Нестационарный теплообмен тел произвольной формы* Текст научной статьи по специальности «Физика»

T.V. LAPOVA, E.V. PЕTRОVА, V.I. OTMAKHOV, Z.I. OTMAKHOVА

ATOMIC EMISSION SPECTROSCOPY CONTROL OF THE ATMOSPHERE POLLUTION BY HEAVY METALS

The number of the industrial and atmospheric aerosols analysis carried out by atomic emission spectroscopy (AES) investigations are observed in the paper. The different sample preparations of the filters AFA for the spectral analysis were studied. It was shown that, combined sample preparation is the optimal procedure for all kinds of aerosols filters. The special carrier for the optimization of atomic analysis was found. On the basis of obtained results, the method of the atomic emission determination of metals in industrial and atmospheric aerosols was developed.

УДК 536.24

А.И. БОРОДИН, докт. физ.-мат. наук,

Е.А. ИВАНОВА, аспирант,

ТГАСУ, Томск

НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ТЕПЛООБМЕН ТЕЛ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ*

Предложен новый метод расчета средней (интегральной) температуры тела произвольной формы в режиме охлаждения (нагревания) - зональный интегральный метод (ЗИМ). Основные достоинства ЗИМ - простота, универсальность и удовлетворительная точность в практических приложениях - продемонстрированы на известных аналитических решениях и на ранее полученных авторами результатах численного решения задач нестационарного теплообмена.

Введение

Процесс переноса теплоты в неподвижной среде при отсутствии внутренних источников (стоков) теплоты описывается дифференциальным уравнением теплопроводности, общий вид которого в декартовых координатах

д (^ Л д (^ Л д (. дt Л

рс— = —IX—1 + — X— +—IX—I, (1)

дт дх ^ дх) ду ^ ду) дг ^ дг)

где t - температура; т - время; р - плотность; с - удельная массовая теплоемкость; X - коэффициент теплопроводности; х, у, г - линейные координаты.

Условия на контактной границе S с подвижной средой записываются в виде

-х^

дп

= а( -i), (2)

S

* Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 04-01-00856. © А.И. Бородин, Е.А. Иванова, 2008

где п - нормаль к поверхности, а - коэффициент теплообмена с внешней средой, 4 - температура внешней среды.

В качестве начальных условий задается распределение температуры

В результате решения этой краевой задачи (1) - (3) определяется распределение температуры в объеме в любой момент времени, т. е.

В общем случае (произвольные область и начальное распределение, зависящие от температуры параметры задачи, анизотропность среды) нахождение решения (4) представляет собой сложную проблему.

Аналитические решения задачи (1) - (3) найдены лишь для простых тел (пластина, цилиндр и шар) [1].

Попытка решить задачу охлаждения (нагревания*) для тел произвольной формы была реализована в теории регулярного теплового режима [2], в которой весь тепловой процесс разбивается на две стадии: начальную стадию (иррегулярный режим) и стадию регулярного режима. Для стадии регулярного режима были определены «связи, существующие между темпом охлаждения, с одной стороны, и физическими свойствами тела, его формой, размерами и условиями охлаждения - с другой» [3]. Что касается иррегулярного режима, то здесь создатель теории столкнулся со сложными математическими проблемами: «... о составных телах и говорить нечего... - дело, очевидно, безнадежное» [2, с. 147], «.даже приближенная оценка длительности иррегулярного режима на основании теории невозможна» [Там же, с. 148].

Таким образом, теория регулярного теплового режима решает вопрос

о направлении интегральных кривых, но не говорит о том, как попасть на нужную интегральную кривую.

Во многих практически важных случаях знать распределение температуры внутри тела и необязательно, достаточно уметь определять среднюю (интегральную) температуру t интересующего объекта в нужный момент времени. Кроме того, расход теплоты также определяется через среднюю температуру [1].

Зональный интегральный метод расчета средней температуры

Рассмотрим процесс охлаждения тела произвольной формы при следующих упрощающих изложение теоретических выкладок предлагаемого подхода предположениях:

- температура внешней среды tG = const;

- коэффициент теплообмена тела с внешней средой а = const;

- объем тела V (а следовательно, и площадь поверхности S), плотность тела р и его удельная массовая теплоемкость с постоянны;

* В дальнейшем речь для определенности будет идти об охлаждении, так как нагревание отличается от охлаждения лишь сменой знака между разностями между температурой объекта и температурой окружающей этот объект внешней среды.

Ц т=0 = t0( X У, z).

(3)

t = t (т, х, y, z).

(4)

- внутри тела не происходят ни фазовые переходы, ни химические реакции, т. е. отсутствуют явления, сопровождающиеся выделением или поглощением теплоты.

Проинтегрировав (1) по всему объему V, а по времени от т до т+Дт и учитывая (2), получим

т+Дт

Q = рсД1У =1 ( ф I йт = а(£с — 1)БДт

или М = — ( - г')—Ах (5)

рс V

где А1 - изменение средней температуры тела за время Дт.

В силу конечной скорости теплообмена внутри тела это изменение средней температуры АТ за время Дт приходится не на всю область V, а только на ее часть (зону) Д V, которая непосредственно примыкает к поверхности контакта с внешней средой - это основное положение предлагаемого метода.

Средняя температура Т в каждый последующий момент времени т + Дт определяется как

Ч А =

1т+Ат V

V + АtАV _

- = г

- АV -

АV

+ Аг----------------------. (6)

V $

+ Аг — — г V

Средний размер зоны, а именно среднюю ее толщину к, можно определить как

АV

к — ■

$

Для ее вычисления воспользуемся условием равенства тепловых потоков на границе раздела двух сред, формула (2). Приняв гипотезу, что изменение температуры в зоне толщиной к равно перепаду температур между телом и внешней средой, получим

к=а. (7)

а

Как видно, толщина зоны проникновения теплоты через поверхность тела зависит от теплофизического свойства тела (X) и от внешних условий теплообмена (а).

Таким образом, по известной средней температуре на /-м временном слое (г/) средняя температура тела на следующем (/+1)-м временном слое находится по формулам:

А = — (с - г/ Ат , ^+1 = г/ +— (с - г/ / V] Ат

рс V рс ^ V)

_ _ ^ _ А $ Л2

или короче: г/+1 — г/ +— (гс - г/) I — I Ат . (8)

рс ^ V )

Интересно отметить, что средняя интегральная температура не зависит от внешних условий теплообмена. Это объясняется тем, что от этих внешних

условий зависят по отдельности как изменение температуры (А!) в зоне, так и размер самой зоны (И). Причем с увеличением теплообмена с внешней средой А! увеличивается, а толщина зоны И, наоборот, уменьшается.

В дальнейшем для краткости данный подход к вычислению средней температуры тела будем называть методом ЗИМ (зональный интегральный метод).

Продемонстрируем возможности метода ЗИМ на известных аналитических решениях задач теплообмена с граничными условиями третьего рода (1) - (3) [1], причем в аналитическом представлении учитывались первые шесть членов ряда, что обеспечивает очень высокую точность решения. Решение по ЗИМ практически не зависит от выбора шага по времени (расчеты при Ат, равном 10 и 100 с, графически совпадают).

Параметры, определяющие все нижерассмотренные задачи, принимались равными:

а = 8 Вт/(м2К); Х = 0,14 Вт/(мК); р = 350 кг/м3;

с = 2300 Дж/(кг К); !с =-40 0С; !0 =-110С. (9)

Неограниченная пластина толщиной 28

$ 1

Тогда отношение, входящее в (8), — = —, 5 = 0,2 м .

V 5

На рис. 1 представлена зависимость средней (интегральной) температуры пластины от времени т, с (сплошная - аналитическое решение, пунктирная - решение, полученное по методу ЗИМ).

Рис. 1. Решение задачи охлаждения пластины

Неограниченный цилиндр радиусом Я

Б 2

— = —, Я = 0,2 м . Решение задачи представлено на рис. 2.

V Я

Рис. 2. Решение задачи охлаждения цилиндра Шар радиусом Я

Б 3

— = —, Я = 0,2 м . Решение задачи представлено на рис. 3.

V Я

Рис. 3. Решение задачи охлаждения шара

Отклонение численного решения (ЗИМ) от аналитического по абсолютной величине во всех трех задачах представлено на рис. 4. Видно, что максимальное расхождение по средней интегральной температуре на протяжении всего процесса охлаждения не превышает 3-5 °С. Что касается времени полного охлаждения, то оба подхода (аналитический и ЗИМ) дают одинаковое значение.

□ °

□ п

X - пластина

□

□ - цилиндр

а аа п

А - шар А

2 -

□

Л х х □ о< Х

X - *х

X

□

▲ X

А пх

А □ X !ё(т)

—I----------------------------------------------------1-1-1-1-АААА-,—X X

2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6

□ X X

!, 0С

5

4

3

1

0

2

Рис. 4. Сравнение аналитических решений с решениями по методу ЗИМ для простейших тел: пластины, цилиндра, шара

Охлаждение стены

В работе авторов [4] численно решена задача охлаждения стены (толщиной 5), в которой на внешней поверхности стены задано граничное условие 3-го рода

Ян =а н - ^, (10)

а на внутренней поверхности - граничное условие 2-го рода

( а 1

Яв =а в (в0 - ^0 )ехр-------Ч- х. (11)

I свРвО )

В соответствии с предлагаемым методом ЗИМ зависимость средней температуры стены вычисляется по формулам

- Я + Я 1 А! =ч н Нв- Ат, (12)

рс 5

Ив = —, И = —, (13)

а в а н

- - -И -И

! г+1 = !г + А!—--^. (14)

5

В [4] приведена номограмма для определения средней температуры стены толщиной 0,2 м из соснового бруса в процессе ее охлаждения только с наружной поверхности и подводе теплоты с внутренней стороны за счет

снижения энтальпии воздуха в помещении. На рис. 5 представлена эта зависимость средней температуры стены от времени при температуре наружного воздуха, равной минус 40 °С, и здесь же нанесена кривая, рассчитанная по методу ЗИМ. Расхождение результатов не превышает 3,5 °С.

Рис. 5. Зависимость средней температуры стены от времени охлаждения

Приведенные примеры решения задач нестационарного теплообмена достаточно убедительно демонстрируют основные преимущества нового метода ЗИМ, а именно: простоту вычисления, универсальность в подходе и приемлемую для практики точность вычисления средней температуры изучаемого объекта в режиме охлаждения.

Библиографический список

1. Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. - М. : Высшая школа, 1967. - 600 с.

2. Кондратьев, Г.М. Регулярный тепловой режим / Г.М. Кондратьев. - М. : Госуд. Изд-во технико-теоретической лит-ры, 1954. - 408 с.

3. Михеев, М.А. Основы теплопередачи / М.А. Михеев, И.М. Михеева. - М. : Энергия,

1977. - 344 с.

4. Бородин, А.И. Закономерности температурных режимов наружных деревянных стен из бруса в предельных случаях охлаждения / А.И. Бородин, Н.А. Цветков, Е.А. Иванова // Вестник ТГАСУ. - 2007. - № 2. - С. 161-168.

A.I. BORODIN, E.A. IVANOVA

NON-STATIONARY HEAT EXCHANGE OF SOLIDS OF ANY FORM

The new method of calculation of average (integrated) temperature of solid of any form in a mode of cooling (heating) - zone integrated method (ZIM) is offered in the paper. The basic advantages of ZIM - simplicity, universality and satisfactory accuracy in the practical applications are shown in the known analytical decisions and on the earlier received results of the numerical decision of tasks of non-stationary heat exchange.