанавливаются в соответствии с алгоритмом инициализации Нгуен-Видроу (Nguyen-Widrow) [3]. Данный алгоритм выбирает такие их значения, чтобы область выходных значений каждого нейрона в слое была приблизительно равномерно распределена по области входных значений слоя. При генерации этих значений используются случайные числа.

Обучение каждой из сетей выполняется в среднем 10 раз с различными начальными весами и пороговыми значениями; затем выбирается сеть с минимальным значением ошибки. Исследование точности аппроксимации обученной сети выполнено с использованием тестовой выборки, содержащей более 20000 элементов. Точность аппроксимации оценивается следующими величинами.

Средняя относительная погрешность

Здесь ^ - мощность тестового множества, " - расстояние от тестовой точки до точки, полученной на выходе нейронной сети, " - расстояние от начальной точки ^ С С ^ до тестовой точки.

Средняя абсолютная погрешность

Максимальная относительная погрешность

Максимальная абсолютная погрешность

= )

Среднее квадратичное отклонение

-г-гг1

Обучение и тестирование нейронных сетей выполнено в среде Matlab [4].

Исследуемые сети содержат два скрытых слоя, состоящих из одинакового количества персептронов с функцией активации - гиперболический тангенс. Выходной слой сети состоит из нейронов с линейной функцией активации. Для обучения используется метод Левенберга-Маркара (Levenberg-Marquardt Algorithm) [5].

4. Результаты исследования

В таблице 1 приведены результаты исследования точности аппроксимации дальней границы области достижимости сетями НС 1 с различным количеством нейронов. Эта таблица и иллюстрирующая ее гистограмма, изображенная на рисунке 5, показывают, что с увеличением числа нейронов в сети погрешность аппроксимации стабильно уменьшается. Среднее и максимальное значение погрешности у сети из 22 нейронов равны 1.38% и 11.6%, а для сети из 40 нейронов - 0.55% и 3.12% соответственно.

Таблица 1 - Сравнение сетей НС1 с различным количеством нейронов

Количество нейронов Средняя относительная погрешность Средняя абсолютная погрешность, м Среднее квадратичное отклонение Максимальная относительная погрешность Максимальная абсолютная погрешность, м

22 1.38 % 79.69 52.15 11.64 % 707.4

24 1.31 % 75.71 48.38 10.57 % 694.6

26 1.06 % 61.21 42.92 9.76 % 651.1

28 0.89 % 51.80 35.72 9.31 % 620.9

30 0.84 % 48.75 33.88 9.15 % 609.6

32 0.82 % 46.97 32.33 9.29 % 578.9

34 0.71 % 40.90 31.83 6.37 % 424.9

36 0.65 % 37.51 27.83 5.14 % 401.3

38 0.59 % 33.58 25.34 5.13 % 382.3

40 0.55 % 31.74 23.18 3.12 % 355.8

Рисунок 5 - Средняя погрешность аппроксимации дальней границы сетями НС1 с различным количеством нейронов

Пример аппроксимации дальней границы области достижимости, полученной с помощью сети НС 1, приведен на рисунке 6.

Рисунок 6 - Аппроксимация дальней границы области достижимости, построенной при начальных условиях

L ™' L , (использована нейронная сеть HCl, состоящей из 32 нейронов)

В таблице 2 приведены результаты исследования точности аппроксимации области достижимости сетями НС 2 с различным количеством нейронов. Таблица 2 и гистограмма, изображенная на рисунке 7, показывают, что сеть НС 2 аппроксимирует границу области достижимости более точно по сравнению с сетью НС1.

Таблица 2 - Сравнение сетей НС2 с различным количеством нейронов

Количество нейронов Средняя относительная погрешность Средняя абсолютная погрешность, м Среднее квадратичное отклонение Максимальная относительная погрешность Максимальная абсолютная погрешность, м

22 0.25 % 14.43 12.70 3.75 % 302.1

24 0.21 % 12.08 10.51 3.36 % 294.6

26 0.18 % 10.31 9.18 2.86 % 252.8

28 0.17 % 9.26 8.15 2.52 % 240.4

30 0.15 % 8.60 7.65 2.48 % 220.7

32 0.15 % 8.52 7.41 2.11 % 219.4

34 0.14 % 7.97 6.89 2.24 % 195.9

36 0.12 % 6.92 6.09 1.80 % 173.6

38 0.11 % 6.35 5.63 1.69 % 167.4

40 0.09 % 5.20 4.64 1.53 % 152.4

Рисунок 7 - Средняя погрешность аппроксимации дальней границы сетями НС2 с различным количеством нейронов

В таблице 3 приведены результаты исследования точности аппроксимации области достижимости сетями НС 3 с различным количеством нейронов. Таблицу 3 иллюстрирует рисунок 8.

Таблица 3 - Сравнение сетей НС3 с различным количеством нейронов

Количество нейронов Средняя относительная погрешность Средняя абсолютная погрешность, м Среднее квадратичное отклонение Максимальная относительная погрешность Максимальная абсолютная погрешность, м

22 0.83 % 47.03 52.73 8.21 % 593.2

24 0.77 % 43.85 48.24 7.31 % 463.0

26 0.63 % 35.77 38.35 6.96 % 415.5

28 0.53 % 30.58 33.64 5.94 % 401.4

30 0.50 % 28.56 31.42 5.47 % 395.1

32 0.49 % 27.98 30.78 5.41 % 350.0

34 0.43 % 24.52 26.97 4.29 % 346.9

36 0.41 % 22.21 25.44 4.80 % 322.2

38 0.35 % 20.19 22.21 3.12 % 280.2

40 0.34 % 18.46 20.71 3.06 % 275.4

Рисунок 8 - Средняя погрешность аппроксимации дальней границы области достижимости сетями НС 3 с различным количеством нейронов

Из таблиц 1 - 3 можно сделать вывод, что сети НС 3 аппроксимируют границу области достижимости лучше сетей НС 1, но хуже сетей НС 2.

В таблице 4 приведены результаты исследования точности аппроксимации последовательно соединенных сетей НСЗ и HCl (рисунок 9). Подобное объединение сетей позволяет осуществлять проверку

Х(?) У (Г) Z(T)

допустимости входных данных - точка с координатами , , должна лежать вблизи

прямой, задаваемой углами (а, ß). На вход сети НС 3 в этом случае поступают углы (а, ß), задающие направление, вдоль которого должна быть найдена точка границы области достижимости. Выход нейронной сети НС3 аппроксимирует управление, приводящее в эту точку. Результат работы сети НС 3 подается на вход сети НС 1, которая уже аппроксимирует координаты точек на границе области достижимости. Количество нейронов в обеих сетях одинаково.

Рисунок 9 - Последовательно соединенные сети НС3 и НС1

Таблица 4 - Сравнение точности аппроксимации сетей НС 1, НС 3 с различным количеством нейронов

Количество нейронов Средняя относительная погрешность Средняя абсолютная погрешность, м Среднее квадратичное отклонение Максимальная относительная погрешность Максимальная абсолютная погрешность, м

22 1.79 % 103.29 83.67 15.75 % 839.1

24 1.68 % 95.76 76.15 14.21 % 712.3

26 1.38 % 78.66 62.14 13.26 % 715.4

28 1.16 % 67.28 53.82 12.28 % 640.1

30 1.08 % 61.56 49.56 12.41 % 620.4

32 1.07 % 60.99 47.40 11.99 % 553.0

34 0.93 % 53.47 42.78 8.52 % 556.2

36 0.89 % 50.73 40.74 8.54 % 563.2

38 0.75 % 42.97 32.23 6.69 % 426.1

40 0.72 % 41.04 30.37 5.13 % 405.3

Рисунок 10 - Средняя погрешность аппроксимации дальней границы области достижимости сетями НС 3, НС1 с различным количеством нейронов

Таблица 4 и соответствующая гистограмма, изображенная на рисунке 10, показывают, что результаты аппроксимации последовательно соединенными сетями НС 3, Нс 1 несколько хуже, чем сетями НС1 (таблица 1). Например, при 22 нейронах значения средней погрешности равны 1.79% и 1.38%, а максимальной погрешности - 15.75% и 11.64% соответственно. Однако то, что указанные величины сравнимы, говорит о хорошей устойчивости сетей к погрешностям входных данных и позволяет сделать вывод о возможности их совместного использования.

Заключение

Для определения границы области достижимости требуется построить три сети типа НС 1, аппроксимирующие ближнюю, дальнюю и боковую границы. Количество нейронов в сетях необходимо определить экспериментально, исходя из требований к точности аппроксимации. Данный тип сетей фактически заменяет интегрирование системы уравнений, описывающих движение центра масс ЛА с граничными управлениями.

В работе также предложено для каждой границы области достижимости строить дополнительно нейронные сети Не 2, НС 3, определяющие положение ЛА по заданному направлению и граничное управление, приводящее в соответствующую точку области достижимости.

Проведенное исследование подтвердило возможность применения нейронных сетей НС 1 - НС 3 для задачи аппроксимации трехмерной области достижимости ЛА. В ходе дальнейших работ планируется реализация и исследование эффективности других методов быстрого построения области достижимости.

Литература

2.

Козлова О.Г. Нейросетевая аппроксимация границы области достижимости летательного аппарата. 1. Двумерный случай // Наука и образование: электронное научно- техническое издание, www.technomaa.edu.ru. июль, 2009.

Воронов Е.М., Карпунин А.А. Алгоритм оценки границ области достижимости летательного аппарата с учетом тяги // Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана, Сер. «Приборостроение », №4 (69). 2007, С.81-99.

Медведев, Потемкин В. Нейронные сети. Matlab 6. - М.: Диалог МИФИ, 2001. - 496 с. Медведев, Потемкин В. Нейронные сети. Matlab 6. - М.: Диалог МИФИ, 2001. - 507 с. Справочная информация для программного комплекса Matlab 7.7.0 (R2008b). Саймон Хайкин Нейронные сети: полный курс. 2-е издание. - М: "Вильямс", 2006 г. - 282 с.

Публикации с ключевыми словами: нейросетевая аппроксимация, область достижимости динамической системы

Публикации со словами: нейросетевая аппроксимация, область достижимости динамической системы Смотри так же:

• Нейросетевая аппроксимация границы области достижимости летательного аппарата

Тематические рубрики:

• Наука в образовании: Электронное научное издание

Ассоциация технических Университетов Вузы

Координационный совет Новости

1.

Информационное агентство УМО Вузов

-iniaaazineOxware.ru трпр+пн (ядчч) 263-68-67 Q RSS Q STOCK GROUP

© 2003-2009 «Наука и образование: электронное научно-техническое издание»