CC BY
108
УДК 511.515, 511.54, 512.752
НЕПРИВОДИМЫЕ ПОЛИНОМЫ В ЗАДАЧЕ О СОВЕРШЕННОМ КУБОИДЕ
Р.А. ШАРИПОВ
Аннотация. Найдена связь задачи о построении совершенного кубоида с некоторым классом полиномов от одной переменной, зависящих от трёх целочисленных параметров а,Ьии. Неприводимость этих полиномов над кольцом целых чисел при определённых ограничениях на параметры а, Ь, и и достаточна для доказательства несуществования совершенных кубоидов. В данной работе такая неприводимость сформулирована в виде гипотез, которые проверены численным счётом и подтверждены примерно для 10 000 различных комбинаций числовых параметров а, & и и.
Ключевые слова: кубоид Эйлера, совершенный кубоид, неприводимые полиномы.
1. Введение
Кубоид Эйлера — это прямоугольный параллелепипед, все ребра и диагонали на гранях которого имеют целочисленную длину. Совершенный кубоид — это кубоид Эйлера, длина пространственной диагонали которого тоже целочисленна. Кубоиды с целочисленными рёбрами и диагоналями на гранях были известны до Эйлера (см. [1] и [2]). Однако, благодаря Леонарду Эйлеру (см. [3]) задача о целочисленных кубоидах приобрела статус, а сами такие кубоиды были названы его именем.
Что касается совершенных кубоидов, ни один из них до сих пор не известен. Задача нахождения совершенных кубоидов или доказательства их несуществования — это открытая математическая проблема. Она имеет длинную историю, которая отражена в работах [434].
В работе [35] задача построения совершенного кубоида, была сведена к следующему диофантовому уравнению порядка, 12 от переменных а, Ь, с и и:
и4 а4 Ъ4 + 6 а4 и2 Ъ4 с2 — 2 и4 а4 Ъ2 с2 — 2 и4 а2 Ъ4 с2 + 4 и2 Ъ4 а2 с4+
+ 4 а4 и2 Ь2 с4 — 12 и4 а2 Ь2 с4 + и4 а4 с4 + и4 Ь4 с4 + а4 Ь4 с4+
+ 6 а4 и2 с6 + 6 и2 Ь4 с6 — 8 а2 Ь2 и2 с6 — 2 и4 а2 с6 — 2 и4 Ь2 с6 — (1.1)
— 2 а4 Ь2 с6 — 2 Ь4 а2 с6 + и4 с8 + Ь4 с8 + а4 с8 + 4 а2 и2 с8+
+ 4 Ь2 и2 с8 — 12 Ь2 а2 с8 + 6 и2 с10 — 2 а2 с10 — 2 Ь2 с10 + с12 = 0.
R.A. Sharipov, Perfect cuboids and irreducible polynomials. © Шарипов P.A. 2012.
Поступила 2 сентября 2011 г.
Точнее результат работы [35] формулируется в виде следующей теоремы.
Теорема 1.1. Совершенный кубоид существует тогда и только тогда, когда диофан-тово уравнение (1,1) имеет решение, такое, что а, Ь, с, и — четыре положительных целых числа, удовлетворяющих неравенствам а < с, Ь < с, и < с, (а + с) (Ь + с) > 2 с2.
Более простое уравнение, связанное с совершенными кубоидами было выведено в [18] (см, также [27]), Но наша цель в данной работе — изучить уравнение (1.1) (поскольку оно новое) и получить результаты, заявленные в аннотации,
2. Рациональные кубоиды
Рациональный кубоид — это прямоугольный параллелепипед, длины рёбер которого выражаются рациональными числами. Если длины диагоналей на гранях также рациональны — это рациональный кубоид Эйлера, Наконец, если длина пространственной диагонали тоже рациональное число, то мы получаем совершенный кубоид. Легко видеть, что каждый рациональный кубоид Эйлера можно преобразовать в кубоид Эйлера с целочисленными рёбрами и диагоналями на гранях, В случае совершенного кубоида, (как целочисленного, так и рационального) всякий такой кубоид можно преобразовать в совершенный рациональный кубоид с единичной пространственной диагональю (см, [35]), И наоборот, всякий совершенный рациональный кубоид с единичной пространственной диагональю можно преобразовать в совершенный кубоид с целочисленными рёбрами и диагоналями. Поэтому, говоря о совершенных рациональных кубоидах, ниже мы по умолчанию считаем их пространственную диагональ единичной,
3. Формулы для рёбер и диагоналей на гранях
Заметим, что уравнение (1.1) однородно по отношению к переменным а, Ь, с и и. По-
скольку с> 0 в теореме 1,1, мы можем ввести переменные
а а Ь и ми
а = -, р = -, V = —. (3,1)
с с с
В переменных (3,1) уравнение (1.1) записывается в виде
V4 а4 04 + (6 а4 V2 04 — 2 V4 а4 02 — 2 V4 а2 04) + (4 V2 04 а2+
+ 4 а4 V2 $2 — 12 V4 а2 $2 + V4 а4 + V4 @4 + а4 $4) + (6 а4 V2 + 6 V2 $4—
— 8 а2 $2 V2 — 2 V4 а2 — 2 V4 $2 — 2 а4 $2 — 2 /34 а2) + (у4 + $4+
+ а4 + 4 а2 V2 + 4 @2 V2 — 12 р2 а2) + (6 V2 — 2 а2 — 2 @2) + 1 = 0.
Отметим, что переменные а, Ь, с и и в (1.1) не являются ни рёбрами, ни диагоналями
совершенного кубоида.. — это просто параметры. Через них, в соответствии с формулами (3.1), выражаются рациональные параметры а., /3 и V в (3.2). А рёбра и диагонали на гранях совершенного кубоида, выражаются через а., /3 и V. Обозначим через Х\., х2 и х3 рёбра такого кубоида, а через dl, ^2 и ^ — его диагонали на гранях:
(хг)2 + (Х2)2 = (Фз)2, (Х2)2 + (х3)2 = (^)2, (х3)2 + (хх)2 = Щ2. (3.3)
Тогда хгш ^ выражаются через параметр у.
2 у л 1 — у2 /о.П
хг = —2 , —2. 3'4)
1 + V2 1 + V2
Обозначим через г следующий вспомогательный параметр:
(1 + V2) (1 — Р2) (1 + а2)
(3.2)
2(1 + Р2) (1 — а2 V2)
(3.5)
После этого рёбра х2 ш х3 выражаются формулами
Х2 (1 + у2)(1 + г2), Х3 (1+ у2)(1 + г2), 1 ;
а диагонали на гранях й2 ъ <13 задаются следующими формулами:
= (1 + ь2)(1 + г2) + 2 г(1 — V2) „
2 = (1 + ь2)(1 + г2) ^
. 2 (у2 г2 + 1) (3'7)
/7 о = ----------------- ГУ
3 (1 + у2)(1 + г2) .
Формулы (3,4), (3,5), (3,6) и (3,7) взяты из [35], Их можно проверить прямыми вычислениями, Действительно, второе равенство (3,3) превращается в тождество в силу формул
(3.6), Помимо уравнений (3,3) совершенный кубоид характеризуется равенствами
(Х\)‘2 + ^г)2 = 1, (х2)2 + (Л2)2 = 1, (хз)2 + (&з)2 = 1. (3-8)
Они означают, что длина пространственной диагонали кубоида, равна единице. Первое из равенств (3,8) превращается в тождество в силу формул (3,4),
Итак, второе равенство (3,3) и первое равенство (3,8) обращаются в тождества. Остальные четыре равенства (3,3) и (3,8) тоже превращаются в тождества в силу (3,4), (3,5),
(3.6) и (3,7), но с учётом уравнения (3,2),
4. Обратно к целым числам
Уравнение (1.1) однородно по входящим в него переменным. Поэтому, в силу (3,1) и в силу теоремы 1,1, параметры а, Ь, с и и в уравнении (1.1) можно считать четвёркой положительных взаимно простых целых чисел, т, е, их наибольший общий делитель равен единице:
ИОД(а,Ь, с,и) = 1. (4,1)
Обозначим через т наибольший общий делитель чисел а, Ь и и:
НОД(а,Ь,и) = т. (4,2)
Тогда из (4,1) и (4,2) выводится равенство
НОД(т, с) = 1, (4.3)
т. е, т и с взаимно просты, В силу (4,2) и (4,3), дроби а/т, Ь/т и и/т упрощаются до целых чисел, а дробь с/т оказывается несократимой дробью, если т = 1. Формулу (3,1)
можно переписать в терминах этих дробей:
а/т „ Ь/т и/т
а = 4—, /3 = ±~, V = ^—. 4.4
с/т с/т с/т
Опираясь на (4.4), мы можем поменять переменные следующим образом:
а Ь и с
— —— &, — —— о, — —— и, — —— ь. (4.5)
т т т т
После введения новой переменной £ = с/т и обновления переменных а, Ь и и согласно
(4.5) формулы (4.4) записываются как
а а Ь и ( а рл
а = -, р = -, V = —, (4.о)
а уравнение (1.1) приобретает следующий вил:
I12 + (6 и2 — 2 а2 — 2 Ь2) I10 + (и4 + Ь4 + а4 + 4 а2 и2+
+ 4 Ь2 и2 — 12 Ь2 а2) Ь8 + (6 а4 и2 + 6 и2 Ь4 — 8 а2 Ь2 и2 —
— 2 и4 а2 — 2 и4 Ь2 — 2 а4 Ь2 — 2 Ь4 а2) Ь6 + (4 и2 Ь4 а2+ (4.7)
+ 4 а4 и2 Ь2 — 12 и4 а2 Ь2 + и4 а4 + и4 Ь4 + а4 Ь4) Ь4+
+ (6 а4 и2 Ь4 — 2 и4 а4 Ь2 — 2 и4 а2 Ь4) Ь2 + и4 а4 Ь4 = 0.
Что же касается формулы (4.2), для обновлённых согласно (4.5) переменных а, Ь и и эта формула даёт соотношение
ШЩа,Ь,и) = 1. (4.8)
Формула (4.8) означает, что величины а, Ь и и в (4.6) и (4.7) взаимно просты.
Отметим, что уравнение (4.7) совпадает с исходным уравнением (1.1), но переменная с в
нём заменена на £, а слагаемые перегруппированы так, как это принято делать в полиноме
от одной переменной £. Теорема 1.1 теперь переформулируется так.
Теорема 4.1. Совершенный кубоид существует тогда и только тогда, когда для некоторых трёх положительных взаимно простых целых чисел, а, Ь, и полиномиальное уравнение (4.7) имеет рациональное решение Ь, удовлетворяющее неравенствам Ь > а, Ь > Ь, Ь > и, (а + Ь) (Ь + Ь) > 2 Ь2.
5. Разложение на множители полиномиального уравнения
Обозначим через Раьи(Ъ) полином в левой части уравнения (4.7). Обозначив этот полином таким образом, мы понимаем его как полином от одной переменной £, а переменные а, Ь и и считаем параметрами:
РоЬуМ) = Ь12 + (6 и2 — 2 а2 — 2 Ь2) Ь10 + (и4 + Ь4 + а4 + 4 а2 и2+
+ 4 Ь2 и2 — 12 Ь2 а2) I8 + (6 а4 и2 + 6 и2 Ь4 — 8 а2 Ь2 и2 —
— 2 и4 а2 — 2 и4 Ь2 — 2 а4 Ь2 — 2 Ъ4 а2) I6 + (4 и2 Ь4 а2+ (5.1)
+ 4 а4 и2 Ь2 — 12 и4 а2 Ь2 + и4 а4 + и4 Ь4 + а4 Ь4) Ь4+
+ (6 а4 и2 Ь4 — 2 и4 а4 Ь2 — 2 и4 а2 Ь4) Ь2 + и4 а4 Ь4.
Полином (5,1) симметричен относительно параметров а и Ь, т. е.
РаЬи^) = Рьаи(к).
Для изучения полинома РаЬи(^) мы рассмотрим некоторые частные случаи:
(5.2)
1) а = Ь;
2) а = Ь = и;
3) Ъи = а2;
4) аи = Ь2;
5) а = и;
6) Ь = и.
(5.3)
Частный случай а = Ь. В этом частном случае полипом Раьи^) = Рааи(1) задаётся следующей формулой:
Формулы (5,5) и (5,6) легко доказываются прямыми вычислениями.
Частный случай а = Ь = и. Этот случай соответствует подстановке а = ив формуле
(5,6), Если а = и, то полином Раи^) = Раа(^ приводим:
В силу условия взаимной простоты (4,8), частный случай а = Ь = и подходит под условия теоремы 4,1 только при а = Ь = и = 1. При этом, в силу (5,5) и (5,7), уравнение (4,7) выглядит так:
Уравнение (5,8) имеет два вещественных рациональных решения і = — 1 и і = 1. Но ни одно из них не подходит под условия теоремы 4,1, Действительно, оба они не удовлетворяют неравенству і > а, где а = 1.
Итак, поделучай а = Ь = и случая а = Ь не даёт совершенных кубоидов. Прочие под-случаи частного случая а = Ь описываются следующей гипотезой.
Гипотеза 5.1. Для всяких двух положительных взаимно простых целых чисел, а = и полипом, Раи(і) из (5,6) неприводим, в кольце полиномов ЪЩ.
Частный случай Ьи = а2. Сопоставляя Ьи = а2 с (4,8), легко вывести следующее представление для целых чисел а, Ь и и:
Здесь р и д — это два параметра, два положительных целых числа, которые удовлетворяют
Рааи(і) = і1"2 + (6 и2 — 4 а2) Ь1° + (8 а2 и2 — 10 а4 + и4) і8+ + (4 а4 и2 — 4 а6 — 4 и4 а2) ї6 + (8 а6 и2 + а8 — 10 и4 а4) Ь4+ + (6 а8 и2 — 4 и4 а6) і2 + и4 а8.
(5.4)
Полином (5,4) приводим. Он раскладывается на множители
Рааи(І) = (І2 + а2)2 Раи (І) ,
(5.5)
где полином Раи(і) задаётся формулой
Раи(Ъ) = Ь8 + 6(и2 — а2) Ь6 + (а4 — 4 а2 и2 + и4) і4—
— 6 а2 и2 (и2 — а2) і2 + и4 а4.
(5.6)
Раа(і) = (і — О)2 (і + О)2 (І2 + О2)2.
(5.7)
(і — 1)2 (і + 1)2 (і2 + 1)4 = 0.
(5.8)
а = рд,
(5.9)
(5.10)
Ррдр2д2 (г) = г12 + (6 д4 — 2 р2 д2 — 2 р4) г10 + (д8 + 4р2 д6+
+ 5р4 д4 — 12р6 д2 + р8) Ь8 — 2р2 д2 (д8 — 2р2 д6 + 4р4 д4 —
— 2р6 д2 + р8) Ь6 + р4 д4 (д8 — 12р2 д6 + 5р4 д4 + 4р6 д2 + р8) Ь4+ + д8 р8 (—2 д4 — 2 р2 д2 + 6 р4) г2 + д12 р12.
(5.11)
Полином Ррдр2ч2 (I) в (5.11) приводим. Действительно, мы имеем разложение
Ррдр2д2 (^0 ^ О) + 0^ (^рд (Ь) ,
где Qpq (I) — это следующий полином:
(5.12)
Qpg(г) = г10 + (2 д2 + р2) (3 д2 — 2р2) г8 + (д8 + 10р2 д6+
+ 4р4 д4 — 14р6 д2 + р8) г6 — р2 д2 (д8 — 14р2 д6 + 4р4 д4+
+ 10р6 д2 + р8) г4 — р6 д6 (д2 + 2р2) (—2 д2 + 3р2) I2 — д10 р10.
(5.13)
В силу (5.12), полипом (5.11) имеет два рациональных корня £ = а и £ = —а. Оба эти корня не подходят под условия теоремы 4.1, поскольку они не удовлетворяют неравенству Ь > а.
Прочие корпи полинома (5.11) совпадают с корнями полинома Qpg(I) из (5.13). Полипом (5.13) приводим при д = р. В этом случае мы имеем
Формула (5.14) не является неожиданностью. При д = р го (5,9) легко вывести а = Ь = и.
А этот случай уже был рассмотрен (см, (5,7) и (5,8)), Из д = р и из (5,10) мы выводим
р = д = 1 и а = Ь = и = 1.
В случае р = д полином (5,13) описывается следующей гипотезой.
Гипотеза 5.2. Для всяких двух положительных взаимно простых целых чисел, р = д полипом, Qpq(I) из (5,13) неприводим, в кольце полиномов .
Частный случай а и = Ь2. Этот частный случай сводится к предыдущему. Действительно, из аи = Ь2 и из (4,8) вытекает
где р и д — два положительных целых числа, удовлетворяющих условию взаимной простоты (5,10), После подстановки в (5,1) формулы (5,15) эквивалентны формулам (5,9) в силу симметрии (5,2), Эти формулы приводят к полиному Рр2рдд2 (I), совпадающему с полиномом (5,11), а далее они приводят к полиному (5,13), который уже рассматривался выше.
Частный случай а = и. Этот частный случай довольно прост, В этом случае полином Раьи^) = РиЬи(') в (5,1) приводим, и имеет место формула
Полином (5,16) имеет два вещественных рациональных корня £ = 6 и £ = —Ь. Оба они не подходят под под условия теоремы 4,1, поскольку не удовлетворяют неравенству Ь > Ь.
Частный случай Ь = и. Этот частный случай эквивалентен предыдущему в силу симметрии (5,2),
Общий случай, который не покрывается частными случаями, перечисленными в (5,3) и рассмотренными выше, описывается следующей гипотезой.
Ярр{^) = ~ + а) ({2 + о2)4.
(5.14)
Ь = рд,
и = д2,
(5.15)
Риьп(г) = (г2 + и2)4 (г — Ь)2 (г + Ь)2.
(5.16)
Гипотеза 5.3. Для, всяких трёх положительных взаимно простых целых чисел а, Ь, и, таких, что ни одно из условий (5,3) не выполнено, полипом, (5,1) неприводим, в кольце полиномов Z[t].
6. Численная проверка гипотез
В настоящее время доказательства гипотез 5,1, 5,2 и 5,3 не известны. По этой причине я исследовал их численно. Для этого был применён пакет Maxima версии 5,21,1 с графической оболочкой wxMaxima 0,85 на платформе Ubuntu 10,10 с ядром Linux 2,5,35-24,
Гипотеза 5,1 была проверена и подтверждена для 1 ^ а ^ 100 и 1 ^ и ^ 100, Гипотеза 5,2 была подтверждена для 1 ^ р ^ 100 и 1 ^ q ^ 100, А третья гипотеза 5,3 была проверена и подтверждена для 1 ^ а ^ 22, 1 ^ b ^ 22 и 1 ^ и ^ 22. Число 22 выбрано специально, поскольку
223 = 10 648 и 10 000 = 1002.
Это равенство означает, что каждая гипотеза была протестирована и подтвердилась для примерно 10 000 различных комбинаций числовых параметров в пей. Совокупный результат вычислений звучит так: уравнение (4,7) не имеет решений, дающих совершенные кубоиды, при всех значениях чисел а, Ь, и меньших или равных 22.
7. Выводы
Гипотезы 5,1, 5,2 и 5,3 не эквивалентны условию несуществования совершенных кубоидов, Однако, если они верны, то этого достаточно, чтобы доказать, что совершенные кубоиды не существуют. Результаты численной проверки, изложенные выше, свидетельствуют в пользу справедливости этих гипотез,
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Halcke P., Deliciae mathematicae oder mathematisches Sinnen-Confect, N. Sauer, Hamburg, Germany, 1719.
2. Saunderson N., Elements of algebra, Vol. 2, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1740.
3. Euler L., Vollstandige Anleitung zur Algebra, Kavserliche Akademie der Wissenschaften, St. Petersburg, 1771.
4. Dickson L. E., History of the theory of numbers, Vol. 2: Diophantine analysis, Dover, New York, 2005.
5. Kraitchik М., On certain rational cuboids jj Scripta Math., Vol. 11, 1945, P. 317-326.
6. Kraitchik М., Theorie des Nombres, Tome 3, Analyse Diophantine et application aux cuboides rationelles, Gauthier-Villars, Paris, 1947.
7. Kraitchik М., Sur les cuboides rationelles // Proc. Int. Congr. Math., 1954, Vol. 2, Amsterdam, P. 33-34
8. Bromhead Т. B., On square sums of squares // Math. Gazette, 1960, Vol. 44, № 349, P. 219-220.
9. Lai М., Blundon W. J., Solutions of the Diophantine equations x2 + y2 = I2, y2 + z2 = m2,
z2 + x2 = n2 // Math. Comp., 1966, Vol. 20. P. 144-147.
10. Spohn W. G., On the integral cuboid // Amer. Math. Monthly, 1972, Vol. 79, №1, P. 57-59.
11. Spohn W. G., On the derived cuboid // Canad. Math. Bull., 1974, Vol. 17, №4, P. 575-577.
12. Chein E. Z., On the derived cuboid of an Eulerian triple // Canad. Math. Bull., 1977, Vol. 20, № 4, P. 509-510.
13. Leech J., The rational cuboid revisited // Amer. Math. Monthly, 1977, Vol. 84, № 7, P. 518-533; см. также Erratum // Amer. Math. Monthly, 1978, Vol. 85, P. 472.
14. Leech J., Five tables relating to rational cuboids // Math. Comp., 1978, Vol. 32, P. 657-659.
15. Spohn W. G., Table of integral cuboids and their generators // Math. Comp., 1979, Vol. 33, P. 428-429.
16. Lagrange J., Sur le derive du cuboide Eulerien // Canad. Math. Bull., 1979, Vol. 22, №2, P. 239-241.
17. Leech J., A remark on rational cuboids j j Canad. Math. Bull., 1981, Vol. 24, №3, P. 377-378.
18. Korec I., Nonexistence of small perfect rational cuboid j j Acta Math. Univ. Comen., 1983, Vol. 42/43, P. 73-86.
19. Korec I., Nonexistence of small perfect rational cuboid II // Acta Math. Univ. Comen., 1984, Vol. 44/45, P. 39-48.
20. Wells D. G., The Penguin dictionary of curious and interesting numbers, Penguin publishers, London,1986.
21. Bremner A., Guy R. K., A dozen difficult Diophantine dilemmas j j Amer. Math. Monthly, 1988, Vol. 95, №1, P. 31-36.
22. Bremner A., The rational cuboid and a quartic surface j j Rocky Mountain J. Math., 1988, Vol. 18, №1, P. 105-121.
23. Colman W. J. A., On certain semiperfect cuboids j j Fibonacci Quart., 1988, Vol. 26, №1, P. 54-57; см. также Some observations on the classical cuboid and its parametric solutions j j Fibonacci Quart., 1988, Vol. 26, №4, P. 338-343.
24. Korec I., Lower bounds for perfect rational cuboids j j Math. Slovaca, 1992, Vol. 42, №5, P. 565-582.
25. Guy R. K. Is there a perfect cuboid? Four squares whose sums in pairs are square. Four squares whose differences are square, в книге Unsolved Problems in Number Theory, 2-nd ed., P. 173-181, Springer-Verlag, New York, 1994.
26. Rathbun R. L., Granlund Т., The integer cuboid table with body, edge, and face type of solutions // Math. Comp., 1994, Vol. 62, P. 441-442.
27. Van Luijk R., On perfect cuboids, Doctoraalscriptie, Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht, Utrecht, 2000.
28. Rathbun R. L., Granlund Т., The classical rational cuboid table of Maurice Kraitchik j j Math. Comp., 1994, Vol. 62, P. 442-443.
29. Peterson В. E., Jordan J. H., Integer hexahedra equivalent to perfect boxes // Amer. Math. Monthly, 1995, Vol. 102, №1, P. 41-45.
30. Rathbun R. L., The rational cuboid table of Maurice Kraitchik, e-print math.HO/OH1229 в электронном архиве http://arXiv.org.
31. Hartshorne R., Van Luijk R., Non-Eu,clidean Pythagorean triples, a problem of Euler, and rational points on КЗ surfaces, e-print math.NT/0606700 в электронном архиве http://arXiv.org.
32. Waldschmidt М., Open diophantine problems, e-print math.NT/0312440 в электронном архиве http://arXiv.org.
33. Ionascu E. J., Luca F., Stanica P., Heron triangles with two fixed sides, e-print math. math.NT/0608185 в электронном архиве http://arXiv.org.
34. Sloan N. J. A, Sequences A031173 (http://oeis.org/A031173), A031174 (http://oeis.org /А03 1174), and A031175 (http://oeis.org/A031175), On-line encyclopedia of integer sequences, OEIS Foundation Inc., Portland, USA.
35. Sharipov R. A., A note on a perfect Euler cuboid, e-print arXiv:1104.1716 в электронном архиве http://arXiv.org.
Руслан Абдулович Шарипов,
Башкирский Государственный Университет, ул. Заки Валиди, 32,
450074, г. Уфа, Россия E-mail: r-sharipov@mail.ru
