CC BY
49
УДК 517.711.3
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЖИДКОСТИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
Т. Г. Сукачева
THE UNSTEADY LINEARIZED MODEL OF MOVEMENT OF THE INCOMPRESSIBLE VISCOELASTIC LIQUID OF HIGH ORDER
T.G. Sukacheva
Рассматривается первая начально-краевая задача для системы уравнений Осколкова, моделирующей в линейном приближении динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина - Фойгта высокого порядка. Данная задача исследуется в рамках теории линейных неоднородных уравнений соболевского типа. Доказана теорема существования единственного решения указанной задачи, и получено описание ее расширенного фазового пространства.
Ключевые слова: уравнение соболевского типа, расширенное фазовое пространство, относительно р-ограниченный оператор, система уравнений Осколкова.
The author considers the first initial boundary-value problem for the Oskolkov equation system modeling the dynamics of the incompressible viscoelastic liquid of Kelvin - Voight of high order in the linear approximation. This problem is solved within the frameworks of the theory of the linear heterogeneous Sobolev type equations. The author proves the existence theorem of the unique solution of the problem and finds the description of its extended phase space.
Keywords: equations of the Sobolev type, extended phase space, relatively p-bounded operator, Oskolkov system of equations
Введение
Система уравнений
(1 — aeV2)ut = vV2u — (u • V)w — (и • V)&
M Пт-1
+ 2 Am,sV2Wm^s — Vp + /,
771=1 5=1
0 = V • u,
dw,
}m. 0
(i)
at
,J- = и + amwm>s , m = 1, M,
dw.
m,s ______
dt
— 1 "b ^ — 1) lj
моделирует в линейном приближении течение вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина - Фойгта порядка к > О, к = п\ + П2 + ... + пм ( [1] )• Данная система получена в результате линеаризации соответствующей модели [2].
Функция и = (t6i,W2, ...,ип), где щ = Ui(x,t), i = 1,п означает вектор скорости жидкости, вектор-функция / = (/ъ/2,...,/п)? /г = /*0М)> г = 1,п характеризует объемные силы, р = p(x,t) отвечает давлению жидкости. Вектор-функция и = (йьйг? —^п)?
= й»(ж), г = 1, п соответствует стационарному решению исходной системы (так как таких стационарных решений может быть несколько, то мы не должны ограничиваться рассмотрением только одного — нулевого стационарного решения). Параметры и Е R+, зе Е 1 характеризуют вязкие и упругие свойства жидкости соответственно. Параметры Am^s определяют время ретардации (запаздывания) давления.
Пусть ficMn, п = 2,3,4 — ограниченная область с границей дО, класса С°°. Рассмотрим задачу Коши-Дирихле для системы (1):
и(х, 0) = щ(х), wm,a(x, 0) = го®,)в(а:) Vж € ft
u(x,t) = 0, wm^s{x,t) = 0 V(a;,£) Е Ш х 1, (2)
т — 1, М, 5 = 1, пт — 1.
В случае, когда / = /(ж), к = 0 задача (1), (2) рассматривалась в [3] , в автономном случае при к > 0 в [4] . Нашей целью будет являться изучение разрешимости задачи (1), (2)при
нестационарном свободном члене / = f(x,t). Эту задачу мы исследуем в рамках теории линейных уравнений соболевского типа. Поэтому в первой части статьи кратко рассматривается абстрактная задача Коши для указанного класса уравнений, а во второй части задача (1), (2) изучается как конкретная интерпретация абстрактной задачи.
1. Абстрактная задача
Пусть U и Т — банаховы пространства, операторы L Е £(U; Т) и М Е С1{Ы\Т). Пусть интервал = (а, Ь) содержит точку 0 и вектор-функция / Е С°°(1^\Т), Рассмотрим задачу Коши
и(0) = щ (3)
для линейного операторного уравнения соболевского типа
Ьй = Ми + /, (4)
где операторы L и М определены выше.
Хорошо известно, что задача (3), (4) однозначно разрешима не для всех начальных данных г^о из банахова пространства U. Поэтому актуальным является описание множества корректности указанной задачи. В связи с этим введем следующее определение.
Определение 1.
Множество В1 С ЫхШ назовем расширенным фазовым пространством задачи (3), (4), если:
(i) любое решение и Е C°°(I^U) уравнения (4) лежит в В*, т.е. (u(t), t) Е В1 для любого
tell;
(И) при любом (гбо,0) Е В0 существует единственное решение задачи (3), Ц)-Замечание 1.
Понятие расширенного фазового пространства обобщает понятие фазового пространства [3] на неавтономный случай, и представленные в этом параграфе результаты изложены в соответствии с работами [3, 5]
Замечание 2. Ранее вместо термина «расширенное фазовое пространство» использовался термин «конфигурационное пространство» [4], что вносило некоторую путаницу в терминологию [5].
Пусть оператор М (Ь, (т)-ограничен. Тогда задача (3), (4) редуцируется к эквивалентной системе
л«° = и° + М0_1/° 5 «°(0) = «о> (х\
й1 = Би1 + Ь]-1/1 , «х(0) = «о,
{
где R = Mq1Lq, S = L^Mu ик Е Uk, fk Е Тк, к = 0,1; Uk, (^) - подпространства
банахова пространства U (JF), такие, что U° ®Ы1 =Ы (3го ®Т1 — \ М& и - сужение
оператора М и L соответственно на подпространство По построению 5 Е ^(ZY1). Тогда вторая задача (5) имеет единственное решение и1 Е С00^;^1), представимое в виде
t
и1^) = ехр^^)tig + / ехр((£ — 5)5)L^1/1(5) rfs, t E /д, о
причем exp (£5) — U\~ полугруппа, являющаяся сужением разрешающей полугруппы U1 однородного уравнения, соответствующего уравнению (4), на ZY1, а ехр((£ — s)S) =
Для рассмотрения первой задачи (5) предположим, что оо — устранимая особая точка либо полюс порядка р Е N L-резольвенты оператора М, т.е. оператор М относительно р-ограничен, р £ No [5]. Тогда, последовательно дифференцируя р раз первое уравнение (5) по t и умножая слева на оператор Д, получим
«°(<) = -tell (6)
q=0
Отсюда видно, что первая задача (5) неразрешима, если
q=0
С другой стороны, если (6) выполняется, то первая задача имеет единственное решение уР Е C°°(I^U0).
Из соотношения (6) следует, что расширенное фазовое пространство задачи (5), а следовательно, и задачи (3), (4) имеет вид
р м f
Б* = {(t*(t), t) : и € dom M,t е К, (I - Q)(Mu + = 0},
q=0 tQ
где R = LqMq1(I — Q)^ Q - проектор на подпространство T1 .
Теорема 1. Пусть оператор М (L^p)-ограничен, р Е No. Тогда при любом / Е C°°(I%; Т) и при любом щ таком, что (uo,0) Е В°, существует единственное решение и Е C°°(I^U) задачи (3), (4), имеющее вид:
р 1
u{t) = -Y^WM^{I-Q)^{t) + U{ul+ [ U{~sL~1Qf(s) ds.
9=0 n
2. Конкретная интерпретация
Рассмотрим задачу (2) для системы Осколкова (1), представленной в виде [4]
(1 — ае?72)щ = иЧ2и — (й ■ Ч)и — (и ■ У)й
М Пт — 1
+ £ £ + Ъ
т— 1 в=1
0 = У(У-«),
< ди)т о ----- ^
д1 = и + атгот,в, т = 1, М,
д1ит,8 _ . _ *------т-
0^. — 1 + 5 — 1? пт
к <^771 < 0, Ат)3 > 0.
Здесь \7р = ]р^, т.к. во многих гидродинамических задачах знание градиента давления предпочтительнее, чем знание давления [6]. Далее сведем задачу (7), (2) к задаче Коши (3) для уравнения (4). Редукцию проведем, следуя [2, 4].
о о
Обозначим через Н2 = (И7!)71? Н1=(ИГ21)П? Ь2 = (Ь2)п — соболевские пространства вектор-функций и = (^1,^2,...,^), определенных в области О. Рассмотрим линеал С = {и Е (Со°(0))п : V • и = 0} вектор-функций, соленоидальных и финитных в области
О. Замыкание С по норме I»2 обозначим через На. — гильбертово пространство со скалярным произведением, унаследованным из Ь2. Кроме того, существует расщепление I»2 = Ня-фНтг, где Ня- — ортогональное дополнение к Н^. Обозначим через П : I»2 —> Нп —
о
ортопроектор. Сужение проектора П на пространство Н2 П Н1 С Ь2 является непрерывным
о о
оператором П : ^ПН1 -> Н^ПН1. (Обсуждение этого круга вопросов см. в [7].) Представим
О
поэтому пространство Н2 П Н1 в виде прямой суммы На2 ® Н^2, где Ла2 = кег П , Н^-2 = т П. Имеет место плотное вложение С С Н2 И непрерывные плотные вложения Но-2 Н* и Пп2 Нур. Пространство Шп2 состоит из вектор-функций, равных нулю на 50 и являющихся градиентами функций (р Е (О).
Формулой А = V2 зададим линейный непрерывный оператор А : Н^2 ® 2-*Ь2 с
дискретным, отрицательным, конечнократным спектром о (Л), сгущающимся лишь на —сю. Пусть и Е Нет2 ® Нтг2. Тогда формулой
В : и —> ^У2гл — (й • V)?/ — (гл • \7)й
зададим линейный непрерывный оператор В : На2 ® Н^2 —>► Ь2.
Формулой С : и У(Уг^) зададим линейный непрерывный оператор С : На2 ® Н^2 —> I»2, причем ип С = Нтт , кег С = Н^2.
Положим £ = / — П и обозначим через А(В) сужение оператора НА (ЕВ) на Н^2. Оператор А : Н^2 —> На линеен и непрерывен, его спектр сг(А) дискретен, отрицателен, конечнократен, сгущается лишь на —сю.
Пусть Аж = I — аеЛ . Выберем параметр ае таким, чтобы ае"1 ^ а (А) и сг(А). Обозначим через Адеа(А^7Г) сужение оператора ЕА^ИА”1) на НСГ2(Н7Г).
Предположим, что ае-1 £ &{А) и сг(А). Тогда оператор А&а : Н^2 -> (А^ —>
Нтг2) — топлинейный изоморфизм.
о
Представим пространства: Н2 П Н1 = И*2 х Н/2; Ь2 = Н(Т х Н^. Положим
г/= е^о% ; ^ = Ф<=о^, (8)
где Ыа = Н2 X Н2 X Нр, ^0 = Н,хН,х Нр, Нр = Н*, ЬЦ = Н2 П Н1 =
Но-2 х Н,Д — Ь2 = На х Нд-, i = 1,2, Элемент и € Ы имеет вид:
= (^<7> Мр, 6^1,0) •••) С*|М,0) ^1,1) •••) ^1,711— 1) •••> ^М,1) •••> ^М,Пм — 1)) ВД® = 2и, Нц =
Пи, % = а элемент / еТ: / = (/о, Л,0,0), где /ст = Е/, /„■ = П/.
Лемма 1. Пусть ТА и Т определены в (8). Тогда (і) формулой
( О О о . ■ ° \
О ПАаД О О . . о
О О О О . . О
О О О I . . о
1 о О О О . ■ I)
определяется линейный непрерывный оператор Ь \ Ы ТПричем Ь —матрица порядка (к + 3). Если (£~1 £ сг(А), то кег Ь = {0} х {0} х Нр х {0} х • • • х {0}, нп Ь = Ла х х
4------V-------'
к
{0} х Т\ х • • • х Тк-,
(гг) если й € Н^2 ® Н„-2, то матрицей М, имеющей вид:
ЕВЕ ЕВП О ЛюД
ПВЕ ПВП -П А10Л
0 С О О
1 I О оч
I I О О
О О О I
о о
\ о о о о
Амо А АііА Амо А Ац А О о
ам
О
О
«1
о
о
Амі А Амг А О
о
о
о
о
о
(10)
определяется линейный непрерывный оператор М \ТЛ -» Т, здесъ А = ЕЛ, Д = ПД.
Редукция задачи (7), (2) к задаче Коши (3) для уравнения (4) закончена.
Лемма 2. Пусть Ы и Т определены в (8), а Ь и М- в (9) и (10) соответственно. Пусть се"1 ^ сг(А) и а(А), тогда оператор М (£, 1)-ограничен.
Доказательство. В силу леммы 1 оператор Ь бирасщепляющий. Поэтому для доказательства леммы ввиду [3] достаточно показать, что каждый вектор <р Є кег Ь \ {0} имеет точно один М-присоединенный вектор и М\Ы01] ® іт Ь — Т.
Пусть (р Є кег Ь \ {0}. Тогда в силу леммы 1 (і) вектор (р = (0,0,у?р,0, <рр ф {0}.
Отсюда в силу (10) Мер = (0,0, —<рр, 0,0) Є іт і. Найдем ф ^ кег Ь \ {0} : Ьф = Мер. Используя (10), получаем систему уравнений:
А&афсг — 0 П А&фк — (рр. (11)
Из (11) следует, что фп ф 0, т.к. ерр ф 0 по условию, а значит, и Сфп ф 0. Откуда
Мф
( I:(Вфа + вф„) \
ЩВфа + Вфп) - фр Сф*
Фсг ~Ь Фж
Фа "I" Фп О
о
/
Осталось доказать существование вектора ф ^ кег Ь \ {0}, удовлетворяющего системе (11). Для этого рассмотрим оператор
Поскольку
ЕА-ХП О о .. О \
ПАз; -^аетг О о .. о
~ 1 О О О О .. О
1Г1 = О О О I .. О
V О о О о .. I)
£ О о О 0 \
О П О О . . . о
О о о О о
1~хь О О о I О еЦИ)
\о О о О I
( Е О о О О \
о П о О . . . о
О О О О о
ЬЬ~1 : о о о I о еС{Т)
Ко О о О I)
то компоненты фа и фтг вектора ф можно найти из равенств: фа = — (рр,
фж = —А~^(рр, а компоненту фр можно выбрать произвольно.
Проверим второе условие М[и01] ® \ш Ь = Т.
Положим К00 = кег Ь, сот Ь = Н2 х Н2 х {0} х 1Л\ х • • • х Ык- Пользуясь оператором
Ь~1, получим
Т00 = М[и00) = {0} х Нэт х {0} х • • • х {0} С ип Ь,
'------^------'
к + 1
и01 = 1-1[Г°°] = ЕА-г[Н*] х А^[Н*] х {0} х ••• х {0}.
----------^---------'
к + 1
Поскольку Агеп[Нд-] = Н2 в силу леммы 2.4.3, то
и01 = ЯА^А~1 [Н2] х Н2 х {0} х • • • х {0} С сопл Ь.
к + 1
Отсюда
^01 = м[и01] = ЕБ(ЕЛ-1Л-1 + 1)[Н1\ х В&А^А-І + /)[Н*]х хС[н2] х {0} х ••• х {0}.
Поскольку
■V—
к
Е +1 — ЕА^А-з,* + АяяАд^
(Е А^+А^)А^ = А^А^,
Т01 = ЕВ А-1 А~1 С-1 [Нр] х ВА-'А-^С-^Нр] х Нрх {0} х • • • х {0} £ іш Ь, где оператор
С 1 — обратный к сужению С оператора С на Н^. Далее, положим
Ро =
Рх =
где рр = ЕА^А-І;
Яо =
"V
к
О о О О .. • 0 \
О О О О .. . О
о О п о .. . О
О О О О .. . О
\о О о О .. ■ о)
(0 р!2 о О . .. о \
О О о , .. О
О О О О . .. о
О О О О . .. О
Ко О О О . .. о)
О О О о . .. о \
О п ЯІ3 О . .. о
О о о О . .. О
О О О О . .. О
1 О О О О . .. О)
(0 О я? О . .. О \
о О я? о . .. О
О О п О . .. о
о О о О . .. о
Ко О о о . .. о)
где д}3 = ЕВЛ-^^С-1, я\г = = _д23.
Матрицы Ро, Р\, Яо, Фі имеют порядок (А; + 3). Нетрудно проверить, что операторы Рк ■ 1А -» Ыок, Як : Т —> к = 0,1 — проекторы, причем Р$Р\ = Р\Ро = О,
ФоФі = ФіФо = О. Поэтому оператор Я = І ~ Яі тоже является проектором, причем іт <3 = іт Ь, кег <Э = ^г01. Значит, ,7го1 ® іт Ь = Т. □
Найдем расширенное фазовое пространство задачи (7), (2).
Из леммы 2 и п.1 для задачи (7), (2) расширенное фазовое пространство В* определяется равенством (I — ф)(Ми+Л0^= 0 или {1~0)и = 0, где V = М«+/(£)+Д^Д, Й = ЬоМ$х{1 — Я) € ^г0), а проектор I — ф = фо + Фь Поскольку <Зо<Эг = ФгФо = О , то
(<Эо + <31 = 0 тогда и только тогда, когда (<ЗоV = 0) Л ($1^ = 0). Первое из этих равенств
эквивалентно условию иж = 0, а второе выполняется тогда и только тогда, когда
М Пт 1 1Г /1 \
ПЯи, + П £ £ Ат,8АШт>8 + Ш +
га=1 5=1
Итак, расширенное фазовое пространство имеет вид
м Пщ 1 7/> /,\
Я* = {(«,«) е и х Е : = 0, ир = ПВиа + П £ £ ДШт,в + /„(*) +
т=1 в=1
Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы 2. Тогда для любого / Е ^г, / = (/<г?/7г?0, ...,0) и любого щ такого, что (щ,0) Е #°, существует единственное решение задачи (1), (2).
Автор выражает признательность профессору Г.А. Свиридюку за внимание к данным исследованиям и обсуждение результатов.
Литература
1. Осколков, А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта / А.П. Осколков // Труды матем. ин-та АН СССР. - 1988. - №179. - С. 126 - 164.
2. Сукачева, Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязко-упругой жидкости Кельвина - Фойгта ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева // Изв. вузов. Математика. - 1998. - №3(430). - С. 47 - 54.
3. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи матем. наук. - 1994. - Т.49, №4. - С.47 - 74.
4. Сукачева, Т.Г. Исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей: дис. ... д-ра физ.-мат. наук / Т.Г. Сукачева; Новгород, гос. ун-т. - Великий Новгород, 2004. - 249 с.
5. Свиридюк, Г.А. Некоторые математические задачи динамики вязкоупругих несжимаемых сред / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева //Вестн. МаГУ. Математика. - Магнитогорск, 2005. - Вып. 8. - С. 5 - 33.
6. Ландау, Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц- Изд. 3. - М.: Наука, 1986. - 736 с.
7. Ладыженская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. - Изд. 2. — М.: Наука, 1970. — 288 с.
Кафедра математического анализа,
Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого tamara.sukacheva@novsu.ru
Поступила в редакцию 20 февраля 2009 г.
