Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца в сдвиговых течениях жидкости и плазмы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.9

Неустойчивость Кельвина — Гельмгольца в сдвиговых течениях жидкости и плазмы

© А.Ю. Чирков, В.И. Хвесюк МГТУ им. Н. Э. Баумана, Москва 105005, Россия

Общим свойством сдвиговых течений идеальной жидкости и плазмы, находящейся во внешнем магнитном поле, является развитие неустойчивости Кельвина — Гельмгольца. Волновое уравнение для собственных мод в плазме в гидродинамическом пределе совпадает с уравнением Рэлея для идеальной жидкости. Проанализированы нечетные и четные моды неустойчивости. Обсуждена возможность оценки коэффициентов турбулентного обмена по параметрам неустойчивости.

Ключевые слова: неустойчивость Кельвина — Гельмгольца, уравнение Рэлея.

Введение. Неустойчивость Кельвина — Гельмгольца является общим свойством сдвиговых течений жидкости и замагниченной плазмы. В приближении идеальной жидкости эта неустойчивость описывается уравнением Рэлея [1, 2]. В случае бесстолкновительной плазмы вопрос о развитии неустойчивости Кельвина — Гельмгольца связан с физикой так называемых транспортных барьеров [3, 4], которые создаются при генерации неоднородного течения плазмы поперек силовых линий магнитного поля. В транспортных барьерах с ростом градиента скорости снижается уровень турбулентного транспорта, вызванного градиентными дрейфовыми неустойчивостями. В то же время неоднородность скорости возбуждает неустойчивость Кельвина — Гельмгольца, ограничивающую эффективность данного метода.

В идеальной несжимаемой жидкости исходная система уравнений включает уравнения неразрывности и Эйлера. Рассмотрим поток, движущийся вдоль направления оси y с невозмущенной скоростью V(x), зависящей только от x. В случае плазмы V(x) — это скорость дрейфа в невозмущенных скрещенных электрическом и магнитном полях (скорость ExB-дрейфа).

Возмущения скорости vx и vy задаются функцией тока x(x, y): vx = Эху / dy, vy = -Эху / dx. Функция тока представляется в следующем виде:

у (x, y) = ф( x) exp(-iroi + iky),

где ф^) — функция, описывающая изменение формы возмущения в направлении поперек потока; ю — комплексная частота; k — волновое число.

В результате линеаризации исходная система гидродинамических уравнений сводится к уравнению Рэлея

d 2ф dx2

(

+

-к2 +

d 2V /dx 2 ю/k - V

Л

ф = 0.

(1)

Это уравнение с соответствующими граничными условиями составляет задачу о собственных функциях ф(х) и собственных значениях ю, в которой параметром является волновое число к моды. Компоненты возмущенной скорости связаны с функцией ф(х) соотношениями: vx = /кф(x) exp(-iw/+iky); vy = -(dф / dx) exp(-irai + iky).

Уравнение (1) для плазмы соответствует длинноволновому низкочастотному пределу: крт < 1; |ю| << №ci, где ртг- — циклотронный радиус ионов, вычисляемый по ионной тепловой скорости; — циклотронная частота ионов.

Нечетные моды. Рассмотрим непрерывный профиль невозмущенной скорости V(x) с изменением в слое шириной 2L (рис. 1). Пер-

Рис. 1. Распределение скорости в системе со встречными потоками с переходным слоем шириной 2Ь

вая и вторая производные У(х) также непрерывны при любых х. Начало отсчета координаты х выберем так, как показано на рис. 1, что соответствует двум встречным потокам с одинаковыми скоростями У0. Аналитическое выражение для данного распределения скорости имеет следующий вид:

V ( x)

Vo

-1,

15 x - 5 (xY 3 (L]5

YL 41 L J + 81 L J :

x

L <-1;

-1, L, 1

(2)

x L

> 1.

Для нечетных мод ф(х) — нечетная функция. Используем условия нечетности в виде ф = 0 и йф/йх = 1 при х = 0. Проанализируем решения для нескольких вариантов граничных условий, перечисленных ниже.

Граничные условия первого рода: ф = 0 (= 0) при х = ±Н, где Н — половина ширины локализации моды. В частности, для жидкости это условие можно рассматривать как наличие стенок, причем требовать на стенке йф/йх = 0 (уу = 0) не обязательно.

Граничные условия второго рода: йф/йх = 0 (уу = 0) при х = ±Н. Эти граничные условия не могут быть наложены при наличии твердых стенок, так как поперечная скорость на стенке должна быть нулевой, и колебания должны иметь возможность существовать в области |х| > Н.

Граничные условия смешанного типа: ф = 0 ( их = 0) и йф/йх = 0 (~иу = 0) при х = ±Н. Такие граничные условия являются избыточными. В общем случае они вряд ли могут выполняться. Однако их нетрудно выполнить при Н ^ Поэтому соответствующие моды могут развиваться в неограниченном по х потоке.

Для представления результатов расчетов в безразмерном виде выбраны следующие масштабы величин: скорости У0, длины Ь, частоты и инкремента ю0 = У0/Ь. Принимая во внимание симметрию задачи, нетрудно видеть, что в выбранной системе отсчета фазовая скорость волны равна нулю, и, следовательно, Яе(ю) = 0. Таким образом, собственные числа задачи являются чисто мнимыми: ю = /у, где у = 1т(ю) — инкремент моды. Кроме того, в рассматриваемом случае собственные функции нечетные.

Для численного решения был использован алгоритм «стрельбы» на основе метода Рунге — Кутты. В результате расчетов были определены собственные числа, собственные функции и границы устойчивости.

Для неустойчивости с неограниченными модами на рис. 2 представлена зависимость безразмерного инкремента у/ю0 от безразмерного волнового числа кЬ. При кЬ < 0,1 она является почти линейной (у/ю0 « 0,5кЬ). Инкремент достигает максимального значения у ~ « 0,1ю0 при кЬ ~ 0,25, а область неустойчивости ограничена максимальным волновым числом кЬ ~ 0,4.

Пример собственной функции ф(х) дан на рис. 3, где также приведена ее производная йф/йх. На рис. 4 показана вихревая структура течения в области точки перегиба, формирующаяся при развитии одной моды неустойчивости. Функция тока ^(х, у) на рис. 4 включает функцию тока, которая соответствует невозмущенному течению, заданному профилем скорости (2), и возмущенную функцию тока

¥(х, у).

Рис. 2. Изменение безразмерного инкремента у/ю0 мод в неограниченном потоке в зависимости от безразмерного волнового числа кЬ

1,0

0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0

1 1

— ФОО б/ф/с^' —Ли_________

1 Г 1 1

- ¡1. \____

- 1 'Г' X ________1 1 \

— \ .-------1. — л 1 1 И----.

-15

-10

-5

10

Рис. 3. Собственная функция ф(х) и ее производная

при у = 0,076ю0

х/Ь

моды с кЬ = 0,2

Результаты расчетов граничных кривых приведены на рис. 5. Область неустойчивости (у > 0) для мод, полученных с граничными условиями первого рода, находится над кривой 1.

В случае граничных условий первого и второго рода характерное значение максимального инкремента, как показали расчеты, имеет тот же порядок, что и для мод в неограниченном потоке. Качественная картина решений в пределах области переходного слоя также ана-

Рис. 4. Вихри в области точки перегиба (х = 0) — линии уровня суммарной функции тока ^(х, у) моды с кЬ = 0,2 и у/ю0 = 0,076. Для наглядности максимальная амплитуда возмущенной скорости принята 0,5 У0

\

у \

\

\ 3 ч ч N

О 0,2 0,4 0,6 0,8

Рис. 5. Границы областей устойчивости мод, соответствующих граничным условиям первого (1) и второго (2, 3) родов, в потоке ограниченной ширины Н в зависимости от безразмерного волнового числа кЬ

логична случаю неограниченного потока. Для рассматриваемых мод можно установить границу устойчивости, т. е. такую ширину моды Н, при которой у ^ 0. Отметим, что в данном численном алгоритме невозможно использовать строгое равенство у = 0, поэтому граничные кривые находят в результате приближения инкремента к нулю с заданной точностью.

При рассмотрении граничных условий второго рода могут быть найдены два нуля производной йф/йХ (кривые 2 и 3 на рис. 5). Положение первого нуля производной (кривая 2) практически не изменя-

ется при увеличении инкремента, так как оно, по-видимому, определяется структурой потока внутри переходного слоя. Область неустойчивости мод, соответствующих второму нулю производной, находится над кривой 3 левее точки А.

Четные моды. Для анализа четных мод рассмотрим распределение скорости потока, схематично показанное на рис. 6. Для решения волнового уравнения (1) был использован ВКБ-метод. При этом для каждого значения волнового числа к может быть определен набор собственных частот Ю/ (/ = 0, 1, 2, ... — номер моды) и соответствующих собственных функций.

Рис. 6. Четное распределение скорости течения

Результаты расчетов действительной частоты с учетом доплеров-ского сдвига Ю^ = Яе(ю-ки0 -к¥0) и инкремента у = 1т(ю) приведены на рис. 7. В качестве масштаба частоты и инкремента, как и ранее, принята величина Юо = У0 / Ь.

На рис. 8 показаны радиальные профили мод, а на рис. 9 приведен пример функции Q для действительных значений х. Согласно результатам расчетов, при кЬ >> 1 точки поворота располагаются в глубине слоя с неоднородностью толщиной 2Ь достаточно далеко от его границ. По мере уменьшения параметра кЬ точки поворота приближаются к границам слоя, и существует такое значение (кЬ)т;„ = 1, при котором точки поворота находятся на границе слоя, а при кЬ < (кЬ)тт неустойчивость отсутствует. Для рассматриваемого распределения скорости дрейфа У(х) инкремент максимален при кЬ = (кЬ)т;„, максимальное значение инкремента утах ~ ю0.

Представленные на рис. 7 результаты соответствуют случаю, когда середина радиального профиля моды совпадает с центром слоя (х = 0). Для мод, середины профилей которых смещены от точки х = 0 на величину х0, значение (кЬ)тт увеличивается, а утах уменьшается.

Рис. 7. Действительная частота (а) и инкремент (б) мод I = 0 (1), I = 1 (2)

и I = 2 (3)

Рис. 8. Радиальные профили мод I = 0 (1), I = 1 (2) и I = 2 (3) при кЬ = 6

Коэффициенты турбулентного обмена. Для оценки воспользуемся теорией длины смешения. Будем предполагать, что турбулентные коэффициент диффузии, вязкость и температуропроводность одного порядка, т. е. В — V - а. В случае плазмы речь идет о коэффициентах переноса поперек силовых линий магнитного поля. Для мод с локализованными радиальными профилями турбулентный коэффициент диффузии В — 81у, где 81 — поперечная ширина моды

(в данном случае в направлении х); у — характерное значение инкремента неустойчивости. Для реализации диффузионного режима, по-видимому, необходимо наличие большого количества перекры-

-1,0 -0,5 0 0,5 х/Ь

Рис. 9. Действительная и мнимая части функции Q для моды I = 0 при кЬ = 6

вающихся мод, распределенных по радиусу в пределах сдвигового слоя. Поэтому при оценке коэффициента диффузии логично ориентироваться на моды с 8± « 0,1Ь. Для таких мод кЬ « 10, у « 0,1 ю0, что приводит к оценке коэффициента диффузии Б « 10~ЪУ0Ь. Полагая Б « V « а, можно получить оценку турбулентного числа Рейнольдса Яет « ¥0Ь / V« 103.

Заключение. В гидродинамическом пределе кинетической неустойчивости Кельвина — Гельмгольца для плазмы волновое уравнение совпадает с уравнением Рэлея, описывающим течение идеальной жидкости. Для жидкости результат анализа устойчивости на основе уравнения Рэлея не всегда имеет физический смысл, так как в ряде случаев, в частности вблизи стенок, пренебрежение молекулярной вязкостью некорректно [1]. В случае плазмы подход на основе уравнения Рэлея применим для бесстолкновительных режимов. Кроме того, плазма в магнитном поле изолирована от прямого контакта со стенками, а профиль скорости бесконтактно формируется электромагнитными полями.

Характерный инкремент рассмотренной неустойчивости у « « 0,1У0/Ь « 0,ЫУ/ёх. Инкремент такого же порядка характерен и для случая неустойчивости сжимаемой вязкой жидкости [5]. Качественная картина неустойчивости сохраняется и в случае сжимаемой плазмы в магнитном поле в приближении идеальной магнитной гидродинамики [6]. Вариации плотности, связанные с неустойчивостью Кельвина — Гельмгольца, могут приводить к развитию вторичных неустойчивостей гидродинамического типа [7], поэтому генерация

сдвиговых течений с очень большими значениями параметра сдвига Ys = dV/dx нежелательна с точки зрения развития как неустойчивости типа Кельвина — Гельмгольца, так и вторичных неустойчивостей. Эти неустойчивости приводят к усилению перемешивания, что резко повышает интенсивность транспорта.

В плазме генерация сдвиговых течений — основной способ снижения турбулентного транспорта. Максимально допустимое значение параметра сдвига ys можно найти из условия равенства инкрементов градиентной дрейфовой неустойчивости Yg и неустойчивости Кельвина — Гельмгольца y~ 0,1ys . Сравнение инкрементов приводит к соотношению ys / Yg ~10. В этом случае коэффициенты турбулентного обмена, связанного с градиентной дрейфовой неустойчивостью, могут быть снижены примерно на два порядка, так как фактор снижения равен 1 + (ys / YG)2 [8].

Полученные результаты принципиально важны для развития магнитных систем удержания плазмы высокого давления, поскольку им присуще диамагнитное вращение плазменного шнура со значительным сдвигом. Кроме того, недавние расчеты [9-11] показали, что градиентные дрейфовые неустойчивости в этих системах могут развиваться в широком диапазоне значений давлений и других параметров. К таким системам относится, например, обращенная магнитная конфигурация, для которой была разработана теория градиентных дрейфовых неустойчивостей [12, 13] и вызываемого ими транспорта [14-16].

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект 11-08-00700-а. ЛИТЕРАТУРА

[1] Линь Цзяцзяо. Теория гидродинамической устойчивости. Москва, Изд-во иностранной литературы, 1958.

[2] Тимофеев А.В. Колебания неоднородных течений плазмы и жидкости. УФН, 1970, т. 102, вып. 2, с. 185-210.

[3] Wolf R.C. Internal Transport Barriers in Tokamak Plasmas. Plasma Phys. Control. Fusion, 2003, vol. 45, pp. R1-R91.

[4] Connor J.W., Fukuda T., Garbet X., et al. A Review of Internal Transport Barrier Physics for Steady-State Operation of Tokamaks. Nucl. Fusion, 2004, vol. 44, pp. R1-R49.

[5] Sandham N.D., Reynolds W.C. Thee-Dimensional Simulations of Large Eddies in the Compressible Mixing Layer. J. Fluid. Mech, 1991, vol. 224, pp. 133-158.

[6] Miura A. Compressible Magnetohydrodynamic Kelvin — Helmholtz Instability with Vortex Pairing in the Two-Dimensional Transverse Configuration. Phys. Plasmas, 1997, vol. 4, pp. 2871-2885.

[7] Tenerani A., et al. Nonlinear Vortex Dynamics in an Inhomogeneous Magnetized Plasma with a Sheared Velocity Field. Plasma Phys. Control. Fusion, 2011, vol. 53. 015003, 13 p.

[8] Чирков А.Ю. Нелинейные дрейфовые волны в сдвиговых течениях плазмы. ВестникМГТУ. Сер. Естественные науки, 2008, № 3, с. 3-16.

[9] Chirkov A.Yu., Khvesyuk V.I. Effect of Finite Length of Plasma Column on Electromagnetic Drift Instabilities. Fusion Science and Technology, 2009, vol. 55, no. 2T, pp. 162-167.

[10] Khvesyuk V.I., Chirkov A.Yu. Peculiarities of Collisionless Brift Instabilities in Poloidal Magnetic Configurations. Plasma Physics Reports, 2010, vol. 36, no. 13, pp. 1112-1119.

[11] Чирков А.Ю., Хвесюк В.И. Особенности бесстолкновительных градиентных дрейфовых неустойчивостей в плазме с сильно неоднородным магнитным полем и высокими р. Физика плазмы, 2011, т. 37, № 5, с. 473-483.

[12] Хвесюк В.И., Чирков А.Ю. О неустойчивостях в поверхностном слое плазмы обращенной магнитной конфигурации. Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки, 2009, № 1, с. 21-30.

[13] Chirkov A.Yu., Khvesyuk V.I. Electromagnetic Drift Instabilities in High-P Plasma under Conditions of a Field Reversed Configuration. Physics of Plasmas, 2010, vol. 17, no. 1. 012105, 8 p.

[14] Чирков А.Ю. О перспективах малорадиоактивного термоядерного реактора на основе обращенной магнитной конфигурации. Прикладная физика, 2007, № 1, c. 94-98.

[15] Чирков А.Ю. О скейлингах для времени удержания плазмы в обращенной магнитной конфигурации. Прикладная физика, 2007, № 2, c. 31-36.

[16] Чирков А.Ю., Бендерский Л.А., Бердов Р.Д., Большакова А.Д. Модель транспорта в квазиравновесных обращенных магнитных конфигурациях. Вестник МГТУ. Сер. Естественные науки, 2011, № 4, с. 15-27.

Статья поступила в редакцию 21.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Чирков А.Ю., Хвесюк В.И. Неустойчивость Кельвина — Гельмгольца в сдвиговых течениях жидкости и плазмы. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 5. URL: http://engjournal.ru/catalog/machin/criogen/728.html

Чирков Алексей Юрьевич родился в 1976 г., окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2000 г. Канд. техн. наук, доцент кафедры «Теплофизика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 100 публикаций в области физики плазмы. е-mail: alexxeich@mail.ru

Владимир Иванович Хвесюк родился в 1940 г., окончил МАИ им. С. Орджоникидзе в 1963 г. и МГУ им. М.В. Ломоносова в 1968 г. Д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой «Теплофизика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 200 публикаций, в том числе трех монографий, в области физики и технических приложений низкотемпературной и высокотемпературной плазмы. е-mail: khves@power.bmstu.ru