CC BY
34
Кроме того, подсистема СМ позволяет получать численные значения для любой «промежуточной точки» криптоалгоритма, что особенно важно в плане контроля точности программной или аппаратной реализации. Наконец, систему визуального моделирования, и, в частности, подсистему символьной математики можно использовать в учебном процессе при изучении предмета «Криптографическая защита информации».
В.Н. Салий
Россия, г. Саратов Саратовский государственный университет,
НЕПРИВОДИМЫЕ РАСШИРЕНИЯ ГРАФОВ (ДОКАЗАТЕЛЬСТВА С НУЛЕВЫМ РАЗГЛАШЕНИЕМ)
Граф О называется максимальным подграфом графа Н , если О получается из Н удалением одной вершины и всех связанных с нею ребер. Максимальный подграф, получающийся из Н удалением вершины V, обозначается через Н — V . Под гомоморфизмом графа О в граф Н понимается отображение ф множества вершин графа О в множество вершин графа Н , сохраняющее отношение смежности в том смысле, что если вершины и, V смежны в О, то их ф -образы ф(и), <р(у) смежны в Н . Инъективные гомоморфизмы ф : О ^ Н называют также вложениями графа О в граф Н . Изоморфизм графа О на граф Н - это биективный гомоморфизм ф: О ^Н такой, что обратное отображение ф — является гомоморфизмом графа Н на О . К настоящему времени не найден эффективный алгоритм, который позволил бы установить, изоморфны ли два произвольных предъявленных графа (проблема изоморфизма).
Граф Н с п +1 вершинами по определению является расширением п -вершинного графа О , если О вкладывается в любой максимальный подграф графа Н . Очевидный пример расширения для заданного графа О - его соединение
0 +1 с одноэлементным графом (т.е. к О добавляется вершина, которая соединяется ребром с каждой вершиной графа О). Это так называемое тривиальное расширение графа О .
Если даны п - вершинный граф О и (п +1) - вершинный граф Н , то как узнать, является ли Н расширением для О ? Эффективное решение этой задачи дало бы и решение проблемы изоморфизма, поскольку, как нетрудно понять, граф
01 тогда и только тогда изоморфен графу О2, когда О2 +1 является расширением
для О1.
На сложности задачи о расширении графа базируется следующее доказательство с нулевым разглашением.
Некто А , по его словам, знает, что граф Н является расширением графа О и предлагает В убедиться в этом своем знании с помощью следующего протокола.
А предъявляет В некоторый граф О *.
В наугад выбирает один из двух вариантов:
а) В предлагает А доказать, что О * изоморфен О; либо
б) В случайным образом выделяет вершину V в Н и предлагает А доказать, что О * вкладывается в максимальный подграф Н — V.
В зависимости от полученного задания
а) А показывает В некоторый изоморфизм ф: О* ^ О; либо
Известия ТРТУ
Тематический выпуск «Информационная безопасность»
б) А показывает В некоторое вложение ф : О* ^ Н — V.
4. Если А не может выполнить соответствующее действие из 3, В признает сообщение А о его знании ложным. В противном случае процедуры 1 -3 повторяются. После к — кратного успешного для А проведения 1-3 заявление, сделанное им о своем знании, может быть признано ложным с вероятностью не более 1/2к. Если к достаточно велико, В вынужден будет считать утверждение А доказанным. Получит ли В при этом какие-нибудь другие сведения по вопросу о том, в самом ли деле граф Н является расширением графа О ? Нет: 1) имея граф О , он и сам без труда может строить изоморфные О графы, и 2) для любой вершины V графа Н всегда укажет графы, вложимые в максимальный подграф Н — V. Другими словами, ничего не зная о графах О и Н по существу вопроса, В способен имитировать выполнение приведенного протокола вообще без участия А .
Граф О называется максимальным реберным подграфом графа Н , если О получается из Н удалением одного ребра. Максимальный реберный подграф, получающийся из Н удалением ребра ш, обозначается через Н — иу.
Расширение Н графа О назовем неприводимым, если никакой максимальный реберный подграф графа Н не является расширением для О .
Если граф Н является расширением графа О , то, последовательно удаляя из Н по одному ребру, в конце концов придем к неприводимому расширению. Сложность проблемы неприводимого расширения и конструктивная ее связь с общей проблемой расширения позволяют предложить новый образец доказательства с нулевым разглашением.
Некто А , по его словам, знает, что граф Н является неприводимым расширением графа О , и предлагает В убедиться в этом своем знании с помощью выполнения следующего протокола.
А предъявляет В некоторый граф О *.
В наугад выбирает один из трех вариантов:
а) В предлагает А доказать, что О * изоморфен О; либо
б) В случайным образом выделяет вершину и в Н и предлагает А доказать, что О * вкладывается в максимальный подграф Н — и ; либо
в) В случайным образом выделяет ребро в Н и предлагает А доказать, что максимальный реберный подграф Н — не является расширением для О *.
В зависимости от полученного задания
а) А указывает В некоторый изоморфизм ф: О ^ О*; либо
б) А указывает В некоторое вложение фи : О * ^ Н — и ; либо
в) А указывает В некоторый максимальный подграф в Н — и объясняет,
почему О в него не вложим
4. Если А не может выполнить соответствующее задание из 3, В признает сообщение А о его знании ложным. В противном случае процедуры 1 -3 повторяются. После к -кратного успешного для А проведения 1 -3 заявление, сделанное А о своем знании, может быть признано ложным с вероятностью не более (2/3)к . При достаточно большом к утверждение А придется считать доказанным. Никаких других сведений по вопросу о том, в самом ли деле граф Н является неприводимым расширением графа О , после завершения протокольных действий В не получит. Для имитации протокола в части 3в) В должен уметь стро-
ить для заданного графа граф с таким же числом вершин и с фиксированным числом ребер (как у О), не вложимый в него, - это вполне доступное упражнение.
О. Н. Шухардин, Д. В. Дьяченко
Россия, г. Ростов-на-Дону, РВИ РВ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ПРИМЕНЕНИЯ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО МЕТОДА РЕГИСТРАЦИИ ДАННЫХ ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ БЕЗОПАСНОСТИ ИНФОРМАЦИИ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ
Повсеместное применение распределенных информационных систем (РИС) различного назначения во все сферы человеческой деятельности обуславливает исключительную актуальность задачи улучшения их эксплуатационных и технических характеристик, одной из которых является криптостойкость. В соответствии с «Положением о государственной системе защиты информации в Российской Федерации от иностранных технических разведок и от ее утечки по техническим каналам» «в интересах обеспечения защиты информации в системах и средствах информатизации и связи защиты подлежат автоматизированные системы управления, системы связи и передачи данных, технические средства приема, передачи и обработки информации, используемые для обработки информации, содержащей сведения, отнесенные к государственной или служебной тайне».
В настоящее время разработаны, изготовлены и используются системы, позволяющие осуществить перехват информации, передаваемой по различным каналам связи. Единственным эффективным средством зашиты информации от хищения является ее криптографическая защита. Анализ принципов построения и возможностей современных криптографических систем позволяет сделать вывод о том, что создание безусловно стойких систем защиты информации возможно при использовании шифрования методом гаммирования с однократным применением ключевого потока. Однако при разработке таких систем защиты информации возникает другая проблема. Для обеспечения гарантированной стойкости защиты информации, циркулирующей в РИС, необходимо наличие огромных массивов данных, представляющих собой ключевой поток. Таким образом, задача создания безусловно стойких систем зашиты информации трансформируется в задачу разработки устройств хранения информации в защищенном виде.
Известно, что все существующие современные устройства хранения информации используют однопараметрический подход, т.е. хранение значения одного информативного параметра (ИП) в каждой ячейке памяти. Задача повышения плотности записи может быть успешно решена применением многопараметрического подхода, т.е. записи значений нескольких некоррелированных ИП в каждой отдельной ячейке памяти. Проведенные исследования позволяют говорить о возможности реализации многопараметрического подхода на основе голографического пространственно-спектрального метода анализа волновых фронтов [1, 2].
Предлагается использование малоразмерной голограммы, экспонированной в линейном режиме во встречных световых потоках с цилиндрическими волновыми фронтами, в качестве голографической ячейки памяти (ГЯП), обеспечивающей реализацию многопараметрического метода регистрации данных [3].
Построенные математические модели [4, 5] однозначно определяют взаимосвязь между параметрами оптической схемы экспонирования ГЯП и коэффициентом пропускания голограммы. Обоснован выбор ИП при регистрации информации на ГЯП. По результатам анализа пространственного распределения интенсивности
