Нейросетевая аппроксимация границы области достижимости летательного аппарата Текст научной статьи по специальности «Математика»

В Л Ж

—

Первые публикации

Программы и программные системы

Учебные программы

Студенческая весна

Общие проблемы инженерного образования

Инженер в современной России

Экобионика

Зарубежное образование

История технического прогресса

Будущий инженер

Вне рубрик

Расширеный поиск Подписаться на новости

электронное научно-техническое издание

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

_Эл № ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0420900025. ISSN 1994-0408_

Нейросетевая аппроксимация границы области достижимости летательного аппарата

# 07, июль 2009 автор: Козлова О. Г.

УДК 519.6

1. Двумерный случай

Задача обеспечения траекторной безопасности летательного аппарата (ЛА) весьма актуальна в современной авиации. Одним из аспектов данной задачи является построение области достижимости летательного аппарата. Построение области достижимости необходимо проводить в реальном времени, так что решение этой задачи путем многократного интегрирования соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений возможно только с использованием параллельных вычислительных технологий. Целью данной работы является исследование возможности применения нейросетевого подхода для построения области достижимости летательного аппарата в реальном времени.

1. Постановка задачи

ОХП

Уравнения движения центра масс ЛА в нормальной земной системе координат описываются следующей системой нелинейных

дифференциальных уравнений [1]:

(1)

ПОИСК

Ред. совет Специальности Рецензентам Авторам Архив

ВХОД

регистрация забыли пароль?

©

Y

где - скорость ЛА, - угол наклона траектории, т - угол поворота траектории, - высота ЛА, - тангенциальная перегрузка,

я - нормальная перегрузка, " с - скоростной угол крена, ^ - ускорение свободного падения. Вектор управления летательным аппаратом задается вектором

Область достижимости летательного аппарата определяется как множество значений вектора координат его центра масс в момент времени

' полученных при всех возможных допустимых управлениях и его начальном состоянии. Очевидно, что динамика области достижимости может быть описана динамикой ее границ.

В работе [1] были получены структуры управлений, приводящих на границы области достижимости, при фиксированным угле крена. Структура управления, приводящего на дальнюю границу области достижимости, имеет вид

(2)

где - время перехода на особый участок управления

IL =Л. К?

и.

т

ФОТОРЕПОРТАЖИ

длительность полета,

=[«1^1®"» и, |<1. и2 £1 . Аналогично, структура управления, приводящего на ближнюю границу области достижимости, определяется выражением

(3)

СОБЫТИЯ

Международная

научно-практическая

конференция

"Использование технологий дистанционного обучения в высшей школе "

III Международная

научно-практическая

конференция

"Информационная среда вуза XXI века"

НОВОСТНАЯ ЛЕНТА

12.10.2009 Всероссийская научная школа для участников программы «Участник Молодежного Научно-Инновационного Конкурса» (У.М.Н.И.К;

14.09.2009 Абитуриенты смогут поступать только в пять вузов - проект приказа

24.08.2009

Комсомольская правда > 24.08.2009 > Евгений СТРИГУНОВ > Толковым студентам-платникам государство будет помогать

13.07.2009

РИА "Новости " > 13.07.2009 > Около 28 тысяч студентов вузов переведены с платных на бюджетные места в 2009 году

8.07.2009

Письмо Рособразования от 29.05.2009 N 20-353 "О Конкурсе 2009 года на соискание медалей Российской академии наук с премиями для молодых ученых РАН... "

где 1 - момент времени переключения знака управления нормальной перегрузкой, а структура управления, приводящего на боковую границу области достижимости, - выражением

(4)

где * - момент времени переключения знака управления тягой.

Структуры оптимальных управлений объекта, описываемого системой нелинейных дифференциальных уравнений (1), приводящие на границы

Логин

Пресс-релизы

Библиотека

Конференции

Выставки

Доска объявлений

Архив

Ассоциация технических Университетов Информация о проекте Авторы

Координационный совет

области достижимости, изображены на рисунке 1.

Рисунок 1 - Структуры оптимальных управлений

Рассмотрим двумерные (« плоские») траектории полета ЛА, при которых угол крена В этом случае система (1) может быть

представлена в виде

(5)

поскольку при ' ^ и " и " при этом исходное положение ЛА (в

7» е.

нулевой момент времени) определяется начальной скорость и начальным углом наклона траектории ; начальные координаты и

летального аппарата полагаются равными нулю. 2. Структура нейронных сетей

При определении области достижимости посредством интегрирования системы уравнений (5) строится множество точек - конечных положений летательного аппарата, каждая из которых соответствует определенной структуре и параметрам граничного управления (рис. 1). Разрабатываемые нейронные сети также должны строить искомую область поточечно.

Таким образом, входы нейронной сети должны включать в себя величины, описывающие начальное состояние летательного аппарата; длительность полета; величины, задающие управление, которое приводит летальный аппарат на соответствующую границу области достижимости. Выходы нейронной сети должны содержать координаты конечного положения летательного аппарата либо величины, позволяющие быстро и однозначно вычислить эти положения.

В работе рассматривается три следующих нейронных сети.

Нейронная сеть 1 (НС1), определяющая координаты границы области достижимости при задании граничного управления.

У 7

, а также значение начального угла поворота

Поскольку значения координат начального положения летательного аппарата

траектории в двумерном случае не влияют на его траекторию, то для упрощения вычислении они полагается равными нулю и не являются входными параметрами сети. Таким образом, начальное состояние летательного аппарата задается только двумя параметрами-

и углом наклона траектории

Входной слой нейронной сети НС1 состоит из четырех элементов

^ и ' где ' ' А - момент времени переключения

нормальной перегрузки Я со значения л до ^ .

Выходом сети НС1 являются координаты положения летательного аппарата на границе области достижимости. Схематичное изображение сетей рассматриваемого типа представлено на рисунке 2.

Рисунок 2 - Входы - выходы нейронной сети НС1

Нейронная сеть типа НС1, фактически, заменяет интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих движение центра масс летательного аппарата с граничными управлениями. В случае если требуется решить обратную задачу (узнать, какое управление приводит в точку границы области достижимость, лежащую в заданном направлении), необходимо построить всю границу области достижимости, определить ближайшую подходящую точку и зафиксировать соответствующее ей управление. Данная процедура очень ресурсоемка.

Поэтому предлагается построить для каждой границы области достижимости дополнительно две нейронные сети - во-первых, сеть, определяющую положение летательного аппарата в заданном направлении, и, во-вторых, определяющую граничное управление, приводящее ЛА в эту точку. В обеих сетях входными параметрами будут являться начальное состояние летательного аппарата, длительность полета, а также углы, определяющие требуемое направление в пространстве. В этом случае для определения координат искомой точки требуется только один параметр - длина ее радиус-вектора.

Нейронная сеть 2 (НС2), определяющая расстояние до границы области достижимости в заданном направлении.

Входной слой сети НС2 состоит из четырех элементов:

К е„

< ,т

- угол между радиус-вектором искомой точки

скоростью

и

где

ОХ

на границе области достижимости и осью . Выходом сети является длина радиус-вектора. Схематичное изображение сетей рассматриваемого типа представлено на рисунке 3.

Рисунок 3 - Входы - выходы нейронной сети НС2

Отметим, что существуют направления, на которых летательный аппарат не может оказаться в момент времени Т - «запрещенные» направления. Сеть НС2 не способна самостоятельно выявить такие направления.

Нейронная сеть 3 (НС 3), определяющая управление, приводящее на границу области достижимости в заданном направлении,

Входной слой сети НСЗ состоит из тех же четырех элементов:

п ГС*

переключения нормальной перегрузки со значения

рисунке 4.

Г* ©о О

до . Схематичное изображение сетей рассматриваемого типа представлено на

т S> f

и ' . Выходом сети является - момент времени

Рисунок 4 - Входы - выходы нейронной сети НС3

Данная сеть решает проблему допустимости направлений. Входами сети являются значения тех же величин, что и для сети НС 2. Выходом сети являются параметры управления.

Отметим, что если параметры управления не лежат в допустимых пределах, то заданное направление является запрещенным. Однако сделать вывод о «разрешенности» направления на основе результатов работы этой сети нельзя - условие принадлежности управления допустимым пределам является, в этом смысле, необходимым, но недостаточным.

Также особенностью сети НС3 является то, что она не содержит информации о расстоянии до границы области достижимости. Поэтому данная

сеть играет вспомогательную роль в определении границы области достижимости и может быть использована вместе с сетью HCl (рис. 5).

Если результирующая точка ^ ^ не лежит в заданном направлении ' ' то это направление является «запрещенным» (не пересекающим область достижимости). Также вывод о «запрещен ности» направления можно сделать в том случае, если время переключения

t. №Л

управления не лежит в пределах

Рисунок 5 - Схема взаимодействия сетей НС 3, НС1 3. Схема исследования

Рассматривается задача (5). Входные величины варьируются в следующих пределах:

5с <Т <20с

Здесь

V = 331.46We

- скорость звука в воздухе.

Обучающая выборка состоит из 3000 элементов. Из нее случайным образом выбирается 20% проверочных точек для определения момента окончания обучения. Начальные веса и пороговые элементы нейронов каждого слоя устанавливаются в соответствии с алгоритмом инициализации Нгуен-Видроу (Мдиуеп^^омт) [2]. Данный алгоритм выбирает такие их значения, чтобы область выходных значений каждого нейрона в слое была приблизительно равномерно распределена по области входных значений слоя. При генерации этих значений используются случайные числа.

Обучение каждой из сетей выполняется в среднем 10 раз с различными начальными весами и пороговыми значениями; затем выбирается сеть с минимальным значением ошибки.

Исследование точности аппроксимации обученной сети выполнено с использованием тестовой выборки, содержащей более 20000 элементов. Точность аппроксимации оценивается следующими величинами. Средняя относительная погрешность

Здесь

К

ы.

- мощность тестового множества,

- расстояние от тестовой точки до точки, полученной на выходе нейронной сети,

расстояние от начальной точки Средняя абсолютная погрешность

до тестовой точки.

Максимальная относительная погрешность

* (м.

:лакс.аяп.

= та*1 — .100%.

"1V

Максимальная абсолютная погрешность

)

Среднее квадратичное отклонение

К-1

Обучение и тестирование нейронных сетей выполнено в среде Ма^аЬ [3].

Исследуемые сети содержат два скрытых слоя, состоящих из одинакового количества персептронов с функцией активации - гиперболический тангенс. Выходной слой сети состоит из нейронов с линейной функцией активации. Для обучения используется метод Левенберга-Маркара (ЬеуепЬегд-Магдиаг^ А!дог№Ьт) [4].

4. Результаты исследования

Управления, приводящие на разные границы области достижимости (ближнюю, дальнюю и боковую), имеют различные структуры (рис. 1). Поэтому для каждой границы должны быть использованы свои нейронные сети. В данной работе приведены результаты исследования сетей, аппроксимирующих дальнюю границу области достижимости.

В таблице 1 приведены результаты исследования точности аппроксимации дальней границы области достижимости сетями НС1 с различным количеством нейронов.

Таблица 1 - Сравнение сетей НС1 с различным количеством нейронов

Количество нейронов Средняя относительная погрешность Средняя абсолютная погрешность, м Среднее квадратичное отклонение Максимальная относительная погрешность Максимальная абсолютная погрешность, м

16 0.82 % 55.51 36.34 6.20 % 339.3

17 0.65 % 44.40 31.14 5.34 % 301.7

18 0.56 % 37.80 26.49 4.37 % 284.9

19 0.50 % 34.14 23.90 3.89 % 274.3

20 0.43 % 28.92 21.02 3.69 % 265.7

21 0.41 % 27.61 20.31 2.80 % 207.0

22 0.34 % 23.07 17.30 2.77 % 201.6

24 0.31 % 21.18 16.06 2.78 % 183.7

27 0.23 % 15.40 11.47 1.80 % 138.4

32 0.13 % 8.64 8.06 1.26 % 129.7

Таблица 1 и иллюстрирующая ее гистограмма, изображенная на рисунке 6, показывают, что с увеличением числа нейронов в сети погрешность аппроксимации стабильно уменьшается. Так если среднее и максимальное значение погрешности у сети из 16 нейронов равны 0.82% и 6.2% соответственно, то при удвоении количества нейронов средняя погрешность уменьшилась в 6 раз (0.13%), а максимальная относительная погрешность - в 5 раз (1.26%).

Рисунок 6 - Средняя погрешность аппроксимации дальней границы сетями НС1 с различным количеством нейронов

Теорему об универсальной аппроксимации [5] можно сформулировать в следующем виде: для любого размера обучающей выборки всегда найдется многослойный персептрон с достаточно большим количеством свободных параметров, с заданной погрешностью представляющий обучающее множество. Следовательно, можно утверждать, что при увеличении количества нейронов сети погрешность будет уменьшаться, и всегда можно построить сеть, удовлетворяющую заданной точности аппроксимации.

В таблице 2 приведены результаты исследования точности аппроксимации области достижимости сетями НС 2 с различным количеством нейронов.

Таблица 2 и гистограмма, изображенная на рисунке 7, показывают, что сеть НС2 аппроксимирует границу области достижимости более точно по сравнению с предыдущей сетью. Например, сеть НС1 из 16 нейронов имеет среднюю погрешность 0.82%, а сеть НС 2 - 0.16%. Первой сети требуется чуть ли не в два раза больше нейронов для достижения той же точности аппроксимации. Такие результаты можно объяснить тем, что у рассматриваемой сети только один выход - длина радиус-вектора искомой точки, а не ее координаты

Таблица 2 - Сравнение сетей НС2 с различным количеством нейронов

Количество нейронов Средняя относительная погрешность Средняя абсолютная погрешность, м Среднее квадратичное отклонение Максимальная относительная погрешность Максимальная абсолютная погрешность, м

10 0.56 % 37.93 33.56 4.92 % 313.4

11 0.34 % 22.88 20.59 4.21 % 266.7

12 0.27 % 18,31 18.34 3.55 % 207.4

13 0.25 % 16.92 17.77 3.33 % 202.1

14 0.24 % 16.24 18.37 3.28 % 192.3

15 0.17 % 11.31 12.21 3.22 % 185.9

16 0.16 % 10.64 11.07 2.94 % 172.2

18 0.14 % 9.27 9.91 2.42 % 133.0

21 0.13 % 8.70 В.67 1.72 % 102.5

Рисунок 7 - Средняя погрешность аппроксимации дальней границы сетями НС2 с различным количеством нейронов

В таблице 3 приведены результаты исследования точности аппроксимации области достижимости сетями НС3 с различным количеством нейронов.

Таблица 3 - Сравнение сетей НС 3 с различным количеством нейронов

Количество нейронов Средняя относительная погрешность Средняя абсолютная погрешность, м Среднее квадратичное отклонение Максимальная относительная погрешность Максимальная абсолютная погрешность, м

13 0.70% 47.32 58.44 5.71 % 468.3

14 0.45% 30.2 36.54 4.52 % 374.2

15 0.39% 26.6 33.26 3.55 % 319.9

16 0.34% 23.44 28.83 4.31 % 353.9

17 0.43% 29.13 35.53 5.45 % 348.6

18 0.38% 25.66 31.3 7.21 % 513.3

20 0.26% 18.64 23.02 6.64 % 450.2

21 0.25% 17.39 21.1 3.85 % 297.7

23 0.23% 15.37 20.01 7.48 % 434.2

27 0.20% 13.84 23.71 5.73 % 314.3

Рисунок 8 - Средняя погрешность аппроксимации дальней границы области достижимости сетями НС3 с различным количеством нейронов

Из таблиц 1 - 3 можно сделать вывод, что сети НС 3 аппроксимируют границу области достижимости лучше сетей НС1, но хуже сетей НС 2. Например, в первом случае средняя погрешность сети из 18 нейронов равна 0.56%, во втором - 0.14%, а в последнем случае - 0.38%.

Заметим, что при обучении нейронной сети НС3 погрешность определения момента переключения управления всегда строго убывала при увеличении числа нейронов в сети. Гистограмма, изображенная на рисунке 8, показывает, что погрешность значений координат не всегда уменьшается с увеличением числа нейронов. Это можно объяснить нелинейностью схемы тестирования точности аппроксимации сети.

В таблице 4 приведены результаты исследования точности аппроксимации последовательно соединенных сетей НС3 и НС 1 (рис. 10).

Таблица 4 - Сравнение точности аппроксимации сетей НС1, НС3 с различным количеством нейронов

Количество нейронов в каждой сети Средняя относительная погрешность Средняя абсолютная погрешность, м Среднее квадратичное отклонение Максимальная относительная погрешность Максимальная абсолютная погрешность, м

16 0.92 % 62.74 42.47 8.91 % 456.1

17 0.81% 54.59 40.95 8.35% 502.3

18 0.73 % 49.89 39.90 8.03 % 570.6

20 0.56 % 38.89 29.66 7.70 % 474.8

22 0.48 % 32.79 26.38 4.52 % 322.3

24 0.47 % 32.11 25.17 3.71 % 302.3

27 0.32 % 21.73 24.63 5.32 % 404.2

Рисунок 10 - Схема определения точности аппроксимации последовательно соединенных сетей НС3, НС1

Здесь на вход исследуемой сети подается направление, вдоль которого должна быть найдена точка границы области достижимости, выход нейронной сети аппроксимирует управление, приводящее в эту точку. Результат работы исследуемой сети подается на вход сети НС1, которая аппроксимирует координаты точки на границе области достижимости. Количество нейронов в обеих сетях одинаково. Полученное значение сравнивается с эталонным значением (вычисленным с помощью интегрирования системы дифференциальных уравнений)

Таблица 4 и гистограмма, изображенная на рисунке 11, показывают, что результаты аппроксимации последовательно соединенными сетями НС3, НС1 несколько хуже, чем сетями НС1 (табл. 1). Например, при 22 нейронах значения средней погрешности равны 0.34% и 0.48%, а максимальной погрешности - 2.77% и 4.52% соответственно. Однако то, что они сравнимы, говорит о хорошей устойчивости сетей к погрешностям входных данных и позволяет сделать вывод о возможности их совместного использования.

Рисунок 11 - Средняя погрешность аппроксимации дальней границы области достижимости сетями НС3, НС1 с различным количеством нейронов

Заключение

Проведенное исследование точности аппроксимации подтверждает возможность применения нейронных сетей для задачи определения двумерной области достижимости летательного аппарата. Последовательное включение разнотипных сетей (при котором результаты работы одной сети подаются на вход другой) не вызывает значительного возрастание погрешности.

Направлением дальнейшего исследования является исследование точности аппроксимации нейронными сетями границ трехмерной области достижимости.

Литература

1. Воронов Е.М., Карпунин А.А. Алгоритм оценки границ области достижимости летательного аппарата с учетом тяги // Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана, Сер. «Приборостроение». — 2007. — № 4 (69). — С. 81-99.

2. Медведев, Потемкин В. Нейронные сети. МаАаЬ 6. - М.: Диалог МИФИ, 2001. - 496 с.

3. Медведев, Потемкин В. Нейронные сети. МаАаЬ 6. - М.: Диалог МИФИ, 2001. - 507 с.

4. Справочная информация для программного комплекса МаАаЬ 7.7.0 (К2008Ь).

5. Саймон Хайкин Нейронные сети: полный курс. 2-е издание, - М: "Вильямс", 2006 г., - 282 с.

Публикации с ключевыми словами: нейросетевая аппроксимация, область достижимости динамической системы Публикации со словами: нейросетевая аппроксимация, область достижимости динамической системы Смотри так же:

• Нейросетевая аппроксимация границы области достижимости летательного аппарата. 2. Трехмерный случай

Тематические рубрики:

• Наука в образовании: Электронное научное издание

Ассоциация технических Университетов Вузы

Информационное агентство

Координационный совет Новости УМО Вузов

\ [email protected]

телефон (8499) 263-68-67

(¡ЗЦ RSS

В5ТИСК БНОиР

© 2003-2009 «Наука и образование: электронное научно-техническое издание»