Непрерывная зависимость решений линеаризованной начально-краевой задачи транспорта многокомпонентных наносов от входных данных задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1

Научная статья УДК 517.95

doi: 10.18522/1026-2237-2024-1 -30-37

НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТРАНСПОРТА МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ НАНОСОВ ОТ ВХОДНЫХ ДАННЫХ ЗАДАЧИ

Валентина Владимировна Сидорякина

Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону, Россия

Таганрогский институт имени А.П. Чехова (филиал) Ростовского государственного экономического

университета (РИНХ), Таганрог, Россия

cvv9@mail.ru

Аннотация. Рассматривается цепочка линеаризованных на временной сетке задач, которые описывают процессы транспорта многокомпонентных наносов применительно к прибрежным морским системам. В предыдущих работах автора были найдены условия существования и единственности решения указанного класса задач с одновременным определением требований к классам гладкости входных данных. Результат настоящего исследования связан с получением априорной оценки нормы решения задачи в зависимости от интегральных оценок правой части, граничных условий и нормы начального условия. Полученные априорные оценки позволяют в дальнейшем строить дискретные модели, вычислительно устойчивые по отношению к малым ошибкам в исходных данных и к ошибкам, возникающим при проведении вычислений

Ключевые слова: наносы многокомпонентного состава, транспорт наносов, нелинейная начально -краевая задача, линеаризация начально-краевой задачи, исследование решений линеаризованной задачи

Для цитирования: Сидорякина В.В. Непрерывная зависимость решений линеаризованной начально-краевой задачи транспорта многокомпонентных наносов от входных данных задачи // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2024. № 1. С. 30-37.

Благодарности: исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-2100509, https://rscf.ru/project/ 23-21-00509/.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).

Original article

CONTINUOUS DEPENDENCE OF SOLUTIONS TO THE LINEARIZED INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM OF TRANSPORT OF MULTICOMPONENT SEDIMENTS ON THE INPUT DATA OF THE PROBLEM

Valentina V. Sidoryakina

Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia

A.P. Chekhov Taganrog Institute (branch) of the Rostov State University of Economics, Taganrog, Russia cvv9@mail.ru

© Сидорякина В.В., 2024

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2024. № 1

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1

Abstract. We consider a chain of problems linearized on a time grid that describe the processes of transport of multicomponent sediments in relation to coastal marine systems. In the author's previous works, the conditions for the existence and uniqueness of a solution to this class of problems were determined, while simultaneously determining the requirements for the smoothness classes of the input data of the problem. The result of this study is related to obtaining an a priori estimate of the norm for solving the problem depending on the integral estimates of the right-hand side, boundary conditions and the norm of the initial condition. The obtained a priori estimates allow us to further carry out computationally stable calculations with respect to small errors in the initial data and to errors that arise during calculations.

Keywords: sediments of multicomponent composition, sediment transport, nonlinear initial-boundary value problem, linearization of the initial boundary value problem, study of solutions to the linearized problem

For citation: Sidoryakina V.V. Continuous Dependence of Solutions to the Linearized Initial-Boundary Value Problem of Transport of Multicomponent Sediments on the Input Data of the Problem. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2024;(1):30-37. (In Russ.).

Acknowledgments: the study was supported by a grant from the Russian Science Foundation No. 23-2100509, https://rscf.ru/project/23-21-00509/.

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).

Введение

Изучение переноса и отложения наносов имеет решающее значение для понимания целого ряда практических приложений, таких как управление водными ресурсами, строительство плотин и дамб, дампинг грунта, а также прогнозирование и предотвращение геологических опасностей (оползни и обвалы, эрозия берегов) и др. [1-3]. Значимость проблемы транспорта наносов в особенности велика при проектировании водохранилищ, так как срок их заиления во многом зависит от наносного режима.

Основное внимание в исследованиях транспорта наносов уделяется различным аспектам моделирования данных процессов [4-6]. Моделирование транспорта наносов представляет собой достаточно серьезную проблему по причине сложного характера процесса [7-9]. Здесь при взаимодействии водного потока с подвижным слоем наносов наблюдаются различные турбулентные масштабы, характеризующиеся когерентной структурой, вызывающей движение частиц. Из-за непостоянства вертикальных и горизонтальных составляющих скоростей потока движение частиц имеет прерывистый характер: частицы могут перемещаться в водном потоке путем скольжения, сальтации и перекатывания по поверхности дна. Для выявления закономерностей формирования и миграции наносов важно учитывать качественный состав материала, который, как правило, не является однородным.

В настоящей работе рассматривается 2D-модель транспорта наносов, учитывающая многокомпонентный состав материала. Входными данными для модели являются компоненты вектора скорости водной среды, для расчета которых модель транспорта наносов дополняется моделями движения водной среды и турбулентности [7, 10].

В настоящее время вопросы, касающиеся корректности постановки нелинейной начально-краевой задачи, соответствующей рассматриваемой модели, не являются завершенными. Для её исследования выполнена линеаризация на временной сетке. В [11] получены условия единственности решения линеаризованной задачи.

Целью данной работы является установление непрерывной зависимости решения от входных данных. Следует отметить, что для получения этого результата автор использует методы из [12], где рассматривался частный случай наносов однокомпонентного состава.

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЕ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2024. № 1

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1

Постановка задачи и её линеаризация на временной сетке

Пусть G, G(x, y )={0 < x < Lx, 0 < y < Ly } - область, где происходит процесс транспорта

наносов. Для определенности считаем: CD совпадает с береговой линией, < x < Lx, У = Ly };

АВ - горизонтальная граница области, расположенная в зоне глубокой воды, {о < x < Lx, y = о};

AD и ВС - боковые границы; G = G u AB u BC u CD u AD.

Для описания транспорта многокомпонентных наносов воспользуемся системой уравнений диффузии - конвекции, которая может быть записана в следующем виде [6, 13]:

¡ -\0H R / . R ( T Л R с í \ -

(1 - £)-+ 2 div(Vrkrтb ) = 2 div Vrkr^~ gradH -2 — (w + wgr) r = 1, R, (1)

sin ф, ~ g,

^ " " r ^тb,

Ot r=1 r=1

'0

r=1Pr

kr = kr (H, x, y, t) = A0)dr

Tb - —г gradH Sin ф0

где H = H(x, y, t) - глубина водоема; s - усредненная по всем компонентам пористость донных отложений; V - объемная доля r -й компоненты; ть - вектор касательного тангенциального напряжения на дне водоема; rbc r - критическое значение тангенциального напряжения для r -й компоненты наносов, rbcj = ar sin фо, где ar - некоторый коэффициент для r -й компоненты наносов; ф0 - угол естественного откоса грунта в водоеме; w - компонента по вертикали вектора скорости движения водной среды; wg ,r - гидравлическая крупность, или скорость

осаждения r -й компоненты; pr - плотность r -й компоненты донного материала; С - концентрация r -й фракции взвеси; - коэффициент, определяемый соотношением

3-1

1 bc ,r

т,--

((Pr -Ро Ы- )3

где S - усредненная частота волн; dr - характерный размер r -й компоненты; g - ускорение силы тяжести; p0 - плотность водной среды; A и 3 - безразмерные постоянные.

Считаем, что трехмерный цилиндр Цт = G х (о, T) высоты T с основанием G является областью задания уравнения (1).

Дополним уравнение (1) начальным и граничными условиями:

H(x, y,0) = Hо (x, y), Hо (x, y)e С2 (G) о С(G) grad(x,y)Hо e С(G) (x, y) e G, (2)

AB: |ть| = о, H(x,0, t) = H3(x),

CD : H(x,L'y,t) = H4(x,t)> со = const > о, L'y <Ly,

AD: H(о, y, t) = Hi (y, t), (3)

ВС: H(Lx, y, t) = H2 (y, t).

Дополнительно к граничным условиям (3) предполагаем выполнение условий их гладкости -существование непрерывных производных на границе области G, а также будем считать пренебрежимо малыми величины уклона дна на граничных линиях AD и ВС в направлении оси

8H

8x

= 0.

x=L,

Ox : grad (x,y )H e С Ц ) m С1 (Цт ), —

cX x=0

Условие невырожденности оператора задачи имеет вид kr > k0r = const > 0, r = 1Д V(x, y) e G, 0 < t < T.

Вектор тангенциального напряжения на дне выражается с использованием единичных ортов системы координат естественным образом

ть = iTbx + j^by, 4x = Tbx(x,y,t), Tby = Tby (x,y,t)

Далее методами [8] выполним линеаризацию задачи (1)-(3) на временной сетке coT=[tn = пт, n = 0,1,...,N, Nt = T}.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1

Если n = 1, то в качестве H(1)(x,y,t0 ) достаточно взять функцию начального условия, т.е.

H(1)(x, y, t0 ) = H0 (x, y). Если же n = 2,...,N, то функция H(n\x, y, tn_1 ) = H ^n_1^)(x, y, tn_1 ) предполагается известной, поскольку считается решенной задача (1)-(3) для предыдущего временного промежутка tn_2 < t < tn_1.

После линеаризации уравнение (1) запишем в виде

Л -лди (n ) R.J (1 -s)-= 2 div

dt r=i

Vrk(n-1) ^ gradH

sin ф0

r — 1,R, tn-1 < t < tn, n — 1,2,...,N,

(n)!- Rdiv(Vrk(n-1Kb )- RCr- (w + Wg,r ),

r=1

r=1Pr

(4)

где

k(n-1) = kv —

ASd„

((Pr -P0 )gdr У

■th --

1Ъе, r

sin ф0

gradH(n-1)(x, y, tn-1 )

ß-1

Дополним уравнение (4) начальными условиями:

Н(1)(х,у,^ ) = Но (х,у), Н(п)(х,у,гп_х) = Н(п-1)(х,у, гп_х), (х,у)е О, п = 2,...(5) Условия (3) на границе рассматриваемой области предполагаются выполненными для всех промежутков времени < t < ^, п = 1,2,...,N.

Отметим, что в уравнении (4) член вида Л1у(к(п-1^Т будет являться известной функцией правой части.

Метод решения

Убедимся в непрерывной зависимости решения задачи (3)-(5) от входных данных. В своих рассуждениях придерживаемся логики, использованной для доказательства этого факта для случая задачи транспорта однокомпонентной взвеси [9].

Дополнительно будем предполагать, что всегда есть слой жидкости конечной толщины в исследуемой области, и для рассматриваемого временного промежутка не происходит осушения области, т.е.

H(n)(x,y,t)> c0 = const > 0, 0 < x < Lx, 0 < y < L' , 0 < t < T.

(6)

Уравнение (4) сначала умножим на функцию Н (п)(х, у, t), а затем проинтегрируем по области G и после этого — по переменной t, < t < ^. Просуммировав обе части полученного соотношения по п = 1,...,N , получим

/ 4N n î \dH(n)

(1 -s)2 JdtJJH(n) —

R N

— 22

r—1n—1

N tn

J

n—1 tn-1 G t.

dt

, ( ( t Л Л

J dt JJH(n>div Vrkrn-1' —Ъс^— gradH(n) dxdy G l sin ф0

V G

(7)

Jdt (JJ H ^div (vr4n-1)тЪ )dxdy

n-1 V G

R N tn

-22 j

r—1n—1t ,

'n-1

î r

jj h (n) (w + wg,r )|dxdy

Л

v g v

Pr

dt, r — 1, R.

Преобразования равенства (7) выполняются с использованием теоремы Остроградского -Гаусса, а также с учётом граничных условий (3) и тождеств = 0 (наносы не могут опускаться ниже поверхности дна). В результате имеем

t

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1

H(n)(T))2 -(—(n)(o)):

2 R N tn

= тАт Z Z J

1 s r =ln=l t ,

-JJ Vrkr

G

dxdy =

(n-1) Tbc,r

sin i

f PH (п)Л 2 f PH (п)Л 2

Px

- j h3

AB

kkH^^dx + j hvM1-1

+

У V /

sin !o j py BC

Py

thrr ph(n)

sin ф0 px

■ - T

bx

dy -

J Hy^?-1

AD

n)

Tbc ,r PH

sin ф0 Px

■ - T

bx

dy + J H4Vrkrn-1)

CD

n)

Tbc,r PH

sin !o Py

■ - T

by

dx +

/- ^ PH(n) /- л PH(n) c

+ JJ Vrkr1Tbx -—dxdy + JJ Vrkr1Ty -—dxdy - J H 3 Wg ,rdy +

n)

G

c

Px

G

Py

Pr AB

+ — J H 2 (1...... u" cr

2 W + Wg,r py~— JH W + Wgr dy + — J H 4 [W + Wg ^

pr BC Pr AD Pr CD

С учетом оценок

ЯенМ

G

J H4 (w + wg r )dx Idt.

Px

1

< — 2

JJ Vrkrn-l)

G

JJVrk(rl)Tby pH-dxdy

G

Py

1

< — 2

JJ Vrkrn-l)

f pHn )л

Px

V У

f -H(n )Л2

G

-y

dxdy + JJ Vrk(r"-l)T^xdxdy

D

)

dxdy + JJ vkr^Tlydxdy

V ^ У

равенство (8) преобразуется к виду

(н(п)(T))2 - (н(п)(o))2

dxdy <

2 R N tn

Z Z J

1 s r=ln=l t ,

7

-JJ ^k

D

( n-1)

Tbc 1

sin ф 2

f р—(п)Л

Px

V У

+

fp—|)л

V Py У

- J H з

AB

+ J —2

BC

-J —1

AD

+ J H 4

CD

+

Vk(n-l) bc,r

л

sin IpQ

PH(n ) c„

vrk(n-l)

vún~l1

f

Py

n)

- w

Tbc PH

sin !o Px

PH(n)

Pr

Л

g,r

dx +

■-Tbr

+ wg,r )

P

bc

sin !o Px

--T

bx

c

Pr

r (w + w

g,r

dy -dy +

n-1)

Tbc PH sin ф0 Py

n)

■ - T

by

c~(w + Wg,r )

P

dx +

1 JJ F^"1^ 2 +r,y 2 jdxdyldt.

2 D J Будем предполагать, что

Tbc ,r 1

>

sin ф0 2

Воспользуемся неравенством Фридрихса - Пуанкаре [14, 15]

(8)

(9)

(10)

c

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1

Jj(h (n))2 dxdy

G

где Lx =

f f

ж2

V V

1

-1

У У

( rn(n 2 ( rn(n 2 +

sup |x'-x"|, Ly — sup

(x',y), (x",y)eG (x,y'), (x,y")eG

dx

У

|y'-y" •

dy

dxdy,

Тогда с учетом (10) оценку (9) можно усилить на основе неравенства (11)

я(н2(т)_Н2(о))ху <-Дг 2 2 / ЦКк(п-1)(тЬх2 + г6у2}кЛу-

В 1 _8 г=1п=1 {2 в

- J H 3

AB

+ J H 2

BC

- J H

AD

+ J H 4

CD

fvk(n-1) Ibc,r |dH (n)

sinф(

'0

dy

VkH

(n)

vk"-1)

(

■Ъс dH sin Ф0 dx

dH(n)

Pr

\

-W

g ,r

dx +

■bx

^-{w + wg,r )

У Л

Pr

■Ъс

V

kM

sin Ф0 dx

■bc dH(n)

bx

с

Pr

r (w + w

g ,0

sù^0 dy

by

с

Pr

r (w + w

g ,0

dy -dy + dx \dt.

Используя (6), можно получить неравенство

jj(h(n)(t)-HW(0))bxdy < — jjT(h W(t))2 - (h(")(t})2

G 2c0 GL

dxdy

(11)

(12)

Учитывая ограниченность соответствующих функций и производных, а также используя неравенство многоугольника для модулей, получим из (12) следующее соотношение:

2 я N К

JJ(H 2 (T )- H 2 (0)dxdy

D

< -

, =22 J

1 - s r—1n—1 t ,

M1 J H 1dy + M 2 J H 2 dy +

AD BC

(13)

+M3 J H 3dx +M 4 J H 4 dx +1M 5 JJ^bx 2 +tby 2 dd

CD

AB

D

dt,

где

M1 = max

1<r < R

M 2 = max

1<r < R

max s

0<t<T

max s

0<t<T

max s

1<n< N

max s

1<n< N

max s

(x, y )eAD I

max s

(x, y )eBC I

2 ^k,

(n-1)

r—1

(n)

■bc dH sin Ф0 dx

' -rbx

- (

w + w

Pr

g ,r

2 V k

rr

k (n-1) k

r—1

■bc dH sin Ф0 dx

(n)

■ - ■

bx

c

Pr

r (w + w

g,r )

M 3 = max

1<r<R

M 4 = max-

4 1<r<R

max s

0<t<T

max s

0<t<T

max s max s

1<n<N I (x,y )eAB I

2

r—1

V

k (n-1)-

bc,;

I dH(n)

sin 00

---w

dy Pr

g ,r

max s

1<n<N

max s

(x, y )eCD I

2VrkH

r—1

■bc dH sin Ф0 dx

(n )

■ - T

by

c

Pr

— (w + w

g,r

RVA^x, y, tn_1 )}||

M 5 = max \ max \ max ^

1<r<R [1<и<№ [(x,y)eD [r=

Из неравенства (13) следует оценка, которая гарантирует устойчивость линеаризованной задачи по начальным и граничным условиям, а также функции правой части

R

R

c

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1

tf H(T)dxdy < JJH(o)dxdy + -

D D С

J_ R

o(l -s) r=1

Tf

\

T

f

\

Tf

\

Tf

+ M3 J JH3dx dt + M4 J JH4dx

0 v AB y 0 v CD

M1J J H1dy dt +M2 J J H 2 dy

0v ad y 0v BC

T

dt +

cW 1M 5 J V JJ i^bx 2 + iy 2 ^txdy

2 0 v D

Заключение

dt

Новизна данной работы определяется постановкой нестационарной пространственно-двумерной математической задачи транспорта наносов, учитывающей их сложный многокомпонентный состав. Линеаризация соответствующей начально-краевой задачи выполнена на сетке по времени и для произвольного временного шага 1 п_ <^< 1 п, п = 1,2,...,N. Введение сетки по времени позволило получить цепочку линеаризованных начально-краевых задач, которые могут быть эффективно решены на сетках высокого разрешения, содержащих от нескольких сотен тысяч до многих десятков миллионов ячеек. Без линеаризации было бы невозможно на сетках, содержащих такое число узлов, осуществлять непосредственное численное решение системы нелинейных уравнений в частных производных. Результатом проведенного исследования является получение априорной оценки нормы решения задачи транспорта многокомпонентных наносов в зависимости от интегральных оценок правой части, граничных условий и нормы начального условия. Данный результат позволяет в дальнейшем строить устойчивую аппроксимацию на пространственной сетке линеаризованной задачи.

Список источников

1. Леонтьев И.О. Прибрежная динамика: волны, течения, потоки наносов. М.: ГЕОС, 2001. 272 с.

2. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Построение дискретной двумерной математической модели транспорта наносов // Изв. ЮФУ. Техн. науки. 2011. Т. 8, № 121. С. 32-44.

3. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Бондаренко Ю.С. Оценка погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами // Изв. ЮФУ. Техн. науки. 2011. Т. 8, № 121. С. 6-13.

4. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А., Шретер С.А. Сравнение вычислительных эффектив-ностей явной и неявной схем для задачи транспорта наносов в прибрежных водных системах // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2015): тр. Междунар. науч. конф. (31 марта - 2 апреля 2015 г., г. Екатеринбург). Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2015. С. 297-307.

5. Sidoryakina V.V. Efficient algorithms for the numerical solution of the coupled sediment and suspended matter transport problems in coastal systems // Proceedings of the 21st International Workshop on Computer Science and Information Technologies (CSIT 2019). Series: Atlantis Highlights in Computer Sciences. 2019. № 3.

Р. 243-248. Doi: 10.2991/csit-19.2019.42.

6. Sukhinov A., Belova Yu., Nikitina A., Sidoryakina V. Sufficient Conditions for the Existence and Uniqueness of the Solution of the Dynamics of Biogeochemical Cycles in Coastal Systems Problem // Mathematics. 2022. Vol. 10. Р. 2092. https: // doi.org/10.3390/math101220928.

7. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.Б. Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации. Л.: Гидрометеоиздат, 1987. 296 с.

8. Ouda M., Toorman EA. Development of a new multiphase sediment transport model for free surface flows // Int. J. of Multiphase Flow. 2019. № 117. Р. 81-102. Doi: https://doi.org/10.1016/j.ijmultiphaseflow.2019.04.023.

9. Aksoy H., Kavvas M.L. A review of hillslope and watershed scale erosion and sediment transport models // Catena. 2005. Vol. 64, № 2. P. 247-271. Doi: https://doi.org/10.1016/j.

10. Сухинов А.И., Проценко Е.А., Сидорякина В.В., Проценко С.В. Численное моделирование воздействия ветровых течений на прибрежную зону крупных водохранилищ // Матем. физика и компьютерное моделирование. 2022. Т. 25, № 3. С. 15-30. Doi: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2022.3.2.

11. Сидорякина В.В. Существование и единственность решения начально-краевой задачи транспорта многокомпонентных наносов прибрежных морских систем // Computational Mathematics and Information Technologies. 2023. Vol. 7 (2). P. 73-80. https: // doi.org/10.23947/2587-8999-2023-7-2-73-80.

12. Сидорякина В.В., Сухинов А.И. Исследование корректности и численная реализация линеаризованной двумерной задачи транспорта наносов // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 2017. Т. 57 (6). C. 985-1002. https: // doi.org/10.7868/S0044466917060138.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 1

13. SukhinovA.I., ChistyakovA.E., Sidoryakina V.V. Parallel Solution of Sediment and Suspension Transportation Problems on the Basis of Explicit Schemes // Communications in Computer and Information Science. 2018. Vol. 910. P. 306-321. https://doi.org/10.1007/978-3-319-99673-8_22.

14. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Либроком, 2015. 248 с.

15. Темам Р. Уравнения Навье - Стокса. М.: Мир, 1981. 408 с.

References

1. Leontiev I.O. Coastal dynamics: waves, currents, sediment flows. Moscow: GEOS Publ.; 2001. 272 p. (In Russ.).

2. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Protsenko E.A. Construction of a discrete two-dimensional mathematical model of sediment transport. Izv. YuFU. Tekhn. nauki = Izvestiya SFedU. Engineering Sciences. 2011;8(121):32-44. (In Russ.).

3. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Bondarenko Yu.S. Estimation of the error in solving the diffusion equation based on schemes with weights. Izv. YuFU. Tekhn. nauki = Izvestiya SFedU. Engineering Sciences. 2011;8(121):6-13. (In Russ.).

4. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Protsenko E.A., Shreter S.A. Comparison of the computational efficiency of explicit and implicit schemes for the problem of sediment transport in coastal water systems. Parallel Computing Technologies (PaVT'2015): Proceedings of the International Scientific Conference (March 31 - April 2, 2015, Ekaterinburg). Chelyabinsk: South Ural State University Press; 2015:297-307. (In Russ.).

5. Sidoryakina V.V. Efficient algorithms for the numerical solution of the coupled sediment and suspended matter transport problems in coastal systems. Proceedings of the 21st International Workshop on Computer Science and Information Technologies (CSIT 2019). Series: Atlantis Highlights in Computer Sciences. 2019;(3):243-248, https://doi.org/10.2991/csit-19.2019.42.

6. Sukhinov A., Belova Yu., Nikitina A., Sidoryakina V. Sufficient Conditions for the Existence and Uniqueness of the Solution of the Dynamics of Biogeochemical Cycles in Coastal Systems Problem. Mathematics. 2022;10:2092, https://doi.org/10.3390/math101220928.

7. Marchuk G.I., Dymnikov V.P., Zalesny V.B. Mathematical models in geophysical hydrodynamics and numerical methods for their implementation. Leningrad: Gidrometeoizdat Publ.; 1987. 296 p. (In Russ.).

8. Ouda M., Toorman E.A. Development of a new multiphase sediment transport model for free surface flows. International Journal of Multiphase Flow. 2019;(117):81-102, doi: https://doi.org/10.1016/j.ijmultiphaseflow.2019.04.023.

9. Aksoy H., Kavvas M.L. A review of hillslope and watershed scale erosion and sediment transport models. Catena. 2005;64(2):247-271, doi: https://doi.org/10.1016/j.

10. Sukhinov A.I., Protsenko E.A., Sidoryakina V.V., Protsenko S.V. Numerical modeling of the impact of wind currents on the coastal zone of large reservoirs. Matem. fizika i komp'yuternoe modelirovanie = Mathematical Physics and Computer Modeling. 2022;25(3):15-30, doi: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2022.3.2. (In Russ.).

11. Sidoryakina V.V. Existence and Uniqueness of the Initial-Boundary Value Problem Solution of Multi-component Sediments Transport in Coastal Marine Systems. Computational Mathematics and Information Technologies. 2023;7(2):73-80, https://doi.org/10.23947/2587-8999-2023-7-2-73-80. (In Russ.).

12. Sidoryakina V.V., Sukhinov A.I. Well-posedness analysis and numerical implementation of a linearized two-dimensional bottom sediment transport problem. Comput. Math. Math. Phys. 2017;57(6):978-994, https://doi.org/10.7868/S0044466917060138.

13. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Sidoryakina V.V. Parallel Solution of Sediment and Suspension Transportation Problems on the Basis of Explicit Schemes. Communications in Computer and Information Science. 2018;910:306-321, https://doi.org/10.1007/978-3-319-99673-8_22.

14. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Numerical methods for solving convection-diffusion problems. Moscow: Librokom Publ.; 2015. 248 p. (In Russ.).

15. Temam R. Navier-Stokes equations. Moscow: Mir Publ.; 1981. 408 p. (In Russ.).

Информация об авторе

В.В. Сидорякина - кандидат физико-математических наук, докторант, кафедра математики и информатики, ДГТУ; доцент кафедры математики, ТИ РГЭУ (РИНХ).

Information about the author

V. V. Sidoryakina - Candidate of Science (Physics and Mathematics), Doctoral Student, Department of Mathematics and Informatics, DSTU; Associate Professor of the Department of Mathematics, TIRSUE.

Статья поступила в редакцию 23.10.2023; одобрена после рецензирования 15.11.2023; принята к публикации 19.02.2024. The article was submitted 23.10.2023; approved after reviewing 15.11.2023; accepted for publication 19.02.2024.