Нестационарная задача сопряженного теплообмена для затупленных тел в сверхзвуковом потоке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XVIII 19 8 7

М 3

УДК 532.526.011.55.011.6

НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СОПРЯЖЕННОГО ТЕПЛООБМЕНА ДЛЯ ЗАТУПЛЕННЫХ ТЕЛ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

В. А. Башкин, С. М. Решетько

При определенных предположениях исследована нестационарная задача сопряженного теплообмена для затупленных тел, обтекаемых сверхзвуковым потоком совершенного газа под нулевым углом атаки. Течение газа в пограничном слое принималось ламинарным. Результаты расчетов получены для типичных условий проведения тепловых испытаний в аэродинамических трубах и выявили некоторые особенности поведения теплового потока на обтекаемой поверхности тела по мере его прогрева, которые обусловлены неизотермичностью поверхности.

Исследование аэродинамического нагревания тел, обтекаемых сверх- и гиперзвуковым потоком газа, в большинстве случаев проводится в рамках теории пограничного слоя при гёх или иных предположениях относительно теплофизических свойств среды. При интегрировании уравнений Прандтля обычно рассматривается либо теплоизолированная (тепловой поток qw = Q), либо изотермическая (температура поверхности тела Т^^соаМ) поверхность. Однако в реальных ситуациях поверхность тела, как правило, не является изотермической. Исследования показали [1—3], что неизотермичность поверхности при определенных условиях может оказать существенное влияние на значения местных тепловых потоков. Кроме того, на распределение температуры вдоль обтекаемой поверхности заметное влияние оказывает теплопроводность материала стенки. В результате приходим к необходимости исследовать задачу сопряженного теплообмена как в стационарном, так и нестационарном случаях.

Частный класс нестационарных задач сопряженного теплообмена соответствует прогреву тела, помещенного в стационарный сверхзвуковой поток при отсутствии излучения с обтекаемой поверхности. Такая ситуация имеет место, например, при исследовании аэродинамического нагревания тел в аэродинамических трубах с помощью термоиндикаторных покрытий, физические свойства которых меняются при достижении определенной температуры. По поверхности тела, помещенного в сверхзвуковой поток, по мере его прогрева распространяется изотерма, которая соответствует температуре изменения физических свойств термоиндикатора и положение которой фиксируется с помощью кино-

аппаратуры; после обработки отснятой пленки при тех или иных допущениях проводится расчет коэффициентов теплопередачи на обтекаемой поверхности.

В настоящее время в ЦАГИ при исследовании теплообмена на поверхности моделей наиболее часто применяются термоиндикаторы с температурой плавления ГПЛ = 65°С (338К) и 7’ПЛ = 85°С (358К); первый из них применяется при испытаниях в трубах с относительно малой температурой торможения (0а0=^500К), второй — в трубах с относительно высокой температурой торможения (0ао~ 1Ю0 К.). Поскольку вводимая в рабочую часть трубы модель имеет практически изотермическую поверхность с температурой 7’в0)ш=20оС (293К), то в начальный момент времени ее температурный фактор равен Т$ (0, х) = = Т’а 0 = 0,6 ДЛЯ НИЗКОтеМПературНОЙ трубы И T^w (0. я) =0,28 для высокотемпературной трубы, а изменение температурного фактора во время эксперимента (определяется температурой плавления термоиндикатора) соответственно равно ДГЮ = 0,09 и 0,06. Таким образом, при исследовании теплообмена с помощью указанных термоиндикаторов плавления величина температурного фактора изменяется менее чем на 0,1.

Настоящая статья предпринята с целью выяснения особенностей измерения тепловых потоков с помощью термоиндикаторов плавления при указанных выше условиях; в ней приводятся постановка и результаты численного анализа нестационарной задачи сопряженного теплообмена для сферически затупленных круговых конусов и гиперболоида вращения.

1. Нестационарная задача сопряженного теплообмена исследуется на основе уравнений пограничного слоя, описывающих движение совершенного газа, и уравнения теплопроводности, описывающего распределение температуры в твердом теле с постоянными теплофизическими свойствами. Небольшие времена эксперимента и, следовательно, небольшая глубина прогрева тела позволяют упростить математическую постановку задачи. Для этого вводятся следующие предположения: а) задача является квазистационарной для пограничного слоя; б) продольные перепады температуры малы по сравнению с ее поперечными перепадами; в) нестационарная задача для уравнения теплопроводности может быть рассмотрена на основе модели полубесконечного тела.

При сделанных предположениях рассматриваемая задача описывается системой уравнений.

( flf' df\

(Nfj + ff"+а (0 - /,а) = ^ si);

(i)

dT_y2t0d° Т

дх у1 ду3

*

с граничными условиями

/ = /' = 0 при Yj = 0;

/' -*• 1, 0 -» 1 при > оо ;

Начальные условия задачи представляют собой условие изотермичнос-ти тела [Т (х, у, 0)=Гн = сопз1:] и решение уравнений Прандтля для изотермической поверхности [0(х, 0, 0) =7'н=сопз1].

Здесь и ниже штрихом обозначено дифференцирование по нормальной обобщенной параболической координате т), а также введены обозначения:

р — плотность газа; (лкоэффициент динамической вязкости газа; Рг — число Прандтля; и — скорость потока; 0а — температура газа; га — радиус кривизны поперечного сечения тела вращения; Ь — характерный размер; ха — расстояние вдоль контура обтекаемой поверхности; I — энтальпия потока; Та — температура в теле; Тна — начальная температура тела; а — коэффициент температуропроводности материала стенки; Ха — время; у* 0 = !*=о; Уа — нормальная физическая коор-

дината, отсчитываемая от поверхности тела; Я-г— коэффициент теплопроводности материала стенки; ср — теплоемкость газа при постоянном давлении. Индекс «е» относит параметры потока к внешней границе пограничного слоя.

В силу сделанных предположений решение уравнения теплопроводности зависит от продольной координаты х как от параметра и может быть записано в явном виде [4]:

Решение (3) позволяет представить граничное условие сопряжения таким образом:

Граничное условие (4) неудобно для проведения численного анализа, поэтому оно преобразовано к стандартному виду

Оценка интеграла в (4) проведена следующим образом. Временной интервал [0, т] разбивался на (п+1) отрезков [хт, тт+і], т = 0, 1 а на каждом из этих отрезков функция В(х, 0, т) раскладывалась в ряд Тейлора с учетом двух членов разложения.

0

6

а

х

(4)

Здесь обозначено В (х, у,

6 (х, 0, х) + р0' (х, 0, т) = у.

После подстановки полученных разложений в (4), выполнения соответствующих операций и перегруппировки членов получены следующие выражения для вычисления коэффициентов р и у:

■ ~ а

'УН у* “п+1>

где

®я= Щфя, - О 5 (*» 0, 1т) — *оВ(х, 0, 0); «> 1;

(Тл+1 Тт+ і) 8т 4-у ^т+у

т=1

°о = — «о В (х, 0, 0);

Ьт+ у :

т+1 "т

о (Тя+1 Тт— і) £т— у ^т—ч

Рт ' : >

~ Тт- 1

£т + у = 2 [У Тя_|_і хт іА„+і Тт+ і) ;

[(У Тл+1 тт) (і/"”л+1 •—тт+і) ] ! ёт—і == §т—1 + 'і >

її гп— у — ^

/К — 1+у )

А (0 = *[»(*, 0, *)] .

2. В указанной выше постановке нестационарная задача сопряженного теплообмена была исследована для сферически затупленных круговых конусов с полууглами раствора сок = 0; 10° и 30°, обтекаемых сверхзвуковым потоком совершенного газа при нулевом угле атаки. Для всех тел радиус кривизны га[0)=Ь в критической точке принимался равным 0,015 м. Отметим, что для затупленных конусов радиус продольной кривизны терпит разрыв в точке сопряжения сферической и конической поверхностей; для гиперболоида вращения радиус продольной кривизны является непрерывной функцией. Рассматривались два

случая 1)Моо = 6; ба0 = 500 К; р0 = 0,8 МПа, Т^0) = Та (х,_0, О)/0а0 = = 0,6 и 2) Мсо=Ю, 0До — 1Ю0 К; /?0 = 8 МПа, Т™ = 0,273. Здесь М — число Маха; р — давление газа. Индекс „оо“ характеризует параметры в набегающем потоке, индекс „0“ — параметры торможения.

Во втором случае расчеты были проведены также для гиперболоида вращения с асимптотическим углом соь=10°. Таким образом, всего было рассчитано семь вариантов, которые сведены в таблицу.

№ варианта М Тело

1 6 0 Цилиндр

2 6 10 Конус

3 6 30 Конус

4 6 10 Гиперболоид

5 10 0 Цилиндр

6 10 10 Конус

7 10 30 Конус

Указанная нумерация вариантов используется ниже в тексте и на рисунках.

При численном анализе принимались теплофизические свойства материала АГ-4, который обычно используется для изготовления моделей: Хг = 0,454 Вт/мК, а = 2,5-10-7 м2/с; данные по невязкому течению заимствовались из [6, 7].

Сначала для всех вариантов было рассчитано развитие ламинарного пограничного слоя на теплоизолированной поверхности qw = 0 с целью определения температуры восстановления (адиабатической температуры). По этим результатам было вычислено распределение коэффициента восстановления температуры г по обтекаемой поверхности (рис. 1).

Результаты расчетов еще раз подтвердили известный факт, что • величина коэффициента восстановления слабо изменяется как вдоль образующей тела, так и при переходе от одного тела к другому. Следовательно, расчет температуры восстановления, значение которой необходимо при обработке экспериментальных данных, можно проводить с использованием постоянного значения г—0,84. Типичное изменение температуры поверхности тела со временем показано на рис. 2 для варианта 2. Результаты расчетов сопряженной задачи были обработаны в виде зависимостей^ величины ^/^гоо и числа Стантона СИ от температурного фактора Тш для различных точек обтекаемой поверх-

ности. Здесь qw о — местный удельный тепловой поток в критической точке в начальный момент времени, СЬ = д№/роои<х10(Тг — Тю), Тг — адиабатическая температура поверхности, отнесенная к температуре торможения. В качестве примера такие зависимости для вариантов 2 и 6 приведены на рис. 3, а, б и 4, а, б. Пунктирными линиями на

ГЛ-1 О'

Вариант В х-0^ ОД ОМ

ГГ

Х~0

ом

5

0,64

' 012

— 0,80 — пяи

- т 1,09

- т т /А"

-Л.0 -У

! 1111

0.15

0,35 0,45

Рис. 4

этих рисунках показаны эти же зависимости для случая изотермической поверхности, заимствованные из [8]. При числе М00 = 6 местный тепловой поток уменьшается по мере прогрева тела практически на всей обтекаемой поверхности, при этом в окрестности критической точки эти зависимости линейны, но уже в сечении х = 0,8 для затупленного конуса и л: — 1,44 для гиперболоида явно проявляется нелинейность. Число Стантона в некоторой окрестности критической точки практически не зависит от Гю, а вне этой области оно изменяется в зависимости от Тт почти по линейному закону. Следует отметить, что область, в которой для рассматриваемого сечения л: = со(п81 число Стантона постоянно, меньше области с линейной зависимостью для относительного теплового потока; так, например, в сечении х = 0,48 как тепловой поток, так и число Стантона зависят от Тю линейно.

При числе Моо =10 в поведении относительного теплового потока появляется еще одна особенность (при Моо=6 такая особенность наблюдается у варианта 1, но выражена очень слабо): при х>1,44 вели-

чина теплового потока возрастает с ростом температурного фактора. Поведение числа Стантона имеет такой же характер, как и при Моо = 6.

Появление указанных особенностей обусловлено неизотермич-ностью поверхности тела, которая усиливается по мере прогрева тела и которая локально может быть охарактеризована величиной (в фиксированный момент времени)

ха дТа (хт 0, т)

Та(ха, 0., х) ~дх~а

В качестве примера на рис. 5 приведено распределение этой величины вдоль образующей тела в фиксированные моменты времени т=Ю; 30 для всех рассмотренных вариантов.

У сравниваемых тел при числе М,х, = 6 наибольшие значения |Рг| для затупленного конуса более чем вдвое превышают соответствующие значения для гиперболоида, т. е. при прогреве гиперболоида возникающие неравномерности в распределении температуры значительно меньше, чем у конуса. В связи с этим изменение теплового потока в зависимости от Ту, у гиперболоида почти всюду является линейным (заметная нелинейность наблюдается только в окрестности л: = 1,44, где величина |Рг| принимает наибольшие значения).

При Моо =10 значения рг по модулю значительно возрастают по сравнению с соответствующими значениями при М^ = 6. Следовательно, эффекты, обусловленные неизотермичностью поверхности, будут проявляться здесь сильнее и возможны новые эффекты. Таким новым эффектом и является возрастание теплового потока с ростом температурного фактора на достаточно больших расстояниях от критической точки. Поскольку величина рг принимает отрицательные значения, то в этом случае, как было показано в [3], величина теплового потока на

неизотермической поверхности превышает соответствующее значение на изотермической поверхности (при одинаковом температурном факторе). Физически это связано с тем, что при больших значениях л: при одном и том же температурном факторе газ в пограничном слое на неизотермической поверхности имеет больший запас тепловой энергии по сравнению со случаем изотермической поверхности. Аналогичный эффект наблюдается в нашем случае, поскольку по мере прогрева тела усиливается неравномерность в распределении температуры и возрастает тепловой поток.

Таким образом, хотя для рассмотренных конфигураций возникающая в процессе прогрева тела неизотермичность поверхности является относительно слабой (Ц3г|<1), тем не менее она оказывает как локальное, так и глобальное влияние на тепловой поток и коэффициент теплопередачи (например, для варианта 2 в сечении х==1,04 величина Ch изменяется почти на 35% при изменении температурного фактора на 0,05).

Авторы выражают признательность И. В. Петухову за обсуждение математической постановки задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1.Chapman D. and R u b е s i n H. Temperature and velocity profiles in the compressible laminar boundary layer with arbitrary distribution of surface temperature. — J. Aeronaut. Sci. 16, (1949).

2. Колина H. П. Влияние неизотермичности поверхности тела на величину местного коэффициента теплоотдачи. — Труды ЦАГИ, 1987, вып. 2340.

3. Башкин В. А., С о л о д к и н Е. Е. Расчет ламинарного пограничного слоя при отсутствии продольного градиента давления и в окрестности критической точки при переменной температуре поверхности тела.—

Труды ЦАГИ, 1961, вып. 825.

4. Лыков А. В. Теория теплопроводности. — М., Высшая школа,

1967.

5. К о л и н а Н. П., С о л о д к и н Е. Е. Программа на языке Фортран для численного интегрирования уравнений пространственного пограничного слоя на линии растекания и на бесконечном скользящем цилиндре.— Труды ЦАГИ, 1980, вып. 2046.

6. Любимов А. М., Русанов В. В. Течения газа около тупых тел.-—М.: Наука, 1970.

7. Чушкин П. И., Шулишнина Н. П. Таблицы сверхзвукового течения около затупленных конусов. — ВЦ АН СССР. — М.: 1964.

8. Башкин В. А., Колина Н. П. Расчет сопротивления трения и теплового потока на сферически затупленных круговых конусах в сверхзвуковом потоке. — Труды ЦАГИ, 1968, вып. 1106.

Рукопись поступила 7/1 1986 г■