Нестационарный массообмен в процессах удаления влаги из фосфолипидных эмульсии подсолнечного масла Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.8: 665.37.047.79

Нестационарный массообмен в процессах удаления влаги из фосфолипидных эмульсии подсолнечного масла

C. Алтайулы, С. Т. Антипов, И.О. Павлов

Воронежский государственный университет инженерных технологий

sagimbek@mail. ru

Предложено решение задачи нестационарного массообменного процесса удаления влаги из фосфолипидной эмульсии подсолнечных масел в вакуумном цилиндрическом ротационно-пленочном аппарате с использованием метода конечных элементов.

Ключевые слова: математическое моделирование, метод конечных элементов, массообмен, фосфолипидные эмульсии, ротационно-пленочный аппарат.

Unsteady mass transfer processes in removing moisture from the phospholipid emulsion of sunflower oil

S. Altayuly,S.T. Antipov, I.O. Pavlov

Voronezh State University of Engineering Technology [email protected]

Proposed solution to the problem of unsteady mass transfer processes, removal of moisture from the phospholipid emulsion of sunflower oil in a cylindrical vacuum rotary-film apparatus, using the finite element method

Keywords: mathematical modeling, finite element method, mass transfer, phospholipid emulsions, rotary-film apparatus.

Распределение высоковязкой термолабильной фосфолипидной эмульсии на внутреннюю поверхность цилиндрического корпуса аппарата осуществляется центробежной силой вращающимися лопастями ротора и создает горизонтально расположенную цилиндрическую тонкослойную кольцевую пленку. Фосфолипидная эмульсия в виде тонкой пленки

перемешается вдоль ротационно-пленочного аппарата в зависимости от подачи фосфолипидной эмульсий по зазору между кромки лопасти ротора и внутренней поверхности корпуса аппарата. Преимуществом тонкого слоя при выпаривании в ротационно-пленочных аппаратах под вакуумом является малое время пребывания высоковязких жидких пищевых термолабильных продуктов в зоне нагрева.

Слой фосфолипидной эмульсии можно представить в виде кольцевой цилиндрической фигуры радиусом Я, толщиной 8 = Я - Яс, длиной Ь и внутренним радиусом кольца Яс . Температура внутренней стенки корпуса аппарата на этом участке нагрева поддерживается постоянной и на внутренней поверхности пленки происходит испарение под вакуумом.

Для решения задачи принимаем уравнение нестационарного массопереноса вещества С = (г, 2 , г) в цилиндрической системе координат (г , 2 ) [1, 2]

дС дС дС тл( 1 д ( ,дСЛ д2СЛ

— + vг —- + V. —- = Бт д I д г' . д г' т

г е[Яс, Я], 2е [0, Ь], г е[0, гк], (1)

с начальным условием

С(г', 2 ',0)= С0 г С0 = сотг

, где С0 = сотг, (2)

V

и граничными условиями первого рода на границе °1;

С (г ', 2, г)|„ = С

третьего рода на границе 2;

дС(г', 2', г)

81 0, (3)

- А.

д г'

=Р(С„ - С„)

(4)

С

условием непроницаемости на границе ° 4;

дС(г', 2 ', г)

дг ’

= 0

(5)

1 г

где уг, - компоненты вектора скорости в направлении осей г и 2

которые могут быть определены из уравнений Навье-Стокса.

В новых переменных

(6)

уравнение (1) представим в безразмерной форме

д С д С д С т( 1 д ( дС} д2С ]

■ + иг-----------+ и2

дт д г д г

= К,

г дг ^ дг ) дх2

г е [гс, гк ] 2 е [0, 2к ] те [0,1]

, (7)

где гс ^С / ' гк ^ / -^сю • 2к ^ / Аю • иг = Уг / X» • и2 = / V» • / гк • А»

масштабная длина области и базовая скорость системы соответственно. За

масштабную длину принимаем наружный радиус _ ^» = ^.

Условия (2) _ (5) в новых переменных (6) принимают вид

С(г. 2, 0) = С0. С(г. 2,т)|2=0 = С0.

дС(г, г, г)

д г

= В1т (Сп “Сю)

д С (г, г, г)

д г

= 0

Г = Гк

(8)

Решение дифференциального уравнения (7) _ (8) заменим другой задачей,

т.е. найти распределение концентрации C^г, z, т) следующий функционал

, которое минимизирует

1 = -1

2 V

чд г у

С дСл

кд 2 у

2

+ 2С| — йт

Вт

гй¥ + —т | г (С - Сю)2 йБ

2 б2

(9)

где V - объем исследуемой области; Б - площадь соответствующей поверхности.

Вся область разбивается на ЫБ конечных элементов [3]. Тогда условие

минимизации значения функционала (9) принимает следующий вид

д 1 д ЫБ ( \ ЫБ д 1(е)

д 1 д у 1(е > = у д 1 = 0

. (10)

дС(е)f дС(е)Т е=1 е=-дС(е)^

При этом используем четырехузловой изопараметрический конечный элемент. Для аппроксимации концентрации С во всей области конечного элемента используем функции форм следующего вида

С(я, *) = У N (я, з)С, = [Ы(я, * )]{^(е|}

г = г.

с

С(е)} = [с(е с(е с(е) с(е]

конечного элемента,

Из условия минимального значения для функционала (10) получим систему линейных дифференциальных уравнений вида

[т(е)]С (е)}+ [к (е)]{с}(е) = {р(е)}

т

(е)

где

і / ^ Т N ])

V (е)

ёУ

[к(е>]= К і г

V(е)

д N" т ~д N" + "д N" т

д г д г д г

д N д г

с (е)}=

ёУ

д с

(е)'

дт

(іі)

[к (е)]=[к1е|]+[к2е|]+[к3е)].

*2' )]= В1„ і г N № ] ёЭ

к (е) 1к3

у\е)

д N д г

ёУ {р<е) }= В1„ і гМтт„ ж

Общая система уравнений формируется из систем линейных дифференциальных уравнений конечных элементов (11)

е^]{; }+[к ]{с}=м. <12)

Систему (13) решаем, используя схему Кранка-Николсона [4]. Предполагаем, что

{Ст.ЛтМСтЬ^т.дЛ-И

2 > (13) где Ат - шаг интегрирования. Из (13) выражаем скорость изменения концентрации в момент времени т+Ат в виде следующего уравнения

{!,т«т}= Ст}+^-({Ст+Дт}-{Ст}) „

Ат . (14)

Из выражений (12) и (14), получаем конечно-разностное уравнение для определения искомой зависимости

2 м+К £Мт}=\м{-2{сЛ-СЛ^ + ^р}

Ат

где

вектор-столбец правой части уравнения (15) в момент времени т+Ат/2. Алгоритм этой схемы состоит в последовательном решении уравнения (15).

У

3

Метод конечных элементов реализован в математическом пакете символьной математики Maple [5], использование которого позволяет исследовать нестационарный массообменный процесс при удалении влаги из фосфолипидной эмульсии подсолнечных масел и проектировать высокоэффективные конструкции цилиндрического ротационно-пленочного аппарата.

Обозначения

C C C C

Cю- концентрация распределяемого вещества (влаги), кг/кг:

R R

текущая, начальная, на поверхности слоя и в ядре внешней фазы; ’ с -наружный и внутренний радиус цилиндрического кольца слоя фосфолипидной

т + V V

эмульсии, м; L - длина аппарата, м; ‘ - время протекания процесса, с; r ’ z -

компоненты вектора скорости в направлении осей r' и z', м/ к; Dm -

коэффициент диффузии, м2/с; Р - коэффициент массоотдачи, м/с; Ki = 1/(Re Sc)

- комплексный критерий; Re = v« /v - число Рейнольдса; Sc ~Vco ^Dm - число

Шмидта; Bim 1 Dm - критерий Био массообменный; v - коэффициент

кинематической вязкости, м2/с.

Список литературы:

1. Кафаров, В. В. Основы массопередачи. [Текст] / В. В. Кафаров. - М: Высш. школа, 1979. - 439 с.

2. Лыков, А. В.Теория тепло- и массопереноса [Текст] / А. В. Лыков, Ю. А. Михайлов. - М.: Госэнегоиздат, 1963. - 563 с.

3. Сигерлинд, Л. Применение метода конечных элементов [Текст] / Л. Сигерлинд. - М.: Мир,1979. - 392 с.

4. Митчелл, Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными [Текст] /Э. Митчелл, Р. Уэйт. - М.: Мир,1981. - 216 с.

5. Аладьев В.З. Мар1е 6. Решение математических, статистических и физико-технических задач. [Текст] / В. З. Аладьев, М. А. Богдявичус. _ М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. _ 824 с.