НЕПРЕДИКАТИВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ НА СЕБЯ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ПРЕДЕЛОВ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Непредикативные определения и методы сведения на себя при вычислении пределов числовых последовательностей

сч сч о сч

сч

о ш т

X

<

т о х

X

Гомонов Сергей Анатольевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа, ФГБОУ ВО «Смоленский государственный университет», gomonov.serg@yandex.ru

Светлаков Алексей Владимирович

студент, кафедра прикладной математики и информатики, ФГБОУ ВО «Смоленский государственный университет», seferlian@mail.ru

Дюдькин Андрей Александрович

студент, кафедра прикладной математики и информатики, ФГБОУ ВО «Смоленский государственный университет», apps.bigint@gmaill.com

В статье рассматривается понятие непредикативного определения, кратко описывается его история, поясняется необходимость использования таких определений в математике. В основной части рассматриваются некоторые примеры использования непредикативных определений, встречающихся в разных разделах математической науки (в алгебре, математическом анализе, теории чисел, геометрии, теории функций действительного переменного, теории функций комплексного переменного). Приводятся необходимые теоремы, утверждения и замечания, обосновывающие применение методов сведения на себя при исследовании сходимости последовательностей. С помощью понятия непредикативного определения и методов сведения на себя анализируются и развиваются общие приемы поиска пределов сходящихся бесконечных числовых последовательностей, основанные на использовании условий (обычно это система уравнений), которым удовлетворяет искомое число - предел исследуемой числовой последовательности. Ключевые слова: определение, непредикативное определение, числовая последовательность, сходимость, предел последовательности, разбиение, метод сведения на себя, предельное множество.

Введение и обзор литературы

Непредикативные определения и порочный круг.

В математической науке достаточно давно известна логическая ошибка при обосновании (доказательстве) некоторого результата, когда следствие выводится из посылок, а посылки были выведены из того же следствия; в частности, когда доказываемое утверждение участвует в процессе собственного доказательства. Иногда такую ситуацию называют «порочным кругом» [1]-[2]. Широко известный пример порочного круга можно найти в [3], где приводится обоснование числового тождества:

76 — 3 ( „138 + -71445 +

¡38 + -1445 + ^38 - -1445 =4.

Следуя рекомендациям, указанным в литературе: возведя в куб обе части равенства и выполнив некоторые алгебраические преобразования, приходим к тождеству:

38 - -1445^ = 64,

в котором предлагалось заменить сумму

738 + -1445 + — -1445 числом 4. Ради справедливости следует отметить, что в более новых изданиях пособия [3] эту логическую ошибку исправили.

Тем не менее, существуют ситуации, допускающие наличие «порочного круга», и это не является логической ошибкой. Эти ситуации связаны, например, с использованием так называемых непредикативных определений. Этот термин ввел А. Пуанкаре еще в 1906 году [2]. Он первым выдвинул возражение против использования непредикативных определений, поскольку некоторые из них являются источниками парадоксов в теории множеств.

Непредикативное определение - это всякое определение, которое содержит связанную переменную, и в ее область изменения попадает определяемый объект (если же определение не содержит подобных переменных, то его называют предикативным).

Б. Расселом была предпринята попытка построить математику на основе только предикативных определений с помощью специальной иерархии типов множеств [2], но в полном объеме это сделать не удалось (в частности, для математического анализа), хотя многие выводы, основанные на предикативной теории (с арифметическими аксиомами), позволили глубоко развить математический анализ [4].

Таким образом, непредикативные определения до сих пор занимают существенное положение в математике, несмотря на то, что их логический изъян («порочный круг») был описан многими известными математиками, среди которых есть и С. К. Клини (специалист по основаниям математики и математической логике) [1]. Он указывал, что в случаях, когда определяемый объект участвует в своем определении, нет никакой уверенности в существовании такого объекта, а значит, нужны дополнительные исследования.

О примерах использования непредикативных определений в математике.

Оказалось, что без использования непредикативных определений обойтись невозможно, то есть идея их применения не всегда может быть отринута и забракована. В некоторых же случаях их применение несколько облегчает процесс исследования. Так что подобные определения приходится терпеть, однако они всегда должны сопровождаться дополнительными исследованиями на проверку существования определяемого объекта (порой необходимо проверять и единственность!).

Имеются и положительные стороны у определений, в которых определяемый объект участвует в собственном определении. Например, подобной самозависимостью можно воспользоваться, получив какую-либо дополнительную информацию об объекте (числе, функции, геометрической фигуре). Важно иметь в виду, что вся информация может быть получена для «пустого места», так как определяемый объект отсутствует - это происходит, когда он должен обладать противоречивыми свойствами. Например, нижеследующие уравнения являются примерами непредикативных определений некоторых действительных чисел, и они имеют весьма разнообразные результаты:

а)х = — ох еф, б)х = -ох е {±1},

X X

впрочем, можно рассмотреть и соответствующие алгебраические уравнения второй степени: а)х2 = —1,б)х2 = 1,

демонстрирующие похожий эффект.

Существуют похожие примеры над полем комплексных чисел:

_ £

а)г = г <=> г еИ,б)г = = <=> г еф.

г

Отметим, что в некоторых случаях можно перейти от непредикативного определения к предикативному, и это бывает выгодно:

2х = -4-х + 7 о 6х = 7.

Иногда имеет смысл выполнить и обратный переход: от предикативного к непредикативному (примеры ниже), хотя такие переходы в общем случае не эквивалентны, из-за чего важно проводить дополнительные исследования.

Приведем широко известные (почти «исторические») примеры непредикативных определений.

Пример 1. Со времен Пифагора (VI век до н. э.) известны непредикативные определения трех средних величин для двух положительных чисел (других чисел у греков не было)[5]:

= ^ох = ^ — среднее арифметическое;

|5§ = ~^ох = VаЬ — среднее геометрическое;

а-х а 2аЬ

— = - о х =--среднее гармоническое.

х-Ъ Ь а+Ъ г " г

Пример 2. В «Началах» Евклида присутствует определение понятия золотого сечения, и оно также формулируется на языке уравнений и пропорций.

Зададим произвольный отрезок АВ и найдем внутри него точку X так, чтобы для 1АХ1 =а и 1ХВ1 =Ь было выполнено условие ^ = Поскольку а> 0, получаем а =

Ь- ^^. Золотое сечение известно скульпторам, художникам, архитекторам, однако что конкретно называли «золотым сечением» изменялось с течением времени. Сейчас им называют саму точку X, во времена Евклида

- наибольший из двух отрезков АХ и ХВ. В некоторые времена «золотым сечением» называли собственно

пропорцию ^ = ^ или число ■i^. Для этого числа встречается и другое название: число Фидия (по имени создателя скульптурного декора Парфенона и всего Афинского Акрополя, V век до н. э.).

Пример 3. Система натуральных чисел задается набором аксиом Пеано. Зная это, операция сложения в N определяется достаточно легко. Напомним, что в аксиоматической теории натуральных чисел равенство у = х' означает, что yeN следует за хе N. Тогда сложение определяется так:

I) f(a,1) =а', где ае N;

II) f(a,b') = {f(a,b))', где a.beN;

или, если использовать вместо символа f(a,b) символ а + Ь, то:

I) а + 1 = а', где а - любое натуральное число;

II) a + b' = (a + b)', где а,Ь - любые натуральные числа.

Требование (I) - предикативное определение, а требование (II) - пример непредикативного определения: сложение определяется через сложение. Именно благодаря второму требованию приходится доказывать теорему о существовании и единственности сложения в N.

С определением умножения в N - аналогичная ситуация:

I) а- 1 = а, где ае N;

II) a - b' = a - b + а, где a,b е N.

Пример 4. При вычислении неопределенных и определенных интегралов широко известен прием сведения на себя. Он основан на правиле интегрирования «по частям», когда интеграл представляют в виде суммы известной функции и произведения другой известной функции на искомый интеграл. В дальнейшем это позволяет выразить интеграл через известные функции.

Рассмотрим одну из таких задач: найти неопределенный интеграл ] = j exsinxdx.

Решение. J = / exsinxdx = exsinx — j excosxdx = e*sinx — excosx — / exsinxdx, то есть J = e*(sinx — cosx) —], т.е. ]= ie*(sinx — cosx) + C.

Пример 5. Похожий метод применяется и в исчислении конечных разностей. Его применение имеет место в вычислении сумм типа f(1) +f(2) ч-----1- f(ri), где f(x)

— числовая функция с D(f) =N. Отметим, что f(1) + f(2) + —Vf (п) =Д_1(/(х))|"+1 [6]. Это формула Ньютона-Лейбница в дискретном виде. Причем:

а) Д([(х))=[(х + 1)-[(х) — конечная разность первого порядка от функции f(x) с шагом «единица»;

б) A~1(f(x)) — любое конкретное решение функционального уравнения вида

F(x + 1) — F(x) =/(х), где f(x) - некоторая известная функция с D(f) =N;

в) так как Д([1(х) +f2(x))= Д[1(х) +Д/2(х), то Д"1(/1(^) +/2(х))=Д-1(/1(х))+Д-1(/2(х)); а раз

Д(ЛМ - /2«) =fi(x + 1) - Д/2(х) + ДМх) -f2W = fit* + 1) - Д/i« + fiW - ДЫх),

то формула, являющаяся одним из аналогов интегрирования по частям, выглядит так: Д-ЧДМ - ДМх)) =Ш) - Мх) - Д~Шх +1) - ДШ)).

а значит, для вычисления в конечном виде следующей суммы 12+22а-----\-п2 =Д_1(х2)|"+1, следует

найти Д_1(х2).

X X

о

го А с.

X

го m

о

2 О M

to

Учитывая, что Д(х) = 1 и Д(х2)=2х +1, отметим,

сч сч о сч

сч

О!

о ш т

X

<

т о х

X

х2 = Д_1(2х + 1) = 2 • Д_1(х) + Д-!(1) = 2Д_1(х) + х

есть

Д-1(х)=^ + С,

а тогда

_ х ^ х(х-1) _д_1 /х(х+1) ,

Д_1(х2) =Д

х2(х-1)

то

д-'Ш

Д"1 (-х2 = -¿Д-^ - = ¿Ы -

\2 2 ) 2 2 4 у 2 4 у 2

(х2), то есть Д_1(х2)=х(х - 1) •

1х(х-1) 1 2 2

-±д-и

2

¿Д-!(х2), а значит: Д"1(х2)= ^^Х2*"1)

4-3

следовательно,

Уп+1 = :

составлением характеристического уравнения г2 = рг + д (д^ 0) и выписыванием (по его корням) общего решения этого уравнения, чтобы затем извлечь из него частное решение по начальным условиям и 02.

Вот один из конкретных примеров подобных вычислений определителя п-ого порядка (при любом пе№) [8]:

+ С = -х(х —

искомая сумма

1)(2х-1)+С , найдена:

12 +22 + ••• + п2 =Д-1(х2)|?+1 = 1 х(х — 1)(2х - 1)|?+1

6

_ п(п + 1)(2п + 1)

" 6 ■ Впрочем, у этой задачи на суммирование в конечном виде есть и более короткие решения.

Пример 6. Хорошо известный пример использования непредикативных определений можно отыскать в недрах метода итерации и метода сжимающих отображений [7]. Достаточно вспомнить уравнение х = /(х), чье решение в некоторой замкнутой области О действительного п-мерного пространства Еп ищется с любой наперед заданной точностью как предел итерационной последовательности (х(р)), где х(0) — любой элемент из О, а х^ =/(1<Р"1'),ре*.

В частности, для вычисления с нужной точностью значения функции у = -х, хее (0;+от) можно предложить итерационную последовательность, задаваемую так называемой итерационной формулой Герона [23]:

сходящуюся к числу -х, где х — любое положительное число, а у0 — любое (лучше брать у0 поближе к -х) также положительное число. Аналогичная итерационная последовательность давно найдена и для вычисления кубических корней [7].

Пример 7. Почти в любом сборнике упражнений и задач по линейной алгебре присутствует раздел, посвященный вычислению определителей произвольного порядка, а в нем подраздел, содержащий задачи на применение метода рекуррентных (рекурсивных или возвратных) соотношений [8]. Это как раз тот самый случай, когда, имея последовательность значений определителя п-ого порядка (пе ДО): 01,02,03,...,0п,.., то есть (£„), требуется получить формулу для Бп как функцию от п в явном виде. Если для (Оп) удастся получить зависимость между (Оп) и некоторыми ее подпоследовательностями, например, (Оп) = р • (Оп_1) +ц • (Оп_2), где пеДО,п>3, а р,дей, причем и 02 известные числа, то тогда задача вычисления определителей Оп, пе ДО, свелась бы к решению рекуррентного соотношения (функционального уравнения): Ип =р • Оп_1 +ц • Оп_2, где пе ДО,п >3, а и 02 - известные числа (начальные условия). Это линейное однородное функциональное уравнение с постоянными коэффициентами легко сводится к уравнению второго порядка подстановкой п = п-2, т.е. п = п + 2, где й е ДО. Если ц = 0, то искомая последовательность (Оп) имеет вид:

(Я„) = (01,02,р02,р202.....р""1^,...),

т.е. «почти» геометрическая прогрессия, если же цф 0, то далее в свои права вступает теория решений рекуррентных соотношений (соответствующего класса) с

1 1 0 0 0

-1 1 1 0 0

0п = 0 -1 1 1 0

0 0 0 0 0

Очевидно, что 01 = 1,£>2

Д, =

0-11

ДО,п > 3, разложить Оп по первому столбцу, то получим рекуррентное соотношение Ип = Оп_1 +Оп_2, т.е.

(Оп) = (1,2,3,5,8,13,...) — последовательность Фибоначчи с начальными условиями = 1, 02 =2, а значит, используя формулу Бинэ, получим, что:

Пример 8. И наконец, весьма любопытным примером применения непредикативного определения может служить алгоритм приближенного вычисления значения квадратичной иррациональности с использованием ее разложения в бесконечную цепную периодическую дробь [9]-[10]. Учитывая, что любая бесконечная цепная дробь является сходящейся, найдем значения ае й периодической цепной дроби

а = 1+-^ =[!;(!)]■

1+

1+1

Так как

где

а= Итмп,

и1 = 1, и2 = 1 +1 = 2, и3 = 1 +

= 1+-

3

1+-

причем в числовом выражении ип стоит ровно п — 1 символов «+». Однако очевидно, что тогда имеет место равенство

1

ип = 1 ч--,где п > 2им! = 1,

ип-1

а так как а= Ити„ = Ит мп_1, то, переходя к пределу при п^ +оо в равенстве ип = 1 + —Ц получаем,

ип-1

что положительное искомое число а обязательно удо-

„ , 1 1+7(5) 1--5

влетворяет уравнению а = 1 + - о а = , но —— <

0, значит, а =

1+-5

- число Фидия, а цепная периодиче-

ская дробь [1;(1)] имеет своим значением именно это знаменитое число.

Идея, только что использованная для вычисления значения бесконечной цепной периодической дроби (мы знали, что она сходится и у нее есть конечное значение!), достаточно универсальна и может быть использована для нахождения «возможных» значений предела бесконечной числовой последовательности (и„) сс.

Договоримся, что далее все числовые последовательности будут считаться бесконечными, даже если слово «бесконечность» не будет указано.

Итак, если для последовательности (ип) сс удалось найти соотношение вида

и„=[(ип_1,ип_2.....ип_к),(1)

где ке {1,2, ...,п — 1}, то есть прослеживается связь между последовательностью (ип) и ее к подпоследовательностями, то тогда, считая, что функция [(г1,г2,...,гк) непрерывна на С" мы, переходя к пределу при п^+со в равенстве (1), получим уравнение а= /(а,а,...,а), что, возможно, позволит конкретизировать набор чисел, подозрительных на возможное значение предела последовательности (ип), а вот указать возможные значения частных конечных пределов [12] этой последовательности данный прием, вообще говоря, не позволяет.

Замечание 1. Стоит подчеркнуть, что указанный выше метод (далее именно его будем называть методом сведения на себя) чаще всего оказывается лишь частью исследования бесконечной числовой последовательности (ип) с с на сходимость, так как после получения набора «возможных» значений предела этой последовательности чаще всего пойдет мало алгоритми-зуемое продолжение этого исследования.

Замечание 2. Разумеется, подпоследовательности, участвующие своими общими членами в образовании правой части равенство (1) могут быть гораздо «прихотливее», чем (ип_1),(ип_2),... ,(ип_к).

МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ БАЗА ИССЛЕДОВАНИЯ

Исследование бесконечных числовых последовательностей на сходимость и вычисление их пределов с применением метода сведения на себя и не только.

Для дальнейшего полезно будет напомнить символику и следующие свойства, связанные с бесконечными числовыми последовательностями [12]-[17]. Обозначения (гп) сR и (гп) сс, означают, что числовая бесконечная последовательность (гп), соответственно, веще-ственнозначная или комплекснозначная. Обозначение (гПк) с (гп) означает, что последовательность (гПк) является подпоследовательностью последовательности (гп), то есть последовательность индексов (пк) сн является строго возрастающей последовательностью (обозначение: (пк) ТТ, а если нестрого, то (пк) Т).

Так как правила вычисления значений членов последовательности (гп) (т.е. функции, заданной на N со значениями в R или в С) могут быть переданы указанием упорядоченных пар вида (п,гп), где пеЫ, то любую последовательность (гп) можно (при такой интерпретации понятия последовательности) представить в виде множества (гп) = {(п,гп)1п е Щ, а значит, и в виде объединения одноэлементных множеств:

(2П) = У {(п,гп)}.

Считая, что определение равных последовательностей, суммы, разности, произведения, частного двух числовых последовательностей, определение произведения числа на последовательность (со всеми основными свойствами как отношения равенства, так и указанных операций нам известны), перечислим менее очевидные свойства (доказательства многих из них предлагаются в качестве задач в таких классических книгах, как [12], [14], [15], [17]).

1. Если предел у числовой бесконечной последовательности (а других последовательностей рассматривать далее не будем) существует, то он единственен.

2. Если (гп) имеет предел, то всякая ее подпоследовательность имеет тот же предел.

3. Лемма Больцано-Вейерштрасса. У любой ограниченной последовательности существует по крайней мере одна подпоследовательность, которая сходится к конечному пределу, а значит, у произвольной бесконечной числовой подпоследовательности (гп) имеется по меньшей мере одна подпоследовательность, сходящаяся к конечному или бесконечному пределу.

Замечание 1. Напомним, что указанный выше конечный или бесконечный предел называют частичным пределом, а совокупность всех таких чисел называют предельным множеством подпоследовательности (гп) (в точке о)[13]. Обозначают это множество символом С((гп),с>^ или короче С((гп)).

4. Для любой бесконечной числовой последовательности (гп) ((гп) сR или (гп) сС) совокупность всех ее частичных пределов (т.е. ее предельное множество С((гп)) замкнуто в R = Ru {от} или соответственно в С = Си {с}, верно и обратное: любое замкнутое множество в Й (в С) является предельным множеством по крайней мере одной числовой последовательности (гп) сR (соответственно (гп) сС) [12], [13].

Замечание 2. Благодаря сепарабельности топологического пространства С, сепарабельно и любое его подмножество [14].

5. Весьма полезно помнить теоремы о предельном переходе в равенстве и неравенстве, связывающих числовые последовательности [12], а также и теорему о сходимости монотонной ограниченной последовательности (гп) сR.

6. Полезен также и принцип двустороннего ограничения. В дополнение и развитие метода, изложенного в конце второго параграфа данной статьи и позволяющего получать числа, подозрительные на значение предела числовой последовательности (гп), укажем на следующий очевидный факт.

Лемма. Пусть числовая бесконечная последовательность (гп), где (гп) сR или (гп) сС, обладает конечным набором подпоследовательностей.

ы,ад.....(ч'),^

причем, для каждой из них выполняется равенство ¿Ц =<р](гк),гдек е И,} е {1.....5},(3)

причем все функции ^¡(г) заданы и непрерывны на R (соответственно на С), тогда в случае сходимости последовательности (гп) к некоторому конечному пределу аеЯ (соответственно аеС) предельный переход в равенствах (3) при к^с (и п^о) позволяет утверждать, что число а будет решением системы уравнений вида г = (р^г) = (р2(г) = ~- = 1р!.(г),(4)

которая заведомо будет совместна, а множество всех ее решений в R (в С), обязательно содержит число а.

Следовательно:

1. Найдя все решения системы (4), мы определим все числа, подозрительные на значение предела последовательности (гп).

2. Если система (4) несовместна, то последовательность (гп) расходящаяся.

X X

о

го А с.

X

го т

о

О

м м

сч сч о сч

сч

о ш Ш X

<

m о х

X

Замечание. Напомним, что найти числа, подозрительные на предел исследуемой на сходимость числовой последовательности (гп), - это одно, а установить ее сходимость - это, как правило, отдельная и, зачастую, другая непростая задача.

7. Стоит отметить, что во многих случаях исследованию на сходимость бесконечной числовой последовательности (гп) помогает представление ее в виде объединения (разбиения) конечного числа ее подпоследовательностей, то есть:

(zj = У {(n,zn)} = (5)

Uí(

ní:,1),zn(1) j

))HUf(

\k=1

Uf(

nl2),zn(2)

)}

u...

Z (s)

))

где множества

N1 = {n™|fe e w],w2 = {n(k)\fe effj.....Ns = [n|cs)| fe e w]

дают в объединении весь натуральный ряд, а в случае, когда объединение (5) является разбиением, то и попарно не пересекаются. То, что для последовательностей индексов выполнено: (n®)tt, ..., (nj^tt само собой разумеется, как и то, что se N и s> 2. Простейшими примерами представления (5) можно назвать следующие разбиения:

(zj = ((J {(2fc - 1,z2fe_1)})u(y {(2fe,z2fc)}J,z = 2,(6)

или в общем виде для произвольного s> 2:

(zj = (У {(sfc,zsfc)}Jui У {(sfe + 1,zsfc+1)}Ju...

Vfc=i ^ \k=0 '

u(Q{(sfc + s-1,zsfc+s_1)}).(7)

Vfc=i )

РЕЗУЛЬТАТЫ

Рассмотрим теперь несколько примеров исследования числовых последовательностей на сходимость с применением (с разным успехом!) метода сведения на себя, причем, начнем с совершенно простой задачи.

Замечание. Многие задачи на вычисление пределов давно стали классическими и встречаются во многих учебниках и сборниках задач по математическому анализу [12], [15]—[18], [23], [20]-[22], поэтому указать их первоисточник весьма затруднительно, да и не слишком необходимо.

Задача 1. Найдите числа, подозрительные на значения предела последовательности а) (i); б) (nfc), где параметр fee й, в) (ап), где параметр aeC.

Решение.

а) Если lim - = Я ей (далее будем, как это принято

п^ет п

для последовательности, писать п^ щих очевидных включений и

), то из следую-зависимостей:

(гп) 2 СМ^

(зп)_ 3 (п)^?^

следует, что 1-2. = Я, V!2 = Я,

то есть Я = 0, а значит единственная возможность для последовательности - это сходиться к 0, а так как эта последовательность обратная к бесконечно большой последовательности (п), то она является сходящейся именно к уже «угаданному» числу 0.

б) при fc = 0 последовательность (пк) (1) сходится к

1; при кф 0 простое соотношение и включение в случае,

если limnfc =1ей, дает с помощью предельного переплет

хода при п^от уравнение для поиска Я: 2к •Я = Я ^ Я = 0, т.е. в случае сходимости у последовательности (nfc) может быть пределом лишь число 0, что имеет место при fc< 0, ну а при к> 0 последовательность (пк) сходится к +от.

в) Очевидно, что при а = 0 и а = 1 последовательность (an) будет константой, а при a е С\{0; 1}, считая, что lima" =Х еС, получаем из равенств и включений:

((an)3 =(a3n)c (an),

(an)2 =(a2n)c(an) следующие уравнения для поиска Я:

|=^Яе{0;1}.

то есть подозрительные на предел числа — это 0 и 1. Хорошо известные из курса математического анализа рассуждения позволяют утверждать, что при |а| < 1 lima" = 0, а при |а| > 1 последовательность (an) расходится.

Задача 2. Для последовательности (хп) ей, заданной условиями:

хп = \ (хп_1 + хп_2),где п > 3,

найдите числа, подозрительные на значение ее предела.

Решение. Непосредственной проверкой легко убедиться, что (хп) = (1,1,1,...) = (1) - константа, а значит, имеет своим пределом число 1, а вот предельный переход при п^от, так как имеем тождество (хп) = i(xn_1+xn_2) (если обозначить Итхп=Яей) дает

2 п^от

уравнение Я=^Я + ^Я, решением которого является любое действительное число, а значит, никакой полезной информации о возможных значениях limxn мы не

получили. Бывает и такое. Однако, из других соображений уже было установлено, что limxn = 1, как предел

последовательности-константы.

Задача 3. [12]. Исследуйте на сходимость последовательность (хп)сй, заданную условиями: хг - любое число из (0; 1) и хп+1 =хп(2 - х).

Решение. Первоначально выясним, сходится ли какая-либо из указанных последовательностей, если хг е (0; 1). Действительно: 0<хг <1, значит, если 0<xfc < 1, то 2- хк >1, а тогда хк+1 =xfc(2- хк) > xfc, а с другой стороны: хк+1 = 1 -(хк -1)2 <1, т.е. 0<xfc <хк+1 <1; по аксиоме математической индукции заключаем, что (xn) ÍÍ, и, кроме того, ограничена сверху, а значит, сходится и ее предел Я - положителен, тогда, переходя в равенстве хп+1 =хп(2-хп) к пределу при п^от, имеем:

i А>0 Ответ. limxn = 1.

Задача 4. Исследуйте на сходимость последовательности а) (cosn), б) (sinn), в) (tg п), г) (ctg п).

Решение. а) Последовательность (cosn) ограничена, что позволяет предположить, что если она сходится, например, к числу Ае [—1; 1], то тогда из очевидных равенств и включений ( (cos 2п) = (2cos2n — 1) с (cos п), l(cos 3п) = (4cos2n — 3cosп) с (cosn),

с помощью предельного перехода при п^ж получаем систему уравнений:

u = 4-А3 ~3А ье{0;1;-1}

то есть единственным подозрительным на предел последовательности (cosn) числом может быть 1. Однако, так как cos2n + sin2n = 1, а функция F(x) = 1-х2 непрерывна на R, то, если lim cosn = 1, то и lim(1 —

sin2n) = 1, то есть limsin2n = 0, значит, lim sinn = 0, однако, так как (cos(n + 1) = (cosn • cos1 — sinn • sin1))c (cosn), то при п^ж получим, что l = l-cos1-0-sin1 ol(cos1 -1)=0«] = 0, так как cos1^1. Получим, что наряду с единственным возможным пределом последовательности (cosn), равным 1, появилось и еще одно значение, подозрительное на предел последовательности (cos п), что противоречит свойству единственности предела. Значит, последовательность (cosn) расходится.

б) Предположим, что последовательность (sinn) сходится к Ае [—1; 1], тогда из равенства sin(n+ 1) -cos1 • sinn = cosn • sin1, учитывая, что (sin(n + 1)) с (sinn), немедленно получаем сходимость последовательности (sin(n + 1) -cos1-sinn), т.е. сходится последовательность (cos n • sin1), а так как cos n = sinl cosn и sin1^0, то

4 ' sinl

будет сходиться к конечному пределу и (cosn), что неверно (см. пункт (а) этой же задачи). Замечание. Можно предложить и такое рассуждение: если lim cosn =1, а

тогда и lim sinn = 0, то из равенства cos(n+ 1) = cosп •

cos1 — sin п • sin1 при п^ж следует, что 1 = 1• cos1 — 0 • sin1, то есть cos1 = 1, а это неверно, т.е. получили явное противоречие, возникшее из предположения, что (cosn) - сходящаяся последовательность.

Замечание. Другое решение имеется в [17, с. 81].

в) Из равенства tg(n+ 1) ^^^^J, если предположить, что limtg п существует и равен Ае R выполняется одно из двух:

I. Если 1 - А^ tg 1^0, то т.е. (tg п) не может иметь конечного предела и является расходящейся последовательностью.

II. Если 1 - А ■ tg1 = 0, а тогда, чтобы была надежда на

существование limtg(n + 1) надо, чтобы и в числителе попоет

лучили бы ноль, т.е. А + tg1 = 0, то есть имеем систему (1-A^tg 1 = 0 Г А = -tg 1,

I 1 + tg1 = 0 —U + t52 1 = 0 и необходимое противоречие получено. Последовательность (ctg п) совершенно аналогично может быть проанализирована и ответом будет отсутствие сходимости у данной последовательности, хотя проще воспользоваться тем, что ctg п = (tgn)"1.

>аеф,

Замечание. Было бы весьма интересно найти множество всех частных пределов для рассмотренных выше последовательностей, что и осуществлено в книге [17] (задачи 3.194 и 3.195, подсказка на стр. 90-91, пример 3.23). Вот какие интересные результаты предложено обосновать в этих задачах:

Теорема 1. а) Множества всех частичных пределов последовательностей (sin п) и (cos п), то есть их предельные множества, представляют собой отрезок 1-1;1].

б) Множества всех частичных пределов последовательностей (tg п) и (ctg п) представляют собой всю числовую прямую, пополненную точкой ж (а точнее точками ±ж).

Задача 5. [12, с. 72]. Исследовать на сходимость и, если последовательность сходится, найти ее предел. а) (хп) = где параметр се (0; +ж), б) (хп) =

(Je~+7с

Vc+ Ve,

сч-----\~Vc ), где се (1; +ж), то есть x1 = Vc, х2 =

■ Jc + УсЧ—,Vc,..., где n — количество

радикалов в соответствующем выражении. Решение.

а) Для данной последовательности соответствующее уравнение будет выглядеть так: хп+1 = хп ■ Осуществляя предельный переход при п^ +оо, получим равенство А = А^ 0, откуда А = 0 — подозрительное значение для предела. Так как указанное отображение — сжимающее, то, используя теорему Банаха, заключаем, что

с"

Пш — = 0. Из полученного следует, что факториал —

п^т п!

это бесконечно большая функция более высокого порядка, чем показательная.

б) Для данной последовательности последовательность итераций будет выглядеть следующим образом: хп+1 = 4ГЛТП. Осуществив предельный переход при п^ +оо получим уравнение А = Vс + А, решив которое, найдем два значения, подозрительные на предел: А = ^±^V4c + 1. Но отображение f(x) =Vc + x переводит луч [0;+о) в себя, следовательно A = ^ — ^V4c+ 1 не подходит. Сославшись на теорему Банаха, заключаем, что \\шхп = - + -V4c + 1.

п^ж 2 2

Задача 6. Найдите все сходящиеся последовательности Фибоначчи.

Указание и ответ. Так как хп+2 =хп+1 +хп, то, предполагая, что Иш =АеС и переходя к пределу в равенстве хп+2 =хп+1 +хп при п^ +оо, получаем, что А= А + А, то есть А = 0; однако, так как любая последовательность Фибоначчи (хп)^С представима в виде (хп)= сх ■

) + °2 )' где ci-c2 еС, то из равенства

ЛШо (fr1) ■(Cl +С2 )) = 0, учитывая, что Иш =о, а Иш =0, немедленно полу-

2 ) ' n^+rn V1+V5) ' " 1

чаем, что сх = с2=0, а значит, (хп) = (0,0,0, ...).

Задача 7. ([12]). Исследовать на сходимость последовательность (хп) = (^(1 + (—1)"^.

Решение. Непосредственно проверкой можно убедиться, что (хп) = (0,1,0,1,...) = U"=i {(2п -

X X

о го А с.

X

го m

о

2 О

м ю

сч сч о сч

сч

о ш Ш X

<

m о х

X

1,0)}UU£=i {(2п, 1)}, а значит, любая подпоследовательность последовательности (хп), порождающая ee конечный частичный предел, будет (с точностью до перехода к подпоследовательности) тождественна 0 или 1.

Ответ. C((xJ) = {0; 1}.

Если же заметить, что (хп)2 = (хп), то предельный переход при п^от, с предположением, что limxn =1е

й, дает уравнение X2 =1«Аё{0; +1} = C((xn)).

Замечание. Следует подчеркнуть, что предельный переход (а значит, метод сведения на себя), вообще говоря, не действует, если хочется найти числа, подозрительные на частичные пределы. Рассмотрим следующий пример (частный случай примера 6 из [8, с.75-77]).

Задача 8. Исследовать на сходимость и найти все частичные пределы последовательности, заданной

ж2

условиями X! = -2,хп+1 = —2 + у.

Легко видеть, что (хп) = (-2,0,-2,0,-2,0,...)

СО со

= У {(2fc - 1, -2)} У У {(2fc, 0)}, (8) k=i k=i

а следовательно C((xn)) = {0; -2}.

Далее, считая, что lim хп =Х ей и переходя к пределу при п^+оо в равенстве хп+1 = -2+^х2, получаем, что Х = -2 + ^Х2 оЯ е {1 ± -5}.

Однако ни один их частичных пределов не появился среди набора чисел, который (как казалось) должен был бы их содержать. И причина этому есть. Если бы какая-либо подпоследовательность последовательности (хп) сходилась к конечному пределу, то она бы "имела" бесконечное количество членов хотя бы в одном из двух объединяемых в равенстве (8) множеств, а значит, можно считать, что с точностью до перехода к подпоследовательности, она — константа и имеет предел. Однако в равенстве хп

= -2+у задействованы два члена, стоящих рядом в последовательности (хп), а значит, они имеют номера разной четности, а, как было выяснено, любая подпоследовательность последовательности (хп), если сходится, то с некоторого номера будет состоять только из членов последовательности (хп) четных номеров или только нечетных, а поэтому предельный переход дает уравнение вида Х1 = -2 + у и уравнение вида Х2 = -2 благодаря тому, что четным номером может быть как п, так и п+ 1. Легко найти все решения системы:

^ (^Дг) е{(0; -2), (-2; 0),(1 + -5,1 + -!), (1 - -5,1

а значит, все искомые частичные пределы (а это 0 и -2) являются элементами множества {(0; -2; 1 + -!)}, то есть С((хп)) с {(0; -2; 1 + -!)}. Однако «проследить» как может «преобразоваться» подпоследовательность, порождающая конечный частичный предел при подстановке в разные «части» заданного (или полученного) рекуррентного соотношения, вообще говоря, весьма затруднительно, поэтому предельный переход при поиске

частичных пределов весьма непрост и требует громоздких исследований, а порой, и вовсе бесполезен. В завершении этой части статьи стоит привести несколько интересных задач, при решении которых метод сведения на себя может оказать определенную помощь.

Задача 9. ([15]). Найдите пределы: а) limsin(^-

___ п^т

-п2 + 1) б) limsin2(n" • -п2 +п), в)

lim (sin(sin(sin... (sinx)...)))), где х — любое действенное

число, а п — количество вычислений синуса от синуса.

Указания и решения даны в [15] (№604-606), в частности, для примера 9(в) они таковы: соответствующую итерационную последовательность (хп) можно задать рекуррентным соотношением xn+1 =sinxn, где хг — любое действительное число. Применяя предельный переход при п^ +оо, считая, что lim хп =Х ей, получаем:

Х = sin!. Это уравнение имеет единственный действительный корень Х = 0, так как при Х> 0 sin! < Я, а sin(-l) = -sin!, то есть единственное значение lim хп

— это может быть число ноль. Докажем, что Х = 0 — это предел последовательности (хп). При любом хе й 1< sinx < 1, то есть -1 < х2 <1, иначе говоря, х2 е [-1; 1] = Д, а так как на Д функция у = sinx возрастающая, то х3 е [sin(-1),sin1] = /2; но и на /2 функция у = sinx возрастающая, а значит, х4 е [sin(sin(-1)),sin(sin1)] =]3 и так далее, то есть хп+1 е/п = sin(/n_1), где пей,п>2, причем при п = 2 множество /1 = [—1;1]. Итак, при хг е (0; 1) имеем: х1 >sínx1 > sín(sínx1) > sin(sín(sínx1)) > •••>0, то есть последовательность (хп) убывающая и ограничена снизу числом 0; а значит она имеет предел, а значит, он равен нулю. При хг =0 последовательность (хп) тождественна нулю, ну а при хг е (—1;0), так как sin(-x) = -sinx, очевидно также имеем последовательность (хп), сходящуюся к нулю.

Задача 10. ([15], [17]). Найдите верхний и нижний частичные пределы следующих последовательностей:

а) ^Мтт^00^)' б) = в)

( п 2лп\

хп = ^cosn—|

г) (*„) = (((-1)" + 1) • 2П), д) (хп) = (п+1;;1_1)п), е)

(xj = (nln(1+^)), ж) (xn) = (cos(n2)), з) (хп) (sin(n2)).

Задача 11. Для последовательности хп = ■

где

а> 1,х0 >0, найти числа, подозрительные на значение предела.

Решение. В данной задаче предельный переход при п^от дает информацию о возможном значении предела. Решив уравнение Х = получим ответ Х = 1 - а или Х = 0 — это и будут числа, подозрительные на предел.

Сославшись на теорему Банаха из функционального анализа, получим, что 0 будет пределом данной последовательности, но можно и так: 1- а < 0, а все члены последовательности положительные (кроме случая х0 = 0 и тогда хп = 0) и убывает, значит последовательность (хп) сходится к нулю, так как отрицательное значение X = 1-я заведомо отпадает.

Ответ. Итхп = 0.

Задача 12. Исследовать на сходимость последовательность (х0,х1,.,хп,.), если хп = ^((^ _ 1)хп-1 + -¡^Д где те ДО, а> 0, х0 > "-а.

Решение. Так как

гш-1 .

а

(воспользовались утверждением, что среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому), то хп > "//а для любого п, а значит, предположительный предел должен находиться на промежутке Переходя в данном равенстве к пределу при

п^о, имеем: = ^((т" Ш + =

I

То есть подозрительное на предел число — это "{/а. Из курса функционального анализа известно, что если последовательность удовлетворяет условиям теоремы Банаха, то ее предел существует и он единственный, а следовательно, равен "//а.

Полученный результат имеет широкое приложение, поскольку он позволяет вычислить с заданной точностью корень любой степени из положительного числа. Хорошо известен ее частный случай: при т = 2 получается формула Герона для вычисления квадратного корня [23] из положительного числа а с любой точностью:

причем функция F(w0,w1,... ,ws,ws+i,...,ws+m) непре-

ать на тся, н

^Jc- Jc~... ■ Jc^ где ce [0; +œ)

рывна на Cs

то тогда, осуществив предельный пе-

реход при к^ +оо, получим уравнение вида р(Л,Л, ...,Л,и1и2,...,ит)= 0

для поиска чисел Л, подозрительных на значение предела последовательности (гк).

Например, для последовательности (хп) = (п+^) получаем: х„+1 = п + 1+ — = =(п+-) + 1—- + — =

1 п+1 п+1 К пУ п п+1

х„ + 1- - + — или х„+1 —х„ -1+- —— = 0. Перейдя

п п п+1 п+1 п п п+1 г "

к пределу при п^о, получим уравнение Л-Л-1= 0о—1 = 0, а это значит, (хп) - расходящаяся последовательность.

Замечание. Предложим еще один универсальный подход к осуществлению поиска между последовательностью (хп)^С и некоторыми ее подпоследовательностями. Для этого функция у = [(п) = гп,п е N должна иметь однозначное обращение (в противном случае возникнут трудности, однако и для многозначных функций разработано понятие непрерывности): п = [~г(у) = [~1(гп),п е Ы, в таком случае, наприме: п = Г\гп),

Задача 13. Исследовать на сходимость и, если последовательность сходится, найти ее предел: (хп) =

1)

или

2)

п + 1 = f~1(zn+1) п = f~1{zn),

./-1(zn) + 1 = /"1(zn+1)

а п — количество радикалов.

Соответствующая последовательность итераций для этой последовательности — это хп+1 = ^с- хп. Отображение /(х) = /с- х переводит луч [0; +о) в себя, а значит, после решения уравнения Л = /с- Л отбрасываем лишний корень Л = 0. Тогда подозрительное на предел число Л = с. К сожалению, в данном случае сослаться на теорему Банаха на получится, так как заданное отображение не является сжимающим. Однако, найти предел этой последовательности можно и другим способом: используя свойства корней, легко убедиться, что общий член последовательности будет задаваться

следующим образом: хп = с , и, перейдя к пределу, получить в итоге число с.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Замечание 1. Отметим существование достаточно общей ситуации (общего алгоритма) при применении метода сведения на себя при исследовании на сходимость числовой последовательности (гп) (или, если удобнее, (гк)). Предполагая, что (гк) сходится к конечному пределу ЛеС, а между нею самой и ее подпоследовательностями

(Ч'М^).....

найдена некоторая зависимость, точнее, найдена зависимость между гп и общими членами этих последовательностей, причем не исключено «участие» в этой зависимости общих членов некоторых сходящихся последовательностей

(^М^).....№),теы,

с соответствующими конечными пределами иъи2,...,ит еС, то есть найдена зависимость вида

Г^п^п?..........и^)=0,

п = [ 1(гп), Ы + 2= /~1(гп+2^ (2п + 4 = 2Г1(гп+2) а значит, раз п + п + 1 + 3 = 2/ 1(гп+2), то / 1(гп) + /"1(гп+1) + 3 = 2/~1(гп+2) или /"1(гп+1) +/"1(гп+3) = 2/ 1(гп+2), а можно и так: 3) п + 1 = /~1(гп+1),

значит, п2 + 2п + 1 = (/~1(гп+1))2 или (/_1(2П))2 + Г-1(гп)+/-1(гп+1) = (/-1(гп+1))2, а также /~1(г2п) = 2,[ 1(гп), [ 1(г„2) = (/ 1(гп))2 и т.д. Далее надо получить удачную зависимость вида Р(гп,гп+1,... ,гп+к) =0 (следствие соотношений 1-3 и т. д.).Приведем пример, иллюстрирующий исследование на сходимость последовательности (хп) = + Поскольку так как хпф1

имеем: п = -

а значит, п + 1= -

откуда следует,

1 .4 1

что--1-1 =-

хп-1 хп+1-1

П+1 1

х„ — 2х„ + 1 = 0, то-

а отсюда, хп+1

гда, если limxn =Л еС, то Л2 - 2Л + 1 = 0^Л = 1, т.е.

если последовательность (хп) сходящаяся, то только к числу 1. Впрочем сходимость этой последовательности очевидна и так.

Еще раз обратим внимание на важное и хорошо известное свойство: совокупность всех частичных пределов бесконечной последовательности (г„)сС, будучи предельным множеством в точке ж< с соответствующей функции f(n) = zn,n е N, всегда замкнутое множество в С [13].

Помимо этого, предельное множество соответствующей функции позволяет несколькими способами дать характеристику «скорости» сближения членов сходящихся последовательностей. Покажем это: пусть (zn) < С сходится к числу z0 еС и (Vn е N)(zn ^z0), тогда:

, . def l W, \

¿i((zj) = CÎ/(w1,w2)=^i,(0,0)J,

где Domf = (zn-z0)x (zn -z0)={(zm -z0,zk -z0)\m,k e N} — декартов квадрат последовательности (z„ -z0). Если же limzn = œ, то можно положить:

X X

о

го А с.

X

го m

о

2 О M M

сч сч о сч

сч

о ш m

X

<

m о х

X

однако, в этом же случае, т.е. когда limzn = от, имеет смысл предложить еще и такой вариант:

¿з((2„)) = C(/(W1,W2) =Wi -W2,(OT,OT)),

где Dom/ = ((zn)) . В результате мы можем дать характеристику соотносительному поведению членам как сходящейся последовательности, так и расходящейся (zj.

Примеры.

1) ЦЁ)) = Ч(2п2)) = {0;1;от};

2) L1((an))= {afc|fc eZ}u {0; от}, где 0<а < 1;

3) Если p!(n),p2(n) еС[п]\С,т = degpiCn) < degp2(n) =т', то

Как выяснилось, без больших затруднений мы указали характеристические свойства подмножеств множества С, где каждое из них является соответствующим предельным множеством.

Теорема 2. Для того, чтобы множество МсС было предельным множеством хотя бы для одной из функций вида: /(w1,w2)=^1 c Dom/= ((zn-z0)) х ((zn — z0)), где itmzn = z0 еС и zn ^z0 для любого пе

N, необходимо и достаточно, чтобы М удовлетворяло следующим условиям:

а) {0; 1;от} ЕМ;

б) М замкнуто в С;

в) М замкнуто относительно операции взятия обратного элемента:

ёем))

(VZ £C)I(Z£M)

Замечание. Отметим, что элементы 0 и от считаются обратными друг другу в С.

Теорема 3. Для того, чтобы множество Мс с было предельным множеством хотя бы для одной из функций вида: /(w1,w2)=w1 -w2 с Dom/ = (zn)x (zn) где itmzn = от, необходимо и достаточно, чтобы М

удовлетворяло следующим условиям:

а) (1;от}сМ;

б) М замкнуто в С;

в) М замкнуто относительно операции взятия противоположного элемента, а именно:

(Vz е C)((z еМ)^ (-z е М)).

Замечание. Считается, что -от = от. Литература

1. Кондаков Н.И. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975. 720 с.

2. Математическая энциклопедия. Т3. М.: Советская Энциклопедия, 1982. 1184 с.

3. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Учебное пособие / В.К. Егоров, Б.А. Кордемский [и др.] // Под ред. М.И. Сканави. 5-е изд. М.: Высш. шк., 1988. 431 с.

4. Takeuti G. Two application of logic to mathematics. Tokio, 1978.

5. Джини К. Средние величины. М.: Статистика. 1970. 418 с.

6. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. 376 с.

7. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. 664 с.

8. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1974. 384 с.

9. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966. 384 с.

10. Зверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ: учебное пособие. В 6 ч. Ч. 1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление. Минск: Вышэйшая школа, 2006. 319 с.

11. Маркушевич А.И. Возвратные последовательности. М.: Наука, 1975. 48 с.

12. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах. Т. 1. М.: наука, 1970. 608 с.

13. Коллингвуд Э., Ловатер А. Теория предельных множеств. М.: Мир, 1971. 312 с.

14. Колмогоров А.Н., Фомин С.Ф. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

15. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: АСТ: Астрель, 2010. 558 с.

16. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенков К.В. Курс Математического анализа. Т. 1. М.: Просвещение, 1966. 436 с.

17. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Математический анализ в задачах и упражнениях: В 3-х томах. Т.1.: Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Изд-во Московского университета; МЦИМО, 2017. 412 с.

18. Задачник по курсу математического анализа. Ч. 1 / Виленкин Н.Я., Бохан К.А. [и др.] // Под ред. Н.Я. Ви-ленкина. М.: Просвещение. 1971. 343 с.

19. Родионов Е.М., Синяков С.Л. Математика. Ч. II. Функция. Последовательность. Предел. Производная. Применение производной. М.: Ориентир. 2004. 432 с.

20. Виленкин Н.Я. [и др.] Алгебра и математический анализ для 10 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Иванов-Мусатов, С.И. Шварцбурд. М.: Просвещение, 1995. 335 с.

21. Баландин М. Предел числовой последовательности. М.: Просвещение, 2004. 41 с.

22. Лоссневская Т.В., Кузнецов В.Л. Пределы числовых последовательностей и функций. М.: Просвещение, 2011. 211 с.

23. Гаврилов В.И., Афансьева В.И. Начала математического анализа и элементарные функции. Ч. 1.: Учебное пособие. Якутск: Изд-во Якутского университета. 2000. 108 с.

Non-predicative definitions and methods of self-referencing in

calculating limits of numerical sequences Gomonov S.A., Svetlakov A.V., Dyudkin A.A.

Smolensk State University

JEL classification: C10, C50, C60, C61, C80, C87, C90_

The article considers the notion of non-predicate definition, briefly describes its history, and explains the necessity of using such definitions in mathematics. The main part discusses some examples of the use of non-predicate definitions found in different branches of mathematical science (algebra, mathematical analysis, number theory, geometry, theory of functions of a real variable, theory of functions of a complex variable).

The necessary theorems, statements, and remarks justifying the application of methods of self-referencing to the study of the convergence of sequences are given. With the help of the concept of non-predicate definition and methods of self- referencing the general methods of finding the limits of convergent infinite number sequences based on the use of conditions (usually a system of equations), which satisfy the sought number - the limit of the numerical sequence under study are analyzed and developed. Keywords: definition, non-predicate definition, numerical sequence, convergence, limit of a sequence, partitioning, method of reduction to self, cluster set. References

1. Kondakov N.I. Logical Reference Dictionary. Moscow: Nauka, 1975. 720

p.

2. Encyclopedia of Mathematics. T3. Moscow: Sovetskaya Encyclopedia,

1982. 1184 p.

3. Collection of Problems in Mathematics for Entrants to Higher Education

Institutes. Textbook / V.K. Egorov, B.A. Kordemsky [et al] // Edited by M.I. Skanavi. 5-th ed. M.: Vyssh. shk., 1988. 431 p.

4. Takeuti G. Two application of logic to mathematics. Tokio, 1978.

5. Gini K. Mean Values. Moscow: Statistics. 1970. 418 p.

6. Gelfond A.O. Calculation of finite differences. Moscow: Nauka, 1967. 376

c.

7. Demidovich B.P., Maron I.A. Fundamentals of computational mathematics.

Moscow: Nauka, 1970. 664 p.

8. Proskuryakov I.V. Collection of problems in linear algebra. Moscow: Nauka,

1974. 384 p.

9. Buchshchast A.A. The theory of numbers. Moscow: Prosveshcheniye,

1966. 384 p.

10. Zverovich E.I. Real and complex analysis: a textbook. In six parts. M. 1. Introduction into Analysis and Differential Calculus. Minsk: High School, 2006. 319 c.

Markushevich A.I. Return sequences. Moscow: Nauka, 1975. 48 p.

12. Fikhtenholz G.M. Course of differential and integral calculus. In three volumes. T. 1. Moscow: Nauka, 1970. 608 p.

13. Collingwood E., Lovater A. Theory of limit sets. Moscow: The World, 1971.

312 p.

14. Kolmogorov A.N., Fomin S.F. Elements of theory of functions and functional analysis. Moscow: Nauka, 1976. 544 p.

15. Demidovich B.P. Collection of Problems and Exercises in Mathematical Analysis. Moscow: AST: Astril, 2010. 558 p.

16. Bohan K.A., Egorova I.A., Lachyonkov K.V. Course of Mathematical Analysis. T. 1. Moscow: Prosveshcheniye, 1966. 436 p.

17. Vinogradova I.A., Olehnik S.N., Sadovnichy V.A. Mathematical analysis in problems and exercises: In 3 volumes. T.1.: Differential and integral calculus. Moscow: Moscow University Press; ICIMO, 2017. 412 p.

18. Zadachnik po kursu matematicheskogo analiza. M. 1 / Vilenkin N.Ya., Bohan K.A. [et al] // Edited by N.Ya. Vilenkin. M.: Prosveshcheniye. 1971. 343 p.

19. Rodionov E.M., Sinyakov S.L. Mathematics. PART II. Function. Sequence. Limit. Derivative. Applications of the derivative. Moscow: Orientir. 2004. 432 p.

20. Vilenkin N.Ya. [et al] Algebra and Mathematical Analysis for the 10th grade. Textbook for students of schools and classes with profound study of mathematics / N.Y. Vilenkin, O.S. Ivanov-Musatov, S.I. Shvartsburd. Moscow: Prosveshcheniye, 1995. 335 p.

21. Balandin M. The Limit of a Numerical Sequence. M.: Prosveshcheniye, 2004. 41 p.

22. Lossnevskaya T.V., Kuznetsov V.L. Limits of numerical sequences and functions. Moscow: Prosveshcheniye, 2011. 211 p.

23. Gavrilov V.I., Afans'eva V.I. The beginnings of mathematical analysis and

elementary functions. M. 1.: Textbook. Yakutsk: Publishing house of the Yakutsk University. 2000. 108 p.

X X

o 00 A c.

X

00 m

o

2 O

ho ho