CC BY
29
МАТЕМАТИКА
УДК 517.977, 519.173
НЕТРИВИАЛЬНЫЕ РАЗРЫВЫ ФУНКЦИИ ГОЛОВАЧА ДЛЯ ДЕРЕВЬЕВ
Т. В. Абрамовская
С.-Петербургский государственный университет, аспирант, tanya.abramovskaya@gmail.com
Введение. Рассматривается задача е-поиска на связном топологическом графе. Некоторые вопросы, касающиеся этой проблемы, были рассмотрены в статье [1]. В частности, основным результатом [1] является теорема о скачках функции Головача. В настоящей статье приводятся примеры, подтверждающие существенность условий упомянутой теоремы. Построенные здесь примеры опровергают гипотезу о том, что функция Головача любого планарного графа имеет только единичные скачки. Показано, что функция Головача для деревьев, состоящих из не более 27 рёбер, имеет только единичные скачки. Аналогичное утверждение доказано для деревьев, имеющих не более 28 рёбер, и степени вершин которых не превосходят трёх.
Проблема е-поиска формулируется следующим образом. В трёхмерном евклидовом пространстве рассматривается связный топологический граф с рёбрами, представляющими собой конечнозвенные ломанные, которые могут пересекаться только в вершинах. На графе находятся преследователи Р\,..., Р/~ и убегающий Е. Предполагается, что игроки обладают простыми движениями:
причём граф является для всех участников фазовым ограничением. Допустимыми управлениями игроков являются кусочно постоянные функции, заданные на произвольных замкнутых временных отрезках [0, т]. Траектории преследователей и убегающего — кусочно аффинные вектор-функции со значениями в графе. На графе введена метрика р — длина кратчайшего по евклидовой норме пути, полностью лежащего в графе. Команда преследователей пытается поймать невидимого убегающего, который, в свою очередь, стремится избежать поимки. Считается, что убегающий пойман преследователем, если оба участника находятся на расстоянии, не превосходящем заданного
© Т. В. Абрамовская, 2010
(.Рі):хі = щ, ||гц|| < 1, і Є 1,к,
(Е) : у = ио,
(1)
неотрицательного числа е. Задача е-поиска состоит в том, чтобы для каждого топологического графа найти е-поисковое число, т. е. наименьшее число преследователей, необходимое для успешного завершения е-поиска. Функция, которая каждому е сопоставляет е-поисковое число, называется функцией Головача.
В работе [2] показано, что функция Головача полунепрерывна справа.
Наименьшее число преследователей, осуществляющих поимку с нулевым радиусом на графе О, обозначается в (С).
Для натурального к < в (О) обозначим через е^(к) минимальный радиус поимки, с которым группа к преследователей ловит убегающего на О (в силу полунепрерывности справа функции Головача, минимальный радиус поимки существует).
Рассмотрим произвольный граф С. Предположим, е-поисковое число графа С равно к. Будем говорить, что функция Головача для графа О имеет в точке е > 0 скачок высоты I, если существует такое е' < е, что для каждого 6, е' < 6 < е, группа из к + I преследователей обеспечивает 6-поимку, в то время как группа из к +1 — 1 преследователей не может успешно завершить поимку с радиусом меньшим е.
Совокупность П траекторий {жі(£),..., ж^(£),£ Є [0, т]} команды преследователей Р = {Рі,..., Р^ } будем называть программой.
Программа П называется выигрывающей с радиусом поимки е, если для любой траектории убегающего у, заданной на [0, г], существуют і Є [0,т] и « € Ц такие, что р(ж;(£),у(£)) < е.
Множество С на графе О называется очищенным при использовании программы П в момент £ Є [0, т], если не существует траектории убегающего у, заданной на [0, т], такой, что ?/(£) Є Си УҐ < £ /э(ж*(£/), у(£/)) > є Для всех * Є 1, к.
1. Некоторые свойства функции Головача для деревьев
Приведённые в этом параграфе результаты опубликованы в [1].
Лемма 1. Для любого поддерева Т' произвольного дерева Т верно ет'(к) < ет(к).
Ветвью дерева Т, отходящей от вершины а, назовём замыкание компоненты связности множества Т\{а}.
Будем говорить, что преследователь Р е-близок (е-неблизок) к точке дерева а в некоторый момент £, если р(а,х(£)) < е (р(а, х(£)) > е).
При построении функции Головача часто полезной оказывается следующая лемма.
Лемма 2. Пусть на дереве Т существует вершина а, от которой отходят три ветви Ві, В2, В3. И пусть для каждой ветви Ві, і = 1, 2, 3, выполнено следующее: в любой программе команды Р, выигрывающей в задаче е-поимки на Ві, найдется момент времени, в который каждый из преследователей е-неблизок к а. Тогда команда Р не может успешно завершить е-поиск на Т.
Для произвольного е > 0 через Т(е) будем обозначать множество всех таких деревьев Т, что никакие две вершины дерева Т степени три или более не находятся на расстоянии 2е друг от друга. В [1] доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть Т Є Т(е), и пусть к преследователей ловят убегающего с радиусом поимки е на Т. Тогда группа из к + 1 преследователей осуществляет 6-поимку на Т, где 6 < е.
Существенным в условии последней теоремы является принадлежность дерева Т множеству Т(е). В параграфе 3 настоящей статьи приводятся примеры деревьев, для которых нарушается условие теоремы 1 при е = 0.5, и функция Головача для них имеет неединичный скачок.
2. Вспомогательные утверждения
Пусть Т — дерево, диаметральной цепью дерева Т будем называть цепь наибольшей длины в Т.
Пусть Z = (ах,...,ап) —произвольная диаметральная цепь Т, Ах,..., Ат —ветви, отходящие от вершин цепи Z, содержащие только одну вершину цепи Z. Через обозначим длину наибольшей цепи в начинающейся в вершине цепи Z, г € 1, то.
Рассмотрим случай, когда команда преследователей состоит только из одного преследователя. Тогда минимальный радиус поимки, с которым он гарантированно ловит убегающего на дереве Т, описывается простой формулой.
Лемма 3.
£т( 1) = шах к. (2)
£ г£ 1 ,т
Доказательство. Опишем выигрывающую программу одного преследователя на Т с радиусом поимки е, задаваемым соотношением (2).
Преследователь становится в вершину ах (ах —висячая вершина), переходит в вершину а2, далее для каждой ветви из Ах,..., Ат, которая отходит от а2, доходит до середины всех путей, ведущих из а2 в висячую вершину рассматриваемой ветви, очищая ветвь. После очищения всех ветвей, отходящих от а2, преследователь переходит в вершину аз, очищает все ветви, отходящие от неё, и т.д. пока не попадёт в висячую вершину ап. Таким образом, ет(1) < е.
Покажем, что верно обратное неравенство. Пусть е = 1д/2. Пусть Ад содержит вершину ар. Так как Z — диаметральная цепь, р(ар, ах) > и р(ар, ап) > 1д.
Пусть е' < е. Зафиксируем произвольную программу преследователя на Т. Рассмотрим три ветви Вх, В2, Вз, отходящие от ар такие, что Вх = Ад, В2 и Вз —ветви, содержащие ах и ап соответственно. Величина 2е' меньше , р(ар, ах) и р(ар, ап). Значит, для очищения Bi, г = 1, 2, 3, преследователю необходимо отдалиться от ар на расстояние, большее е' (так как в Bi есть висячая вершина, находящаяся на расстоянии больше 2е', от вершины ар). По лемме 2, ет(1) > е'. □
Из последней леммы ясно, что на дереве со степенями вершин не выше двух один преследователь обеспечивает поимку убегающего с нулевым радиусом поимки. Появление в дереве вершины степени выше двух приводит к тому, что для очищения дерева с нулевым радиусом поимки одного преследователя недостаточно.
Следующая теорема показывает, что скачок функции Головача для деревьев, имеющих хотя бы одну вершину степени большей 2, при увеличении численности команды преследователей с одного до двух всегда единичный.
Обозначим через Z^ диаметральную цепь дерева А{, г € 1, то. Через А* обозначим длину наибольшего пути, начинающегося в некоторой вершине цепи Zi, содержащего только одну вершину цепи Zi и ведущего в вершину, висячую в А^ По построению, ^ < ^.
Теорема 2. Если в(Т) > 1, то ет(2) < ет(1).
Доказательство. Пусть в(Т) > 1, то есть ет(1) > 0.
По лемме 3 е^(1) = А*/2, г (Е 1, т. Так как V* (Е 1, т А* < /*, верно е = та.х £^„. (1) <
1,т
£т(1). Построим выигрывающую программу двух преследователей с радиусом поимки £ на Т. Преследователь Рх становится в вершину ах, переходит в а2; Р2 очищает все те ветви из Ах,..., Ат, которые отходят от а2. Далее Рх переходит в вершину аз, Р2 очищает все ветви, от неё отходящие, затем Рх переходит в а4 и т. д., пока Рх не попадёт в вершину ап. На этом программа завершается.
Таким образом, построена выигрывающая программа двух преследователей с радиусом поимки £ < £т (1). П
3. Примеры деревьев с вырожденной функцией Головача
Рассмотрим дерево В, представленное на рис. 1 (цифры на рисунке означают длины рёбер). Как видно, В </. Т(0.5), покажем, что £В(3) = £В(2) = 0.5.
Для произвольного дерева Т и любых а Є Т и 6 > 0 определим множество N5 (а) = {х Є Т|р(а,х) < 26}.
Через Кі, где і = 1, 3, обозначим замыкание компоненты связности множества В\Жо.5(а), содержащей вершину 6і. Через К2 обозначим поддерево дерева Т, состоящее из трёх ветвей, отходящих от вершины 62 и не содержащих вершину а. Таким образом, Кі для каждого і = 1, 2, 3 — это дерево вида К (см. рис. 1), состоящее из трёх деревьев вида Б, соединённых в вершине, инцидентной рёбрам длины 3.
По лемме 3, є,5(1) = 0.5, єКі (1) = 2, і = 1, 2, 3.
Покажем, что є в (2) = 0.5. Выигрывающая программа двух преследователей с радиусом поимки 0.5 выглядит следующим образом. Преследователь Рі становится в вершину 6і, Р2 очищает две ветви вида Б, отходящие от вершины 6і. Затем Рі переходит в середину единичного ребра, инцидентного сі. Далее Рі переходит в середину ребра (а, 62), Р2 очищает дерево К2. Затем Рі переходит в середину единичного ребра, инцидентного С2. Далее Рі переходит в вершину 63, Р2 очищает ветви вида Б, отходящие от вершины 63. На этом поиск завершается.
Покажем, что є в (2) > 0.5. Для этого заметим, что є к (2) = 0.5, і = 1, 2, 3. Действительно, выигрывающая программа двух преследователей на Кі с радиусом поимки 0.5 такая: один из преследователей становится в вершину 6і, второй очищает ветви, отходящие от 6і (это возможно, так как є^(1) = 0.5). Предположим, что два преследователя пытаются очистить Кі с радиусом є' < 0.5. Заметим, что для дерева Е, состоящего из двух рёбер единичной длины и одного ребра длины 2, имеющих одну общую вершину (см. рис. 1), єе(1) = 0.5. Предположим, что на дереве Б один из преследователей стоит на расстоянии 2.5 от центральной вершины на ребре длины 3. Тогда, если он обладает радиусом поимки 0.5, неочищенное множество на Б — дерево вида Е. Значит, если один из двух преследователей на Б не отдаляется от висячей вершины, инцидентной ребру длины 3, больше, чем на 0.5, дерево Б не может быть очищено с радиусом поимки меньшим, чем 0.5.
Таким образом, для очищения любой ветви, отходящей от 6і в дереве Кі с радиусом поимки є', оба преследователя должны отдалиться от 6і на расстояние большее є'. По лемме 2 єКі (2) > є'. Значит, єКі (2) = 0.5. По лемме 1 єв (2) > єКі (2) = 0.5.
Покажем, что є в (3) = 0.5. Очевидно неравенство є в (3) < є в (2) < 0.5. Покажем, что є в (3) > 0.5. Как уже было сказано, є_к (2) = 0.5. Таким образом, для очищения поддерева Кі дерева В с радиусом поимки є' < 0.5 тремя преследователями необходимо, чтобы в некоторый момент все преследователи находились на ветви, отходящей от а и содержащей Кі, и были є'-неблизки к а. Сказанное выше верно для всех деревьев Кі, і =1, 2, 3: для очищения Кі с радиусом поимки є' всем преследователям в некоторый момент необходимо находиться на ветви, отходящей от а, содержащей Кі, и быть є'-неблизкими к а. По лемме 2, є в (3) > є'.
Мы показали, что функция Головача для дерева В имеет скачок высоты 2 в точке єв(2).
Относительно дерева В можно доказать важное утверждение: этот пример является минимальным по количеству рёбер. Если дерево состоит не больше чем из 27 рёбер, то теорема 1 выполняется для любого є, то есть функция Головача имеет только единичные скачки. Для доказательства этого факта удобно воспользоваться так называемыми сериями Парсонса.
В работе [3] рекурсивно строится последовательность множеств деревьев Ті, Т2,..., где Ті —полный граф с двумя вершинами, и если Т& (к > 1) уже определено, то Тк+і будет содержать всевозможные попарно неизоморфные деревья, которые получаются следующим образом. Пусть Ві,В2,Вз Є Тк (возможно изоморфные), выберем вершины аі Є ^Ві, і = 1, 2, 3, не имеющие смежных вершин степени один. Выберем дополнительную вершину а, соединим её рёбрами с аі, а2, аз, из полученного дерева удалим вершины степени два. Первые четыре множества представлены на рис. 2.
Дадим несколько определений.
Стягиванием ребра (а, 6) графа О назовём процедуру получения из графа О графа О' следующим образом: удаляются вершины а, 6 и ребро (а, 6), вводится дополнительная вершина с, и каждое ребро, инцидентное а или 6 в графе О, кроме (а, 6), заменяется ребром, инцидентным с и той вершине, которой это ребро было инцидентно в О.
Будем говорить, что граф Н содержится в графе О, если О имеет подграф О', который либо изоморфен Н, либо из О' стягиванием некоторых рёбер можно получить граф, изоморфный Н.
Дерево Т называется минимальным деревом с поисковым числом к, если в(Т) = к и для любого дерева Т', неизоморфного Т и содержащегося в Т, в(Т') < к.
T
T
1 4
Известно, что Tfc — множество минимальных деревьев с поисковым числом k, ив [4] доказана следующая теорема.
Теорема 3. Пусть T —дерево; s(T) = k тогда и только тогда, когда существует T' £ Tk, которое содержится в T, а для любого T" £ Tfc+i T не содержит T".
По теореме 3 видим, что для дерева T, состоящего не более чем из 27 рёбер, s(T) < 4. Действительно, среди деревьев множества T4 единственное (первое из приведённых на рис. 2 — обозначим его T41) состоит из 27 рёбер, а из равенства s(T) = 5 следует, что в T содержится дерево из T5, в то время как минимальное число рёбер для дерева из множества T5 — 81.
Теорема 4. Пусть дерево T имеет не более 27 рёбер. Тогда функция Головача для дерева T имеет только единичные скачки.
Доказательство. Если s(T) = 1, функция Головача для дерева T константа. Если s(T) = 2, то, по определению, ет(1) > 0, в то время как ет(2) = 0. Видим, что функция Головача имеет один единичный скачок.
Если s(T) = 3, то ет(3) = 0, ет(2) > ет(3), ет(1) > 0. По теореме 2 ет(2) < ет(1).
Итак, 0 = ет(3) < ет(2) < ет(1).
Если s(T) = 4, то T изоморфно T41. Как и раньше, ет(4) = 0, ет(3) > ет(4), ет(1) > 0. По теореме 2 ет(2) < ет(1). Значит, осталось выяснить, будет ли скачок единичный при увеличении числа преследователей с двух до трёх.
Введём для вершин обозначения, представленные на рис. 3. Через B, C, D обозначим ветви, отходящие от вершины а, содержащие вершины bi, ci, di соответственно.
В силу леммы 1 верно неравенство ет(2) > max {ев (2),ес(2),ед (2)}. Если оно выполняется как строгое, то можно сразу указать выигрывающую программу трёх преследователей с радиусом поимки е = max {ев (2),ес(2),ед (2)}: один преследователь становится в вершину а, два других очищают ветви B, C, D.
Предположим, что неравенство выполняется как равенство. Пусть среди величин ев(2), ес(2), е_о(2) есть неравные между собой, для определённости, ев(2) > ес(2) >
Д
4
Рис. 3.
є_о(2). Тогда вновь можно указать программу П трёх преследователей с радиусом поимки є = є_о(2). Выглядит она следующим образом. Рі становится в вершину 6і, два других преследователя очищают отходящие от 6і ветви, содержащие 63 и 64 (два преследователя могут очистить их с нулевым радиусом поимки). Рі переходит в вершину 62, Р2 очищает инцидентное 62 висячее ребро. Рі переходит в вершину а, два других очищают дерево Р. Затем Рі переходит в С2, Р2 очищает инцидентное С2 висячее ребро. Рі переходит в вершину сі, два других преследователя очищают отходящие от сі ветви, содержащие сз и С4. На этом программа завершается.
Таким образом, остаётся рассмотреть случай, когда єт(2) = єв (2) = єс(2) = єд(2) = є. По лемме 2, если для каждой из ветвей В, С, Р любая выигрывающая программа двух преследователей с радиусом поимки є содержит момент времени, в который все преследователи находятся на расстоянии, большем чем є от а на рассматриваемой ветви, то єт(2) > є. Значит, среди В, С, Р есть такая ветвь, для которой существует выигрывающая программа двух преследователей с радиусом поимки є, в течение которой один из преследователей не отдаляется от а дальше чем на є. Пусть это ветвь Р.
Обозначим замыкания компонент связности множества Р\Же(о) через А'*, і Є 1, в, где в может принимать значения 1,2, 3,4 или 5. Для каждого і Є 1, в дерево А'* изоморфно одному из деревьев /і, /2, /4, /5, представлених на рис. 4.
Если дЖе(а) П Р не содержит вершину ^1 и не лежит на ребре (а, ^1), то можно подобрать такое 6 < е, что поддеревья, получаемые замыканием компонент связности множества Р\Жй(а), будут изоморфны деревьям /1, /2, /3 или /4, а два преследователя очищают их с нулевым радиусом поимки.
Рис. 4.
В этом случае изменим программу П трёх преследователей следующим образом. Пусть преследователь Рі, перейдя в вершину а, совершит всевозможные переходы в те точки ветви Р, которые отдалены от а на расстояние 6, при этом два других преследователя очищают поддеревья, содержащие компоненты Р\Ж^(а), что может быть сделано ими с нулевым радиусом поимки. Значит, єт(4) < 6 < є.
Если дЖє(а) П Р лежит на ребре (а, йі) (в = 1), то єКі (1) > єКі (2).
Заметим следующее. Рассмотрим произвольное дерево К и дерево К', которое получено из К добавлением произвольного висячего ребра длины не больше а. Если команда Р ловит убегающего на К с радиусом поимки є, то эта же команда преследователей, используя ту же программу, ловит убегающего на К ' с радиусом поимки є + а.
Определим а = 1/2 (єк1 (1) — є к (2)). Для дерева Кі, полученного из Кі удлинением висячего ребра, инцидентного ^і, не совпадающего с висячим ребром в дереве Р, на величину а, верно, что є к (2) < єКі (2) + а = 1/2 (єКі (1) + єКі (2)) < єКі (1). Кроме того, так как существует выигрывающая программа двух преследователей с радиусом поимки є на Р, в течение которой один из преследователей не отдаляется от а дальше, чем на є, верно є к (1) < є.
Вновь изменим программу П следующим образом. Пусть преследователь Рі, перейдя в вершину а, отойдёт от неё на расстояние є — 1 /2а, тогда двум другим преследователям остаётся очистить на дереве Р дерево вида Кі, которое может быть очищено ими с радиусом поимки є_к; (2) < є. Далее преследователи действуют так же, как в программе П. Таким образом, неравенство єт(3) < єт(2) выполнено и для случая в = 1.
Рассмотрим случай, когда ^і Є дЖє(а)ПР (в = 2, р(а, ^і) = 2є). Определим є ' = є/2, покажем, что єт(3) < є '. Для этого изменим в программе П способ очищения ветви Р. А именно, преследователь Рі, перейдя в вершину а, должен отойти от неё на расстояние є ' по ребру (а, ^і), тогда преследователям Р2 и Рз остаётся очистить на Р дерево, изоморфное /4, для которого известно следующее: длина висячего ребра, инцидентного ^і, не совпадающего с висячим ребром в дереве Р, равна 2є'. Преследователи Р2 и Рз должны совершить следующее: Р2 становится в ^2, Рз очищает инцидентные ^2 висячие рёбра, затем Р2 и Рз переходят в ^з, Рз перемещается в вершину ^і, отходит от ^і на є ' по ребру (а, ^і), возвращается в ^і, очищает висячее ребро, инцидентное ^і, возвращается в ^з, далее Р2 и Рз переходят в ^4, в завершении Рз очищает инцидентные ^4 висячие рёбра. Изменённая таким образом программа П является выигрывающей для трёх преследователей на Р с радиусом поимки є '. □
Замечание. Попутно было показано, что для любого дерева, изоморфного Т4і, функция Головача имеет только единичные скачки.
Верна следующая теорема.
Теорема 5. Пусть дерево Т имеет не более 28 рёбер и степени вершин Т не более трёх. Тогда функция Головача для дерева Т имеет только единичные скачки.
Доказательство. В силу теоремы 4 достаточно доказать утверждение для дерева Т, имеющего ровно 28 рёбер, и степени вершин которого не превосходят трёх. Заметим, что в(Т) < 4.
Если в(Т) < 3, то по теореме 2 и определению функции Головача скачки вт единичные.
Пусть в(Т) = 4. Среди деревьев множества Т4, представленного на рис. 2, лишь одно (обозначенное ранее Т4і) имеет 27 рёбер и вершины степеней 1 и 3. Остальные деревья этого множества имеют либо вершины степени 4, либо больше 28 рёбер. Таким образом, рассматриваемое дерево Т должно содержать поддерево, изоморфное Т4і, обозначим это
поддерево Т' . Заметим, что Т из Т' может получиться только «подвешиванием» ребра к висячей вершине дерева Т' , так как иначе образуется вершина степени 4, значит, Т изоморфно Т41. По замечанию, сделанному после теоремы 4, функция Головача для дерева Т имеет только единичные скачки. □
Существенным в условии теоремы 5 является ограничение на число рёбер. Для дерева Б, представленного на рис. 5, имеющего 29 рёбер и вершины степени не выше трёх, функция Головача имеет неединичный скачок в точке ед(2) = 0.5.
Доказательство проводится совершенно аналогично доказательству существования неединичного скачка в точке 0.5 для дерева В, представленного на рис. 1.
На основании леммы 3, теоремы 3 и проведённых выше рассуждений функции Головача для деревьев В и Б выглядят следующим образом:
4. Малые изменения длин рёбер
В этом параграфе мы покажем, что приведённые примеры деревьев с неединичными скачками функции Головача можно привести к невырожденной ситуации сколь угодно малым изменением длин рёбер. Покажем, что для любого малого 6 > 0 (6 < 1) уменьшение длины ребра (а, 62) дерева В, представленого на рис. 1, на 6 даст нам дерево В ', функция Головача для которого будет иметь только единичные скачки.
Значение єд/(1) вычисляется по лемме 3 и равно 2.5 — 6/2. По теореме 2 єд/(2) <
Рис. 5.
(3)
Покажем, что £в(2) = 0.5. Сохраним обозначения вершин в дереве B' и обозначения Kj для деревьев вида K (см. рис. 1), отходящих от вершин bj, i = 1, 2, 3. Как прежде, £Ki = 0.5, причём, как было отмечено ранее, для очищения Kj с радиусом поимки £' < 0.5 обоим преследователям в некоторый момент необходимо быть £ '-неблизкими к bi и находиться на поддереве Kj вида S. Таким образом, по лемме 1 £в > 0.5.
Обратное неравенство очевидно, ведь дерево B ' отличается от B только длиной ребра (а, 62) (выигрывающую программу двух преследователей с радиусом поимки 0.5, описанную для дерева B, можно полностью перенести на случай двух преследователей на дереве B ).
Понятно, что B ' £ T(0.5), тогда по теореме 1 £В(3) < 0.5.
По теореме 3 s(B') = 4. Таким образом, £в (3) > £в (4) = 0. Нетрудно проверить, что £д/(3) = 0.5 — J/2.
Аналогично для второго примера, дерева D, представленного на рис. 5, уменьшение длины ребра (а, b) на сколь угодно малую величину тоже приведёт к дереву D' , для которого функция Головача будет невырожденной.
Литература
1. Абрамовская Т. В., Петров Н. Н. О некоторых задачах гарантированного поиска на графах // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2010. Вып. 2. С. 64-70.
2. Головач П. А. Об одной экстремальной задаче поиска на графах // Вестн. ЛГУ. Сер. 1. 1990. Вып. 3. С. 16-21.
3. Parsons T. D. Pursuit-evasion in a graph // Theory and Application of Graphs. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 642. Berlin: Springer, 1978. P. 426-441.
4. Головач П. А. Минимальные деревья с данным поисковым числом // Кибернетика и системный анализ. 1992. №4. С. 25-31.
Статья поступила в редакцию 11 марта 2010 г.
