CC BY
55
Неравновесная статистическая теория макроскопической пластической деформации структурно-неоднородных сред
Ю.А. Хон
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
Пластическая деформация рассматривается как неравновесное структурное превращение, характеризуемое параметрами порядка. Параметры порядка определяют пластическую часть тензора деформации. Получены нелинейные кинетические уравнения реакционно-диффузионного типа с коэффициентами, зависящими от температуры и напряжений. Проведен расчет указанных коэффициентов в случае, когда пластическая деформация описывается одним параметром порядка. Проанализирована зависимость локального критического напряжения сдвига от температуры и скорости пластической деформации для однородного образца при квазистатическом нагружении. Показано, что пластическая деформация на начальной стадии протекает посредством образования и распространения одной или нескольких волн переключения (бегущих фронтов).
1. Введение
Объяснение сложного, зависящего от многих факторов изменения микроструктуры и механических свойств твердых тел при пластической деформации проводится на основе различных подходов. В каждом из них существует свой набор переменных для описания неупругого поведения кристалла. Имеются и свои трудности, ограничивающие область применимости метода. Физическая причина состоит в том, что пластическая деформация при заданных условиях нагружения протекает на всех возможных структурных и масштабных уровнях [1-4]. При описании пластической деформации необходимо учитывать все типы носителей деформации, а также их ансамбли. Кроме дислокаций это могут быть дисклинации [2], мартенситные ламели в сплавах с памятью формы [5, 6], зерна и конгломераты зерен в поликристаллах и пр. [1, 7].
Наиболее развитый подход к описанию пластической деформации основан на использовании в качестве переменных плотностей дефектов (см., например [1, 4, 8, 9]). Из решения динамических уравнений можно найти локальную связь «напряжение - деформация». Тензорный характер плотности дефектов и, как следствие, большое число уравнений делают задачу трудноразрешимой. В подобной постановке достаточно корректные решения получены для монокристаллов при учете только одного типа дефектов — дислокаций [10, 11]. По своей сути теория дислокаций представляет описание пластической деформации однородного кристалла на микроуровне [1, 3].
Особое внимание заслуживает подход, в котором деформируемое твердое тело рассматривается как открытая сильнонеравновесная система, а пластическая деформация — как неравновесное структурное превращение. На необходимость такого рассмотрения указывалось еще в [12], а затем неоднократно обсуждалось другими авторами (см., например [4, 6, 9, 12-22]). В большинстве упомянутых работ при анализе результатов в качестве кинетической переменной по-прежнему используется плотность дефектов. Вследствие этого возникают традиционные для теории дефектов трудности, ограничивающие область ее применимости.
В работе [1] экспериментально показано, что качественные особенности деформационных структур, образующихся при пластической деформации, не зависят от масштаба концентратора напряжений. Более того [21, 22], на стадиях легкого скольжения и линейного упрочнения макроскопическая деформация в монокристаллах, в сплавах с памятью формы, в поликристаллах протекает посредством образования и распространения автоволн. Это еще раз подчеркивает необходимость описания пластической деформации как неравновесного структурного превращения. При этом результатом структурного превращения является изменение плотности дефектов и их распределения в пространстве.
В теории фазовых и структурных превращений качественные изменения свойств системы описываются параметрами порядка [23]. Они, в свою очередь, в неравновесных условиях определяются кинетическими
в Хон Ю.А., 1999
уравнениями с зависящими от температуры коэффициентами. Представляется, что в рамках такого подхода описание пластической деформации структурно-неоднородных сред может быть упрощено. При этом основная задача состоит в нахождении параметров порядка в деформируемом материале и анализе соответствующих кинетических уравнений для их определения. Один из вариантов ее решения рассматривается ниже.
2. Параметры порядка и тензор деформации
Под действием внешних сил, приложенных к поверхности образца, в нем возникают неоднородные поля напряжений Оуя(г, tI) и деформации еа(г, ^). Здесь г — радиус-вектор выделенной точки в лабораторной системе координат; ^ — время нагружения образца. Макроскопическая деформация определяется интегрированием еа(г, tI) по объему образца. При этом под точкой г понимается объем V, содержащий достаточно большое число дефектов и их ансамблей с разным характерным размером, включая зерна в поликристаллах [3]. То есть пластическая деформация в указанном объеме в общем случае протекает на разных структурных и масштабных уровнях. В пределах V напряжения п,т считаются однородными. Распределение же дефектов может меняться в широких пределах. Соответственно величина деформации при одном и том же значении напряжения так же будет различной. Возникает задача нахождения усредненного по объему V значения еа как функции напряжения и температуры Т.
Для решения указанной задачи воспользуемся понятием представительного объема V) [3]. Под ним понимается часть кристалла, содержащая по-прежнему большое число дефектов. Обусловленные ими закономерности пластической деформации предполагаются известными. Их определение представляет задачу микроскопической теории дефектов [8, 11, 20]. Характерные размеры У0 удовлетворяют неравенству Va<< У0<< V и зависят от механизма пластической деформации. Здесь Va—объем атома. Число представительных объемов N = У/Уд. Проблема выбора V, достаточно полно обсуждена в [3]. Там же изложена одна из методик получения усредненной по объему V деформации. В настоящей работе определение деформации в объеме
V проведем следующим образом.
Вследствие разницы в плотностях дефектов, ориентации кристаллографических базисов относительно лабораторного и прочих причин различные объемы V, деформированы по-разному. Пусть среднее число неупруго деформированных представительных объемов равно N Тогда оставшиеся N - N1 объемов испытывают упругую деформацию. Величина п, = Ni /N представляет концентрацию деформированных представительных объемов. Примем п, в качестве параметров порядка.
Ясно, что 0 < п, < 1. В то же время п, = VI/V характеризует долю объема V, в котором произошли изменения внутренней структуры по ,-му механизму. Например, в случае деформации фазовым превращением V, совпадает с объемом новой фазы. Экспериментально объемы V, и, следовательно, параметры порядка могут быть определены, в частности, из анализа изменений полей векторов смещений на поверхности деформируемого образца, измеренных оптическими методами по методике [1].
Как видно из определения, параметры порядка в каждый момент времени ^ характеризуют усредненные по объему V значения макроскопической деформации. По этой причине они имеют смысл макроскопических параметров порядка. В упругом состоянии параметры порядка равны нулю. Число параметров порядка на каждой стадии кривой течения определяется доминирующими механизмами пластической деформации.
Выделяя в явном виде упругую и и пластическую в части, тензор деформации представим в виде
I = Ukm(r, I + Ркт(Г О- (1 )
Пластическая деформация является нелинейной функцией п, и определяется как числом деформированных объемов V), так и их пространственным распределением в объеме V. В линейном по п, приближении
Р*т=Ны% . (2)
По дважды повторяющимся индексам, как это принято в механике, здесь и далее проводится суммирование. Коэффициенты разложения Нкш1 зависят от механизма пластической деформации и определяют пространственное распределение V,. Например, при чисто сдвиговой деформации след матрицы Нт равен нулю. При этом деформированные объемы будут сконцентрированы, в основном, в полосах скольжения. В свою очередь сдвиги по первичным и вторичным системам скольжения задаются разными матрицами. Если деформация сопровождается изменением объема, то след матрицы Нкт не равен нулю. В общем случае к (2) необходимо добавить более высокие по параметрам порядка члены разложения.
3. Кинетические уравнения для параметров порядка
Для нахождения уравнений, определяющих параметры порядка, воспользуемся общими уравнениями баланса
Эп, /Э t = Fi({kj}, {п,}) - Ау /ЛпД), (3)
где к, — некоторые параметры; Ji — плотности потоков параметров порядка. Функция источника Fi определяется процессами взаимодействия между представительными объемами. Предполагается, что Fi({kj},0) = = 0. Так как при пластической деформации п > 0, то F. должны быть нелинейными функциями параметров порядка.
Плотности потоков Ji обусловлены потоками дефектов, благодаря которым и протекает пластическая деформация. При этом их направление таково, что приводит к уменьшению упругой свободной энергии f. Для изотропного твердого тела [24]
/с = /0+^илил + Ч//2> (4)
где У0 — постоянная величина; ц, X — коэффициенты Ламэ. Определяя икт из (1), получаем
X = fo + - РЖ - р,к) + Х(^ - вкк)2/2. (5)
В настоящей работе ограничимся линейным приближением, согласно которому
Jr-I^дf/дпj = ^({п,} )Уп,- (6)
Здесь I, — матрица коэффициентов Онзагера; Dj — матрица коэффициентов переноса, зависящих от параметров порядка. Другие подходы к решению задачи можно найти в [25].
Предположим, что функция источника известна. Разложим ее в ряд Тейлора. Ограничиваясь тремя первыми членами разложения, перепишем (3) в виде
дпМ = ки п, + к2, п,2 - к3д3 + Дп., п,) - а1у[Д.,¥п,]. (7)
Здесь к,, к2,, к3, — коэффициенты разложения, к3, > 0. Слагаемое f(пj, п,) учитывает недиагональные члены разложения (/^ 0. При одном параметре порядка уравнение (7) описывает бистабильную среду [26]. С этим и связан выбор знака «-» перед к .
К уравнениям (1), (7) необходимо добавить уравнения баланса для массы, энергии и уравнения равновесия для напряжений. Последние при малых скоростях деформации имеют вид [24]
Эст. /Эх. = 0. (8)
/т / К '
Система связанных нелинейных уравнений (1), (7), (8) при известных зависимостях
к.. = к .(ст. , Т, I (9)
/ / //т ’I7 4 '
является полной. Ее решение при заданных начальных и граничных условиях определяет поля компонент тензора деформации структурно-неоднородной среды при различных условиях нагружения и температурах.
Численные значения к3, определяют характерные времена ?, = 1/к , в течение которых параметры порядка принимают значения, соответствующие стационарным решениям. Если ti << tL , то достаточно рассматривать решения для п- при t ^ м. В общем случае разным носителям пластической деформации соответствуют существенно различающиеся значения tr Выделение быстрых и медленных переменных в ряде случаев позволяет упростить анализ системы уравнений [26, 27].
4. Случай одного параметра порядка
Конкретные носители и механизмы деформации определяются свойствами материала и условиями нагружения [1, 3, 4, 7]. Рассмотрим простейший случай, когда доминирует один механизм пластической де-
формации. На микроуровне в качестве примера можно привести механизм, связанный с движением дислокаций по системе скольжения, в которой скалывающие напряжения максимальны. На стадии легкого скольжения — это первичная система. На стадии линейного упрочнения — сопряженная система. На мезоуровне — некристаллографические сдвиги в направлении максимальных касательных напряжений и пр. [1]. В указанных условиях можно ограничиться рассмотрением одного параметра порядка и, соответственно, анализом решений одного уравнения (7) с не зависящим от параметра порядка коэффициентом переноса.
В общем случае в нагружаемом образце напряжения распределяются неоднородно из-за наличия концентраторов напряжений. Характерный размер (масштаб) I зоны концентратора напряжений, в которой напряжения превышают средние значения, зависит от структуры материала и условий нагружения. Как видно из (1), (7), (9), пластическая деформация начинается и протекает, прежде всего, в указанных зонах. Подобный очаговый характер пластической деформации особо подчеркивался в [1].
Перепишем уравнение (7) в виде
Эп/Э t = к3(ап + Ьп2 -п3) - div[DVп], (10)
где
а = к1/к3, Ь = к2/к3. (11)
Нахождение явных зависимостей коэффициентов уравнения (10) от напряжений и температуры представляет задачу микроскопической кинетической теории дефектов. В настоящей работе для получения качественных результатов воспользуемся простейшими представлениями теории химических реакций. В этой теории коэффициенты перед степенями кинетической переменной в уравнении типа (10) представляют константы скоростей реакций, протекающих в системе. Способы вычисления указанных констант известны. В деформируемой среде изменение параметра порядка обусловлено взаимодействием между представительными объемами. Обозначим через А = 1 - п и Х = п концентрации представительных объемов в упругом и деформированном состояниях соответственно. Из всей совокупности реакций не выше третьего порядка между объемами типа А и Х, приводящих к изменению Х, ограничимся рассмотрением трех
А + Х ^ 2Х, Х ^ А , 2Х + А ^ 3Х (12)
с константами скоростей К, К , К2 соответственно. Нетрудно видеть, что для данных реакций переменная п удовлетворяет уравнению (10) с коэффициентами
к = К - К1, к2 = К2 - к, к3 = к2. (13)
Физический смысл процессов, описываемых реакциями (12), состоит в следующем. Кристаллографические базисы V!) и лабораторная система координат в общем случае повернуты друг относительно друга. Это приво-
дит к тому, что величины напряжений в кристаллографическом базисе в разных V0 различаются. По этой причине при возрастании напряжения часть объемов
V0 вследствие термоактивированного движения дефектов всегда окажется в состоянии Х. Неупругая деформация объема типа Х вызывает повышение локальных напряжений в соседних. В результате с вероятностью / объем типа А может также оказаться в состоянии Х. Этот процесс описывается первым уравнением в (12) как стимулированный переход V0 из состояния А в состояние Х. Второе уравнение в (12) описывает тот же процесс, но с участием двух Х-объемов. Наглядно это можно представить как деформацию А-объема, расположенного между двумя деформируемыми Х-объе-мами. Третья реакция в (12) описывает все процессы, приводящие к восстановлению исходной формы объема типа Х. Это могут быть тепловые флуктуации, аннигиляции дефектов и их торможение, неупругая деформация противоположного знака и пр. Отметим также, что в (12) не рассматриваются реакции с участием двух А-объемов из-за того, что константы скоростей этих реакций пропорциональны квадрату / Качественный характер решений уравнения для параметра порядка при этом не меняется, а число параметров уменьшается.
Поле напряжений т( (т = ст ) в каждом объеме V0 является самосогласованным и складывается из внешнего напряжения т и поля напряжений, создаваемого всеми другими представительными объемами. Пластическая деформация начинается, когда т превышает некоторое критическое значение тЛ. Величина тЛ имеет смысл микроскопического предела текучести. Соответствующую тЛ упругую энергию Ек можно трактовать как энергию возбуждения ансамбля дефектов. При этом Ек зависит от исходного состояния и условий нагружения. Если т << тЛ, то ансамбль дефектов не возбуждается, структурные превращения в нем не происходят. Поэтому константы скоростей реакций (12) и, следовательно, протекание процесса пластической деформации зависят от вероятности А найти систему (объем) в состоянии с энергией ЕК Расчет тЛ представляет задачу микроскопической теории дефектов. В настоящей работе будем считать его параметром.
Константы скоростей К. термоактивируемых реакций экспоненциально зависят от температуры [28]. С учетом этого К. представим в виде
к0 = »0 А ехрКЦ - чад
К = Ю1 (1 -А) ехрКЦ- чад, (14)
К = Ю2Гн ехр [-(Ц - Щ/квТ].
Здесь ю. — характерная частота перехода; Ц — высота потенциального барьера, разделяющего исходное и конечное состояния; 8А. — совершаемая приложенными к представительному объему напряжениями работа; разность Ц - 8А. представляет энергию активации реакции. В линейном приближении 8А. = w-т, где
w- имеет смысл активационного объема [29, 30]. Параметры Ц и w- зависят от механизма пластической деформации. Функция 1 - А определяет вероятность найти объем Vд в состоянии А. Согласно [31]
А = ехР(-Е /Е). (15)
Здесь Е — упругая энергия внешнего поля. Видно, что при т << тЛ Ак = 0. Поэтому параметры К0 и К2 также равны нулю при любой температуре. Отметим, что формулы (14) являются приближенными. Их применимость может быть обоснована либо теоретически, либо на основе сравнения с экспериментальными данными.
При отличных от нуля значениях параметров К0, К2 и постоянных коэффициентах переноса решения (10) описывают однородные стационарные решения и волны переключения (бегущие фронты) [26, 27], соответствующие неупругой деформации. Условия появления однородных стационарных решений хорошо известны.
При а < - Ь2/4 существует единственное устойчивое решение п 1 = 0, соответствующее упругому состоянию. Если 0 > а > - Ь 2/4, то помимо п 1 появляются устойчивое п3 и неустойчивое п2 < п3 однородные решения
п3 = Ь/2 + (Ь2/4 + а)1/2, п2 = Ь/2 - (Ь2/4 + а)1/2. (16)
Решение п1 абсолютно устойчиво при а < -2Ь2/9, п3 — при а > -2Ь2/9. В точке
а= -2Ь2/9 (17)
оба решения п1 и п3 имеют одинаковую устойчивость. Неравенство а > -2Ь2/9 определяет значения напряжений, выше которых деформация имеет неупругий характер. При а > 0 имеются два решения: неустойчивое п1 и устойчивое п3. В точке а = 0 п1 = п2 = 0. Так как п3 < 1 при всех температурах, то из анализа (14), (16) следует, что значения параметров и, w- , ю. должны быть близки друг к другу. Обсудим физический смысл решений (16), (17).
5. Критическое напряжение сдвига и автоволновые процессы в однородном образце при квазистатическом нагружении
Рассмотрим случай квазистатического нагружения образца. Пусть характерный размер области однородных напряжений равен I. В частном случае он может совпадать с длиной образца. Концентраторами напряжений являются границы раздела, в том числе свободная поверхность образца, а также захваты испытательной машины [1]. На стадии легкого скольжения начало пластической деформации связано, как правило, со сдвигом по плоскости максимальных скалывающих напряжений т.
Характерное время установления устойчивых решений уравнения (10) определяется параметром К2. Квазистатическому нагружению соответствует неравенство tL >> 1/К. При выполнении этого условия можно ограничиться только стационарными решениями. Они были рассмотрены в предыдущем разделе.
Упругая энергия Е = т 2/4ц. Из (14) следует, что при т — 0, К0 — 0, К2—— 0 К1 принимает наибольшее, а параметр а — наименьшее отрицательное значение при всех температурах. По мере увеличения т параметр а возрастает и становится положительным. Из уравнений а = -Ь2/4, а = -2Ь2/9, а = 0 получаем три характерных напряжения тс, тт, т0 соответственно, связанных условием тс< тт < т0 и зависящих от температуры. Если т < тс, то деформация носит чисто упругий характер. В интервале тс < т < тт абсолютно устойчивому решению соответствует неупругая обратимая однородная деформация. При т > тт деформация является пластической. Напряжение тт имеет, таким образом, смысл наименьшего значения макроскопического критического напряжения сдвига тс.
Переход из состояния п1 в абсолютно устойчивое состояние п3 в одномерном случае происходит путем формирования и распространения волны переключения п = п(х - V) [26, 32-34]. Установившаяся скорость ее распространения V при а < 0
V = (1ВК)112 (п -2п2). (18)
После прохождения волны пластическая деформация равна Р(п3). При деформации сдвигом V определяет скорость сдвига одной части кристалла относительно другой вдоль плоскости скольжения.
При а < 0 волна переключения зарождается в том случае, когда параметр порядка достигает критического значения п2 Ф 0. Соответственно пластическая деформация также должна быть не равна нулю. Это условие выполняется, прежде всего, на границах раздела, в том числе боковой поверхности образца. Поэтому сдвиговая деформация, как правило, начинается на одной из боковых поверхностей и при дальнейшем нагружении охватывает все сечение образца. При таком гетерогенном зарождении сдвига линии скольжения будут непрерывными. Подобные особенности следов скольжения экспериментально наблюдались для ГПУ и ГЦК монокристаллов на стадии легкого скольжения [29].
Ширина фронта волны переключения А! ~ ^К2)1/2. С учетом (18) получаем D ~ V А!. Формулы для D и А! не зависят от типа носителя пластической деформации и механизма формирования волны переключения. Известно (см., например [7]), что движение дислокации можно рассматривать как волну переключения межатомных связей. Принимая для дислокации vd ~ 103 см/с, А! ~ 10-7 см, находим Dd ~ 10-4 см2/с и Км ~ 1010с-1. При ю ~ 1013 с-1 показатель экспоненты в Км составляет величину порядка единицы.
При а > 0 скорость волны переключения ограничена снизу [26, 32-34]
V > vд ~ (2DK2)1/2 (19)
и может быть сколь угодно большой. Физический смысл результата состоит в следующем. В рассматриваемом случае исходное состояние с п = 0 неустойчиво. По-
этому одновременно зарождаются несколько волн переключения, распространение которых обеспечивает требуемые величину и скорость пластической деформации. Как следствие, следы скольжения будут в несколько раз короче диаметра образца. По данным [29] подобная картина следов скольжения действительно наблюдается в ГПУ и ГЦК монокристаллах, в частности на стадии линейного упрочнения.
В работах [21, 22] исследовались волны переключения макроскопической пластической деформации, распространяющиеся вдоль образца. На стадии легкого скольжения всегда наблюдалась одна волна, зарождающаяся вблизи одного из захватов. На стадии линейного упрочнения образуется до 4-5 подобных волн. По экспериментальным данным [21, 22] на стадии легкого скольжения А! ~ 10-1 см. Принимая D ~ 10-4 см2/с, получаем
V ~ 10-3 см/с и К2 ~ 10-2 с-1. Значение D по порядку величины совпадает с экспериментальным [21, 22].
6. Зависимость критического напряжения сдвига от температуры и скорости пластической деформации
Как указывалось в предыдущем разделе, макроскопическое критическое напряжение сдвига меньше т0 при а < 0, а при а > 0 тс ~ т0 . Поэтому качественные особенности температурной зависимости тс могут быть рассмотрены на примере т0. Из уравнения а = 0 получаем
т0/т„= {(Ц - Ц) + кПп[ю!(1 - f)/Юa/]}/[(wg - н-О^]. (20)
При Т—м (т„/тА)2 =1/1п[(ю1+ю0)/ю1]. Численное значение тс определяется, в основном, величиной тЛ. Отсюда находим, что для монокристаллов по порядку величины тЛ ~ тс ~ 10-5-10-4 ц [29].
При Т— 0
т0 —АU/Аw (21)
и при повышении температуры убывает по линейному закону. Здесь АЦ = Ц - Ц1, Аwg = wд - w1. Так как согласно экспериментальным данным при понижении температуры тс всегда возрастает, то должно выполняться неравенство АU/Аw >тк.
Скорость пластической деформации
Р = (dр/dп)(dп/dy)v, (22)
где у = х + V I С учетом (18) перепишем (22) в виде
р = Р 0 = (п - 2п2)1/2 Л1/2 ехр[-(Ц - wгт)/2kвT\. (23)
Здесь Р 0 — некоторый коэффициент, явный вид которого для дальнейшего анализа не существенен. Наличие множителя Ака приводит к явной зависимости пред-экспоненциального множителя от напряжения. Но при т > тЛ функция Ака меняется слабо. Основную роль играет экспоненциальный множитель. Поэтому скорость пластической деформации зависит от напряжения и
температуры, в основном, таким же образом, как и в теории дислокаций [29].
В точке т = т второй множитель в (23) равен нулю. Поэтому при активном нагружении пластическая деформация всегда начинается при напряжениях, превышающих т . С повышением скорости деформации возрастает критическое напряжение сдвига. Но экспоненциальная связь скорости пластической деформации с напряжениями приводит к слабой зависимости критического напряжения сдвига от скорости. Этот результат хорошо известен в теории дислокаций [29]. При повышении скорости деформации до некоторого критического значения начинает выполняться неравенство т > т0. Это ведет к качественному изменению картины следов скольжения.
При заданных значениях температуры и приложенного напряжения реализуется тот механизм пластической деформации, который обеспечивает заданную скорость пластической деформации. При изменении температуры либо скорости пластической деформации может меняться тип носителя. Это приводит к особенностям температурной зависимости критического напряжения сдвига. Рассмотрим, например, два типа носителей деформации с параметрами, связанными неравенствами тЛ1 < ти, АUl/Аw>АU2/Аw2. Им соответствуют критические напряжения сдвига т и тс2 с производными ^т^^Т >|dтJdT\. При высоких температурах критическое напряжение сдвига т будет обусловлено первым носителем деформации. При понижении температуры до некоторого критического значения может выполниться условие т (Т) >тс2(Т). В этом случае критическое напряжение сдвига будет определяться вторым носителем деформации. В результате на температурной зависимости критического напряжения сдвига появится излом. Подобная ситуация имеет место в монокристаллах меди с 2 % примесей при температуре ~ 100 К [30]. Согласно [31] это связано с переходом от движения винтовых дислокаций к краевым. Резкое изменение температурной зависимости т имеет место и для монокристаллов алюминия при Т ~ 600 К.
7. Коэффициент деформационного упрочнения
Стадия легкого скольжения монокристаллов характеризуется постоянным коэффициентом деформационного упрочнения 0: ~ 10-4Ц, а также ее протяженностью [29, 35]. При этом на кривой течения имеется участок, на котором 0 плавно меняется от ц до 0Г Его наличие является одной из причин, которая приводит к сложностям при экспериментальном определении предела текучести.
Локальный коэффициент деформационного упрочнения связывает скорость пластической деформации со скоростью изменения напряжений
dр/dtL = 0-1 dт/dtv (24)
С учетом (1) для 0 получаем
0 = 1/[^Р/^3)(^3/^)]. (25)
Видно, что в общем случае 0 > 0 и зависит от т. В точке а = Ь = 0 0 = 0. Из анализа (13), (14), (16) следует, что п3 представляет монотонно возрастающую функцию т. Производная dn/dт = тА_1 dп/dт*. Здесь т*= т/тА . При т*— «; dn/dт* — 0 и 0 — «. Таким образом, в зависимости от соотношений между энергиями активации коэффициент деформационного упрочнения меняется от нуля до бесконечности. В линейном приближении (2) dр/dn3 ~ Н. При Р ~ 0.1 Н~ 1. Если принять тА ~ 10-5ц, то экспериментальному значению 0 на стадии легкого скольжения соответствует dn/dт ~0.1.
Коэффициент деформационного упрочнения зависит от скорости деформации. Это связано с тем, что с ростом т* уменьшается dn/dт*. То есть увеличение скорости деформации на стадии легкого скольжения приводит к возрастанию 0. Но эта зависимость слабая. Данные результаты качественно согласуются с экспериментом [29].
Связь между приложенным напряжением и макроскопической деформацией образца при изменении параметра порядка от нуля до п3 находим из (1) и (24)
п3
т-т с = / 0Э^Эп^Л = 0Р(п3). (26)
0
Подчеркнем, что линейная зависимость напряжения от деформации обусловлена распространением волн переключения. Исследования, проведенные в [21, 22], показывают, что волны переключения пластической деформации наблюдаются только на линейных участках кривой течения.
При гетерогенном зарождении пластической деформации (а< 0) нижний предел интеграла в (26) должен быть равен п2. Протяженность линейной стадии равна Р(п3) - Р(п2). Выше значения тс на кривой течения будет участок с нелинейной зависимостью Р(т) протяженностью Р(п2). Подобная особенность кривых течения на начальной стадии хорошо известна из экспериментов на монокристаллах.
При высоких температурах Ь— 0. Соответственно п3 — 0 и протяженность линейной стадии также стремится к нулю. Кроме того, разность т0 - тт — 0. Поэтому пластическая деформация протекает лишь при а > 0 с указанной выше особенностью следов скольжения.
При низких температурах протяженность стадии легкого скольжения определяется двумя факторами. С одной стороны, при понижении температуры параметр Ь возрастает, приводя к увеличению параметра порядка. Соответственно протяженность стадии легкого скольжения возрастает. При этом для сохранения заданной скорости волны переключения критическое напряжение сдвига должно возрасти. Такая закономерность наблюдается, например для ГЦК и ГПУ монокристаллов [29].
Если при этом а становится положительным, то меняется и картина следов скольжения. С другой стороны, повышение т может оказаться таким, что при заданной скорости пластической деформации появится еще один механизм деформации, например сдвиг по вторичным системам скольжения. Для описания пластической деформации необходимо рассматривать уже два параметра порядка. Из теории дислокаций известно, что при множественном скольжении стадия легкого скольжения на кривой течения отсутствует. В качестве примера такого поведения можно привести ОЦК монокристалл молибдена [16, 36] с осью растяжения [941]. При температурах, превышающих 400 К, наблюдается кривая трехстадийного упрочнения. При низких температурах стадия легкого скольжения отсутствует.
8. Заключение
Введение параметров порядка в деформируемом твердом теле представляет способ статистического описания кооперативных эффектов в ансамбле дефектов, не зависящего от конкретного типа носителя и механизма пластической деформации. Стационарные значения параметров порядка в деформируемой среде находятся из решения нелинейных уравнений реакционно-диффузионного типа. Функция источника определяется процессами, протекающими в ансамбле взаимодействующих представительных объемов, содержащих достаточно большое число дефектов. Диссипативное слагаемое определяется градиентами свободной энергии. Коэффициенты кинетического уравнения зависят, в частности, от температуры и величины внешних напряжений.
Нелинейность кинетического уравнения для параметров порядка приводит к тому, что при изменении условий нагружения качественно меняется тип решения
и, следовательно, характер макроскопической деформации образца. Показано, в частности, что при повышении внешнего напряжения упругая деформация сменятся неупругой обратимой, а затем становится пластической. Характерные значения напряжений, при которых происходят указанные изменения, зависят от температуры. Макроскопическая пластическая деформация однородного образца на начальной стадии протекает посредством образования и распространения одной или нескольких волн переключения (бегущих фронтов).
Проанализированные в работе однородные решения не исчерпывают всего многообразия возможных типов решений системы кинетических нелинейных уравнений для параметров порядка. Как нам представляется, среди них особое значение имеют пространственно-неоднородные решения типа стационарных диссипативных структур и решения в режиме обострения [27], описывающие процессы локализации деформации. Опре-
деление интервалов напряжений, в которых устойчивы те или иные решения, позволяет перейти к расчету макроскопической пластической деформации как функции внешнего приложенного напряжения и температуры. Решение указанных задач требует отдельного рассмотрения.
Автор благодарит Слядникова Е.Е., Зуева Л.Б. за обсуждение работы.
Литература
1. Панин В.Е. Современные проблемы пластичности и прочности твердых тел // Изв. вузов. Физика. - 1998. - Т. 41. - №. 1. -
С. 7-34.
2. Владимиров И.В., Романов А.Е. Дисклинации в кристаллах. - Л.: Наука, 1975. - 183 с.
3. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. - СПб.: Наука, 1993. - 471 с.
4. Конева Н.А., Козлов Э.В. Физическая природа стадийности пластической деформации // Изв. вузов. Физика. - 1990. - Т. 33. -№ 2. - С. 89-106.
5. Панин В.Е. Методология физической мезомеханики как основы построения моделей в компьютерном конструировании материалов // Изв. вузов. Физика. - 1995. - Т. 38. - № 11. - С. 6-25.
6. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука,
1995. - 297 с. и 320 с.
7. Коротаев А.Д., Суховаров В.Ф., Тюменцев А.Н. Дисперсионное упрочнение тугоплавких металлов. - Новосибирск: Наука, 1989. -211 с.
8. Косевич А.М. Дислокации в теории упругости. - Киев: Наукова думка, 1978. - 220 с.
9. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Егорушкин В.Е., Бухбиндер И.Л., Кульков С.Н. Спектр возбужденных состояний и вихревое механическое поле в деформируемом кристалле // Изв. вузов. Физика. -1987. - Т. 30. - № 1. - С. 34-51.
10. Попов Л.Е., Кобытев В.С., Ковалевская Т.А. Пластическая деформация сплавов. - М.: Наука, 1983. - 182 с.
11. Малыгин ГА. // ФТТ. - 1993. - Т. 37. - № 1. - С. 3.
12. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. - М.: Мир, 1979. - 308 с.
13. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Хон Ю.А., Елсукова Т.Ф. Атом-вакансионные состояния в кристаллах // Изв. вузов. Физика. -1982. - Т. 26. - № 12. - С. 5-28.
14. Иванова В.С. Синергетика. Прочность и разрушение металлических материалов. - М.: Наука, 1992. - 160 с.
15. Фролов К.В., Панин В.Е., Махутов Н.А., Зуев Л.Б., Данилов В.И., Мних Н.И. Релаксационные волны при пластической деформации // Изв. вузов. Физика. - 1990. - Т. 33. - № 2. - С. 19-35.
16. Кооперативные деформационные процессы и локализация деформации / Под ред. В.В. Немошкаленко. - Киев: Наукова думка, 1989.- 320 с.
17. Aifantis E.C. Spatio-temporal instabilities in deformation and fracture // Computational material modelling. Ed. by A.K. Noon, A. Need-leman. AD. - Vol. 41/PVP. - Vol. 294. - ASME. - 1994. - P. 199222.
18. Малыгин Г.А. Кинетический механизм образования полос сброса при пластической деформации кристалла // ФТТ. - 1990. - Т. 32. -№ 4. - С. 1102-1107.
19. Зуев Л.Б., Данилов В.И., Карташова Н.В. Пространственновременная самоорганизация пластической деформации ГЦК монокристаллов // Письма в ЖЭТФ. - 1994. - Т. 60. - № 7. -С. 538-540.
20. Малыгин Г.А. Самоорганизация дислокаций и локализация скольжения в пластически деформируемых кристаллах // ФТТ. - 1995. -Т. 37. - № 1. - С. 3-45.
21. Зуев Л.Б., Карташова Н.В., Данилов В.И., Чумляков Ю.И., Поле-тика Т.М. Закономерности локализации деформации в материале с пластичностью превращения // ЖТФ. - 1996. - Т. 66. - № 11. -С. 190-196.
22. Зуев Л.Б., Данилов В.И. О природе крупномасштабных корреляций при пластическом течении // ФТТ. - 1997. - Т. 39. - № 8. -С. 1399-1403.
23. Хакен Г Синергетика. - М.: Мир, 1980. - 404 с.
24. Ландау Л.Д., ЛифшицЕ.М. Теория упругости. - М.: Наука, 1987. -248 с.
25. Князева А.Г. Введение в локально-равновесную термодинамику физико-химических превращений в деформируемых средах. -Томск: Изд-во Томского гос. университета, 1996. - 145 с.
26. ВасильевВ.А., РомановскийЮ.М., Яхно ВТ. Автоволновые процессы. - М.: Наука, 1987. - 240 с.
27. Самарский А.А., ГалактионовА.А., КурдюмовС.П., МихайловА.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. - М.: Наука, 1987. - 477 с.
28. Эйринг Г., Лин С.Г., Лин С.М. Основы химической кинетики. -М.: Мир, 1983. - 528с.
29. Бернер Р., Кронмюллер Г. Пластическая деформация монокристаллов. - М.: Мир, 1969. - 272 с.
30. Регель В.Р., Слуцкер А.И., Томашевский Э.Е. Кинетическая теория прочности твердых тел. - М.: Наука, 1973. - 560 с.
31. Хон Ю.А., Панин В.Е. Сильновозбужденные состояния и зарождение дефектов в зонах концентраторов напряжений // ФТТ. -
1996. - Т. 38. - № 6. - С. 1767-1774.
32. Огнев М.В., Петровский С.В., Простокишин В.М. О динамике формирования волны переключения в диссипативной бистабильной среде // ЖТФ. - 1995. - Т. 65. - № 6. - С. 1-6.
33. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюлл. МГУ. Математика и механика. - 1937. - Т. 1. - № 6. - С. 1-
25.
34. Fischer RA. The waves of advance of advantageous genes // Ann. of Eugenics. - 1937. - V. 7. - P. 355-369.
35. Хоникомб Р. Пластическая деформация металлов. - М.: Мир, 1972.- 408 с.
36. Трефилов В.И., Мильман Ю.В., Фирстов С.А. Физические основы прочности тугоплавких металлов. - Киев, 1975. - 315 с.
