Непрерывные решения вырожденного интегро-дифференциального уравнения второго порядка в банаховых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

Том 2 (2009), №1, С. 328-332

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского

государственного

университета

УДК 517.983.51

Непрерывные решения вырожденного интегро-дифференциального уравнения второго порядка в банаховых пространствах

С. С. Орлов

Иркутский государственный университет

Аннотация. В статье изучается задача Коши для линейного интегро-дифферен-циального операторного уравнения второго порядка с вырождением в банаховых пространствах. Указаны достаточные условия существования и единственности классического (дважды сильно непрерывно дифференцируемого) решения, получены явные формулы для его восстановления.

Ключевые слова: банахово пространство, фредгольмов оператор, жорданов набор.

1. Постановка задачи

Рассматривается интегро-дифференциальное уравнение

Bx(t) — Aix(t) — A0x(t) — [ k(t — s)x(s)ds = f (t) (1)

o

с начальными условиями

x(0) = x0, x(0) = xi, (2)

где B, Ai, Ao, k(t) : Ei ^ E2 — замкнутые линейные операторы с плотными областями определения, такими что выполнены условия:

D(B) с D(Ai) П D(Ao) П D(k), D(B) = D(Ai) П D(Ao) П D(k) = Ei,

Ei, E2 — банаховы пространства, причем область определения D(k) оператора k(t) не зависит от t. Функции x(t) и f(t) являются абстрактными функциями неотрицательного вещественного аргумента t со значениями в Ei и E2 соответственно. Оператор B предполагается нормально разрешимым фредгольмовым оператором с n-мерным ядром.

Следуя идее работы [1], покажем, что задача Коши (1)—(2) в такой постановке не всегда имеет классическое решение, под которым понимается функция класса С2(К+, Е)), обращающая в тождество уравнение

(1) и удовлетворяющая начальным условиям (2).

2. Построение классического решения

Введем в рассмотрение следующие функции:

Т (і) = Л) + Л0і + [ (і — т )к(т )йт,

Jо

д(і) = / (і) + Ліхі + Ао(хо + хіі) + ( к (і — т )(хо + х)т )йт,

.) о

Кіз (і) = (Т(і)Рі + [ Щі — т)Т(т)рійт, 'Фі), і, і = 1,п, о

і і—в

ьі(і) = — І У ((І + (і — в — т)К(т))д(8), фз) йтйз, і = 1~п, оо

где И(1) — резольвента ядра Т(і)Г, Г — оператор Треногина-Шмидта

[2], {рі, і = 1,п} — базис в N (В), {фі, і = 1,п} — базис в N (В*).

Теорема 1. Если выполнены условия:

A) оператор В имеет относительно оператор-функции Т(і) полный биканонический жорданов набор [3];

B) оператор-функция к (і) Є Ср—і(і > 0) сильно непрерывна на О(к);

C) {/(і),фі)єСРі—і(Ж+), і = 1^;

О) Ь^+) (0) = 0, д = 1,Рі, і = 1,п, то задача Коши (1)-(2) имеет единственное классическое решение. Здесь и далее рі — длина жордановой цепочки элемента рі относительно оператор-функции Т(і), р = тахрі.

і=),П

Доказательство. Согласно [1], решение задачи Коши (1)—(2) будем искать в виде:

п

х(і) = хо + Х)і + ГУ(і)+^ Рііі(і), (3)

і=)

где функции V(і) : М+ ^ Е2, £і(і) : ^ К, і = 1,п удовлетворяют

следующим условиям:

V(о) = у(о) = о, {V(і), Фі) = 0, і = т;п, (4)

6(0) = &(0) = 0, г = 1,и. (5)

Подстановкой (3) в (1) и двукратным интегрированием по Ь с учетом начального условия из (4), получим относительно V(Ь) регулярное интегрально-операторное уравнение типа свертки с ядром Т(Ь)Г, являющимся в силу В) сильно непрерывным на семейством ограниченных операторов. Единственное классическое решение такого уравнения восстанавливается в терминах резольвенты К(Ь) по формуле:

V(Ь) = / (I + (Ь — в — т)Щт))д(в)йтйв+

0 0

+ У ^(Ь — в)рг + ! К(Ь — в — Т)Т(т)рг(1т

г=1 о о

&(в)ёв, (6)

где функции &г(Ь), г = 1, и удовлетворяют системе линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода:

п

У Ки(Ь — вШв)Лв = Ьу(Ь), 2 = 1,"

г=1 п

и.

(7)

В силу условия А) элементы матрицы-функции \\Kij(Ь)|^у=щ обла-

дают следующим свойством:

К(?(0) =

0, 8 <рг — 1,

$гу, 8 = Рг — 1,

0, в > рг — 1,2 > г.

Тогда система (7) последовательным дифференцированием каждого из ее уравнений с учетом условий Б) и (5) сводится к системе линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода

10 п

(Ь) + К3)(Ь — в)ив)йв = )($, 2 = 17й,

•=1(1

(8)

которая при выполнении условий В) и С) имеет единственное векторное решение, состоящее из функций &г(Ь) € С2(М+), г = 1,и.

Таким образом, задача Коши (1)—(2) однозначно разрешима в классе С 2(М+,Е1). □

Замечание 1. Блок условий Б) теоремы 1 задает соотношения на ядро интегральной части, свободную функцию уравнения (1) и начальные условия (2). Это и означает, что задача Коши (1)—(2) имеет классическое решение не при любых „входных данных“.

I

I

Замечание 2. Применение к поставленной задаче теории обобщенных функций Соболева-Шварца в банаховых пространствах [3] позволяет снять эти ограничения и построить решение в классе распределений с ограниченным слева носителем.

3. Приложение

Полученный результат может быть применен к исследованию следующей начально-краевой задачи, возникающей в теории вязко-упругих процессов [4]:

II / {' ^

(y — A)utt (t,x) — /3Aut(t,x) — Au(t,x) + g(t — r )Au(r,x)dr = f (t,x),

J 0

4=0 = uo(x), ut|t=0 = ui(x), u^dn = 0,

если вещественный параметр y является собственным числом кратности n оператора Лапласа, действующего по пространственным переменным. Здесь Q — ограниченное в Rm множество с регулярной границей дQ. Оператор B = y — A с областью определения Cq(Q) — дважды дифференцируемых на Q финитных функций, является самосопряженным нормально разрешимым фредгольмовым оператором на пространстве £2(0). Длины всех жордановых цепочек равны 1.

Таким образом, согласно теоремы 1, данная начально-краевая задача имеет единственное решение класса С2(R+) П Cq(Q), если выполнены условия: g(t), /п f (t,x)фi(x)dx € C(R+), где фi, i = l,n — собственные функции, соответствующие собственному числу Y; Uo(x), Ul(x) € Cq(Q).

Список литературы

1. Сидоров Н. А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождением / Н. А. Сидоров, О. А. Романова // Дифференц. уравнения. — 1983. — Т. 19, № 9. — С. 1516-1526.

2. Вайнберг М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. — М.: Наука, 1969.

3. Sidorov N. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn and M. Falaleev. — Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2002.

4. Cavalcanti M. M. Existence and Uniform Decay for a Non-Linear Viscoelastic Equation with Strong Damping / M. M. Cavalcanti, V. N. Domingos Cavalcanti, J. Ferreira // Math. Meth. Appl. Sci. — 2001. — Vol. 24. — P. 1043-1053.

S. S. Orlov

The continuous solutions of a singular integro-differential equation of the second order in Banach spaces

Abstract. The article is devoted to the investigation of Cauchy problem for linear integro-differential operator equation of the second order with degeneration in Banach spaces. Sufficient conditions of the classical (twice strongly continuously differentiable) solution existence and uniqueness are shown; explicit formulas of the solution are obtained.

Keywords: Banach space, Fredholm operator, Jordan set.

Орлов Сергей Сергеевич, аспирант, Институт математики, экономики и информатики, Иркутский государственный университет, 664003, Иркутск, ул. К. Маркса, 1 тел.: (3952) 24-22-10, (orlov_sergey)

Orlov Sergey, Irkutsk State University, 1, K. Marks St., Irkutsk, 664003, postgraduat student, Phone: (3952) 24-22-10, (orlov_sergey)