Точечно термально полные клоны функций и решетки решеток всех подалгебр алгебр с фиксированным основным множеством Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

2012. Т. 5, № 3. С. 94-103

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского

государственного

университета

УДК 517.983.5

Точечно термально полные клоны функций и решетки решеток всех подалгебр алгебр с фиксированным основным множеством

А. Г. Пинус

Новосибирский государственный технический университет

Аннотация. Исследуется строение решетки точечно термально полных клонов функций на фиксированном множестве

Ключевые слова: точечно термальные функции, клоны, решетки подалгебр

Изучение функциональных клонов (совокупностей функций на фиксированном множестве, замкнутых относительно суперпозиций и включающих в себя все селекторные функции вида егп(х\, . .., Хп) = Хг является актуальной проблематикой как для дискретного анализа, теории управления, так и для универсальной алгебры. Последнее связано с тем, что любой функциональный клон К на множестве А является совокупностью Тг(А) термальных функций для некоторой универсальной алгебры А = (А; а) (в частности, в случае включения в сигнатуру а всех функций из К) и наоборот. Решетки клонов Ьд (относительно теоретико-множественного включения) на множестве А являются бесконечными (счетными, для двухэлементных А — Пост [8], и континуальными, для конечных А в случае | А| ^ 3 — Янов и Мучник [6]), в силу чего одним из подходов к изучению этих решеток является рассмотрение различных естественных (в том числе алгебраически значимых) операций замыкания на Ьд и совокупностей клонов замкнутых относительно этих операций замыкания. Одной из подобных операций замыкания и посвящена настоящая работа.

Функцию д(х) на множестве А назовем точечно термальной для алгебры А = (А; а), если для любого а € Ап существует терм га(Х) € Тг(А), такой что

д(а) = га (а).

Тем самым, функция д(х) точечно термальна для А, если все подалгебры алгебры А замкнуты относительно д (если д сохраняет одно-

местные отношения на А, соответствующие подалгебрам алгебры А). В частности, точечно термальными для любой алгебры А будут все ее термальные, условно термальные, позитивно и элементарно условно термальные (см., к примеру, [2, 3]) функции, неявные, абстрактные операции на А и т.д. Через РТг(А) обозначим совокупность всех точечно термальных для А функций. Очевидным образом совокупность РТг(А) является клоном функций на множестве А.

Для любого клона функций К на множестве А через Ак = (А; К) обозначим алгебру с основным множеством А, сигнатурные функции

__р

которой суть функции из К. Через К обозначим клон РТг(Ак). Име-

—р

ют место следующие очевидные свойства оператора К ^ К на решетке Ьа :

1) К С КР(ТГ(А) С РТГ(А));

2) КР(КР) = КР(РТГ((А; РТг(А))) = РТг(А))

3) если Кі С К2 (если Тг(Аі) С ТГ(А2)), то Кр С Кр (то РТг(Аі) С РТг(А2)).

Заметим также, что для любой алгебры А, любого гомоморфизма р

алгебры А на алгебру В и любой точечно термальной для А функции

д(хі,... ,хп) будет точечно термальным для В р-сопряжение функции

д(х) (функция рд(р_1(хі),... р_ 1 (хп))).

--Р

Клоны вида К будем называть точечно термальными замыкани-

—Р

ями клонов К, а клоны К, удовлетворяющие равенству К = К , — точечно термально полными. Совокупность всех точечно термально полных клонов на множестве А обозначим как РСЬа.

Без труда, непосредственно замечается, что теоретико-множественное пересечение любого числа точечно термально полных клонов является точечно термально полным. Тем самым, совокупность всех точечно термально полных клонов на А является полной решеткой с операцией Л, совпадающей с теоретико-множественным пересечением клонов. При этом, как показывает следующий пример, операция V на решетке (РСЬа; Л, V), вообще говоря, не совпадает ни с операцией теоретикомножественного объединения клонов, ни с операцией V из решетки (Ьа; Л, V) всех клонов на множестве А.

Действительно, пусть А = {0,1,2}, Ко — клон всех функций на А, сохраняющих множество {0,1}, Кі — клон всех функций на А, сохраняющих множество {2}, Ь(А) — совокупность всех функций на А (единица решеток (Ьа; Л, V) и (РСЬа; Л, V)). Тогда очевидно, что К0, Кі є РСЬа и в решетке (РСЬа; Л, V) имеет место равенство К0 V Кі = Ь(А), но К0 V Кі не совпадает с Ь(А) в решетке (Ьа; Л, V).

Далее, через АР (VP) будем обозначать операции inf и sup в реше-точно упорядоченном множестве {PCLa; Q). Тем самым, для любых Ki,K2 є PC La имеет место Ki Ар K2 = Ki А K2 = Ki П K2, в то время как, вообще говоря, Ki VP K2 = Ki V K2 = Ki U K2.

Через Sel(A) будем далее обозначать совокупность всех селекторных функций на множестве A — нулевой элемент решетки {La; А, V). Через PSel(A) обозначим совокупность всех точечно селекторных функций на A, т.е. функций g(xi,... ,xn) на A, таких что для любого кортежа ai,...,an элементов из A имеет место включение

g(ai, . .., an) є {aij . . . an}.

Очевидно, что Sel(A) = PS el (A) и последняя совокупность есть ну-

левой элемент решетки (PC La; Ар Vp).

Через Sub K будем далее обозначать решетку подалгебр Sub AK алгебры A к. Заметим, что для любого K е La имеет место равенство Sub K = Sub K P.

Далее, под решеткой подмножеств множества A будем понимать решеточно упорядоченную отношением С некоторую совокупность S подмножеств множества A, включающую в себя {A} и замкнутую относительно произвольных пересечений. Тем самым, соответствующая решетка (S; А, V) является полной. Хорошо известен ([7], см., также [4]) критерий, когда решетка S подмножеств множества A совпадает с решеткой подалгебр некоторой алгебры A = (A; а): объединение любой направленной вверх (относительно С) совокупности S-множеств так же лежит в S. Через SubA обозначим совокупность всех решеток подалгебр алгебр вида (A; а). В силу известного соответствия Галуа (см., к примеру, [4]) между функциональными клонами и клонами сохраняемых ими отношений на A и того, что одноместные предикаты из клона отношений, порожденного совокупностью одноместных предикатов, замкнутой относительно произвольных конъюнкций и направленных вверх объединений, суть предикаты из этой порождающей совокупности, элементы совокупности SubA (решетки подалгебр алгебр вида A = (A; а)) являются инвариантами точечно термально полных клонов.

Тем самым, совокупность Sub(A), частично упорядоченная отношением С, является двойственной решетке (PCLa; Ар, Vp) и значит сама является решеточно упорядоченной. Через As (Vs) обозначим операции inf (sup) в решеточно упорядоченной совокупности (SubA; С). При этом, для K1,K2 е PCLa имеют место равенства Sub(Ki VP K2) = Sub K1 As Sub K2 = Sub K1 П Sub K2. Действительно, непосредственно замечается, что совокупность Sub Ki П Sub K2 подмножеств множества A удовлетворяет критерию “быть решеткой подалгебр некоторой алгебры A = (A; а)”. С другой стороны, так же непосредственно проверяется, что наименьшей совокупностью подмножеств множества A,

включающей в себя совокупности Sub Ki и Sub K2 и удовлетворяющей критерию ”быть решеткой подалгебр некоторой алгебры A = (A; а)” является совокупность объединений направленных вверх (относительно С) семейств подмножеств множества A, имеющих вид B П C (где B Е Sub K1, C Е Sub K2). Далее подобную совокупность будем обозначать как U t n(Sub K1, Sub K2). Тем самым, для K1,K2 Е PC La выполнено Sub(K1 AP K2) = Sub K1 Vs Sub K2 = Ut n(Sub K1, Sub K2). Представляет естественный интерес вопрос о строении и свойствах решеток вида

(PCLa; Ар, Vp).

Теорема 1. Любая (конечная) решетка изоморфно вложима в решетку вида (PCLa; Ар, Vp) для подходящего (конечного) множества A.

Доказательство. Через (Part A; А, V) обозначим решетку разбиений множества A с традиционно определяемыми на ней операциями А и V. Для любого разбиения T = {Bi | i Е I} множества A через Sub T обозначим совокупность {Uij Bi I J С I} подмножеств множества A, очевидным образом удовлетворяющую критерию “быть решеткой подалгебр некоторой алгебры A = (A; а) и, тем самым, существует, причем единственный, клон Kt Е PC La, такой что Sub Kt = Sub T. При этом непосредственно замечается, что для любых T1,T2 Е Part A выполнены равенства

Sub(T1 А T2) = Utn(Sub T1, SubT2)

= Sub T1 Vs Sub T2 = Sub(Ki Ар Kt2 )

и Sub(T1 V T2) = Sub T1 П Sub T2

= Sub Kt1 П Sub Kt2 = Sub(Ki V Kt2 )■

Тем самым, отображение p : Part A PC La, такое что p(T) = Kt

является изоморфным вложением решетки (Part A; А, V) в решетку

(PCLa; Ар, Vp)■

Как было доказано в [10] ([9]), любая (конечная) решетка вложима в решетку вида (Part A; А, V) для некоторого (конечного) множества A, что и доказывает утверждение теоремы. □

Следствие 1. Никакое нетривиальное решеточное тождество не является истинным на классе всех решеток точечно термально полных клонов.

Очевидно, что коатомами решетки (PCLa; Ар, Vp) являются клоны K, такие что SubK = {0,B,A} для некоторого 0 С B С A. В силу же того, что любое подмножество множества A представимо как пересечение подмножеств множества A, имеющих одноэлементное дополнение, атомами решетки (PCLa; Ар, Vp) являются клоны K, такие что

SubK = P(A)\{B}, где P(A) — совокупность всех подмножеств множества A и B — подмножество множества A, имеющее одноэлементное дополнение.

Далее остановимся на некоторых свойствах решеток (PCLa; Ар, Vp) для конечных A. Традиционно под n (n Е ш) будем понимать множество {0,1,... ,п — 1}. Очевидно, что решетка (PCL2; Ар, Vp), двойственная решетке (Sub2; As, Vs), является четырехэлементной не линейно упорядоченной. Непосредственно вычисляется, что решетка (Sub3; As, Vs), а значит и решетка (PCL3; Ар, Vp) состоит из 45 элементов, имеет 3 атома, 6 коатомов и длину 6.

Без труда замечается, что длина решетки (PCLn; Ар, Vp) равна 2n — 2. Действительно, через Pm(n) обозначим совокупность всех т-элемен-тных подмножеств множества п и пусть Pm(n) = {D]1 ,...,DCjm}, а R0 = {0, n}, R1 = {0, n, D1}, R2 = {0, n, D^D1,}, ■■■, RCi = {0, n} U

P1(n), RC1 + 1 = RC1 U {D2}, ■■■, RC1+C2 = {0,n} U Pl(n) U p2(n),

■ ■■, Rc 1 +c2 +_+cn~1 = Pn(n). Так как |Ri+1\Ri| = 1 для любого i,

Ro С R1 С ■ ■■ С RC1 +___+c"_i будет цепью в интервале [{0,n},P(n)]

частично упорядоченного множества (P(n); С), состоящей из решеток подмножеств множества n, имеющей максимальную в нем длину, т. е. длина (PCLn; Ар, Vp) равна Cn + ■ ■ ■ + C'n-1 = 2n — 2.

Отметим теперь, что решетка (PCLm; Ар, Vp) является ретрактом решетки (PCLn; Ар, Vp) для любого n > т. Достаточно доказать это для n = т+1. Определяя p(S), как {{т}, mnB | B Е S} для любого S Е Subm+1, получаем гомоморфизм решетки (Subm+1; Ас, Vc) на главный фильтр F этой решетки, порожденный ее элементом {{т},т}, тождественный на этом фильтре F. А так как решетка (Sub т; Ас, Vc) изоморфна фильтру F, а решетки (PCLn; Ар, Vp) и (Sub n; Ас, VC) двойственны, решетка (PCLn; Ар, Vp) действительно является ретрактом решетки (PCLn+1; Ар, Vp).

Отметим теперь, что графы решеток (PCLn; Ар, Vp), при n ^ 3 не являются плоскими. Для этого, в силу того, что решетка (PCL3; Ар, Vp) является ретрактом решетки (PCLn; Ар, Vp), достаточно по теореме Понтрягина — Куратовского указать в графе решетки (PCL3; Ар, Vp) (или, что то же самое, в графе решетки (Sub3; Ас, Vc)) подграф изоморфный графу K3,3 (полному двудольному графу, см., к примеру, [5])

Роль такого подграфа очевидным образом играют следующие элементы из Subs:

50 = {{0}}, Si = {{1}}, S2 = {{2}}, Soi = {{0},{1},{2},{0,1}}, S02 = {{0}, {1}, {2}, {0, 2}} и Si2 = {{0}, {1}, {2},{1, 2}}.

Очевидно, что любая перестановка п на множестве n индуцирует соответствующий автоморфизм фп на решетке {Subn; /с, Vс} (а значит и на решетке {PCLn; /р, Vp}): для S G Sub n полагаем фп (S) = {п(В) I B G S}. На самом деле все автоморфизмы {Subn; /с, VC} исчерпываются автоморфизмами вида фп.

Определим равенство rank(x) = к как элементарную формулу решеточной сигнатуры утверждающую, что для элемента x рассматриваемой решетки длина интервала [0, x] равна к (здесь 0 — наименьший элемент рассматриваемой решетки, а к — натуральное число). Через At(x), Coat(x) обозначим элементарные формулы, утверждающие, x — атом, x — коатом, соответственно.

Пусть ^1(x) = At(x)&Vy(At(y) ^ rank(x VC y) = 2). Очевидно, что {Sub n; /с, Vc} = ^i(S) тогда и только тогда, когда S = Si для некоторого i ^ n, где Si = {0,n, {i}}. Пусть элементарная формула ф2^) утверждает, что x — атом и существуют ровно два элемента x1,x2, такие что &2=1 ^1(xi) и для любого атома у, такого что rank(xVcy) = 3, один из этих xi ^ x Vc у. Очевидно, что {Sub n; /с, Vc} |= p2(S) тогда и только тогда, когда S = {0, n, В} и IB| = 2. Пусть ф2(x, z) утверждает, что ф2(x)&ф1(z) и z играет роль одного из xi в написании формулы •02(x). Таким образом, {Sub n; /с, Vc} |= ф2(S1,S2) тогда и только тогда, когда S1 = {0, n, В}, IB I =2, S2 = {0, n, {i}} и i G В.

Пусть

ÿ(x, y) =0(x) & At (y) & Vz, u(Coat(z) & u / z = 0 & u V z = 1 & Vv((02(v) &ф2(v, x) ^ rank(z V u) = 3) ^ y ^ z).

Легко видеть, что для любых S', S" G Sub n выполнено

{Subn; /с, Vc} |= ÿ(S',S”)

тогда, и только тогда, когда S' = Si, S'' = {0,n,B} для некоторых i G n, B С n и i G B.

Пусть теперь ф — некоторый автоморфизм решетки {Sub n; /с, Vc}. Т.к. ф сохраняет формульные подмножества, существует перестановка п множества n, такая что p(Si) = Sn(i), а т.к.

ф^'') ^ ф(ф(>в'),ф(S'')),

для любого S = {0,n,B} (B С n) имеет место равенство p(S) = {0,n, {n(i) | G B}}. Тем самым, ф совпадает на решетке {Subn; /с, Vc} с автоморфизмом фп, индуцированном перестановкой п.

Формулы ф\(х) и ф(х,у) позволяют проинтерпретировать в элементарной теории решеток (ЯиЪи; Ас, Ус) модели вида (ииР(и); е), состоящие из элементов множества и, его подмножеств и отношения теоретико-множественной принадлежности. Последнее же, в свою очередь, позволяет элементарной формулой выделить в решетках (ЯиЪ и; Ас, Ус) элементы г вида ЯиЪ Т для Т е Part и (см., доказательство теоремы 1). Достаточно записать, что для каждого элемента х решетки

(ЯиЪ и; Ас, Ус),

удовлетворяющего формуле ф\(х) под элементом г существует атом гх, такой что соответствующее ему подмножество множества и минимально по включению среди подмножеств, соответствующих атомам решетки, лежащим под г, х е гх, при этом если гх1 и гх2 — два различных подобных элемента, то соответствующие им подмножества множества и дизъюнктны и кроме того, подмножества, соответствующие атомам, лежащим под г, являются объединениями подмножеств, соответствующих элементам вида гх. Фиксация любых двух подобных элементов ЯиЪ Т1, ЯиЪ Т2 позволяет проинтерпретировать в элементарных теориях моделей (ЯиЪ и; Ас, Ус) модели вида (и; ~1, ~2) с двумя произвольными отношениями эквивалентности. Хорошо известная же (см., к примеру, [1]) наследственная неразрешимость элементарной теории этого класса влечет неразрешимость элементарной теории класса решеток вида (ЯиЪ; Ас, Ус), а значит и класса решеток вида (РОЬа; Ар, Ур).

Резюмируем отмеченные свойства решеток (РОЬа; Ар, Ур) в следующем утверждении.

Теорема 2. а) Длина решетки (РОЬп; Ар, Ур) равна 2п — 2, число ее коатомов так же равно 2п — 2, число атомов — и;

б) решетки (РОЬт; Ар, Ур) являются ретрактами решеток

(РОЬп; Ар, Ур)

при и ^ т;

в) графы решеток (РОЬп; Ар, Ур) не планарны, при и ^ 3;

г) все автоморфизмы решеток (РОЬп; Ар, Ур) индуцируются перестановками множества и;

д) элементарная теория класса решеток {(РОЬп; Ар, Ур)} наследственно неразрешима.

Среди вопросов, связанных с решетками вида (РОЬп; Ар, Ур) естественными, но остающимися открытыми представляются оценки (в том числе и асимптотические) числа элементов в этих решетках.

Остановимся еще на одном вопросе, связанном с клонами вида РТг(А). Включения

Тг(А) С РТг() С ^(А)

для любой алгебры А = (А; а) инициируют интерес к случаям равенств РТг(А) = Г (А) и Тг(А) = РТг(А) соответственно. В первом случае алгебру А назовем точечно термально примальной и очевидно, что А является таковой тогда и только тогда, когда А не содержит собственных подалгебр. Во втором случае алгебру А назовем точечно термально полной. Очевидно, что если А точечно термально полна, то она не обладает нетривиальными внутренними гомоморфизмами. Напомним, что внутренний гомоморфизм алгебры А — это любой гомоморфизм одной подалгебры алгебры А на другую и подобный гомоморфизм нетривиален, если он нетождественен и если его образ неодноэлементен.

Напомним также, что для любой алгебры А = (А; а) неиндексиро-ванной прямой степенью А(1) алгебры А называется алгебра (А1; а (1)), сигнатура которой состоит из функций І'^(х1,... ,хп), где р — любое отображение множества I в совокупность Тгп(А) всех п-местных термов сигнатуры а. При этом для ді,...,дп Є А1 имеет место

и(9ь .. .,дп)(г) = р(г)(ді(г),.. .,дп(г))

для любого г Є I.

Очевидно, что условие точечно термальной полноты алгебры А = (А; а) равносильно тому, что

основные множества подалгебр алгебр А^ и А(^ ) совпадают. (*)

Столь же очевидно, что необходимое условие отсутствия нетривиальных внутренних гомоморфизмов точечно термально полных алгебр есть частный случай критерия (*).

Наконец, естественным, в свете определения точечно термальных функций представляется и следующее понятие. Функцию І (хі, ... ,хп) на основном множестве А алгебры А = (А; а) назовем локально термальной, если для любого натурального т и любых Т1,..., Тт Є Ап существует терм Ьа1,..,ат (х1,... ,хп) алгебры А, такой что для всех г ^ т имеют место равенства

.І'(ті) = ¿«і ,...,ат (ті).

Через ЬТг(А) обозначим совокупность всех локально термальных для А функций.

Для любого функционального клона К на множестве А через К обозначим клон ЬТг(А&). Очевидно, что оператор К К является оператором замыкания на решетке всех функциональных клонов на множестве А. Клоны вида К будем называть локально термальными замыканиями клонов К.

Далее для любого натурального п и любого клона К через Кп будем обозначать совокупность п-местных функций из К. Очевидно, что для

любого п Є ш при рассмотрении п-местных функций на А, как элементов множества аап , множество Кп является замыканием совокупности Кп в тихоновской топологии на множестве Аап при исходной дискретной топологии на А. Клоны К, удовлетворяющие равенству К = К, будем называть локально термально полными.

Локально термально полными являются любые клоны на конечных множествах. Безусловно точечно термально полные клоны являются и локально полными. Примером локально термально полных клонов на бесконечных множествах являются, в частности, совокупности термальных функций любой бесконечной булевой алгебры. На самом деле очевидно следующее более общее утверждение.

Теорема 3. Если алгебра А = (А; а) порождает локально конечное многообразие, то клон ТГ(А) является локально термально полным на множестве А.

Утверждение теоремы очевидно в силу того, что на А в условиях теоремы имеется лишь конечное число попарно различных термальных функций алгебры А от п переменных для любого натурального п.

Столь же очевидно, что условия локальной конечности лишь самой алгебры А не достаточно. Действительно, пусть Ап (п Є ш) дизъюнктные п-элементные множества, а = (Іт(х) | т Є ш) и Іт являются циклами на множествах Ат для т ^ п и Іт тождественны на А при т > п. Очевидно, что клон термальных функций локально конечной алгебры А, являющейся дизъюнктным объединением алгебр Ап = (Ап; а), не является локально термально полным.

Список литературы

1. Ершов Ю. Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели / Ю. Л. Ершов. - М. : Наука, 1980.

2. Пинус А. Г. Условные термы и их применение в алгебре и теории вычислений / А. Г. Пинус. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2002.

3. Пинус А. Г. Условные термы и их приложения в алгебре и теории вычислений / А. Г. Пинус // Успехи мат. наук. - 2001. - Т. 56, № 4. - С. 35-72.

4. Пинус А. Г. Производные структуры универсальных алгебр / А. Г. Пинус. -Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2007.

5. Яблонский C. В. Введение в дискретную математику / С. В. Яблонский. - М. : Наука, 1979.

6. Янов Ю. И. О существовании fc-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса / Ю. И. Янов, А. А. Мучник // ДАН СССР. - 1959. - Т. 127, № 1. - С. 44-46.

7. Birkhoff G., Frink O. Representations of lattices by sets / G. Birkhoff, O. Frink. -Trans. Amer. Math. Soc. - 1948 - Vol. 64. - P. 299-316.

8. Post E. L. Two-valued iterative systems of mathematical logic / E. L. Post // Ann. of Math. Studies. - Princeton Univ. Press., 1941. - Vol. 5.

9. Pudlak P., Tuma J. Every finite lattice can be embedded into a finite partition lattice / P. Pudlak, J. Tuma // Alg. univ. - 1980. - Vol. 10, N 1. - P. 74-95.

10. Whitman P. M. Lattices, equivalence relations and subgroups / P. M. Whitman // Bulletin of AMS. - 1946. - Vol. 52. - P. 507-522.

A.G. Pinus

The point-termal complete clones of functions and the lattices of lattices of all subalgebras of algebras with fixed basic set

Abstract. It is investigated the structure of the lattice of point-termal complete clones of functions on a fixed set

Keywords: point-termal functions, clones, the lattices of subalgebras Пинус Александр Георгиевич, доктор физико-математических наук, профессор, Новосибирский государственный технический университет, 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20, тел.: (383)346-11-66 (ag.pinus@gmail.com)

Pinus Alexander, professor, Novosibirsk State Technical University, 20, К. Marks St., Novosibirsk, 630092, Phone: (383)3461166 (ag.pinus@gmail.com)