Непараметрическая оценка условной плотности распределения в задаче управления двухмерным статическим объектом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневскце чтения

УДК 62.503.51

Ю. В. Смешко

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА УСЛОВНОЙ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ДВУХМЕРНЫМ СТАТИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ

Рассматривается задача управления нелинейным статическим объектом с использованием вероятностных моделей, основанных на непараметрическом оценивании условной плотности распределения вероятности. Значения входной величины объекта, обеспечивающей желаемое состояние на выходе, определяются в результате оптимизации оценки условной плотности.

Один из подходов к решению задачи управления статическим объектом предполагает построение так называемой инверсной модели. На основе непараметрических оценок инверсных регрессий в дальнейшем строятся алгоритмы адаптивного управления при априорной неопределенности. Однако, построенная таким образом инверсная модель не способна учитывать многозначность получаемых характеристик «выход-вход» объекта и, как результат, найденное решение будет не всегда оптимальным. На практике зачастую мы имеем дело с неоднозначностью в выборе управляющего входного воздействия, приводящего объект управления к желаемому состоянию. Кроме того, различные альтернативы могут существенно различаться по стоимости или степени целесообразности их реализации.

Пусть объект управления относится к классу нелинейных статических с двумя входами и одним выходом. Имеется выборка статически независимых наблюдений входных и выходных величин

К

,х1}, I = 1,2,..., 5. Необходимо по априорным

сведениям и выборке измерений {ии, ы21, х1} отыскать множество {« , и2 }, для которого справедливо

х(ии, u2J) » х*, (] = 1,2,...).

Для решения поставленной задачи предлагается подход, основанный на построении вероятностной модели объекта, которая может быть получена путем непараметрического оценивания многомерной условной плотности распределения вероятности [2]. Затем задача сводится к максимизации построенной оценки. Для нахождения конечного множества мод условного распределения, т. е. наиболее вероятных значений входных переменных при условии фиксированной выходной переменной, необходимо применить один из методов глобальной оптимизации. Таким образом, искомое множество значений входных величин {и1 , и2} определяется в результате решения задачи:

| х = х ) ® max.

«1 ,«2

Двухмерная непараметрическая оценка условной плотности распределения вероятности имеет вид [1]:

1 5 ( * _ Л

1 к х-_х

с ■ с

5к1 5и 2

(

к

и1, и2 | х = х*) = -

с

V 5к1

\ (

к

\

V 5и 2 0

I к

*

х _ х.

(2)

Оценка (2) включает параметры с , с и с . Параметры с , с определяют ширину диапазонов,

в которых наиболее вероятно наблюдаются искомые значения входных переменных. Варьирование значений с5 с в широких границах не оказывает существенного влияния на точность получаемых результатов. Значение с5 определяет степень «гладкости»

оценки в целом. «Гладкая» оценка облегчает оптимизацию критерия (1), однако, при этом может снижаться точность отыскания искомого управления.

В представленной реализации рассмотрен объект, у которого связь между входными переменными и

выходной переменной задана в виде х = к2 + и%, требуемое задание х* = 5 (рис. 1).

Рис. 1. Исходная зависимость

Все точки грани, соответствующей вершине хребта, изображенного на рис. 2, являются решениями задачи (1). Предлагается на данном этапе воспользо-

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

ваться одним из методов глобальной оптимизации для нахождения множества мод оценки условного распределения.

Рис. 2. Оценка условной плотности

Полученное в результате оптимизации множество решений будет состоять из конечного числа элемен-

тов и может быть представлено эксперту для дальнейшего анализа. Рассматриваемые альтернативы можно оценить с помощью критерия, например стоимости реализации, и выбрать наиболее предпочтительное решение в качестве оптимального управления.

Библиографические ссылки

1. Добровидов А. В., Кошкин Г. М. Непараметрическое оценивание сигналов. М. : Наука : Физматлит, 1997.

2. Слонова Л. А. Разработка и исследование непараметрических вероятностных моделей стохастических систем : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2004.

Yu. V. Smeshko

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

NONPARAMETRIC ESTIMATION OF CONDITIONAL DENSITY IN A PROBLEM OF TWO-DIMENSIONAL STATICAL SYSTEMS CONTROL

The problem of nonlinear static object control with the use of stochastic models based on nonparametric estimation of conditional density distribution is considered. Input variables of the object providing a desirable output are found by optimizing of the conditional density estimation. Some approaches to the optimization problem solution and algorithm adjustment are discussed.

© CMemKO M. B., 2011

УДК 62.501

И. В. Соколов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

О НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Рассмотрена идентификация динамических систем в широком смысле. Приведены непараметрические модели и анализ принципа суперпозиции, а также исследования методом статистического моделирования.

Пусть линейная динамическая система (ЛДС) описывается интегралом свертки. В этом случае модель, построенная на основе интеграла Дюамеля, имеет следующий вид [1]:

€ (t) = f (t) + fi xH (—M T) AT.

i=1 cs

(1)

где £ - объем выборки; Т - интервал, в котором определена выборка; Дт - период дискретизации; и(/) -входной сигнал объекта; € (/) - оценка выхода объекта; ^ (/) - оценка функции свободных колебаний объекта; с^ - параметр размытости, для которого вы-

полняется следующие условия: cs > 0, lim(Scs) =¥,

S

lim cs = 0; H(z) - колоколообразная функция, для которой выполняются следующие условия: — f H(—)dt = 1, lim—H(—) = 8(0.

c J c Sc c

-s n(t)

Часто на практике встречаются нелинейные динамические системы. Для них практически неприменима, в математическом смысле, теория идентификации, приведенная выше. В случае если ДС относится к классу нелинейных, то принцип суперпозиции не выполняется в привычном для него смысле. Если степень нелинейности относительно «небольшая», то расхождениями в принципе суперпозиции можно