Непараксиальные гипергеометрические моды Текст научной статьи по специальности «Физика»

НЕПАРАКСИАЛЬНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЫ

В.В.Котляр1'2, А.А. Ковалев12 1 Институт систем обработки изображений РАН, 2 Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева

Аннотация

Получено явное аналитическое выражение, описывающее точное решение уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах в виде произведения двух функций Куммера. Это решение представлено в виде суммы двух слагаемых, которые описывают непараксиальные гипергеометрические световые пучки, распространяющиеся вдоль оптической оси в прямом и обратном направлениях. При удалении от начальной плоскости на расстояние много большее длины волны полученное выражение для непараксиального гипергеометрического пучка совпадает с выражением для параксиальной гипергеометрической моды.

Ключевые слова: уравнение Шредингера, уравнение Гельмгольца, непараксиальная теория дифракции, угловой спектр плоских волн, конфлюэнтная функция (функция Куммера), гипергеометрический пучок, гипергеометрическая мода.

Введение

В последнее время возрос интерес к точным решениям параксиального уравнения типа Шредингера в цилиндрической системе координат. Так в [1] рассмотрены гипергеометрические (ГГ) моды. Эти пучки вскоре были обобщены и появились гипергео-метрические-гауссовые (ГГГ) моды [2], ГГ пучки [3] и круговые пучки (КП) [4]. В [4] указано, что частными случаями круговых пучков являются многие известные световые пучки, например, стандартные [5] и элегантные [6] моды Лагерра-Гаусса, квадратичные Бессель-Гауссовые пучки [7], гауссовые оптические вихри [8,9].

Однако уравнение типа Шредингера описывает распространение света в параксиальном приближении, от которого в некоторых случаях приходится отказываться, как, например, в задачах, требующих острой фокусировки лазерного излучения (острая фокусировка может использоваться, например, для уплотнения информации при лазерной записи, в хирургии, для лазерного напыления паров кремния, для сварки в труднодоступных местах).

В данной работе рассматриваются ГГ моды в непараксиальном случае. Получено аналитическое выражение, являющееся точным решением уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах. Это решение пропорционально произведению двух функций Куммера. Далее это решение представлено в виде суммы двух слагаемых, описывающих прямую непараксиальную гипергеометрическую (нГГ+) моду и обратную непараксиальную гипергеометрическую (нГГ-) моду. Эти световые пучки распространяются вдоль оптической оси в прямом и обратном направлениях. Показано, что при больших расстояниях от начальной плоскости (много больших длины волны) нГГ+ мода совпадает с точностью до константы с параксиальной ГГ модой из [1,3].

1. Угловой спектр плоских волн для непараксиальных гипергеометрических мод

Известно, что любое решение уравнения Гельм-гольца

(Д + k 2)Е( х, у, 2) = 0, (1)

где k - волновое число, можно представить в виде углового спектра плоских волн

Е ( х, у, 2 ) =

= í í f ф) еХР [-'k (х sin 8 C0s Ф + ,

-п 0

+y sin 8 sin ф + z cos 8)] sin 8d8d<p

(2)

где (в, р) - углы Эйлера, определяющие точку на сфере, задающую направление распространения плоской волны. Рассмотрим конкретный вид углового спектра

f (в, р)=tan 2)sin-1 (в) exp (2in(), (3)

где n - целое и в - действительное числа. Подставив (3) в (2), получим:

E (r, ф, z) = (-l)n exp ^'2пф)х

í exp(-ikz cos8)1 tan-2 | J2n (kr sin8)d8

(4)

где Jv (х) - функция Бесселя. С помощью справочного интеграла [10] вместо (4) можно получить явное аналитическое выражение:

E(r, ф,z) =

(-1)" [(2")!]

-exp ('2"ф + ikz )>

xr,2"±ß±1 ^ j( kr у

„ í2n-ß +1 „ ,

>j F--— ,2n +1, x+ |x

2n-ß +1 „ ,

Xj Fjj--— ,2n +1, x

(5)

где x± = -ik

z ±(z2 + r2 )1/2

(r,q,z) - цилиндрические

координаты, Г( x) - гамма-функция, j Fl (a, b, x) -функция Куммера [10]. Выражение (5) является точ-

X

0

X

(7)

ным решением уравнения (1) и описывает сумму двух непараксиальных гипергеометрических пучков:

Е (г, Ф, г) = Е + (г, Ф, г; Р) + Е- (г, ф, г; Р), (6)

где Е+ - прямая нГГ+ мода, которая описывается выражением (4), в котором интеграл по в вычисляется от 0 до ж/2, а Е - обратная нГГ- мода, которая описывается выражением (4), в котором интеграл по в вычисляется от п/2 до п. Можно показать, что Е- (г, ф, г; Р) = Е + (г, ф, - г; -Р). Отсюда, в частности, следует, что при г = в = 0 прямая и обратная нГГ моды совпадают и равны выражению:

Е- (г, ф,0;0) = Е + (г, ф, 0; 0) = 0,5Е (г, ф, г) = = (-1)" (п/2)ехр(/'2пф) Jи2(kr/2). Из этого выражения следует, что основная нГГ мода при г = в = " = 0 порождается квадратом функции Бесселя нулевого порядка и имеет диаметр центрального светового пятна 1,53Х, где X - длина волны (под диаметром понимается удвоенное расстояние от максимума до первого корня функции Бесселя).

2. Прямые и обратные непараксиальные гипергеометрические моды В общем случае, когда г ф 0 или р ф 0, из (5) нужно выделить в явном виде составляющие, описывающие прямые и обратные моды.

Для конфлюэнтных функций известно ассимпто-тическое разложение [11]:

jF1 (a,b, z) exp(±ina) z r(b ) " r(b - a)

(8)

4-J (a) (1 + a - b) / ,

-)jL (-z) + O (|z| )

n=0 n•

exp (z) za-b

+-W—x

Г( a )

g (b - a)n (1 - a)n z-n + O (|z|-* )

П=0 n! V 1 '

где верхний знак берется для случая -л/2 < arg z < 3л/2 и нижний - для - 3л/2 < arg z < -л/2. Устремляя R к бесконечности, получим, что

1 Fl (a, b, z) exp (±ina) z Г(Ь) " Г(Ь - a)

x| a,1 + a -b,-1 | +

■ 2 Fo x

(9)

exp (z) za-i ( 1

+---2 F01 b - a,1 - a —

Г( a) 2 0 ^ z

Подставим (9) в (5) вместо конфлюэнтной функции с аргументом x+:

E (r, ф, z) = (-1)" exp (i2nф)г| 2п±в±1]г( ^^zUI) [(2n )!]-J (kr)2n 1F1 ( ^^ ,2n +1, x- |x

2

2

1

Г

2n+p+:

^ exp (ikz) +ikz + ik (z2 + r2 )12

2n-p+1 /

F

21 0

2n-ß +1 -2n-ß +1 1

2

2

(10)

1

2n-ß +1

2

exp

-ik (z2 + r2 )12 -ikz - ik (z2 + r2 )12

-2n-p-1 /

F

2 F0

2n +ß +1 -2n +ß +1 1

2

2 x+

где 2F0 (a,b,x) - гипергеометрическая функция [10]. Применив преобразование Куммера

1F (a, b, z) = exp(z) 1F1 (b - a,b, -z), получим:

E(r,ф,z) = (-1)n exp(,2пф)Г|^^Vi^^|[(2n)!]-1 (kr)2n x

exi

p (+ikz )

Г

2n + ß +1

ikz + ik ( z2 + r2 )12

2 J l 2

-2n+ß-1 ✓

F

21 0

2n-ß +1 -2n-ß +1 1

2

2

2n-ß +1 „ ,

1 Fj-— ,2n +1,x | +

(11)

(12)

exp (-ikz)

2n-ß +1

-ikz - ik (z2 + r2 )12

2n-ß-1 ^

^ F 20

2n +ß +1 -2n +ß +1 1

2

2 x+

1F11---,2n +1, - x

a

x

+

x

z

+

x

x

+

2

+

Г

2

x

x

+

+

Г

Обозначив q± = ±ik

z + (z2 + r2 )12

запишем

выражение для комплексных амплитуд нГГ мод:

E± (r, ф, z) =

ИГ

(2n)!

exi

p (12пф± ikz )( kr )2

xri Vf |х

хГ-11 ^^ I q±-(2"+e+1)/2 x (13)

x2F ( ,-2n±P±1,q±-i |x

^ 2п + В +1 „ ,

х1 Fl I——, 2п +1, ±х_

Выражение для Е(г,ф, 2) из (12) является суммой Е+(г, ф, 2) и Е (г, ф, 2) из (13).

Если в выражении (13) для прямой волны Е + (г, ф, 2) устремить 2 к бесконечности, то получим асимптотическое выражение:

E + (г,ф, z >> Л) ^ [(2n)!]-':

, , 2n-в +1N х exp (i2пф+ ikz + it)r\-|x

x(2ikz)(e-1)/2tn 1F f 2П +в +1,2n +1,-t

(14)

где t = ikrУ(22). Выражение (14) с точностью до

постоянного множителя совпадает с выражением для комплексной амплитуды параксиальной ГГ моды [1,3] при условии, что т = -1, /у = Р , ^ = k-1 и п заменить на 2п.

3. Моделирование При распространении вблизи начальной плоскости 2 = 0 распределение интенсивности для нГГ+ пучка изменяется в основном в области боковых лепестков (периферийных световых колец картины дифракции) (рис. 1а,б). При 2 >> X, когда нГГ+ пучок совпадает с ГГ модой, изменения интенсивности происходят только масштабно, а вид дифракционной картины пучка сохраняется (рис. 1е).

I

0,14 0,07

а)

А

г, мкм

I

4x10'5 2x105

30

г, мкм

150

Рис. 1. Распределения интенсивности нГГ+ моды при X = 633 нм, в = 0, n = 2 на расстояниях z: 0 (а), 1 мкм (б), 1 мм (

На рис. 1 показана интенсивность

I |2 I |2 | |2

I = \Е + E + E

в относительных единицах при Л=633 нм, /3=0, n=1 при разных расстояниях от z=0, рассчитанная с помощью уравнения (4) при интегрировании от 0 до п/2. На рис. 1б пунктирная линия - результат расчета по формуле (13).

Для проверки расчетов (рис. 1б) было проведено численное моделирование с использованием программы FullWave 6.0 (производитель RSoft Design, USA, http://www.rsoftdesign.com), предназначенной для решения уравнений Масквелла методом FDTD (finite-difference time-domain). В плоскости z=0 было задано электромагнитное линейно поляризованное вдоль оси х поле (7) при n=1, Л=633 нм, с дискретизацией Л/20. На рис. 2а показана картина дифракции

такого поля в плоскости 2 = 1 мкм. Размер картины 5х5 мкм. На рис. 2б показано сечение картины дифракции. Из сравнения рисунков 1б и 2б видно, что они хорошо согласуются между собой, хотя на

I |2

рис. 1б показана величина |Ех| , а на рис. 2б

I |2 I |2 | |2

I = \Е + Е + Е .

Заключение

Итак, в работе получены точные аналитические выражения для непараксиальных гипергеометрических мод, распространяющихся в прямом и обратном направлениях вдоль оптической оси. При больших расстояниях от начальной плоскости прямая непараксиальная гипергеометрическая мода совпадает с точностью до постоянной с параксиальной модой из [1,3].

x

2

2

Рис. 2. Картина дифракции I = \Ех\ + +|Ег| (а)

и ее горизонтальное сечение (плоскостью у=0) (б) для непараксиального гипергеометрического пучка с начальной (г=0) комплексной амплитудой (7) на расстоянии г=1 мкм

Благодарности

Работа поддержана российско-американской программой «Фундаментальные исследования и высшее образование» (грант CRDF RUX0-014-SA-06), Российским фондом фундаментальных исследований (грант 08-07-99007) и грантом Президента РФ поддержки ведущих научных школ (НШ-3086.2008.9).

Литература

1. Kotlyar, V.V. Hypergeometric modes / V.V. Kotlyar [and other] // Opt. Lett. 2007. - Vol. 32. - p.742-744.

2. Karimi, E. Hypergeometric-Gaussian modes / E. Karimi [and other] // Opt. Lett. 2007. - Vol. 32. - p.3053-3055.

3. Kotlyar, V.V. Family of hypergeometric laser beams / V.V. Kotlyar, A.A. Kovalev // J. Opt. Soc. Am. A 2008.-Vol. 25. - p.262-270.

4. Bandres, M.A. Circular beams / M.A. Bandres, J.C. Gutierrez-Vega // Opt. Lett. 2008.- Vol. 33. - p.177-179.

5. Siegman, A.E. Lasers / A.E. Siegman - University Science, 1986.

6. Takenaka, T. Propagation of light beams beyond the paraxial approximation / T. Takenaka, M. Yokota, O. Fuku-mitsu // J. Opt. Soc. Am. A 1985.- Vol. 2. - p.826-829.

7. Caron, C.F.R. Bessel-modulated Gaussian beams with quadratic radial dependence / C.F.R. Caron, R.M. Pot-vliege // Opt. Commun. 1999.- Vol. 164. - p.83-93.

8. Rozas, D. Propagation dynamics of optical vortices / D. Rozas, C.T. Law, G.A. Swartzlander // J. Opt. Soc. Am. B 1997.- Vol. 14. - p.3054-3065.

9. Kotlyar, V.V. Generation of phase singularity through diffracting a plane or Gaussian beam by a spiral phase plate / V.V. Kotlyar [and other] // J. Opt. Soc. Am. A 2005.- Vol. 22. - p.849-861.

10. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Мари-чев. - М.:Наука, 1983.

11. Handbook of Mathematical Functions / ed. by. M. Abra-movitz, I.A. Stegun.- National Bureau of Standards, Applied Math. Series, 1965.