Неявные k-многообразия Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2011. Т. 4, № 3. С. 110-115

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

УДК УДК 512.56

Неявные К-многообразия

А. Г. Пинус

Новосибирский государственный технический университет

Аннотация. На основе понятия неявной операции формулируются понятия неявного тождества, неявного К-многообразия. Приводится характеризация неявных К-многообразий.

Ключевые слова: неявные операции, тождества, многообразия.

Понятие неявной операции на классе К универсальных алгебр, как операции, коммутирующей со всеми гомоморфизмами К-алгебр друг в друга, восходит к работе Эйленберга и Шутценберже [3] о псевдомногообразиях полугрупп. Дальнейшее рассмотрение неявных операций на классах универсальных алгебр предпринято, в частности, в работе автора [1].

В настоящей работе введено естественное понятие неявного тождества и, на основе последнего, предложено к рассмотрению понятие неявного К-многообразия универсальных алгебр. Найдено описание неявных К-многообразий как классов алгебр, замкнутых относительно некоторых операторов.

Пусть К — некоторый абстрактный класс универсальных алгебр замкнутый относительно подалгебр и пусть К — категория, объектами которой являются К-алгебры, а морфизмами — любые гомоморфизмы одних К-алгебр в другие. Под К-неявной операцией имеется в виду система функций дщ(х 1,... ,хп), определенных на основных множествах А К-алгебр А = (А; а), коммутирующая со всеми морфизмами категории К, т. е. такая, что для любого гомоморфизма р К-алгебры А в К-алгебру В и любых элементов а1,...,ап из А

Под К-неявным тождеством имеется в виду формальное равенство /(ж1,...,жп) = д(х1,...,хп), где / и д — К-неявные операции. К-неявное тождество /(х1,..., хп) = д(х1,..., хп) истинно на алгебре

• • • ,«*)) = g®( p(ai),.. .,p(a,n))•

А, если

А = Ухь.. .,хп(/а(х1, ...,хп) = да(х1,.. .,хп)).

Под неявным К-многообразием будем понимать любой подкласс класса К, состоящий из К-алгебр, на которых истинна некоторая система К-неявных тождеств.

Очевидным образом любое неявное К-многообразие замкнуто относительно подалгебр и гомоморфных образов К-алгебр внутри класса

К. _

Прямой спектр К-алгебр (А^р^, (I; ^)) назовем К-спектром вложимости, если все гомоморфизмы р^- являются изоморфными вложениями. Любая К-алгебра А является, очевидным образом, прямым пределом прямого К-спектра вложимости ее конечно порожденных подалгебр.

Очевидно, что любое неявное К-многообразие замкнуто относительно прямых пределов прямых К-спектров вложимости.

Заметим теперь, что любое неявное К-многообразие замкнуто относительно прямых произведений, входящих в К. Прежде всего, при этом, укажем на естественное синтаксическое определение К-неявных операций как бесконечных позитивно-условных термов (подробнее, см. [2]). Пусть /(х1,... ,хп) — некоторая К-неявная операция на классе К.

Так как класс К замкнут относительно подалгебр, то для любой К-алгебры А и любых ее элементов а1,...,ап имеет место включение

/А^Ъ ..., ап) е (аЪ ..., ап^

здесь (а1, ...,ап)А — подалгебра алгебры А, порожденная элементами а1,...,ап. Для любой К-алгебры А = (А; а) и ее элементов а = (а1,..., ап) через В+ (х1,..., хп) обозначим позитивную диаграмму кортежа а в алгебре А, т.е. конъюнкцию всех равенств вида £;(ж) = Ь"(ж), истинных на элементах а в алгебре А. Здесь £;(х), £;/(х) — произвольные термы сигнатуры а. Таким образом, для любой алгебры В и любых ее элементов Ь = (Ь1 , ...,Ьп):

В = £>+(Ьь...,Ьп)

тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм р алгебры (а)а в алгебру В такой, что р(а*) = Ь*.

Так как для любой К-алгебры А и любых ее элементов а1,...,ап имеет место включение /А(а1,..., ап) е (а1,..., ап)А, то существует терм ^(х1,..., хп) сигнатуры а такой, что /А(а1,..., ап) = ^(а1,..., ап).

Тем самым, в силу замеченного выше о позитивных диаграммах кортежей элементов К-алгебр и коммутируемости неявных и термальных опрераций с гомоморфизмами К-алгебр, для любых К-алгебры А и ее элементов а1,...,ап,Ь

/А(а1,... ,ап) = Ь А |= Ф+ (а1, ...,ап, Ь).

Здесь Ф+ (х1,..., хп, у) — следующая -формула

Ф+(х1,...,хп,у) = V ^+(хЬ...,хп) ^ у = 4 (х1,...,хп)

АеК,аеА

и пара (А, а) пробегает по всем типам изоморфизма п-порожденных К-алгебр с выделенными п-порождающими а.

Пусть теперь /(х), д(х) — К-неявные операции. Через Ф/;й(х1,..., хп) обозначим -формулу

ф/,й(хь ...,хп)=у^(Аек&5еА (х) ^ ^(х)=4(х)).

Очевидно, что для любой К-алгебры А и любых ее элементов а

А |= /(а) = д(а) А |= Ф/,й(а).

Отсюда, без труда замечается, что если на К-алгебрах А* (г е I) истинно К-неявное тождество / = д, то это же К-неявное тождество будет

истинно и на алгебре П А*, если последняя входит в К.

*€/ _

Тем самым, действительно, любое неявное К-многообразие замкнуто относительно прямых произведений в классе К.

Верно и обратное, т. е. имеет место следующая характеризация неявных К-многообразий.

Класс К универсальных алгебр назовем замкнутым относительно подпрямых сомножителей, если для любой К-алгебры А существуют подпрямо неразложимые К-алгебры А* (г е I) такие, что алгебра А изоморфна подпрямому произведению алгебр А* (г е I).

ТЕОРЕМА. Подкласс К абстрактного, замкнутого относительно подалгебр и подпрямых сомножителей класса К универсальных алгебр является неявным К-многообразием тогда и только тогда, когда К замкнут относительно подалгебр, прямых произведений, гомоморфных образов и прямых пределов К-прямых спектров вложимости в классе К.

Доказательство. Пусть К1 — подкласс класса К, замкнутый относительно указанных в формулировке теоремы операторов. Пусть К — наименьшее неявное К-многообразие, включающее в себя класс К1. Покажем, что К1 = К^.

Пусть А е К^. Докажем, что А е К1. Так как К1 замкнут относительно прямых пределов К-прямых спектров вложимости и А есть прямой предел К-прямого спектра вложимости своих конечно порожденных подалгебр, то можно считать, что А порождается конечным числом своих элементов а1,..., ап.

Пусть алгебра А есть подпрямое произведение подпрямо неразложимых К-алгебр А* (г е I) и А С П А*. Для Ь е А пусть Ь* — г-ая

координата элемента Ь из П Аі. Таким образом, алгебры Аі порожне/

дены элементами а|,...,аП1. Пусть монолит алгебры Аі есть главная конгруэнция этой алгебры, порожденная парой элементов і1 (аі,..., а^) и і2(а1,..., а^). Пусть аг = (аі,..., а^). Тогда Аі |= 3ж(Д+ (ж) &І1 (ж) = і2(ж)) для любого і Є I. Покажем, что существуют К-алгебры ©і такие, что

©і = 3ж(^+ (ж)&4і(ж) = і2 (ж)).

В противном случае для некоторого іо Є I

Кі = ^(£+0 (ж) ^ і10 (ж) = і20 (ж)).

Рассмотрим К-неявные операции /(ж) и д(ж), определенные на К следующим образом: /(ж) — термальная операция на К, определенная термом ^(ж). Операция же д(ж) определена на К следующим образом: если элементы Ь К-алгебры © удовлетворяют формуле ^+0 (т. е. существует гомоморфизм р алгебры Аі0 на алгебру (Ь)© такой, что р(а*0) = Ь*), то д©(Ь) = ^0(Ь). Если же элементы Ь К-алгебры © не удовлетворяют формуле ^+0 (ж), то полагаем д© (Ь) = 40 (Ь).

Покажем, что подобным образом определенная операция д(ж) является К-неявной, т. е. она коммутирует с гомоморфизмами одних К-алгебр в другие. Действительно, пусть р — некоторый гомоморфизм К-алгебры © в К-алгебру £ и Ьі,...,Ьп Є ©. Если © |= ^+0 (Ь), то д©(Ь) =

і20(Ь),_£ 1= ^+0(р(Ь)) (Р(Ь)) = і20_(Р(Ь)) и равенств° р(д©(Ь)) =

д£(р(Ь)) очевидно. Если же © |=^+0(Ь), то д©(Ь) = 40(Ь). Если, при этом, £ |= ^+0 (р(Ь)), то д£(р(Ь)) = і|0(р(Ь)), и опять же равенство р(д©(Ь)) = д£(р(Ь)) имеет место. В противном случае, когда £ |= ^_+0 (р(Ь)) и д£(р(Ь)) = ^0(р(Ь)), то р является собственным гомоморфизмом (не вложением) алгебры © в £ и, значит, (і|0(Ь),і20(Ь)) Є кегр. Тем самым

р(д©(Ь)) = р(іі0(Ь))_= р(і20(Ь)) = і20(р(Ь)) = д£(р(Ь)) и коммутируемость операции д с К-морфизмами доказана. Тем самым /(ж) и д(ж) — неявные операции на К.

В силу предположенного выше К1 |= / (ж) = д(ж). Но тогда А |=

/(ж) = д(ж) и Аі0 |= /(ж) = д(ж) в противоречии с определением /, д и

с тем, что

Аі0 1= 3ж^+0 (ж)&4, (ж) = 4,(ж)).

Таким образом, действительно, для любого і Є / найдется алгебра ©і Є К1 такая, что

©і |= 3жр+ (ж)^1^) = і2(ж))

и, т. к. главная конгруэнция, порожденная парой (і1^),^^)), есть монолит алгебры Аі, то алгебры Аі изоморфно вложимы в алгебры

©і для любого і Є І. Тем самым, алгебра А (подпрямое произведение

алгебр Аі) изоморфно вложима в К1-алгебру П ©і. Замкнутость же К1

іе/

относительно подалгебр и изоморфизмов влечет включение А в класс Кь То есть К = К1 и К1 является неявным К-многообразием, что и требовалось доказать. Теорема доказана.

В качестве примера класса К, удовлетворяющего условиям теоремы, и класса К1, являющегося неявным К-многообразием, но не являющегося пересечением К ни с каким многообразием, укажем следующий. Пусть К — класс унаров конечного порядка, т. е. класс универсальных алгебр А = (А; а) сигнатуры а = (/(ж)) со свойством: для любого а Є А существует натуральное п такое, что /га+1(а) = /га(а). Здесь /т+1 (а) = /(/т(а)) и / 1(а) = /(а). Очевидно, что К замкнут относительно подалгебр и подпрямых сомножителей. Пусть К1 — класс связных К-алгебр, т. е. класс К-алгебр А, удовлетворяющих условию: для любых а, Ь Є А существуют натуральные п, т такие, что /п(а) = /т(Ь). Корнем элемента а К-алгебры А назовем элемент /га(а) такой, что /га+1(а) = /га(а). Без труда замечается, что операция д(ж) на классе К такая, что для А Є К и а Є А д(а) есть корень элемента а, является К-неявной операцией и К1 выделяется в К К-неявным тождеством д(ж) = д(у). Без труда замечается так же, что К1 не выделяется в К никакой системой тождеств сигнатуры а. Действительно, очевидно, что никакое тождество вида /га(ж) = /т(ж) не выделяет в К класс К1 (существуют К1-алгебры, на которых это тождество ложно). То же самое имеет место и для тождеств вида /га(ж) = /т(у). То есть, К1 — неявное К-многообразие, не являющееся пересечением класса К ни с каким многообразием сигнатуры а.

Список литературы

1. Пинус А. Г. Неявные операции над категориями универсальных алгебр j А. Г. Пинус jj Сиб. мат. журн. - 2009. - Т. 50, № 1. - С. 146-153.

2. Пинус А. Г. Условные термы и их приложения в алгебре и теории вычислений j А. Г. Пинус j j Успехи мат. наук. - 2001. - Т. 56, № 4. - С. 35-72.

3. Eilenberg S. On pseudovarieties j S. Eilenberg, M. P. Schutzenberger jj Adv. Math. - 1976. - Vol. 19, N 3. - P. 413-418.

A. G. Pinus Implicit K-varieties

Abstract. On the basis of concept of implicit operation it is given the concepts of implicit identity, implicit K-variety. It is given some characterization of implicit K-varieties.

Keywords: implicit operations, identities, varieties.

Пинус Александр Георгиевич, доктор физико-математических наук, профессор, Новосибирский государственный технический университет, 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20, тел.: (383) 346-11-66 ([email protected])

Pinus Alexandr, professor, Novosibirsk State Technical University, 20, K. Marks St., Novosibirsk, 630092, Phone: (383)3461166 (ag.pinus@gmail. com)