НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ полости В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ОТРИЦАТЕЛЬНОМ КОЭФФИЦИЕНТЕ НАТЯЖЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.52

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ полости В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ОТРИЦАТЕЛЬНОМ КОЭФФИЦИЕНТЕ НАТЯЖЕНИЯ

Е. М. Юрков, С. И. Яковленко

Проведено рассмотрение устойчивости цилиндрической полости в вязкой жидкости для случая, когда имеет место не поверхностное натяжение, а поверхностное расталкивание. Показано, что при отрицательном коэффициенте натяжения аксиально-симметричная мода неустойчива относительно возмущений с длиной волны меньшей окружности поперечного сечения полости и устойчива относительно возмущений с длиной волны большей окружности поперечного сечения полости. Скорость движения поверхности в ходе развития неустойчивости характеризуется величиной, пропорциональной коэффициенту поверхностного расталкивания и обратно пропорциональной коэффициенту динамической вязкости.

Эта работа является продолжением нашей предыдущей работы [1], в которой рассмотрены условия возникновения неустойчивости цилиндрической полости в жидкости с отрицательным коэффициентом поверхностного натяжения. Основное отличие настоящего рассмотрения от предыдущего [1] состоит в учете вязкости. Мы следуем методу, изложенному в книге [2].

Постановка задачи.

Исходные уравнения. Будем исходить из следующей системы уравнений для несжимаемой вязкой жидкости [3, с. 73]:

— = -VII - 1/ДV, СНуу = 0. (1)

дг v '

Здесь использованы обозначения: V = {уг, у,^} - скорость (г, 2. - цилиндрические координаты); П = 8р/р - удельное давление, 8р - отклонение давления от равновесного значения, р - плотность; и = г]/р- кинематическая вязкость, г\ - динамическая вязкость.

Далее будет рассматриваться развитие малой радиальной деформации 2, <р) поверхности цилиндрической полости:

г = Д + 0. = с(0 = еов7*, (2)

где Я - радиус невозмущенного цилиндра; £о - амплитуда возмущения; к = 2ж/X волновое число возмущения в ^-направлении (А - длина волны возмущения); т - целое число, характеризующее аксиальную моду возмущения; 7 - инкремент нарастания возмущения.

Далее рассматривается осесимметричное движение (т = 0). В этом случае векторы V и VII являются полоидальными: у них отсутствуют азимутальные компоненты.

Связь давления с характеристиками возмущения. Из уравнения (1) имеем ДП = 0, как и в случае отсутствия вязкости. Соответственно, также как и в [1, 2], имеем:

П = • Кт(кг) = еГ0 ■ Кт(кг) ■ е*к'+т"1 (3)

Здесь Кт (кг) - функции Макдональда; константа определяется из граничных условий.

Граничные условия. Исходная система (1) представляет собой два уравнения для компонент скоростей у2 и третье уравнение для давления. Соответственно, необходимы три граничных условия:

1. Радиальная компонента скорости иг должна совпадать со скоростью изменения деформируемой поверхности;

2. Тангенциальная компонента вязкого напряжения должна исчезать при г = Я;

.„.„(Ъ+Ъ) =0; (4)

\ иг иг ) г=Я

3. (г, г)-я компонента полного тензора напряжения на деформируемой границе должна быть равна поверхностному давлению

(5)

Здесь а = |а| - коэффициент поверхностного расталкивания; 5 -^2 — главные радиусы кривизны поверхности (они считаются положительными, когда направлены внутрь полости). При этом давление внутри жидкости больше, чем в полости - в отличие от случая поверхностного натяжения, когда больше давление в полости.

Дисперсионное соотношение.

Выражение для проекций скорости. Поле скоростей V является осесимметричным соленоидальным векторным полем. Такое поле можно представить в виде (подробнее см. [2]):

ди 1 д / 2 гг\

V = -г—ег + - —(г и)ег, о г г дг

(6)

где и - произвольная скалярная функция. В книге [2] также показано, что из векторного уравнения (1) для функции II с учетом (3) справедливо уравнение:

сРи з ¿и

г аг V I/ / и

гео^о Кг(кг)

(7)

¿Г2 Г йг \ I// V г

Используя дифференциальное соотношение, справедливое для функций Макдональда:

/ <Р 3 с1\ К\(аг) _ 2Кг{аг) у ¿г2 г ¿г) г г

можно выписать общее решение уравнения (7):

и = + , {8) г 7 г

где к2 = к2 + 7/^, А - постоянная интегрирования. При этом для соответствующих компонент скорости имеем:

vr = к

V, = —г

АКг^ + ^К^кг) 7

АкК0(кг) + —кК0(кг) 7

(9а)

(95)

Определение констант интегрирования. Первое из перечисленных в разделе "По-

становка задачи граничных условии дает:

£о7 = к

АК1(у) + ^-К1(х) 1

(10)

где х = кЯ и у = кЯ.

Из второго граничного условия, используя формулу (4) и выражения (9) для компонент скорости, имеем:

Проводя преобразования с использованием (8), получаем:

„„г № +1!" + ^Л в— = Р,г ((и> + - ^ .

у аг* г аг ) V) V г

= | (2*2 + ^(/сг) + ^^(Ь-)) - е'"*^ = 0.

Отсюда для постоянной интегрирования А получаем следующее выражение:

= -2*2 ^(д)

7 Р +/с2 ЗД)' Подставив его в соотношение (10), получаем:

2 к2 - /с2

7

Константу интегрирования Го определяем из граничного условия (5) с использованием выражения

Подробнее см. [1, 2]. Подставив это выражение в формулу (5), приходим к следующему соотношению:

а . о. ... . . .*i • »

—(1 - + *ЬК0(х)е= 2г/ .

Вычисляя радиальную производную, исходя из формулы (9а), группируя члены подхо дящим образом, получаем в неявном виде требуемое общее дисперсионное уравнение:

2 +

К0[х) Здесь обозначено:

1 -

2ху Кг{х) К[(у)

х2 + у2

К0{х)

аД

^2*

(И)

(12)

Л3/э \ ^ / /и'*

Дисперсионное соотношение типа (11) получено для случая жидкой цилиндрической струи в воздухе [2]. Случай неустойчивости полости в вязкой жидкости в книге [2] не рассматривался.

Предел большой вязкости.

В силу того, что стекло обладает аномально большой вязкостью, наибольший интерес представляет предел: у = х + 8 при 8 << х. Ограничиваясь первым порядком по <5, произведем замены х2 + у2 —» 2а:2 + 2x8; 2ху —*■ 2х2 + 28х; —(х4 — у4) —> 4х38 и проведем преобразования:

К^х) К[{у) _ Кг(х) К[(х + 8) ^ Кг(у)К[(х) Кг(х + 6) К[(х)

Кх{х +8)- 8К'1(х + 8) К[(х) + 6К"(х)

Кх{х + 8)

_ + Г 8К';(х) Кг(х + 8) \ [ ^ К[(х) ]

К[(х) ► 1 + 6

К[ кх

Тогда левая часть уравнения (11) примет более компактный вид:

-4хл8 - 4х48

Ко \К[ К\

= -4хл8 {1 +

Ь

Т7- ТГ

\(кг - - (-Ко - -Кг) + Хкг) К! - (к0 + -К,\

I Л0Л! Х 4

X / X" /

Ч х /

Здесь аргументы всех функций Бесселя зависят от х; использованы рекуррентные соотношения для функций Макдональда: К^ = —К\, К[ — —К0 — \К\- Учитывая далее 2x8 = 'уИ2/и, характеристическое уравнение преобразуем следующим образом:

= 3

х2-\

%Я2х2

= 3-

х2 - 1

Используя выражение для <7, окончательно имеем:

$ + (1 + **)]

7 =

а

2 г]Я

/(я), /(«) =

х2-1

1+х2(1-К2(х)/К2(х))-

(13)

Ях)

Рис. 1. Функции, характеризующие устойчивость и неустойчивость осесимметричной моды возмущения. Сплошная кривая - функция /(ж); пунктирная кривая задается предельным выражением: (х2 — 1 )/х, справедливым для достаточно больших значений х >> 1.

Зависимость /(х) представлена на рис. 1. Видно, что при значениях х > 1 инкремент положителен. Это свидетельствует о неустойчивости такой цилиндрической волновод-ной структуры относительно коротковолновых возмущений. Таким образом, вязкость имеет сдерживающий характер по отношению к неустойчивости, но не может сделать неустойчивую моду устойчивой. Длинноволновое же возмущение (по сравнению с длиной окнужности ттилин лг>а,"1. как и слеловало ожипать стремится "распрямиться' за

х ' '1 / / ' ' ^ ' / а а X

счет расталкивательных сил по окружности и с течением времени затухнет.

Отметим, что скорость движения поверхности в ходе развития неустойчивости характеризуется величиной и = 7 = а/77. Эта величина вычислена в работе [4].

Следует обратить внимание на монотонный характер дисперсионной зависимости на "неустойчивом" интервале кг > 1. Моды максимальной неустойчивости не существует. Чем меньше длина волны возмущения, тем быстрее проявляется неустойчивость. Отметим также, что в реальных условиях, рассмотренных в [4], развитие мелкомасштабных неустойчивостей будет ограничено конечной толщиной слоя.

Итак, проведенное рассмотрение устойчивости цилиндрической полости в вязкой жидкости показывает, что при отрицательном коэффициенте натяжения аксиально-симметричная мода неустойчива относительно возмущений с длиной волны меньшей, чем внутренняя окружность поперечного сечения полости, и устойчива относительно возмущений с длиной волны большей окружности поперечного сечения полости. Аналогичный результат получен ранее для идеальной жидкости. Дело в том, что вязкость не может сделать неустойчивую моду устойчивой. Скорость движения поверхности в ходе развития неустойчивости характеризуется величиной, пропорциональной коэффициенту поверхностного расталкивания и обратно пропорциональной коэффициенту динамической вязкости.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Юрков Е., Яковленко С. И. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 11, 21 (2004).

[2]Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability (Oxford U. Press, Oxford, 1961), Chap. XII.

[3] JI а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Гидродинамика. М., Наука, 1986, 736 с.

[4] Яковленко С. И. Квантовая электроника, 34 (8), 765 (2004).

Институт общей физики

им. A.M. Прохорова РАН Поступила в редакцию 3 декабря 2004 г.