Непараметрический синтез когерентного обнаружителя радиоимпульса с неизвестными частотой и фазой на фоне марковской помехи Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.396

В. И. Неволин

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ КОГЕРЕНТНОГО ОБНАРУЖИТЕЛЯ РАДИОИМПУЛЬСА С НЕИЗВЕСТНЫМИ ЧАСТОТОЙ И ФАЗОЙ НА ФОНЕ МАРКОВСКОЙ ПОМЕХИ

Излагаются метод и методики, используемые для непараметрического синтеза оптимального когерентного обнаружителя радиоимпульса, у которого неизвестными являются несущая частота и начальная фаза. Используется новый условно-параметрический робастный метод синтеза нелинейных алгоритмов обработки нестационарных информационных сигналов на фоне помех, основывающийся на теории робастных статистик и методах марковских случайных процессов.

В связи с функциональным усложнением систем извлечения информации, действующих в условиях априорной неопределенности и действия разнообразных мощных помех, решаемые в подобных системах задачи обработки информационных сигналов во многих практических случаях являются непараметрическими [1, 2]. Это, например, такие системы, как сложные радиотехнические системы передачи информации, радиолокационные системы, радионавигационные системы, различные системы диагностики и дефектоскопии и т.п. Известные алгоритмы обработки сигналов в условиях априорной неопределенности используют в основном адаптивный байесовский подход Роббинсона [3]. Такие алгоритмы при обнаружении на фоне шума сигналов с неизвестными параметрами реализуются, как правило, в виде многоканальных структур, которые получаются при применении метода максимального правдоподобия, или в виде адаптивных следящих систем типа фазовой автоподстройки частоты, синтезируемых из предпосылок унимодальности апостериорного распределения. Однако известно [1, 4], что подобные структуры обработки сигналов являются оптимальными асимптотически, а именно при предельно больших отношениях сигнал/шум. При малых отношениях сигнал/шум (порядка 0 дБ), когда функции правдоподобия становятся непараметрическими и полимодальными, т.е. не гауссовыми даже в случае белых гауссовых шумов (БГШ), указанные алгоритмы обработки становятся малоэффективными из-за возникновения дополнительных аномальных ошибок.

Для решения задач обнаружения на фоне БГШ нестационарных сигналов с произвольными распределениями (подобные статистические задачи, согласно [3], относятся к непараметрическим) в [5] предлагается новый подход (новая параметризация) в виде условно-параметрического робастного нелинейного метода, использующего метод пробных функций в форме нелинейных операторов, функцию влияния Хэмпбела теории робастных статистик и методы теории марковских случайных процессов. Этот метод может быть применен для синтеза обнаружителя радиоимпульсов с неизвестными нестационарными частотой и начальной фазой на фоне помехи некоторого класса, включающего БГШ и позволяющего использовать аппарат марковских случайных процессов.

Пусть на фоне некоторой помехи ц(г), характеристики которой будут сформированы в процессе синтеза, необходимо обнаружить радиоимпульс, а именно производятся наблюдения случайного процесса:

£(г) = Ие[Аехр{](я(г)г}]0 + п(г), г є [0, Т],

(1)

где 0 = 1,0 - случайная величина, характеризующая наличие «1» или отсутст-

ловая частота и начальная фаза с произвольными распределениями; Т = ти (ти -длительность радиоимпульса).

Обнаружение радиоимпульса при наблюдениях (1) производится нелинейным обнаружителем по алгоритму

где Нн (г) - синтезируемый нелинейный оператор с непараметрическими свойствами; Н - порог по заданному уровню значимости решающего правила проверки гипотез о наличии сигнала (>) или его отсутствии (<).

Согласно изложенному в [5] новому подходу при решении непараметрических статистических задач в виде условно-параметрического робастного нелинейного метода обработки информационных нестационарных сигналов на фоне помех, на интервале наблюдения [0,Г ] нестационарные случайные функции

параметров радиоимпульса принимаются как квазидетерминированные функции с фиксированными, но случайными векторными параметрами, а сигнал - стационарным, например, для наблюдений в задаче (1) как юг- (Х1) и фг- (X2).

В частном простейшем случае, не исключающем общность подхода, в наблюдениях (1) нестационарный сигнал с неизвестными изменяющимися параметрами аппроксимируется на интервале наблюдения простейшим стационарным с юг- (Х1) = юг- и фг- (X 2) = фг- и его следует представить в виде

или в обобщенном виде для неизвестных случайных, но фиксированных па-

где Л - множество соответствующего гильбертового пространства.

Условно-параметрический робастный нелинейный метод реализуется в два этапа:

1. Первоначальный синтез для нелинейных алгоритмов обработки базовых структур в форме стохастических дифференциальных уравнений по критерию согласованности.

2. Окончательный структурно-параметрический синтез нелинейных алгоритмов по критерию оптимального робастного обнаружения нестационарных сигналов на фоне шумов.

Первоначальный синтез базовых структур нелинейных алгоритмов обработки наблюдений (1), т.е. обнаружителя (1,а), проводится по методикам [5] с использованием непараметрического критерия согласованности [6] в виде

вие «0» сигнала, А = ЛоЄ^^(г) (Д - заданная амплитуда); ює[о>1,Ю2] при Юо = (ю1 + Ю2)/2 >> Ю -ю^ и фє [-п,п] - неизвестные нестационарные уг-

(1,а)

s(г, юг-, фг-) = А ео8(юіг + ф,) = Л0 сов Vсх (г, юг-, фг-), г є [0, ти ] (2)

раметров X - в виде вектора параметров - как обобщенный сигнал я(г,X) (Xє Л, Х1ЄЛ1,Х2 ЄЛ2 и ЛзЛг иЛ2),

(2,а)

где T - интервал усреднения; f0(t, p) - опорная функция, характеризующая каким-либо соответствующим образом фильтруемый случайный процесс; p -вектор характерных параметров опорной функции, отражающий по условнопараметрическому методу неизвестные случайные параметры (для обобщенного сигнала это векторный параметр X); f¿ (t) - структурная функция, описывающая некоторым соответствующим образом базовую структуру алгоритма обработки, например в виде импульсной характеристики.

Для неизвестного радиоимпульсного сигнала (2) при двух независимых непараметрически заданных случайных параметрах ю и ф следует применить две опорные функции. При этом используются, во-первых, параметрическая корреляционная функция сигнала

где характерным параметром является частота юг-; во-вторых, полная фаза сигнала (предполагая, что в данном случае соответственно (2) используется юI - первоначальная оценка частоты) в следующем виде:

В (5) основным характерным параметром будет начальная фаза, а дополнительным - оценка частоты ¿6 ,, значение которой уточняется соответствующими алгоритмами обработки, получаемыми с использованием второй опорной функции.

Запишем критерий согласованности согласно (3) и с учетом опорной функции (4) на конкретном интервале наблюдения в виде

где ю, єW , W - множество сепарабельного эвклидового пространства W , что образовано значениями функции ю, (г).

По этому выражению несложно получить первую структурную функцию, физически реализуемую в классе линейных систем, являющуюся импульсной характеристикой параметрической линейной системы - основой базовой структуры нелинейной системы, реализующей робастный алгоритм обработки. А именно импульсная характеристика базовой структуры нелинейного обнаружителя будет иметь вид

где представлена импульсная характеристика одиночного колебательного контура (ОКК) с переменными параметрами, отражающими изменяемую в процессе автоматической настройки (адаптации) резонансную частоту юр (г);

00 - размерный коэффициент; а = 1/ ти, а - коэффициент затухания.

Изменение параметров должно производиться с помощью некоторой системы управления (СУ), структура и параметры которой обосновываются и выбираются по дополнительным критериям. Например, структурная функция (6) может быть дополнена алгоритмом линейной СУ типа

Ks (т,го,-) = (A2 /2)(1 -|т|/ти )cosю,т , |т|<тм ,

(4)

ТCs (t, юі, ф,) = юit + ф,.

(5)

g (t, ю^)) = Goe at cos юр (t)t, t > 0,

(6)

юр (t) = f (£(t), и),

(6,а)

где f (•) - линейный функционал; и - вектор состояний ОКК.

Использование опорной функции (5) в критерии согласованности (3) приводит на интервалах наблюдения и усреднения к выражению т 2

Д2 = T iK^ (t, )-^ s (t, “г, ^(t))| dt = min (Фг еф)’ (7)

1 0

где 71 - интервал усреднения для данного критерия согласованности; Ф -множество, образованное значениями функции ф^), принадлежащее пространству Ф и не являющееся сепарабельным; Yg (t, й;, 9(t)) - вторая структурная функция, представляющая собой некоторую полную фазу, причем оценка го,- формируется как текущая точечная оценка на некотором интервале t е [0,71] и в общем случае 71 >> ти , т.е. в процессе го,- е ro(t).

Критерий согласованности Д2 для полных фаз Ycs (•) и Y g (), значения аргументов которых содержатся в одном бесконечном множестве, реализуется в виде компенсационной структуры, и такой структурой является система частотной и фазовой автоподстройки (ЧФАП), которая в общем случае для наблюдений (1) может быть записана как

dф/dt = ПН +Пуgфнч(t)® F(юi,ф) + Д^2Н(t), (8)

где ф - здесь и далее фазовая ошибка системы ЧФАП; ® - операция свертки; F(•) - нормированная характеристика фазового детектора (ФД); йн и йу - соответственно начальная частотная расстройка после оценки (0 и полоса удержания (йн = юг -юое, йу = 5фдКуЧ, юое - частота для перестраиваемого генератора при нулевом напряжении на входе управителя частоты с крутизной Куд, 5фд - максимальная крутизна характеристики ФД); gфнч (t) -

импульсная характеристика фильтра нижних частот для системы ЧФАП, Дй н = ddt (arctgN (t) / Nc (t))(N1 (t) cos(co it - Ф1 (t)) = Nc (t) cos ю it + Ns (t) sin со it -узкополосный случайный процесс, приведенный к ЧФАП и первоначальной оценке частоты ю;.

На основе выражений (6), (8) можно записать уравнения состояния нелинейной системы в составе дифференциального нелинейного уравнения ОКК Г-типа с переменными параметрами (например, с индуктивностью L в продольной ветви и параллельным соединением сопротивления R и емкости С - в поперечной ветви), неоднородного линейного дифференциального уравнения, например, первого порядка, СУ и уравнения системы ЧФАП (переменные состояния нелинейной системы обозначены в виде напряжений на емкости ОКК и на выходе ФНЧ СУ, а также фазовой ошибки ЧФАП):

,2. , , \2

d и 1 du т дС(и) +-------------------+ L

dt2 R(u)С(и) dt ди ^ dt) LC(и) LC(и)

du dt

% = йн -йуSфнч ® F(юi, ф) + ДЙ(t).

СШу

Ту—Г + иу = К у • и -£(t, ю,-, ф;), (9)

Здесь и = (и, Му, ф), Л(и) и С (и) - дифференциальные нелинейные соответственно сопротивление и емкость для ОКК; ЬС (и) = 1/ю^ (и) и индуктивность принята как постоянная; Ту = ЛфСф, Лф и Сф - соответственно

сопротивление и емкость интегрирующей электрической цепи первого порядка как ФНЧ СУ; К у - коэффициент передачи перемножителя как индикатора частотного рассогласования системы управления.

Третье уравнение в системе (9) можно конкретизировать, например, для случая широко используемого в системах ЧФАП пропорционально-интегрирующего фильтра с операторной передаточной функцией вида

Кп(р) = Кп \+РТ2, (Тп = Т + т2 = сп(Л + Л2),Л >> Л2,кп >> 1).

1 + РТп

Тогда систему уравнений (9) можно записать как

й 2ы

1

йг2 Я(Ы)С(ы) йг

йы у

йг

йы т дС(ы) Ґ ■ + Ь

ды

йы V йг

1

1

-ы = ■

¿С(м) 1С(и)

^(г, т,-, ф, ),

ту

■ + ыу = Ку • ы-£(г,т,,Ф,),

тй_ф+ = £н - дуКп р(¿5,, Ф) - 72^уКп й Р(со,, Ф) + ДЙн (г).

йг йг

йг

(10)

В системе (10) первоначальная оценка ¿5г- вследствие независимости первых двух уравнений от третьего будет проводиться только по алгоритмам этих первых двух уравнений.

Приведем систему (10) к канонической форме стохастических дифференциальных уравнений (подобно [7]), обозначив ис = щ, иу = щ, ф = и4:

ёи1

йы2 £(г, т, ф,)

йг

ы2

ы1

йг

+

1 дС

С(ы) Я(й)С(ы) С(ы) С(ы) ды1

йы^ Куы1^(г,т,,ф, ) ы^

Ґ йы^2 йг

йг

йы4

йг

т

у

т

(11)

у

ы5 , уКп ,

ёи5 = ^к -5У Р(м Ю ) - Т2^У (и Ю ) - и!

, р ^4^15г) ™ ир (u4,15г) ™ .

аг Т Т Т аг Т

Окончательный структурный и структурно-параметрический синтез также проводится по предложенному условно-параметрическому робастному методу, но с использованием слабых условий оптимального робастного обнаружения нестационарных сигналов [5], имеющих для коэффициентов сноса уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) вид системы уравнений

= 0, = 0, (12)

ё Х йХйщ

——

г = 1, М , М - число уравнений системы (11).

Как отмечено в [7], уравнения ФПК будут иметь место не только для БГШ, но и в случае широкополосных равномерных шумов, если выполняется условие

тш Тс >>Д>> х^,ДОн ,

где тш тс - минимальная постоянная системы; Д - временной интервал определения вероятностей переходов; т^ дй - время корреляции случайных

процессов соответственно \(г), ДПн (г).

В выражениях (12) - коэффициенты сноса, которые для системы

уравнений (11) имеют вид (учитывая, что случайную функцию Дйн (г), согласно [9], можно аппроксимировать БГШ п^(г) со спектральной плотностью мощности (СПМ) N, а помеха п(г) - СПМ N ):

. ^ и2 Щ s(г, юг, фг)

а1(г, и) = м2 , а2 (г, и) =- ---------±— +-----------,

1 2 2 Л(и)С(и) ЬС (и) ЬС (и)

аз(г, и) = куи^(г, Юг, фг-) + ку N/2 - щ / Ту, а4(г, м ) = и5, (13)

а5(г, и) = - ^ р(и4,Юг) + кТр(u4, Юг) - + ХТ.

Т Т 1 аг Т 2Т

В выражениях (13) группы коэффициентов а1 - аз и а4, а5 являются самостоятельными, т.к. сформированы при применении самостоятельных критериев Д1 и Д2 , поэтому можно осуществить следующую компоновку:

а^(г, и) = а1(г, и^, М2, Мз), а2 (г,и) = а2 (г,и^, М2, из), аз (г, и) = аз (г, и^, М2, М3) .(14,а)

а4(г, м) = а4(г, М4, М5), а5(г, и) = а5(г, М4, М5). (14,б)

Используя (1з), (14,а) и применяя слабые условия критерия робастного обнаружения сигналов (12), можно получить следующие выражения:

дs(г, Х) 1 = 0. эх ьс(и) ;

д 2я(г, Х) 1 = 0,

ЭХдм2 ЬС (и )

^ д^(г, Х)щ п к V------------— = 0;

у дХ

К дУг,Х)щ = 0

(15,а)

(15,б)

з

Третье уравнение системы (11) может приниматься как уравнение фильтрации произведения щ(г) -£(г), в котором случайные процессы щ(г) и £(г) в реальных случаях являются узкополосными, поэтому его можно записать как

ёи ё г

—3 = — О(г, щ, £), причем здесь Мз(г) = Г g (г - а)щ(а)Ъ,(а)ёа = 0\(г, щ, £) - со-

ёг ёг •>

0

ответствующий линейный функционал так, что, согласно (1), его можно представить 01(-) = О (•) + О2О), причем О (г, 5 (Х)) соответствует сигнальной составляющей наблюдений £(г). Поэтому систему (15,б) можно записать как

дО(г, я (г, Х)) = дО(г, 5, Х) дя(г, Х) = 0

дХ дя дХ

2 - - 2 - (16) д 0(г, 5(г,Х)) _ дО(г, 5,Х) д 5(г,Х) = о

дХдиз дя дХдиз

так как К у Ф 0 , а вследствие линейности функционала и дО (г, 5, Х)/ дя Ф 0.

Таким образом, как условия (15,б), так и (16) совместно с (15,а) являются также условиями априорной нечувствительности.

Условия (16) должны выполняться для любого момента времени, в том числе и для моментов г + Т0(м) (т0(м) = 1/Л(м)С(и) <ти). Поэтому запишем

функционал в выражениях (16) как О(г + Т0(м),Х) и разложим его в ряд по малому параметру Т0(м) (функция О(г) - медленная, в отличие от функций я(г), и1(г)),

О (г + Т0(м), Х) = О (г, Х) + Т0(м )ёО (г, Х)/ёг +... (17)

Учитывая в (17) только первые два члена, можно для условий (16) записать

дО (г, я(г, Х)) + д 2О(г, я, Х)т0(и) = 0

2 дХ . 3 д'дХ. (18)

д О(г, 5(г, Х)) + д О (г, 5, Х)т0(и) = о

дХдиз дгдХдиз

В (18) следует оставить только вторые слагаемые как малые второго порядка малости и поэтому более соответствующие системе уравнений. При

д О (г, 5, Х)/дгдХ Ф 0, иначе задача (1,а) тривиальная, нелинейные алгоритмы (11) при сепарабельности параметрических зависимостей условия априорной нечувствительности, согласно [5], приводятся к системе однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка (приняв Ь = Ь(и)) типа

'Ч ___

-— Ь (щ )Сг (щ)] 1 = ¿2[Ь1(м1) ь2(м2) Ьз(мз)С1(м1)С2(м2)Сз(из)] 1

дм2 I

д г (19)

-—[^ Л (Щ )Сг (Щ)] = ьз [Л1 (щ1) Л2 (м2 ) Л3 (из )С1 (м1)С2 (м2 )C3(u3)], диз .

3 г

где ¿2, Ьз - нормирующие коэффициенты, г = 1,3.

Система уравнений (19) может быть как совместной, так и независимой. При независимом решении первое уравнение разрешается относительно параметра L(m2) , а второе - относительно параметров Л(«з) и C(м3). Можно также разрешить систему (17) как совместную, при этом ее можно записать (приняв Li(mi)L2(m2) L3 (м3) = L = const ) в виде

Э

----C2 1(м2) = k2C2 1(м2),

Эм2

< д2 (20)

——[R(u3)C3(u3)] = ] R(мз)Cз(мз),

„ Эм3

где ^2, ^3 - действительные числа.

Из системы (20) следует, что сопротивление зависит только от одной переменой состояния алгоритма обработки, описываемого системой (9), а емкость -от двух. Тогда решение системы (20) можно получить, например, как

C(м2,м3) = ek2U2+k^3,ге [0,т„], (21,а)

R (м3)

причем

dC (м2, м3)/Эм! = 0, (21,б)

где B - постоянная интегрирования, например, B = C0 • R0, функция

* * tt I I / tt

R (-м3) = R (+И3) = exp(-k3 м3), k3 = k3 + k3 , C (м2, м3) = kcC2(м2)Cз(мз) (kc -коэффициент пропорциональности).

Параметрическая зависимость R*(м3) принята в (21,а) как R*(|м31) с

тем, чтобы обеспечить симметрию управления по частотной отстройке, а

именно симметрию полосы захвата относительно центральной частоты. Если подобная симметрия не требуется, то в (21,а) может использоваться монотонная зависимость R^), т.е. обычное решение.

Таким образом, колебательный контур является адаптивным и имеет также робастное управление (использует при изменении емкости также управление по производной переменной состояния контура). Причем перестройка контура происходит вначале при широкой полосе, которая при настройке на несущую частоту уменьшается, обеспечивая этим необходимую фильтрацию входного сигнала.

Преимущества адаптивной робастной (робастной нелинейной) фильтрации используются для формирования когерентного колебания, которое создается системой ЧФАП по четвертому и пятому из уравнений системы (11). При этом базовыми условиями, обеспечивающими эффективность системы ЧФАП, являются оценки как начального частотного, так и фазового рассогласований, получаемых с помощью робастной нелинейной фильтрации.

Процедура вынесения оконечных оптимальных оценок юг-, фг- включает

как выработку промежуточной робастной оценки йн и пропорционального управляющего напряжения подстройки ЧФАП ип0д = , так и последую-

щую робастную оценку фазовых рассогласований соседних сшиваемых реализаций для формирования длинной реализации из входных наблюдений на конкретных интервалах г е [гг-,гг- + тМ ]). Как известно [8], особенность (эффективность) робастных алгоритмов проявляется на малых объемах выборок, что соответствует также малым отношениям сигнал/шум. Поэтому предлагается с использованием робастной нелинейной обработки устройство обнаружения и оценки частоты радиоимпульса [9] (нелинейного обнаружителя (1,а)), включающее также схему стыкования наблюдений (синфазного продолжения) по радиоимпульсу в длительный (теоретически бесконечной продолжительности) случайный стационарный процесс так, что в моменты стыковки (сшивания) скачки фазы в удлиненном радиоимпульсе будут отсутствовать. Схема обнаружителя радиосигнала и оценки его частоты (ОРСИЧ) приведена на рисунке 1.

Рис. 1 Обнаружитель радиосигнала и оценки его частоты

Помеха п(г) в частотном диапазоне [о! Ю2] может быть также представлена вектором п(г) = N (г )ехр{ Дюогг + фп (г)]}, Юо, = юг- (М (г), фп (г) - соответственно нестационарные огибающая и начальная фаза помехи п(г)). Подобное представление стыкуется с изложенным ранее материалом и предполагает более корректное пояснение функционирования предложенного устройства обнаружения и оценки частоты радиоимпульса.

ОРСИЧ содержит сумматор 1, полосовой усилитель-ограничитель 2, переключатель 3, робастный адаптивный полосовой фильтр 4 в виде одиночного колебательного контура в составе индуктивности Ь5, переменных сопротивления Л’б и емкости С7 и дифференцирующей схемы 8, включенной между выходом полосового перестраиваемого фильтра и управляющим входом емкости С7. Устройство содержит также первый синхронный детектор 9, первый фильтр нижних частот 10 и систему частотной и фазовой автоподстройки (ЧФАП) 11, состоящую из соединенных в кольцо первого фазового детектора 12, суммирующего устройства 13, второго фильтра нижних частот 14 и перестраиваемого генератора 15, последовательно соединенные второй синхронный детектор 16, третий фильтр нижних частот 17, пороговую схему

18 и первое запоминающее устройство 19. ОРСИЧ содержит также коммутатор 20, через который производится коммутация выхода робастного адаптивного полосового фильтра 4, во-первых, с входом первого запоминающего устройства 19; во-вторых, с входом генератора длинной последовательности 21; в-третьих, с соответствующими входами второго фазового детектора 22, схемы формирования непрерывной удвоенной последовательности (СФНУП) 2з, состоящей из последовательно соединенных фазового детектора 22, пятого фильтра нижних частот 24, регулируемой линии задержки 25 и первого сумматора 1. Устройство содержит также второе запоминающее устройство 26, через которое напряжение подстройки ип0д подается на ЧФАП через

сумматор 1з. Оконечная оценка частоты производится схемой оценки 27, подключенной к выходу перестраиваемого генератора 15, после срабатывания пороговой схемы 18. Синхронную работу ОРСИЧ при приеме и обработке радиоимпульсов с конечной длительностью обеспечивает контроллер-синхронизатор 28.

Таким образом, в ОРСИЧ реализованы изложенные теоретические положения и результаты.

Заключение

Проведен синтез робастного нелинейного обнаружителя радиоимпульса со случайными, непараметрически заданными частотой и начальной фазой, обладающего оптимальными характеристиками обнаружения, как для радиосигнала с известными параметрами. Подобный обнаружитель, несмотря на сложную структуру его реализации, может иметь широкое практическое значение.

Список литературы

1. Теория обнаружения сигналов / П. С. Акимов, В. А.Богданович [и др.] ; под ред. П. А. Бакута. - М. : Радио и связь, 1984.

2. Граничин, В. Н. Рандомизированные алгоритмы оценивания и оптимизации при почти произвольных помехах / В. Н. Граничин, Ю. Т. Поляк. - М. : Наука, 2003.

3. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники : в 3 кн. - М. : Сов. радио, 1976. - з кн.

4. Тихонов, В. И. Оптимальный прием сигналов / В. И. Тихонов. - М. : Радио и связь, 1982.

5. Неволин, В. И. Синтез робастных систем по методу пробных функций при непараметрическом обнаружении и различении информационных сигналов на фоне белого гауссового шума / В. И. Неволин // Автоматика и телемеханика. - 2005. -№ 9. - С. 109-132.

6. Неволин, В. И. Синтез когерентных следящих систем управления на основе нелинейного метода, свободного от распределений, и критерия согласованности / В. И. Неволин // Механика и процессы управления : труды XXXVIII Уральского семинара. - Екатеринбург : УрО РАН, 2003. - С. 316-323.

7. Тихонов, В. И. Марковские процессы / В. И. Тихонов, М. А. Миронов. - М. : Сов. радио, 1977.

8. Хьюбер, П. Робастность в статистике / П. Хьюбер ; пер. с англ. - М. : Мир, 1984.

9. Левин, Б. Р. Статистическая радиотехника / Б. Р. Левин. - М. : Сов. радио, 1976.

10. Заявка № 2248088 Российчкя Федерация. Устройство обнаружения и оценки частоты радиоимпульса / Неволин В. И. ; приоритет 10.04.06.