CC BY
10Необходимые условия распознавания с полиномиальной сложностью совершенного сочетания в многодольном
однородном гиперграфе
Омельченко Г.Г. (galinaom@mail.ru), Перепелица В.А.
Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия
Недостающие определения терминов теории графов и гиперграфов можно найти в [1]. Гиперграф О = (V,Е), V = п называется X-однородным, если всякое ребро е = (у15...,,...,vX) е Е представляет собой X-вершинное подмножество ,...,ух} с V. При п, кратном X, совершенным сочетанием
в О называется остовный подгиперграф х = (V, Ех), каждая компонента связности которого представляет некоторое ребро е е Е, при этом мощность
сочетания является КР-полной, т.к. известная задача о трехмерном сочетании (3-С) является КР-полной [2]. В настоящей работе предлагается полиномиальный алгоритм распознавания совершенного сочетания в X-дольном X-однородном гиперграфе О = (У1,У2,...,У1, Е). Этот алгоритм состоит
из подготовительного этапа и собственно алгоритма а .
Для данного гиперграфа G подготовительный этап строит специальный т -дольный граф £ = £ (О) = (и, Я) = (и1,...,ик ,...,ит, Я). Элементами и являются «гипервершины», каждая из которых представляет определенное взаимно однозначным соответствием ребро е исходного гиперграфа О , т.о. |и| = |Е|; Я = {р} - множество ребер £. Гипервершины в и обозначаем символами ребер в О, т.е. и = {е}.
Для построения графа £ = £ (О) = (и1,...,ик ,...,ит, Я) множество гипервершин и = {е} ставится во взаимно однозначное соответствие множеству ребер Е = {е}, затем в гиперграфе О рассматривается первая доля
Для X> 3 задача нахождения в гиперграфе О совершенного
V = (у15v2,...,Ут} и множество и разбивается на т долей так, что и1 состоит из гипервершин е е и, содержащих вершину у1 е ^; и2 состоит из гипервершин е е и, содержащих вершину у2 е¥1;...; ит состоит из гипервершин, содержащих вершину Ут еУ1. Множество ребер Я = {р} графа £ определяется следующим образом: для всякой пары гипервершин е',е' еи ребро р = (е ',е') включается в Я только тогда, когда пересечение этой пары является пустым, т.е. е' п е' = 0. Формированием множества ребер Я завершается построение специального графа £ и подготовительный этап алгоритма.
Идея предлагаемого алгоритма распознавания совершенного сочетания в многодольном однородном гиперграфе О заключается в том, что всякому совершенному сочетанию в гиперграфе О взаимно однозначно соответствует т -гипервершинная клика в специальном графе £. Гипервершины, составляющие такую клику, однозначно определяют собой в гиперграфе О множество ребер, образующих совершенное сочетание.
На вход алгоритма а подается специальный граф £ = £ (О), в котором гипервершины первой доли перенумерованы индексом д = 1,2,...,Ь1, т.е.
и1 = {е1,...,ед,...,еь'}, Ь1 = [и^. Работа алгоритма а состоит из Ь1 этапов. В
начале д -го этапа фиксируется гипервершина ед е и 1, для которой в каждой
доле ик выделяется подмножество ид смежных с ней гипервершин,
к = 2,3,...,т. Объединение этих подмножеств вместе с вершиной ед обозначим
ид = {ед} и иI и... и ид и... и ит . Индуцированный полученным множеством
ид в £ т-дольный подграф обозначим £д = (ид,Яд) = (и1,...,ид,...,ит,Яд). В процессе работы этап д проверяет наличие т -гипервершинных клик в
множестве ид, и в случае наличия распознает их существование. Если хотя бы одно из подмножеств ид является пустым, то этап д завершает работу безрезультатно, установив, что множество ид искомой клики не содержит.
Работа д -го этапа алгоритма а реализуется на базе таблицы множеств смежности (МС) Тд = ТЦ , к = 1,2,...,т - номера долей подграфа £д,
I = 1,2,...,- новая порядковая нумерация гипервершин в £д. Т.о.
ид = {е!,е|,...,ед,...,еN}, = ид , элементы множества ид нумеруются в
порядке исчерпания долей ид, к = 1, т подграфа £д. В таблице Тд клетка ТЦ представляет собой МС гипервершин доли ид, каждая из которых смежна с гипервершиной е^ в подграфе £д. Если гипервершина е^ является элементом доли ид, то, считая, что всякая гипервершина всегда «смежна сама с собой», получаем одноэлементное МС Тд = {е/}. С учетом дольности £д таблица Тд разбивается на части ТЦ, где часть ТЦ состоит из Ид строк, соответствующих
гипервершинам доли ид подграфа £д.
Суть этапа д состоит в проверке сформулированных ниже необходимых условий принадлежности рассматриваемой гипервершины какой-либо т -гипервершинной клике в подграфе £д. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то этап д завершает свою работу безрезультатно, устанавливая отсутствие такой клики.
Лемма 1 (Условие 1). Если гипервершина е^ принадлежит какой-либо т -вершинной клике, то в I -ой строке таблицы МС каждая клетка Т/ не является
пустым множеством: Тд ф 0, к = 1, т .
Рассмотрим в таблице МС размерности N х т пару строк I, у, соответствующих гипервершинам е?, е^. Условимся, что пересечение МС
строк I, у означает новую строку, состоящую из т множеств (Тд п Т?к). Это пересечение называем непустым, если каждое из составляющих его множеств является непустым, т.е. Тд п ТД ф 0.
Лемма 2 (Условие 2). Если гипервершина е? принадлежит какой-либо т -вершинной клике, то I -я строка таблицы Т9 имеет непустое пересечение хотя бы с одной строкой из каждой части Тк этой таблицы.
Дальнейшая работа этапа ? состоит из подэтапов £ = 1,2,...,И9 - Ит -1. На вход подэтапа £ подаются подграф £9 = (и9,Я9) и соответствующая ему
таблица МС Т9 = ТЦ , I = 1,2,...,И9, к = 1,т, для которых существует взаимно
однозначное соответствие между номерами гипервершин из и4 и номерами строк таблицы МС Т9, а также взаимно однозначное соответствие между номерами гипервершин в доле и9 и номерами строк части Тк в таблице Т9. На
подэтапе £ = 1 в Т9 выделяется строка I = 2, и для нее осуществляется проверка выполнения необходимого условия 2 по отношению к каждой из последующих
частей Т9, к = 3,4,...,т. Если это условие не выполняется по отношению к некоторой части Тк , то работа подэтапа £ = 1 завершается вычеркиванием из таблицы Т9 строки I = 2, а также удалением всех вхождений е\ в клетки Т2,
I = 1, И9 . В подграфе £9 гипервершина е2, также удаляется вместе с инцидентными ей ребрами. Оставшиеся части таблицы Т9 и подграфа £9 обозначаем Т19 = Т1^1 и £19 = (иц,...,!^...,^д,Я?), причем номера строк в
Т19 остаются без изменения. Если подэтап £ = 1 устанавливает выполнение
условия 2, то таблица Т9 и подграф £9 остаются без изменения, но при этом получают новые обозначения. Пусть по завершению £ подэтапов получены
таблица Т? и подграф £9. Тогда для Т? осуществляется проверка, является ли
непустой каждая из ее т частей. Если окажется, что в некоторой части Тк\ по
завершению подэтапа все ее строки являются вычеркнутыми, то на этом подэтапе заканчивается вся работа этапа д, и далее следует переход к этапу 9 +1. Если работа подэтапа £> 1 оказалась результативной (т.е. нет пустых
частей в Т9), тогда следует переход к подэтапу £ +1, работа которого начинается с выделения в Т9 строки I = £ + 2. Для выделенной строки I
осуществляется проверка выполнения необходимого условия 2 по отношению к каждой из остальных (т -1) частей. Работа этапа 9 считается результативной,
если по завершению подэтапа £' = И9 - Ит -1 получены подграф £9 , в котором
каждая из т долей и9г не является пустой, и таблица МС Т/, в которой
каждая часть Т9г, содержит хотя бы одну невычеркнутую строку, при этом
каждая клетка Т^, не является пустым множеством. Удовлетворяющие этим
условиям подграф £9 = £9 и таблицу МС Т9 = Т9 будем называть «тупиковый подграф» и «тупиковая таблица МС»
Примечание 1. Нетрудно видеть, что трудоемкость этапа 9 алгоритма а
ограничена сверху полиномом от размерности подграфа £9. Поэтому представляют интерес такие свойства тупиковой таблицы Т9 и тупикового подграфа £9, которые определяют собой достаточное условие существования в подграфе £9 т -гипервершинной клики.
Теорема 1. Если тупиковая таблица Т9 является квадратной, то тупиковый подграф £9 представляет собой т -гипервершинную клику в подграфе £9 .
Следствие 1. Всякая гипервершина, принадлежащая некоторой т -гипервершинной клике, не будет удалена из таблицы МС в процессе работы алгоритма а , в силу чего соответствующая этой гипервершине строка в таблице МС сохранится до окончания работы алгоритма, и т.о. сохранятся все строки, каждая из которых соответствует вершине клики размерности т . С учетом этого является справедливой
Лемма 3. Если таблица МС Т9 является тупиковой, т.е. непустой в каждой своей части Т9, то соответствующий ей специальный подграф £9 содержит т -вершинную клику.
Примечание 2. Вхождение гипервершины в тупиковый подграф £д является необходимым и достаточным условием ее принадлежности хотя бы одной клике размерности т .
Также является справедливой
Лемма 4. Если тупиковая таблица МС является пустой, т.е. Тд = 0, то специальный подграф £д не содержит т -гипервершинной клики.
Теорема 2. Получаемый на выходе алгоритма а тупиковый подграф £д является пустым тогда и только тогда, когда исходный т -дольный подграф £д не содержит клики размерности т .
Оценим вычислительную сложность алгоритма а для задачи о совершенном сочетании на п -вершинном 3 -дольном 3 -однородном гиперграфе О = (У1,¥2,У3,Е). Для количества элементов специального графа £ = (и,Я), подаваемого на вход алгоритма а, справедлива верхняя оценка |и| + |Я| < о(п6). Трудоемкость алгоритма а определяется трудоемкостью его
работы с таблицами Тд, д = 1, Ь1, у которых число строк (столбцов) не превосходит о(п3) (0(п)). Следовательно, число элементарных операций попарного сравнения строк таблицы Тд не превосходит о(П). В конечном счете, верхняя оценка вычислительной сложности распознавания совершенного сочетания в гиперграфе О с помощью алгоритма а составляет о(п9).
ЛИТЕРАТУРА
1. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. - М.: Наука, 1990. - 384 с.
2. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. -М.: Мир, 1982. - 416 с.
