CC BY
9
1 Г~ 2 l—Jx Г—
Е = \}~\*пе" ^dx = я e°2erfc{a)erfc(- a)- —erf{v).
о 0-*) °
Единственным решением уравнения (16) является функция U(t) = М ,
■ • тс-тй 2Я-АС „
где М=-£—--, а уравнение (17) выполняется автоматически. Если
2г| С
ввести характерную скорость U0, то скорость пластины будет представляться формулой
(18)
Постоянная а в законе изменения границы будет решением уравнения
~2 ~.....т (19)
хд
= Гр
2 Ье-
Распределение скоростей в зоне течения задается формулой
(20)
Результаты расчётов по предлагаемому методу будут обсуждаться в наших дальнейших работах.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Kolodner J.J. l;ree boundary problem for the heat equation wich applications of change of phase // Comm. On Pure and Appl.Math. 1956. Vol. IX, № 1.
2. Сафропчик Л И. Некоторые задачи неустановившегося течения вязкопластич-ных сред: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д. 1%2. 109 с.
УДК 232.5; 232.135
М. И. Сафрончик
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ "ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЕ" ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОПЛАСТИЧНОЙ СРЕДЫ ПО НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ
Данная статья посвящена реализации идеи сведения задачи о неустановившемся течении вязкопластичной среды к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, изложенной в работе [1]. В качестве примера рассмотрен переход от одного стационарного режима течения по наклонной плоскости к другому при изменении угла наклона этой плоскости к горизонту.
Предположим, что слой вязкопластичного материала толщины Н длительное время двигался под действием силы тяжести вдоль плоскости, наклонённой под углом а! к горизонту. Течение со временем стабилизировалось, и распределение скоростей приобрело вид, который в безразмерных переменных выражается известной формулой
ш-
т , Ь'гБеп 1
где п0 =1---- толщина зоны вязкопластичного течения.
Переход к безразмерным переменным осуществляется по формулам
У-Иу, Ух(у)=и0Ух(у), ( = (2)
Входящие в (1) параметры Рейнольдса, Сен-Венана и Фруда определяются но формулам
= Яеп-Ы, = Х = Х (3)
V и0т\ уИ тс
Здесь р - плотность, г| - структурная вязкость, V = т]/р - аналог кинематической вязкости, гс и тд - статическое и динамическое предельные напряжения сдвига.
Если угол наклона плоскости к горизонту уменьшить до значения а2, то процесс восстановления структуры материала не начнётся сразу, ему будет предшествовать переходный этап, в течение которого напряжение на внешней границе зоны течения будет уменьшаться от тс до г,,. Сама граница при этом будет оставаться неизменной. Для нахождения распределения скоростей и времени окончания этого этапа решается краевая задача
дУ д2У / - \
= + 2 (о^^о. 0<г<г), (4)
от ду гг
I
и
^(0,Г) = 0, (6)
(5)
Ц*-\ =(т (Г)-\)Беп, (7)
у-К
т
ЗДЛ = 0,0) + £Гяпа2 ¡Ц^Щ, (8)
^ о
решение которой легко находится операционным методом.
С момента I =Т начнется этап восстановления структуры. Если ввести новый отсчёт времени I = 7 + 0, то для нахождения распределения скоростей и закона изменения границы области течения необходимо решить краевую задачу с "искомой" границей:
дУх д2Ух Re -2 Fr
cQ
оу
+ — sina2 (о< у </t(0), G>o),
Fr
sinaj -(sina, -sina2)
ВДв) = 0,
=0,
1-е
-2 /' (2-Ш
(9)
- XySen ,.(10)
01) (12)
dF Re .
• = —rsinou -
XSen
dO Fr
^r, где F(9) = _ Urn
1-A(9)
y->/i(0)-0
(13)
В работе [1] предложено искать решение подобных задач в виде ряда Фурье по мгновенным собственным функциям
для коэффициентов которого получается бесконечная связанная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
Я' (т + (2*-1)2"2Д (Ы - 4Resina2 . Л'(б) у (~l)m+k(2m-l)2
Вк (9) + (0) " я(2^1)/->>-(9) Вт (0) (т-к)(т+к-1) '
(14)
где В, (6) = 4^.
л/Мв)
Из граничных условий вытекает ещё два уравнения:
dF Re . XSen
— = —sma7--=т-г. (16)
dQ Fr 2 1-A(0)
Решение строится методом последовательных приближений при начальных условиях
Г /Пч_Г г.- rm_ Reusing! . , lbhjxResinсц
Л„(0)-^, /„(0)- — 0)-——-^. (17)
Взяв за нулевое приближение /iq(0) = /iq , получим
182
lfi/ip2 Re
-(2А-1)2я2й ^
sina2 +(A.sina1-sina2)e 4/l°2
, (18)
F0(9) = ^ "v 7 2fr
sina2 + (X.sina,-sina2)^U(-iie 71
-(2A-1)2 п20 ^
• (19)
Удовлетворив условию (18), получим первое приближение для закона изменения границы
\i~rScn
М0) = 1-
Re
00 /
-(2i-I)2n20
sina2+—(A.sina,-sina2) X
п k=l (2к-\)
(20)
Следующие приближения находятся по формулам
l)V°f ds,
Bk,„(Q) = Bk,n(0)e
4 |A« 4Reiiin«2 J._]
1 у (-l)m (2m-l) гh'n(S)
<«-*X«+*-1) J/.„(4) m
-1 4
-рЫ)¥"г da
4 J'h*)
-С2*-1)гягог da
14
УЫ1
dFn _ Resina2
«Ю
Fr
1 - Л
(21) (22)
(23)
'n+I
Расчёты, проведённые для реально встречающихся значений параметров Re = ! 5, Fr = 1.5, Sen = 1.7, показывают, что уже первое приближение достаточно удовлетворительно описывает поведение границы зоны течения (разница между первым и вторым приближениями менее 2%).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Сафрончик МИ. Сведение нестационарной задачи о движении вячкопластич-ной среды к системе обыкновенных дифференциальных уравнений II Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 216- 219.
