CC BY
50
УДК 004.89
НЕЦЕЛЕОРИЕНТИРОВАННАЯ СТРАТЕГИЯ ВЫВОДА ФОРМУЛ В МОДАЛЬНЫХ ИСЧИСЛЕНИЯХ
В.Б. Новосельцев, Г.Д. Копаница
Томский политехнический университет E-mail: vbn@osu.cctpu.edu.ru
Предлагается и обосновывается подход к анализу формул модального исчисления KT, опирающийся на обратный метод Масло-ва. Предлагаемый подход ориентирован на создание систем автоматического доказательства теорем и предназначен для построения когнитивных систем широкого класса. Приводятся модификации исходного исчисления, для которых доказываются теоремы полноты. Предлагается отношение Ф-упорядочения, на основе которого формируются стратегии сокращения пространства вывода.
Введение
Необходимость исследований в области автоматического доказательства теорем определяется постоянно растущим спросом на интеллектуальные системы программирования и невозможностью (или малой эффективностью) использования существующих информационных технологий для слабо-формализованных предметных областей (ПО), а также предметных областей с модальными связями. Модальные теории (в разных модификациях) естественным образом включают понятия необходимости, возможности и т. д.
Традиционным инструментом автоматического поиска вывода является метод резолюций, применяемый в классическом Прологе [1], а также в таких системах для модальных логик как *8ЛТ [2] и БЬР [3] - традиционно, такие методы называют целео-риентированными или прямыми. Не менее мощным, но существенно реже используемым, является обратный (по отношению к целеориентирован-ным) метод [4], предусматривающий при оценке формулы движение «от аксиом». Наиболее эффективная программа автоматического установления выводимости для модальных систем, основанная на обратном методе, реализована лишь недавно [5]. Успешность применения обратного метода, в значительной степени, обусловлена его настройкой на анализируемую формулу и возможностью применения эффективных критериев борьбы с избыточностью пространства вывода, что способствует сокращению ресурсных характеристик поиска (см. Приложение в [1]). Обратный метод ориентирован на формирование пространства вывода (а не только самого вывода) в виде леса. - Очевидно, что навигация по частично-упорядоченным структурам, как минимум, не менее эффективна, чем управление в однородном множестве с эквивалентной суммарной мощностью.
В качестве базового исчисления в статье рассматривается модальная логика знания - система КТ [6]. Логика КТ является более богатой системой по сравнению с минимальной модальной логикой К (за счет добавления аксиомы Т:?А?А) и интересна тем, что аксиома Т отвечает свойству рефлексивности бинарного отношения R структуры модальной логики [6]. Модальные теории с эффективными стра-
тегиями планирования могут быть успешно использованы в автоматизации проектирования (когда не известны строгие правила вывода для анализируемой ПО), в экспертных и других когнитивных системах. Концепции ряда современных систем автоматизированного проектирования предусматривают совместное использование традиционных технологий и модальных компонентов [7-11]. Специфика баз проектных знаний состоит в том, что они включают знания о ПО и знания о ранее полученных решениях. Иногда на содержательном уровне разделяют два класса проектных знаний (по признакам значимости): глубинные, основанные на некоторой фундаментальной теории (например, законах механики Ньютона) и поверхностные (эвристические), которые базируются на индивидуальном опыте конструкторов. Такая категоризация может быть преобразована (простым переименованием) в категоризацию «известно/возможно», которая как раз и характерна для системы КТ. - Подчеркнем, что степень субъективности разделения проектных знаний не является предметом данного исследования.
Практический интерес к модальным теориям и методам установления выводимости, отличным от метода резолюций, подтверждается обширной библиографией - здесь упоминается только незначительная часть публикаций.
В первой части статьи вводятся основные определения и базовые исчисления. Понятие мультимножества и соответствующая нотация взяты из [12]. В последующих разделах рассматривается отношение Ф-упорядочения, его свойства, обеспечивающие сокращение пространства вывода, и теоремы полноты.
1. Базовые исчисления логики 1СГ для обратного метода
Для установления выводимости формулы в КТ предлагается некоторая разрешающая процедура, реализации которой осуществляется в четыре этапа: I. Построение базовых исчислений для КТ - прямого секвенциального исчисления КТХ(1 и настроенного на анализируемую формулу Ф обратного исчисления КТфт (в последнем случае формулами КТ\у являются все подформулы исходной Ф).
II. Введение исчислений путей КТфрА и КТФР, кодирующих вывод (связывающих подформулу с примененным к ней в процессе вывода правилом) в базовых исчислениях КТе, и КТФ1т, соответственно.
III. Замена вывода исходной Ф формулы в КТ на опровержение отрицания Ф в КТ®Р (из соображений технического удобства) с применением стратегий сокращения пространства вывода.
IV. Отображение полученного в КТ®Рвывода в исходную систему.
1.1. Исчисления КТ«, и КТФ|11Т. Пусть Ф - формула логики КТ. Для анализа Ф удобнее использовать не саму систему КТ, а эквивалентное ей исчисление секвенций КТХ(1 [13]. Справедлива теорема (полноты КТе,): Ф невыполнима в КТ тогда и только тогда, когда существует опровержение Ф в КТ^. Доказательство приведено в [13], откуда заимствовано и подходящая версия исчисления секвенций КТХ(1 (здесьр - пропозициональная переменная):
Аксиомы: Г, р, ~р. Правила вывода:
Г, А, В (л); Г, А Г,В (у); Г,А (0): Г, А (□) Г,АлВ Г,АуВ ПГ,0А, Д Г, ПА В рамках обратного метода, поиск опровержения переносится в инверсное исчисление КТ®д¥ (формулами КТФп являются все подформулы исходной Ф, что и определяет настройку на формулу). Исчисление КТ®д¥ приводится ниже: Аксиомы: р, ~р. Правила вывода:
Г, А, А (С); Г, А у,В (V); Г, А (л,): Г, В (л,): Г, А Г, у, АуВ Г, АлВ Г,АлВ Г, А (0): Г (0); Г, А (□). □Г,0А ПГ,0А Г, ПА Заметим, что в общем случае неясно, как в КТФШ находить опровержение произвольной секвенции. Для доказательства полноты КТФШ доказывается лемма подсеквенциальности, которая позволяет переносить найденное в КТ^ опровержение Ф в исчисление КТФШ (индукцией по длине вывода Г в КТИ4).
Лемма (подсеквенциальности). Пусть Ф - формула КТ и Г - секвенция, состоящая из подформул Ф и имеющая опровержение в КТ^, тогда существует секвенция Д такая, что ДёГ и Д имеет опровержение в КТФШ..
Теперь может быть доказана Теорема (полноты КТФЬу). Формула Ф системы КТ является невыполнимой тогда и только тогда, когда она имеет опровержение в КТф1аг/.
1.2. Исчисление путей КТФраШ. Для заданной формулы Ф строится исчисление путей КТФра1Ь [14,15]. Поиск вывода в этом исчислении технически прост, а дерево вывода пустого пути в нем представляет каркас доказательства Ф в КТ!Щ.
Определение. Пусть С - формула системы КТ С1 и С2 - ее подформулы. Путем в Ф или Ф-путем будем называть любую конечную последовательность символов л,, л„ у,, у„ 0, которая удовлетворяет следующим правилам:
• Пустой путь (элемент) е есть Ф-путь.
• Пусть л есть Ф-путь, тогда:
• если С имеет вид С1лС2, то лл, и плг есть Ф-пути (л-путь),
• если С имеет вид С1уС2, тогда лу, и лу, есть Ф-пути (у-путь),
• если С имеет вид □С1, тогда лО есть Ф-путь (□-путь),
• если С имеет вид 0С1, тогда л0 есть Ф-путь (0-путь).
Подформула для Ф на пути л, обозначаемая Ф|л, определяется традиционно [5]. Исчисление путей КТ ФрЛ имеет вид:
Аксиомы: Г, л1, л2.
Правила вывода:
Г, лл,.лл:(л):Г, лу,Г.лу, (у):ПР.л0 (0): ПР.лД(П).
Г, П, л П, л Г,л Г,л
Все пути, входящие в секвенции П=л1,...,лп и ПП=л1П,...,л„П являются Ф-путями.
Определение. Образом секвенции пути или дерева вывода в КТФрЛ называется дерево вывода, полученное из первоначальных формул заменой каждого пути л на Ф|л.
Для доказательства полноты КТФрЛ используется соответствующая
Лемма (бимоделирования для КТФрЛ). (1) Пусть Б - дерево вывода в КТфрЛ, тогда образом Б является дерево вывода Ф в КТ!Щ. (2) Пусть Б - дерево вывода секвенции А1,...,А„ в КТ^ и л1,...,л„ - такие пути, что Ф|л=Д У/=1,...,и. Тогда существует дерево Б для л1,..., лп в КТфрЛ такое, что Б' является образом дерева Б. (3) Пункты (1) и (2) справедливы, если везде «дерево вывода» заменить на «опровержение».
Теорема (полноты для КТФрЛ). Формула Ф логики КТ невыполнима тогда и только тогда, когда пустой путь е имеет опровержение в КТфрЛ..
2. Обратное исчисление путей КТФ|Р
Определим обратное исчисление путей КТФР по аналогии с КТ"^.
Пусть ль...,л„ - Ф-пути. П=ль...,л„, ПП=л1П,...,л„П, и Г - последовательности путей. Тогда аксиомами КТФР являются любые формулы вида: л1, л2, где р=Ф|л1, ~р=Ф|й, для некоторой пропозициональной переменной р.
Правила вывода:
г, лл, (л,); г, лл, (л,): г, лу, д, лу, (у): г, л, л (С):
Г,л Г,л Г, д, л Г, л
ГЩ0+); ПР, л0 (0): ПР, лР (□).
Г,л П, л П, л
В [5] приведены свойства исчисления путей, позволяющие избавиться от некоторых избыточных секвенций в дереве вывода. Рассмотрим свойства, ограничивающие поиск опровержения лишь некоторым подмножеством деревьев вывода с помощью упорядочения на множестве всех Ф-путей.
Классический метод резолюций упорядочивает литеры в дизъюнктах и требует, чтобы правило резолюций применялось только тогда, когда наибольшие литералы в обоих дизъюнктах разрешимы. Введем подобные ограничения на построение деревьев вывода для логической системы КТ. Преобразуем классическое упорядочивание литер на модальный случай. В случае классического исчисления, возможно использовать любое упорядочение на подформулах Ф, которое принимает во внимание префиксное отношение. Непосредственный перенос подобного на модальные системы невозможен, поскольку не каждое упорядочение на путях сохраняет полноту. - Рассмотрим вывод: л, Лг л, Пу, , лг лг л, ◊ л, □, лг л, Пуг , лг лг л,'
л, лг Л, □, Лг лг Л, <
-(у)
Существенно то, что любой (ж)-вывод применяется выше правила (◊), потому что правило (◊) не применимо к верхним секвенциям. Тем не менее, если определено упорядочение на путях, где л,л;Пу; является наименьшим в первой предпосылке, то возможность применения (у) первым будет исключена, и доказательство не будет найдено. Отсюда следует, что определение Ф-упорядочения в модальных логиках является более сложным, чем в классических. - Определим упорядочение строго.
Определение. Пути назовем братьями, если один имеет вид пл, а другой - паг, либо пж, и пж.
Так, братьями являются пути лгл;Пу; и лгл;Пуг из рассмотренного выше вывода. Таким образом, каждая конъюнкция или дизъюнкция обуславливает пару братьев.
Обозначения. Везде ниже символом л будем обозначать любой из символов л или у; символом
* - любой из символов г или 1; символом ◊ любой из символов □ или ◊. Запись п'Цп обозначает «п' есть префикс п».
Определение. Для заданной формулы Ф назовем Ф-упорядочением любое отношение полного порядка ^ на множестве всех Ф-путей, удовлетворяющее условиям:
1. п1^п2, всякий раз когда:
a) модальная длина п1 строго больше модальной длины п2, или
b) п1 и п2 имеют одинаковую модальную длину, последний символ п1 - л,, а последний символ п2 - 0, или
c) п1 и л2 имеют одинаковую модальную длину и п2(п1 или
ё) если п1 и л2 имеют одинаковую модальную длину и последний символ п1 - ж,, последний символ л2 - ж,, при этом неверны оба
утверждения п2Сп1 и п1Сп2, но п1 имеет большую обычную длину, чем л2. 2. Не существует пути между двумя братьями, то есть не существует Ф-путей п1, л2, п3 таких, что п1^п2^п3 и п1, п3 - братья. Содержательно, отношение ( позволяет управлять порядком применения правил - сначала правила применяются к формулам, большим относительно (. Помимо этого отношение требует, чтобы заключение любого правила было меньше, чем любая его предпосылка в мультимножественном упорядочении. Условие (1а) гарантирует, что заключение меньше посылки при применении правил (◊) или (◊+). Условие (1Ь) введено для того, чтобы применение (◊) или (◊+) к секвенции, содержащей путь пл, не дало неполное исчисление. Условия (1с-ё) и (2) являются не только техническими и служат для облегчения доказательств утверждений этого параграфа, но и однозначно определяют любые два пути по отношению к порядку что важно в плане реализации.
Обозначение. Будем использовать запись п1^п2, если п1^п2 или п1=п2.
Для классической логики полнота метода резолюций с упорядочением доказывается чисто семантически. В случае модальной системы КТнеобходи-мо показать, что стратегия выбора наибольшей формулы (или пути) в дизъюнкте не конфликтует с критериями избыточности, рассмотренными ранее. Поэтому доказательство полноты будем проводить в два этапа. На первом этапе докажем свойства деревьев вывода в КГФра1Ь, а на втором этапе перенесем их в обратное исчисление КТФ1Р, используя соответствующий вариант леммы подсеквенциальности.
При доказательстве полноты (в отличие от [14]) появляются технические трудности, связанные с тем, что требование упорядочения формулируется в терминах предпосылок вывода, в то время как доказательство полноты для КГФра1Ь отталкивается от следствий. Это приведет к небольшому усложнению определения упорядочения на путях. Покажем, наконец, что Ф-упорядочение существует для любой формулы, а затем приведем алгоритм, который упорядочивает Ф-пути.
Алгоритм, работает с секвенциями из множества путей, эти секвенции обозначаются S„^S„-1^...^S0. Содержательно запись означает, что для любого и п'е^ч выполнено п^п'. Пути, принадлежащие одинаковым S¡ еще не упорядочены, но будут упорядочены позднее. На каждом шаге будем выбирать некоторое множество S¡ в секвенции, содержащее один или более членов и заменять S¡ двумя или более множествами S¡1^^...^^S¡Í такими, что S¡1^...^S¡|=S¡. Алгоритм заканчивает работу тогда, когда каждое множество содержит только один элемент.
Алгоритм? упорядочения. 1. Первоначально S¡ есть множество путей в формуле Ф модальной длины ¡.
2. Для всех Б, исключая последнее множество, выполняем:
2.1. выбираем все пути щ,...,п„ в Б заканчивающиеся ◊;
2.2. разбиваем Б на Б \{п1,...,п„}^{п1}^...^{п„};
2.3. разбиваем Б0 на Б0 \{е}^{е};
3. Пока существуют Б с более чем одним членом, выполняем
3.1. выбираем пух, и плг — два брата в такие, что т Б;
3.3. выбираем Ь и Я — множества всех префиксов соответственно из пл, и плг;
3.4. разбиваем на \ (Ь^К)^ЯуЬ^{ яххМ тл,}. Замечание. Некоторые множества, например, Ь
или Я, могут быть пустыми, в этом случае они не включаются в секвенцию.
Когда алгоритм^ завершится, секвенция состоит из одноэлементных множеств, в этом случае мы допускаем, что тщт', если секвенция имеет вид ...{пК.Чп}... .
Следующая лемма гарантирует, что алгоритм■ удовлетворяет определению Ф-упорядочения.
Лемма. Любое упорядочение, полученное алгоритмом^ на формуле Ф является Ф-упорядочением.
Поскольку на любом шаге алгоритма^ мы получаем Ф-упорядочение, имеет место очевидное следствие: Ф-упорядочение существует.
Понятие Ф-упорядочения введено для того, чтобы доказать существование опровержения в специальной форме, связанной с этим упорядочением. Ф-упорядочение сокращает пространство поиска вывода только таких опровержений. Для дальнейшего понадобится ряд дополнительных определений.
Обозначение. Пусть п - путь, Г - секвенция путей. Запись тГ является сокращением для утверждения, что л>~п' для любого п' из Г. Определение. (у)-вывод в КТФР&:
Г, пу, , ПУ ^-¡т-^ (V)
будем называть относящимся к Ф-упорядочению если щу^Г и пу^Г.
Аналогично вводится понятие (л)-вывода, относящегося к
Определение. (л)-вывод в КТФрЛ:
Г ПЛ, ПЛ (л) Г,п
будем называть относящимся к Ф-упорядочению если пл;^Г и пл^Г.
Определение. Дерево вывода в КТФрЛ будем называть относящимся к если каждый (л) и каждый (у) вывод из этого дерева относится к
Лемма (о выводе, относящемся к Пусть Ф — невыполнимая формула и > — Ф-упорядочение.
Тогда существует опровержение в КТФрЛ, которое относится к
Непосредственно не очевидно, как доказать это утверждение. Прямое применение индукции по длине пути без учета дополнительных соображений может привести к получению вывода, не относящегося к Ф-упорядочению (. Приведем пример подобной ситуации. Пусть, что щупу,. Рассмотрим секвенцию щ, щ. Мы можем применить правило (у) из КТФра11 для того, чтобы получить эту секвенцию:
" 2 1-" 2 г (v).
щ п2
Фактически, этот вывод является единственным, и, тем не менее, он не относится к у. Условия, наложенные на вывод для того, чтобы он относился к у, сформулированы в терминах посылок вывода, но в таком индуктивном доказательстве мы можем расширить заключение только новым выводом. Для разрешения этой проблемы следует избавиться от секвенций путей, которые приводят к описанной ситуации, ограничиваясь секвенциями специального вида. Это так называемые ^-компактные секвенции путей. Они определяются следующим образом.
Определение. Пусть щ,...,щ — пути в формуле Ф и у — Ф-упорядочение. Секвенция путей Г=щ,..., щ называется ^-компактом, если для каждого /=1,...,и выполняются следующие условия: (1) если щ - л-путь, тогда щл^Г и пд^Г; (2) если щ -у-путь, тогда щу^Г и щу^Г.
Используя обозначения для дизъюнкции, конъюнкции и модальностей, можно переформулировать определение ^-компактности следующим образом.
Определение*. Пусть щ,...,п„ - пути в формуле Ф и у — Ф-упорядочение. Секвенция путей Г=п1,...,п„ называется ^-компактом, если для каждого /=1,...,и и для каждого л-пути щ в Г мы имеем щл,>Г.
Заметим, что гарантируется условиями
Ф-упорядочения, следовательно требование щу,^Г можно заменить на щл»^Г\{щ}. Следующая лемма утверждает, что компактная секвенция Г не может привести к безвыходной ситуации.
Лемма (о у-компактах). Пусть >— Ф-упорядо-чение, тогда (1) посылка каждого (О)-вывода есть ^-компакт; (2) если Г - ^-компактная секвенция, встречающая в дереве вывода е, то каждый (л)-вы-вод, имеющий Г своим заключением, относится к (; (3) если Г - ^-компактная секвенция, встречающая в дереве вывода е и если Г содержит по крайней мере один у-путь или л-путь, то существует (л)-вывод, все посылки которого - ^-компакты.
Опираясь на доказанную лемму, можно доказать сформулированную ранее лемму о существовании вывода, относящегося к у.
Лемма. Если Ф — невыполнимая формула и >— Ф-упорядочение, то существует опровержение в КТФрЛ, относящееся к у.
3. Теорема полноты обратного метода без секвенций
Модифицируем исчисление КТФ'*1Р с учетом критерия избыточности.
Определение. Обозначим через КТФ'^1Р исчисление, полученное из КТФ1Р удалением всех:
• секвенций путей, содержащих пути различной модальной длины;
• секвенций путей содержащих противоречивую пару путей;
• выводов, не относящихся к
В КТФ ^р справедливы леммы бимоделирования и подсеквенциальности.
Лемма (бимоделирования для КТФ'^1Р). (1) Пусть D - дерево вывода в КТФ'^1Р. Тогда образ Б является деревом вывода Ф в КТФраШ. (2) Пусть Б' - дерево вывода секвенции А1,...,А„ в КТФра11 и щ,...,п„ - такие пути, что Ф|п=Д, V/ =1,...,и. Тогда существует дерево вывода Б для пь...,п„ в КТФ^рЛ такое, что Б' является образом формул дерева вывода Б. (3) Пункты (1) и (2) справедливы, если везде «дерево вывода» заменить на «опровержение».
Заметим, что исчисление КТФ1Р имеет различные правила для обработки конъюнкции. Поэтому мы изменяем определение дерева вывода, относящегося к Ф-упорядочению следующим образом.
Определение. Дерево вывода в КТФ1Р называется относящимся к Ф-упорядочению, если на вывод наложены следующие условия:
a) для каждого ^)-вывода этого дерева
Г, пV, А, пvr
—ГА—
Г, А,п
справедливо только, если и п/^-Г;
b) для каждого (л;)-вывода (соответственно, (лг)-вывода) исходного дерева
Г. П А
Г,П
(А,)
Г, ПА Г,п
- (а r)
справедливо пл^Г (пл^Г).
Лемма (подсеквенциальности для КТФ'^1Р). Пусть Б — опровержение е в КТФ1Р, относящееся к > и I — вывод в Б в виде:
Г Г
1 1 ' ' ' и
Г
и пусть даны секвенции путей А1,...,А„ такие, что каждая А; есть подсеквенция Г;, тогда существует дерево вывода Б' для А в КТФ'^1Р из А1,...,А„ такое, что А - подсеквенция Г.
Лемма подсеквенциальности обобщается для произвольного дерева вывода. Для этого необходимо применить метод математической индукции по длине дерева вывода.
Лемма (подсеквенциальности для деревьев вывода в КТФ'^1Р). Пусть Б - опровержение е в КТФ'^1Р, которое относится к Б" - поддерево вывода в Б секвенции Г из секвенций Г1,...,Г„ и А1,...,А„ - подсек-венции Г1,...,Г„ соответственно. Тогда существует дерево вывода Б' для секвенции А в КТФ'^1Р из А1,...,А„ такое, что А является подсеквенцией Г.
Перейдем к доказательству теоремы полноты для КТ%.
Теорема (полноты КТФ'^1Р) Формула Ф системы КТ невыполнима тогда и только тогда, когда е имеет опровержение в исчислении КТФ'V
Заключение
Предложенный формализм может послужить основой организации машин логического вывода в системах управления знаниями, где предполагается использование «персонифицированности» правил поведения системы (наличие экспертов с различными подходами к формализации конкретной предметной области). Эффективность вывода в предлагаемом подходе, в общем случае, не хуже, чем для классического метода резолюций, в то время как описательные возможности модальных теорий существенно шире классической логики. Следует также отметить, что предложенный подход исключает использование внелогических механизмов (подобных оператору усечения в Прологе) и в большинстве практических ситуаций требует меньших, нежели метод резолюций, ресурсов.
В настоящее время ведется работа по практической реализации машины вывода с целью возможного использования в ряде проектов по менеджменту знаний.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. - М.: Наука, 1983. - 386 с.
2. Giuchinglia F. a. o. SAT-based decision procedures for classical modal logics // Journal of automated reasoning. - 1999. - V. 854. -P. 56-78.
3. Horrocks I., Patel-Schneider P. FACT and DLP. Automated Reasoning with Analytic Tableaux and Related methods // Intern. Conf. TABLEAUX'98. - H. de Swart Eds. Lecture Notes in Artificial Intelligence. - 1998. - V. 1397. - P. 27-30.
4. Маслов С.Ю. О поиске вывода в исчисленьях общего типа // Записки ЛОМИ АН СССР. - 1972. - Т. 32. - № 17. -C. 117-121.
5. Voronkov A. Theorem proving in non-standard logics based on the inverse method // 11th Intern. Conf. on Automated Deduction. -1992. - № 607. - P. 648-662.
6. Фейс Р. Модальная логика. - М.: Наука., 1974. - 481 с.
7. Тарасов В.Б. Интеллектуальные системы в проектировании // Новости искусственного интеллекта. - 1993. - № 4. - С. 17-25.
8. Yoshikawa H. General Design Theory as a Formal Theory of Design // Intelligent CAD I - 1989. - V. 170 - P. 51-61.
9. Treur JA. A Logical Framework for Design Processes // Intelligent CAD Systems III: Practical Experience and Evaluation. - 1991. - P. 3-19.
10. Кашуба Л.А. Параллельное проектирование средствами CAD, CAM, CAE в жизненном цикле изделий машиностроения // Программные продукты и системы. - 1998. - № 3. - C. 63-89.
11. Смирнов А.В., Юсупов Р.М. Совмещенное проектирование: необходимость, проблемы внедрения. - СПб.: СПИИРАН, 1992. - 439 с.
12. Минц Г.Е. Резолютивные исчисления для неклассических логик // 9-й Советский Кибернетический симпозиум. - 1981. -Т. 2. - № 4. - С. 34-36.
13. Fitting M. Proof methods for modal and intuicionistic logics // Synthesis Library. - 1983. - V. 169. - P. 56-78.
14. Voronkov A. How to optimize proof-search in modal logics: new methods of proving redundancy criteria for sequent calculi // ACM Transactions and Computational logic. - 2001. - V. 1. - P. 1-35.
15. Новосельцев В.Б., Бурлуцкий В.В. Реализация обратного метода для модальной логики KT. - Томск: ТГУ, 2001. - 147 с.
УДК 004.89
СТРАТЕГИЯ УСТАНОВЛЕНИЯ ВЫВОДИМОСТИ ФОРМУЛ В СТРУКТУРНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ МОДЕЛЯХ
Д.А. Коваленко, В.Б. Новосельцев
Томский политехнический университет E-mail: msmaklaud@gmail.com
Рассматривается исчисление рекурсивных предложений для теории структурных функциональных моделей. Исследуются вопросы разрешимости и полноты исчисления. Предлагаются стратегия и алгоритм установления выводимости формул исчисления, показывается корректность алгоритма и определяется оценка его эффективности.
Введение
Рассматривается формальное исчисление, используемое для установления выводимости предложений в рамках теории структурных (С-) функциональных моделей [1, 2]. Проведенные исследования традиционно относят к области искусственного интеллекта. Прикладной стороной исследования является создание интеллектуальных программных комплексов широкого класса, опирающихся на дедуктивный подход в области менеджмента знаний. Термин «знание» здесь имеет ограниченную трактовку: знания представляются специальными строго определенными информационными структурами, допускающими автоматизированную обработку с использованием аппарата формальной логики. Представляемые результаты могут быть использованы при реализации различных информационных комплексов, - от экспертных [3] и когнитивных систем [4] до инструментальных и СЛБЕ-оболочек быстрого прототипирования программ
[5].
В первом разделе определяются используемые понятия и необходимые соглашения. Во втором вводится понятие интерпретации С-модели и формулируется исчисление функциональных предложений для теории структурных моделей [6], а также исследуются некоторые свойства построенного исчисления. Третий раздел посвящен описанию стратегии и базового алгоритма установления выводимости предложений языка. Для алгоритма доказывается свойство корректности, и устанавливаются сложностные характеристики. Наконец, в последнем разделе кратко рассмотрены особенности введения рекурсии.
1. Базовые определения
Дадим основные определения. Прежде всего, зафиксируем сигнатуру Б.
Определение 1. Зафиксируем Е=(Л,Р,Р,Б), где Л, Б, Р и Б - не более чем счетные множества (элементарных) имен объектов, функциональных символов, селекторных символов и имен схем, соответственно. Выделим в Б непустое конечное подмножество ЕеБ имен примитивных или первичных схем.
Элементы множества Л используются для формирования (имен) объектов. Связь объекта а с некоторой схемой £ отражается записью ¿(а). Если объект а связан со схемой £ и ¿еЕ, стандартная запись ¿(а) заменяется записью аБ либо а, когда ссылка на схему не важна или очевидна из контекста.
Определение 2. Выражение вида
/:аь..,ап^ао, (1)
где а;еЛ, ;=0,...,п - имена объектов, называется функциональной связью (ФС). В записи (1)/еБ -это имя ФС, а; - ее аргументы (; = 1,...,п), а0 - результат.
Имена объектов при моделировании прикладной предметной области (ПО) формируются следующим образом.
Определение 3. Пусть аеЛ,а- имя объекта, тогда а, а.а и а.а также являются именами. В записи а.а а называется префиксом. Длина имени а определяется числом вхождений элементов Л (с учетом возможных повторений).
Функциональные связи используются при задании (непервичных) схем объектов моделируемой ПО.
