CC BY
47
Управление, вычислительная техника и информатика
УДК 519.179.1
РЕКУРРЕНТНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДРЕВОВИДНОЙ ШИРИНЫ ГИПЕРГРАФА
В.В. Быкова
Институт математики Сибирского федерального университета, г. Красноярск E-mail: bykvalen@mail.ru
Рассматривается NP-трудная задача отыскания древовидной ширины гиперграфа. Предлагаются полиномиальные по времени рекуррентные методы предобработки гиперграфа, позволяющие снизить размерность этой задачи без потери оптимальности.
Ключевые слова:
Гиперграфы, дерево декомпозиции, древовидная ширина, ацикличность. Key words:
Hypergraphs, tree decomposition, treewidth, acyclicity.
Древовидная ширина - числовой параметр гиперграфа, характеризующий меру его древовидно-сти. Широкий интерес к изучению древовидной ширины гиперграфа вызван тем, что многие трудные задачи комбинаторной оптимизации, возникающие в различных приложениях, в том числе при проектировании электронной аппаратуры, моделировании надежности и безопасности компьютерных и коммуникационных систем, полиномиально разрешимы, если модельный гиперграф имеет ограниченную древовидную ширину. В этих условиях оптимизационная задача может быть решена методом динамического программирования, причем алгоритмическая эффективность достигается за счет разложения модельного гиперграфа на части с помощью дерева декомпозиции [1]. С вычислительной точки зрения весьма сложно установить, имеет ли заданный произвольный гиперграф ограниченную древовидную ширину, и построить для него требуемое дерево декомпозиции. Доказана №-трудность этой задачи [2, 3]. Поэтому актуальны методы предварительной обработки (предобработки) гиперграфа, позволяющие снизить размерность задачи без потери оптимальности. Про такие методы говорят, что они безопасные относительно того или иного числового параметра графа или гиперграфа [1]. В работе предложены два рекуррентных и безопасных метода предобработки гиперграфа для вычисления древовидной ширины.
1. Гиперграф и ассоциированные с ним
обыкновенные графы
Введем необходимые понятия и обозначения [4-7]. Пусть задан (и,т)-гиперграф Н=(Х,Ц), где Х={хьх2,...,х„} - конечное непустое множество вершин и и={ы1,ы2,...,ит} - конечное непустое семейство ребер этого гиперграфа. В общем случае всякое ребро гиперграфа является некоторым подмножеством множества Х. Пусть и(х) - множество ребер, инцидентных в Н вершине хеХ, а Х(и) - множество всех вершин, инцидентных ребру ие V. Тогда число | и(х)| определяет степень вершины х, а число Х(и)| - степень ребра и. Элемент гиперграфа степени 0 считают голым, степени 1 - висячим. Две вершины х1, х2еХ смежные в Н, если существует ребро иеи такое, что х1, х2еХ(и). Аналогичным образом, два ребра и1, и2ей смежные вН, если Х(и1)пХ(и2)^0. Подмножество множества вершин гиперграфа Н образует клику, если две любые вершины этого подмножества смежные в Н. Два ребра и, уеПкратные, если Х(и)=Х(у). Ребро и вложено в ребро V, когда Х(и)сХ(у). Ранг гиперграфа Н=(Х, V) - максимальная степень его ребра: г(Н)=тах{|Х(и)|,ие V}. Гиперграф минимальный, если он не содержит голых элементов, вложенных и кратных ребер. Далее везде Нц - результат минимизации гиперграфа Н.
Всякий непустой гиперграф Н=(Х, V) однозначно определяется своим кениговым представлением - двудольным графом К(Н), отражающим отно-
шение инцидентности элементов гиперграфа, с множеством вершин XuU и долями X, U. Гиперграф H считается связным, если связен граф К(Н). Компоненты связности графа К(Н) порождают части гиперграфа Я, называемые его компонентами связности.
Пусть Н(Х-Б) задает часть гиперграфа Я=(Х, V), индуцированную множеством Х—Б, т. е. полученную из Н слабым удалением всех вершин хеБоХ. Напомним, что слабое удаление вершины хеХ из Н=(Х,Ц) предполагает удаление этой вершины из Xи из всех ребер ие и(х). Множество вершин Б связного гиперграфа Н - сепаратор, если гиперграф Н^(Х-Б) несвязен. Сепаратор минимальный, если он не содержит в себе другой сепаратор меньшей мощности. Пусть для пары ребер и;,и;е V, 1</</'<т, гиперграфа Н=(Х, V) множество Б=Х(и,)пХ(и])^0 определяет сепаратор. Тогда Б называют множеством сочленения гиперграфа Н. Очевидно, что каждое множество сочленения образует в Н сепаратор клику. Блоком связного гиперграфа Н называют любую его часть Н(У), УоХ, в которой нет множества сочленения. Блок тривиальный, если он состоит только из одного ребра.
С гиперграфом Н принято ассоциировать графы смежности Х(2)(Н) и Ь(Н). Граф Х(2)(Н) представляет отношение смежности вершин гиперграфа. В частности, если Н - обыкновенный граф, то Х(2)(Н)=Н. Граф Х(2)(Н) отражает информацию обо всех кликах гиперграфа Н: каждая клика гиперграфа Н - клика графа Х(2)(Н) и наоборот, любая клика графа Х(2)(Н) - клика этого гиперграфа. Заметим, что для всякого ребра ы&и гиперграфа Н=(Х, V) множество Х(и) порождает клику в Х(2)(Н), однако обратное верно только тогда, когда гиперграф Н комплектный. Гиперграф Н комплектный, если каждой максимальной клике графа Х(2)(Н) отвечает некоторое ребро этого гиперграфа.
Граф Ь(Н) называют реберным графом для Н, поскольку он задает отношение смежности ребер этого гиперграфа. Граф Ь(Н)=( и,Е) полагают помеченным, если всякому его ребру {и,,' еЕ поставлена в соответствие метка/1=Х(и)пХ(и)*0, 1</</'<т. Число рассматривают как вес ребра {и;,и;|. Граф Ь(Н) с такими весами именуют взвешенным реберным графом гиперграфа Н. Граф Ь(Н) - источник информации обо всех множествах сочленения гиперграфа Н: произвольному множеству сочленения Б=Х (и)гХ(и) гиперграфа Н соответствует некоторое ребро {и;,и;|бЕ графа Ь(Н)=(и,Е), но обратное не всегда верно. Примечательно, что графы Х(2)(Н) и Ь(Н) - миноры кенигова представления К(Н), т. к. могут быть получены из него путем операции стягивания надлежащих ребер. Поскольку данная операция никогда не нарушает связности графа, то для гиперграфа Н ассоциированные с ним графы К(Н), Х(2)(Н) и Ь(Н) либо все одновременно связные, либо несвязные. Не нарушая общности, далее в качестве исходных гиперграфов будем рассматривать только минимальные и связные гиперграфы.
2. Дерево декомпозиции и древовидная ширина гиперграфа
С гиперграфом связана еще одна графовая структура, именуемая деревом декомпозиции. Под деревом декомпозиции гиперграфа Н=(Х,Ц) принимают пару (М,Т), задающую разбиение вершин и ребер гиперграфа Н, где М={Х,,1е1} - семейство непустых подмножеств множества Х, называемых «мешками», Т=(1,Щ - дерево, узлам которого сопоставлены эти «мешки». Данное разбиение удовлетворяет свойствам [1]:
1) Че/Х=Х;
2) если ие V, то в Т всегда существует узел 1?1 такой, что Х(и)<^Х,, т. е. для всякого ребра гиперграфа всегда существует хотя бы один «мешок», содержащий все вершины этого ребра;
3) для любой вершины гиперграфа хеХ множество узлов { геТ|хеХ}, «мешки» которых содержат вершину х, индуцирует поддерево дерева Т. Ширина дерева декомпозиции (М,Т) - наибольшая вместимость его «мешка», уменьшенная на единицу: тах{|Х|-1, ¿еТ}. Древовидная ширина гиперграфа Н определяется как наименьшая ширина всех возможных деревьев декомпозиции, существующих для Н, и обозначается через №(Н). Дерево декомпозиции ширины №(Н) принято называть оптимальным деревом декомпозиции гиперграфа Н.
Заметим, что для каждого связного (п,т)-гипер-графа множество возможных деревьев декомпозиции не пусто. Например, постоянно существует тривиальное дерево декомпозиции ширины п-1, которое состоит из одного «мешка», содержащего все п вершин гиперграфа. Конечно, такое дерево декомпозиции чаще всего неоптимальное. В общем случае, гиперграф Н может иметь несколько различных оптимальных деревьев декомпозиции ширины №(Н). Если рассматривать только (М,Т) без кратных и вложенных «мешков», то для любого (п,т)-гиперграфа множество деревьев декомпозиции конечно. В этих условиях задача построения оптимального дерева декомпозиции для связного гиперграфа Н всегда имеет решение. Если граф Н несвязен, то полагают №(Н)=0. Следовательно, числовой параметр №(Н) может быть вычислен для любого гиперграфа Н. Из определений дерева декомпозиции (М,Т) и древовидной ширины гиперграфа Н вытекает справедливость следующих лемм.
Лемма 1. Всегда г(Н)-1<№(Н), 0<№(Н)<п-1 и №(Н)<№(Н) Если гиперграф Н связен, то 1<№(Н)<п-1 и №(Н)=№(Н)
Лемма 2. Для части Н'=Н(¥) гиперграфа Н=(Х, V), индуцированной множеством УоХ, верно неравенство: № (Н)<№ (Н).
Лемма 3. Пусть (М,Т) - дерево декомпозиции гиперграфа Н=(Х,Ц). Тогда если множество вершин У<^Хобразует в Я клику, то в Г существует узел 1е1 такой, что У<^Х„ т. е. любая клика гиперграфа Н (значит, и Х(2)(Н)) всегда целиком вложена в отдельный «мешок» дерева декомпозиции (М,Т) и возможно не в один.
Лемма 4. Пусть (М,Т) - дерево декомпозиции гиперграфа Н=(Х,и), ^{¡^е'^ - ребро дерева Т=(/,Ж), А и В - множества узлов двух компонент связности графа Т=(1,Ж-ц>). Тогда пересечение соответствующих «мешков» 8=Х^Х1 образует сепаратор гиперграфа Н при условии, что (и,ЕАХ;)-^0 и (чеЛМ*0.
Таким образом, дерево декомпозиции гиперграфа Н - это графовая структура, которая не только определяет древовидную ширину гиперграфа, но также содержит информацию о его сепараторах и кликах. Что касается сепараторов, то дерево декомпозиции (М,Т) гиперграфа Н информативнее, чем его реберный граф Ь(Н), поскольку последний представляет лишь множества сочленения, т. е. сепараторы клики. Между тем, не всякий сепаратор гиперграфа Н есть клика. Сточки зрения клик и №(Н), дерево декомпозиции (М,Т) гиперграфа Н эквивалентно по информативности графу Ь(2)(Н). Об этом свидетельствует
Следствие 1. Всякое дерево декомпозиции гиперграфа Н является деревом декомпозиции графа Ь(2)(Н) и наоборот, любое дерево декомпозиции графа Ь(2)(Н) задает дерево декомпозиции гиперграфа Н. Кроме того, МН)=МЬ(2)(Н)).
Доказательство. Пусть (М,Т) - дерево декомпозиции гиперграфа Н=(Х,и). Каждое ребро {х;,х;| графа Ь(2)(Н) соответствует двум вершинам х, х;еХ, которые смежны как вЬ(2)(Н) так ив Н. Это значит, что в Н существует ребро ыеП, которое содержит обе эти вершины: х1, х2ЕХ(и). Поскольку множество Х(и) по определению вложено в некоторый «мешок» дерева декомпозиции (М,Т), то этому «мешку» принадлежат также вершины ребра {х;,х;| графа Ь(2)(Н). Два других свойства дерева декомпозиции графа Ь(2)(Н) непосредственно следуют из идентичных свойств дерева декомпозиции (М,Т) гиперграфа Н. Справедливость обратного утверждения следствия 1 вытекает из леммы 3, которая верна для любого гиперграфа, том числе и тогда когда он вырождается в обыкновенный граф. Действительно, при иЕ и множество вершин Х(и) образует в Ь(2)(Н) клику и эта клика по лемме 3 вложена в некоторый «мешок» дерева декомпозиции графа Ь(2)(Н). Таким образом, в этом дереве декомпозиции существует «мешок», содержащий все вершины ребра иЕ и.
3. Гиперграфы с ограниченной древовидной шириной
Значение величины №(Н) характеризует меру древовидности гиперграфа Н, и согласно леммам 3 и 4 определяет размеры его клик и сепараторов: чем меньше № (Н), тем ближе гиперграф Н к обычному дереву и тем меньше у него по мощности клики и сепараторы. В частности, все и-вершин-ные деревья (и>2) имеют единичную древовидную ширину, размер всякой клики такого дерева равен 2, а каждый минимальный сепаратор - точка сочленения. Считается, что (и,т)-гиперграф Н обладает ограниченной древовидной шириной, если №(Н)<к и к - целая положительная константа,
не зависящая от п. Если tw(H)<k, то размеры клик и сепараторов в H также ограничены сверху константой к. Однако ограниченная древовидная ширина свойственна не всем гиперграфам. Так, если H - полный n-вершинный граф Kn, то tw (Kn)=n-1. Существуют отличные от Kn гиперграфы, для которых значение tw(H) растет с увеличением п. Типичный образец - гиперграф H, для которого L(2)(H) -«сетка» - граф, составленный из правильных многогранников так, что любые два соседних многогранника имеют лишь одно общее ребро.
4. Проблема вычисления древовидной ширины
Согласно следствию 1 задача нахождения древовидной ширины гиперграфа H сводится к задаче определения древовидной ширины обыкновенного графа L(2)(H), ассоциированного с H и представляющего отношение смежности его вершин. Обе эти задачи являются NP-трудными. Между тем, существуют классы гиперграфов, для которых задача установления древовидной ширины полиномиально разрешима. Один из таких классов образуют гиперграфы, для которых граф L(2)(H) хордальный [3]. Более узкий класс составляют М-ациклические (их также называют а-ациклические) гиперграфы. Гиперграф H является М-ациклическим тогда и только тогда, когда он комплектный и граф L(2)(H) хордальный [7]. Напомним, что граф хордальный, если любой его простой цикл длины />4 обладает ребром, соединяющим две несмежные вершины этого цикла.
Уже сложилась традиция для вычисления древовидной ширины гиперграфа H переходить к графу L(2)(H) и применять алгоритмический багаж, разработанный для определения древовидной ширины обыкновенных графов [1]. К настоящему времени этот багаж включает в себя разнообразные инструменты. Во-первых, известны точные неполиномиальные по времени алгоритмы нахождения древовидной ширины графа, основанные на методе динамического программирования и методе ветвей и границ. Во-вторых, разработаны FPT-алго-ритмы (Fixed-Parameter Tractab/e algorithms), способные при фиксированном значении k за время O(2knO(1)) дать ответ на вопрос, не превышает ли древовидная ширина п-вершинного графа значения к. В-третьих, найдены точные алгоритмы полиномиальной сложности для некоторых классов графов. В-четвертых, предложены различные схемы приближений и эвристические алгоритмы, позволяющие за полиномиальное время находить значения, близкие к истинному значению древовидной ширины графа. Большинство приближенных и эвристических алгоритмов опираются на свойства хордальных графов. Суть этих алгоритмов состоит в следующем: вначале по определенной стратегии или эвристике создается минимальная триангуляция заданного графа (минимальное пополнение его до хордального графа), затем находится дерево клик для минимальной триангуляции. Данное дерево определяет некоторое (не обяза-
тельно оптимальное) дерево декомпозиции исходного графа, а его ширина служит верхней оценкой древовидной ширины этого графа. К сожалению, такой подход вычисления древовидной ширины не учитывает всего многообразия структурных особенностей гиперграфа Н, ведь граф Ь{2){Н) несет в себе лишь часть информации об Н.
В настоящей работе предлагается использовать в полном объеме информацию о структуре исходного гиперграфа на этапе предварительной обработки. Вначале предобработка гиперграфа, а затем традиционный подход вычисления древовидной ширины через триангуляцию графа смежности вершин. Цель предобработки - за полиномиальное время безопасно {без потери оптимальности) снизить размерность задачи вычисления древовидной ширины гиперграфа. Далее представлены два рекуррентных метода предобработки гиперграфа для вычисления древовидной ширины. Первый метод основан на безопасном редуцировании гиперграфа с помощью алгоритма распознавания свойства М-ацикличности гиперграфа, а второй -на безопасном разложении гиперграфа множествами сочленения.
5. Безопасное редуцирование гиперграфа
Существуют различные определения свойства М-ацикличности гиперграфа; отдельные из них отражены в теореме 1.
Теорема 1 [4, 7]. Для связного гиперграфа Н={Х,Ц) следующие высказывания эквивалентны:
1) Нявляется М-ациклическим гиперграфом;
2) Нкомплектный и его граф Ь{2){Н) хордальный;
3) для Нимеется дерево соединений, которое есть остовное дерево наибольшего веса взвешенного реберного графа Ь{Н) и которое изоморфно дереву клик графа Ь{2){Н);
4) алгоритм Грэхема завершается успешно;
5) Н не содержит нетривиальных блоков. Высказывание 3 теоремы 1 указывает способ
построения дерева декомпозиции М-ациклическо-го гиперграфаН. В самом деле, пусть Ь{Н)={и,Е) -взвешенный реберный граф гиперграфа Н={Х,Ц) и Т- остовное дерево для ЦН). Это остовное дерево Т называется деревом соединений гиперграфа Н, если для любой вершины гиперграфа хеХ множество индексов {¡е]\хеХ{и),и,еи} порождает в Т связный подграф, образующий поддерево дерева Т. Ясно, что дерево соединений отвечает всем требованиям дерева декомпозиции {М, Т) гиперграфа Н, если в качестве «мешков» рассматривать множества Х{и;),и;е и, т. е. полагать, что каждый «мешок» содержит вершины только одного ребра гиперграфа Н. Отсюда с учетом следствия 1 и высказывания 3 теоремы 1 вытекает
Следствие 2. Любое дерево соединений М-аци-клического гиперграфа Н является оптимальным деревом декомпозиции этого гиперграфа и МН)=г{Н)-1.
Таким образом, если {и,т)-гиперграф Н обладает свойством М-ацикличности и число его ребер
полиномиально зависит от числа вершин, то для него всегда можно построить оптимальное дерево декомпозиции за время и0{1). Для этого достаточно вначале создать взвешенный реберный граф Ь {Н), а затем найти в Ь {Н) остовное дерево наибольшего веса, используя надлежащие алгоритмы [5]. Распознать свойство М-ацикличности можно также за полиномиальное время с помощью алгоритма Грэхема [4]. Данный алгоритм редуцирует гиперграф Н путем последовательного применения к Н следующих операций: СУВ - слабое удаление висячих вершин; СУР - слабое удаление кратных и вложенных ребер - минимизация текущего гиперграфа. Пусть в результате редуцирования Н получен гиперграф гвй{Н). Считается, что алгоритм Грэхема успешно завершен и Н обладает свойством М-ацикличности, если гвё{Н)={0,0). Доказано [4], что операции СУВ и СУР сохраняют связность редуцируемого гиперграфа, не разрушают все имеющиеся в нем блоки и не порождают новых блоков. Все это свидетельствует о наследственности свойства М-ацикличности относительно операций алгоритма Грэхема.
Исследуем, как влияют операции алгоритма Грэхема на древовидную ширину гиперграфа. Согласно лемме 1 для связного гиперграфа Н всегда №{№)=№№) т. е. операция СУР не изменяет древовидной ширины этого гиперграфа. По лемме 2 слабое удаление произвольной вершины гиперграфа может приводить к уменьшению древовидной ширины. Однако операция СУВ предполагает слабое удаление лишь висячих вершин. Такие вершины постоянно имеются в минимальном М-аци-клическом гиперграфе.
Лемма 5. Всякая висячая вершина гиперграфа Н={Х, Ц) - симплициальная вершина графа Ь{2){Н).
Доказательство. Напомним, что вершина обыкновенного графа считается симплициальной, если ее окрестность - клика. Окрестность симпли-циальной вершины неизменно отделяет ее от всех других вершин графа, не входящих в эту окрестность. Пусть хеХ - висячая вершина гиперграфа Н={Х,Ц). Тогда в Н существует ребро иеЦ такое, что хеХ{и) и и{х)={ы}. Множество ^=Х{м)-{х} образует клику в Н, а также в Ь{2){Н). Значит, х - симплициальная вершина графа Ь{2){Н). Если предположить, что исходный минимальный гиперграф Н={Х,Ц) имеет |Ц|=т>1 ребер, то 5=Х{м)-{х} задает минимальный сепаратор, отделяющий вершину х от всех вершин из Х-Х{и) в Ни Ь{2){Н). Примечательно, что обратное высказывание леммы 5 верно только тогда, когда симплициальная вершина -висячая вершина графа Ь{2){Н).
Теорема 2. Пусть хеХ - висячая вершина гиперграфа Н={Х, Ц) такая, что хеХ {и), Ц {х)={и} и й=\Х{и)\-1. Пусть гиперграф Н'=Н{Х-х) получен из Н слабым удалением вершины х с последующей его минимизацией. Тогда
^ {Я)=тахК ^ {Я}}. {1)
Доказательство. Поскольку й=\Х{и)|—1, то Нсодержит клику размера й+1. Отсюда по лемме 3 вер-
но неравенство: d<tw(H). Исходя из лемм 1 и 2, W(H)<W(H). Значит, max{d,W(H)}<W(H). Теперь достаточно доказать, что W(H)<max{d,W(H')}. Пусть для Н'=Н11(Х-х) построено оптимальное дерево декомпозиции (М',Т) ширины W(H). Присоединим к нему два узла с «мешками» Х(и) и 8=Х(и)-{х}. Полученная пара (М,Т) является деревом декомпозиции для Н, поскольку 8=Х(и)-{х} по лемме 5 образует минимальный сепаратор, отделяющий вершину х от вершин Х-Х(и) в Ни Х(2)(Н), и именно через этот сепаратор узел с «мешком» Х(и) присоединяется к (М',Т). Ширина дерева (М,Т) составляет тах^^(Н)}. Следовательно, W(H)<max{d,W(H)}.
Равенство (1) определяет рекуррентное соотношение для задачи вычисления древовидной ширины гиперграфа, согласно которому размерность задачи снижается слабым удалением из гиперграфа некоторой висячей вершины и минимизацией полученного гиперграфа. Если исследуемый гиперграф Яобладает свойством М-ацикличности, то по теореме 1 последовательное применение к Н равенства (1) дает пустой гиперграф г^(Н) и оптимальное дерево декомпозиции для Н может быть найдено, как остовное дерево наибольшего веса взвешенного реберного графа Ь(Н) или как дерево клик графа Х(2)(Н). Если ^(Н)ф(0,0), то далее к гиперграфу red(H) надлежит применить традиционный подход вычисления древовидной ширины или подвергнуть его безопасному разложению множествами сочленения.
6. Безопасное разложение гиперграфа
Пусть гиперграф Н=(Х, Ц) обладает множеством сочленения 8. Обозначим через 7Ь72,...,Ут области связности гиперграфа Н(Х-8). Части Н1,Н2,.,Нт гиперграфа Н, как результат разбиения его множеством сочленения 8, определим следующим образом: Н=НДХ), где Х=^и8, /еТ={1,2,...,т}. Очевидно, что каждая часть Н в качестве ребер имеет только ребра гиперграфа Н причем те, которые инцидентны вершинам из ХрХ, т. е. Н! - подгипер-граф гиперграфа Н.
Теорема 3. Для произвольного множества сочленения 8 гиперграфа Н верно равенство:
(Н)=тахМН), ¿е!}. (2)
Доказательство. Исходя из лемм 1 и 2, Р№(Н)<Р№(Н) для любого Н=НДХ), где Х= ^8, ¿е!. Отсюда
тах^(Н),1е1}^(Н). (3)
Покажем теперь, что
tw(H)<max{tw(H),iеI}. (4)
Предположим, что значение максимума в правой части (4) равно 77. Тогда для каждого Н можно построить дерево декомпозиции ширины не более 7(¿е!). По лемме 3 в этом дереве обязательно найдется узел, «мешок» которого содержит сепаратор 8, т. к. вершины этого сепаратора образуют в Н клику. Дерево декомпозиции гиперграфа Н может быть сформировано путем добавления в каждое де-
рево декомпозиции, построенное для Н( ¿е!), дополнительного узла с «мешком» 8 и «склеиванием» данных деревьев посредством этого дополнительного узла. Несомненно, что ширина результирующего дерева декомпозиции не будет превышать 7 . Таким образом, из (3) и (4) следует (2).
Равенство (2) определяет рекуррентное соотношение для вычисления древовидной ширины гиперграфа Н через его части, полученные разделением Н множеством сочленения. Последовательное применение к Н равенства (2) порождает процесс, который завершается, когда каждая часть становится блоком гиперграфа Н. Результатом этого процесса выступают семейство блоков В(Н)={Н^е1} и семейство множеств сочленения 8(Н)={8,еТ} гиперграфа Н. Если гиперграф Н обладает свойством М-ацикличности, то по теореме 1 в В(Н) все блоки тривиальные. Тогда
W(H)=max{W(H■),iеI}=max{|X(u)И,uеU}=r(H)-1,
что отвечает следствию 2. Наличие хотя бы одного нетривиального блока в В(Н) свидетельствует о том, что гиперграф Н не является М-ацикличе-ским.
Согласно соотношению (2) процесс формирования В(Н) и 8(Н) для (и,т)-гиперграфа Н можно организовать следующим образом:
1) первоначально семейство В(Н) состоит только из Ни 8(Н)=0;
2) для каждого Н!еВ(Н) подгиперграфа гиперграфа Н находится множество сочленения. Если множество сочленения найдено, то оно добавляется в 8(Н), Н подвергается разбиению и полученные более мелкие части помещаются в В(Н). Если в Ц нет множества сочленения, то далее Н! исключается из обработки. Эти действия повторяются до тех пор, пока в В(Н) не окажется частей с множествами сочленения. Если для нахождения множества сочленения
использовать метки /¡¡=Х(и)сХ(и)ф0 реберного графа, ассоциированного с Н, то шаг 2 осуществим за время 0(т2). Всякий (и,т)-гиперграф содержит не более т блоков. Поэтому в целом весь процесс формирования В(Н) и 8(Н) можно реализовать за время и0(1) при условии, что число ребер гиперграфа полиномиально зависит от числа его вершин.
Заключение
Использование дерева декомпозиции гиперграфа с ограниченной древовидной шириной при решении КР-трудных задач комбинаторной оптимизации - один из современных подходов преодоления высокой вычислительной сложности таких задач. Между тем, сама задача вычисления древовидной ширины гиперграфа является КР-трудной. В данной работе предложены два рекуррентных метода предобработки гиперграфа, которые позволяют снижать размерность задачи вычисления древовидной ширины гиперграфа без потери оптимальности: безопасное редуцирование и безопас-
ное разложение гиперграфа множествами сочленения. Доказательство теорем 2 и 3 служит теоретическим обоснованием этих методов. Предложенные методы имеют полиномиальную вычислительную сложность и могут применяться независимо друг от друга. Однако для достижения наибольшего эффекта предобработки рекомендуется сочетать
эти методы. Конечно, существуют гиперграфы, для которых безопасное редуцирование и безопасное разложение гиперграфа множествами сочленения не приводят к желаемому эффекту. Поэтому перспективны исследования, направленные на разработку других методов безопасной предобработки гиперграфов относительно древовидной ширины.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bodlaender H.L. Discovering treewidth // Proc. of the 31st Conf. SOFSEM 2005, Springer-Verlag, Lecture Notes in Computer Science 3381. - 2005. - P. 1-16.
2. Robertson N., Seymour P.D. Graph minors. II. Algorithmic aspects of treewidth // J. Algorithms. - 1986. - V. 7. - P. 309-322.
3. Gogate V., Dechter R. A complete anytime algorithm for treewidth // Proc. of the 20th Conf. on Uncertainty in Artificial Intelligence. -2004. - P. 201-204.
4. Мейер Д. Теория реляционных баз данных. - М.: Мир, 1987. -608 с.
5. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. - М.: Наука, 1990. - 384 с.
6. Зыков А.А. Гиперграфы // Успехи математических наук. - 1974. - Т. 29. - Вып. 6. - С. 89-154.
7. Быкова В.В. М-ациклические и древовидные гиперграфы // Известия Томского политехнического университета. - 2010. -Т. 317. - № 2. - С. 25-30.
Поступила 24.02.2011 г.
УДК 004.94
МЕТОД ИНТЕГРАЦИИ СТРУКТУРНЫХ РАЗЛИЧИЙ В ГРАФОВЫХ МОДЕЛЯХ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ОПИСАНИЯ СТРУКТУР
В.К. Погребной
Томский политехнический университет E-mail: vkp@tpu.ru
Рассматривается проблема анализа структур графов на предмет оценки их подобия и выявления труднообнаруживаемых свойств. Предлагаются методы свободной и зависимой интеграции структурных различий и получения интегральных описателей структур (ISD). Введено понятие области интеграции различий для класса структур и разработаны правила её формирования. Предложенные методы составили основу новой технологии анализа структур с помощью ISD, названной ISD-технологией.
Ключевые слова:
Структура, структурные различия, метод интеграции структурных различий, интегральный описатель структур (ISD), область интеграции для класса структур, ISD-технология анализа структур Key words:
Structure, structure differences, the method of integration of structural differences, integral structure descriptor ( ISD), area of integration for the class of structures, ISD-technology analysis of structures
Введение
Графовые модели широко используются для визуального и математического представления структурных свойств объектов в самых разных предметных областях: радиоэлектроника, энергетика, транспорт, связь, химия, биология. Модели, отражающие сетевую природу исследуемых объектов, часто оказываются конструктивными и наряду с решением задач анализа могут непосредственно использоваться в задачах синтеза.
Построение графовой модели предполагает разбиение объекта на компоненты (вершины) и установление отношений между ними (рёбер). Вершинам и рёбрам могут приписываться различные атрибуты, которые отражают конкретные свойства соответствующих компонентов и связей между ни-
ми. Использование таких атрибутов при построении графовых моделей позволяет учесть специфику объектов, но при этом приходится иметь дело с различными видами графов и гиперграфов.
Учитывая, что данная статья ограничивается рассмотрением только структурных свойств объектов, необходимость в использовании атрибутов отпадает. Поэтому, следуя базовому определению понятия структуры как совокупности элементов множества и связей между ними, в работе в качестве графовой модели принимается обыкновенный граф, который по определению отражает понятие структуры и соответствует цели исследования -разработке конструктивной математической модели формального описания структур, позволяющей однозначно представлять структуры и сравнивать
