Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для одномерного возмущения оператора свертки Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Первозванский A.A. Оптимальный портфель ценных бумаг на нестационарном неравновесном рынке // Экономика и математические методы. 1999. Г. 35, № 3. С. 63 - 68.

2. Дудов С.И. Внутренняя оценка выпуклого множества телом нормы // ЖВМ и МФ. 1996. Т. 36, № 5. С. 153 - 159.

3 .Демьянов В.Ф. Мапоземов В.Н. Введение в минимаке. М.: Наука, 1972.

4. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука,

1981.

5. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

УДК 517.984

С. А. Бутерин

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ОПЕРАТОРА СВЁРТКИ'

Рассмотрим интегральный оператор А = А(М ,g,v) вида Af=Mf + g(x)]f(t)v(t)dt, Mf =\M{x-t)f(t)di, 0<*<я.

0 0 V1)

В статье исследуется следующая обратная задача: по совокупности характеристических чисел {Х.^} оператора А(М ,g,v) вида (1) найти функцию М(х) в предположении, что функции g(;c), v(*) известны a priori. Пусть функция М(х) имеет вид

M(x)=-i+ ¡(x-t)N(t)dt, где (л-x)N(х)еЬ2(0,к).

о

(2)

Рассмотрим функцию//(ж), являющуюся решением уравнения

(3)

Н(х) = N(x) - i \H{t)dt ¡N(x)dx.

о о

Можно показать, что (л - .г)Н(х)е L2(0,n).

Определение. Будем говорить, что А = А(М ,g,v)& А, если М(х) имеет вид (2), ^(jc), v(jt) е И^1 [0, те], ахаг* 0, где

п/ , ^

= 1 + ig(0)v(0) + j ig\t) + \H(t - x)g{x)dx dt, a2 = ¿g(0M*) ■ oV о )

'Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект НШ-1295.2003.1) и Министерства образовании РФ (проект Е02-1.0-186).

Решение обратной задачи приведём для операторов класса А. В [1] доказывается теорема единственности решения данной обратной задачи.

ТЕОРЕМА]. Пусть А = Л(Л/А, тогда характеристические числа {Х.д}, к = 0,±1,±2,..., оператора Л имеют вид

Я.4=2*+а + р4, {рА}е/2, (4)

и выполняются условия согласования с функциями х):

р = -. а2 = усхр(/ал),

где

/> = -

+ у Г 1 о

^ к К)

оо .0

1П г

если а не является целым четным числом, и

71

1

9' » + 2 а Л-а/2 4=-оо,**-а/2

1

1

. У =

п

а

а/2

(5)

(6)

(6')

в противном случае. Здесь = 2к + а.

ТЕОРЕМА 2. Пусть заданы функции ¿'(х), у(х)е 1У2'[о,7г] такие, что ^(0)^(71)^ 0, и последовательность комплексных чисел £ = 0,11,12,..., вида (4), удовлетворяющих условиям согласования (5). Тогда существует единственный оператор е А, для которого {Хк} являются характеристическими числами.

Доказательству теоремы 2 предпошлем следующее утверждение.

ЛЕММА. Даны числа {А.*}, к =0,11,12,..., вида (4). Обозначим

® ( 1 Х(Х.)=ехр(рХ)П

к=-°о\. А "

ехр

* /

(7)

Тогда для Х(^) имеет место представление

Х(\) = у(1 - ехр(/(а - Х)я)) + ]и</)ехр(- Ш)сП,

о

где и{х)е£2(0,я), а числа р, у определяются по формулам (6) или (6'), смотря потому, ехр(еал)^1 или ехр(гая) = 1.

Схегма доказательства теоремы 2. Известно, что характеристические числа } оператора А вида (1) совпадают с нулями характеристической функции

о

где ¿»(х,А.) = (Е - ХМ% , Е - тождественный оператор.

9

11остроим функцию Х(А.) по формуле (7). Тогда согласно лемме для Х(Я,) справедливо представление (8). Как и в [1], приходим к нелинейному интегральному уравнению

(п-х)н(х) = <р(х) + X Ь1(х)Н*'(х)+ (*,<)//*'('>" 7=1\ О

(Ю)

где <р(*) = (ги^я - д:)— Ио(л ~ *))/«2> ^(¿М, Ь;(х)=1'+1(к-х)> / ]\, у > 2, функция и>(х) определена посредством (8), Н'1 = Н , II = Ы * Н'1, V Ы-х)'~2

В](х,г) =--*-^-(;(/ - 1)ц0(я - х + г) + - хК(я - * н /) +

22 Л

+

\ я

Следующий факт играет главную роль в доказательстве теоремы 2.

ТЕОРЕМА 3. Если выполняются условия (5), то уравнение (10) имеет единственное решение //(л), такое что (л — х)Н(х)е ¿2(0,к).

Итак, получив //(*), находим функцию М(х) из уравнения (3). Можно показать, что (к - х)ы(х)е 1.2{0,к). Таким образом, приходим к некоторому оператору А = А(М ,£,у) вида (1). Нетрудно показать [1, 2], что его характеристическая функция имеет вид

п

¿(А.)=а[ - а2 ехр(-Ля) + |Цг)ехр(-1'А./)с/г. ^

о

Вычитая (8) из (11) и учитывая (5), имеем ¿(А.) - Х{к) = а} - у и, так как в силу (7), (9) ¿(о)= Х(0) = 1, то а, = у. Следовательно, ¿(\)=Х(Х), а значит, А е Л, и характеристические числа оператора А совпадают с }. Единственность следует из единственности решения уравнения (10) [1]. Теорема 3 доказана.

Замечание. Из (6), (6') видно, что условия (5) в теореме 2 можно не накладывать, предполагая два элемента последовательности {А,* } незаданными.

Аналогичные результаты имеют место для случая, когда оператор М подобен любой целой положительной степени оператора интегрирования.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Нутерин С.А. О единственности восстановления одномерного возмущения оператора свёртки // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 15-18.

2. Юрко В.А. Обратная задача для интегральных операторов // Мат. заметки. 1985. Т. 37(5). С. 690-701.