Нестационарные тепловые процессы при поверхностном нагреве двухслойных пластин Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.2

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ ПОВЕРХНОСТНОМ НАГРЕВЕ ДВУХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН

Д.Г. КРОЛЬ

Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П.О. Сухого»,

Республика Беларусь

Введение. Исследование высокоинтенсивных тепловых процессов в материалах, подвергающихся воздействию поверхностных источников энергии, является актуальной задачей современного материаловедения. Отличительной чертой этих задач является большое число непосредственно связанных с ними практических приложений. Достаточно упомянуть широко распространенные методы термообработки, связанные с лазерным нагревом металлов [1, 2], моделирование многослойных теплоизолирующих конструкций [3, 4]. В данной работе теоретически изучаются основные закономерности процессов нагрева (охлаждения) при различных видах нестационарного теплового воздействия на материалы.

Целями исследования являются: 1) анализ пространственно-временной эволюции тепловых полей с учетом зависимости теплофизических свойств материала от температуры; 2) изучение импульсного и гармонического во времени режимов воздействия на испытываемый образец; 3) изучение количественных и качественных характеристик неоднородности теплового поля в двухслойной пластине. Данная работа является продолжением исследования [5].

Постановка задачи. Математическая модель включает следующие уравнения:

Ci а=^ 1"Л а)+qV ^ q=~Л aT^ аг=1,2

at ax ^ ас)

c(T, x) = Ргса; Л = Л(T, x); qV) = qV) (T, x);

t > 0; x(1) е [0;hj; x(2) е [hj,h2]; h = hx + h2 ,

где x - декартова координата; t - время; Ti - температура; qi - удельный тепловой

поток; Л' - коэффициент теплопроводности; ct - удельная объемная теплоемкость; q-мощность внутренних источников ( стоков ) энергии; i - номер слоя.

Искомыми функциями являются: T(x, t), q(x, t), x е [0, h], t > 0.

Начальное условие:

T (x,0) = const, qv = 0; либо

T(x,0) = T0 (x), qv ф 0.

Теплофизические свойства материалов аппроксимирутся полиномами третьей степени с постоянными коэффициентами:

Л = Л0 + AJT + AT2 + A3T3; с = с0 + cxT + c2T2 + c3T3

Граничные условия характеризуются тем, что температура правой границы задана x = h, T = Tw (t).

На левую границу образца действует нестационарный тепловой поток:

x = 0, q = q0(t),

где

q0 (t) = B + H sin(<3t);

или

q0 (t) = C(l - exp(mt)), m < 0;

или

q0 (t) = Dtn • exp(mt), m < 0, n > 0 .

В случае высокоинтенсивного потока энергии следует учитывать поглощательную способность материала A = A(T), и тогда граничное условие примет вид:

x = a q = a(t q (t).

Условия теплового контакта на границе слоев:

x = hx, T(1) = T(2) + AT, q(1) = q(2) + R,

где AT - скачок температуры; R - тепловое сопротивление зоны контакта. При обезразмеривании применяются масштабы величин (они отмечены нижним индексом b), допускающие инвариантность размерной и безразмерной форм записи, а именно:

qb = AbTblxb , Ab = xb cbltb .

Метод решения. Решение задачи, удовлетворяющее поставленным краевым условиям, выполнено методом интегральных соотношений А.А. Дородницына [6]. Численное интегрирование аппроксимирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений проводилось методом Рунге-Кутта пятого порядка с автоматическим выбором шага. Подробное описание численного алгоритма дано в [5].

Пример расчета. Приведем здесь несколько вариантов расчета воздействия высокоинтенсивного поверхностного источника энергии на двухслойную систему. Для всех представленных вариантов расчета принимались следующие условия:

а) на границе слоев: x = hx, AT = 0, R = 0;

б) температура на правой границе: Tw (t) = const;

в) начальное распределение температуры согласовано с температурой на правой границе образца;

г) толщина первого слоя hx = 0,005 м, второго - h2 = 0,005 м.

Номер варианта соответствует номеру рисунка. Графическая информация представлена в безразмерной форме. Сплошной линией отображались зависимости на левой границе; штриховой - на границе слоев.

1-й вариант. 1-й слой - медь (Cu); 2-й слой - железо (Fe). Зависимости теплофизических свойств материала от температуры:

Cu: c = 2844422 + 2826,37T - 3,3765T2 + 0,001567T3 Дж/(м3К);

Х = 428,405 - 0,099Т + 3,184886• 10"5Т2 - 1,4388158• 10"8Т3 Вт/(м• К).

Fe: с = -50479,762 + 19970,229Т - 33,4337Т2 + 0,020877652Т3 Дж/(м3К);

X = 472,66827 - 0,38651068Т -1,5416465 • 10"6Т2 + 7,3142453 • 10"8 Т3 Вт/(м • К) . Величина теплового потока на левой границе: q0 ^)=7 • 107 (1 - ехр(-50 0) Вт/м2.

Начальное распределение температуры: Т (х,0) = 300 К; применялись следующие

масштабы величин: qъ = 1,203 • 107 Вт/м2; хъ = 1 • 10-2 м; съ = 3430755 Дж/(м3К) ;

X = 401,08 Вт/(м • К); Тъ = 300К ; ^ = 8,553с.

На рис. 1 показана зависимость температуры (а) и теплового потока (б) от времени.

а) б)

Рис. 1

2-й вариант. 1-й слой - вольфрам ^); 2-й слой - железо ^е). Зависимости теплофизических свойств материала от температуры:

W: с = 2439734 + 444,122Т - 0,10064Т2 + 4,11526 • 10-5 Т3 Дж/(м3К) ;

Х = 192,4308- 0,1192Т + 5,33096• 10'5Т2 -7,6110494• 10'9Т3 Вт/(м• К).

Величина теплового потока на левой границе:

q0 (ї) = 5 • 1011 • t2 7 ехр(-45 t) Вт/м2.

Начальное распределение температуры: Т(х,0) = 400 К ; применялись следующие

масштабы величин: съ = 2603913 Дж/(м3К) ; Хъ = 152,789 Вт/(м• К); ^ = 1,704с; Тъ = 400К; хъ = 1 • 10-2м; цъ = 6,111 • 106 Вт/м2.

На рис. 2 показана зависимость температуры (а) и теплового потока (б) от времени.

а)

б)

Рис. 2

3-й вариант. 1-й слой - хром (Сг), 2-й слой - железо ^е). Зависимости теплофизических свойств материала от температуры:

Сг: с = 3230461 - 95.2241Т + 1,4739Т2 - 0,0002574Т3 Дж/(м3К) ;

Х = 112,7611 - 0,07226Т + 3,1318 • 10'5 Т2 - 5,1351 • 10'9 Т3 Вт/(м • К).

Величина теплового потока на левой границе:

q0(t)=0,25 • 108 sin(150 t) Вт/м2.

Начальное распределение температуры: Т(х,0)= 1000 К; применялись следующие масштабы величин: съ = 4351736 Дж/(м3К); tъ = 6,656с; Тъ = 1000К; хъ = 1 • 10-2м;

X = 66,667 Вт/(м• К); цъ = 6,667• 106 Вт/м2.

На рис. 3 показана зависимость температуры (а) и теплового потока (б) от времени.

q

а)

Рис. 3

б)

Заключение. Представлены результаты моделирования нестационарных тепловых процессов при воздействии высокоинтенсивного теплового потока на двухслойную систему. Приведены результаты численного решения для двухслойных пластин Си-Ре, W-Fe и Сг-Ре.

Работа выполнена под научным руководством проф. О.Н. Шабловского.

Литература

1. Рыкалин Н.Н., Углов А.А., Смуров И.Ю. Расчет нелинейных задач лазерного нагрева металлов //Воздействие концентрированных потоков энергии на материалы. - М.: Наука, 1985. - С. 20-36.

2. Углов А.А., Смуров И.Ю., Лашин А.М., Гуськов А.Г. Моделирование теплофизических процессов лазерного воздействия на металлы. - М.: Наука, 1991. - 288 с.

3. Бушуев А.Ю., Горский В.В. Применение аппарата функций чувствительности и двухконтурного алгоритма в задачах синтеза многослойных конструкций //Инж.-физ. журн. - 2000. - Т. 73. - № 1. - С. 155-160.

4. Резник С. В. Математические модели радиационно - кондуктивного теплообмена в материалах тепловой защиты многоразовых транспортных космических систем //Инж.-физ. журн. - 2000. - Т. 73. - № 1. - С. 11-25.

5. Шабловский О.Н., Кроль Д.Г. Численное решение нелинейных задач нестационарного нагрева материалов //Сб. науч. тр. «Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения» /НАН Украины. Ин-т математики. - Киев, 1998. - С. 234-237.

6. Белоцерковский О.М., Грудницкий В.Г. Исследование нестационарных течений газа со сложной внутренней структурой методами интегральных соотношений //Журнал вычисл. матем. и матем. физики. - 1980. - Т. 20. - № 6. - С. 1400-1415.

Получено 11.10.2002 г.