CC BY
8
УДК 513.88: 517.948.3
Г.С. ПОЛЕТАЕВ
Одесская государственная академия строительства и архитектуры
НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СВЯЗИ РЕШЕНИЙ ПАРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СВЁРТКИ - II
Рассмотрено существование и связь между решениями абстрактных парных интегральных уравнений типа свёртки с произвольной и равной дельта-функции Дирака правыми частями. При сделанных предположениях даказана теорема - критерий с необходимым и достаточным условием такой связи. Процедура свободна от аппарата теории интеграла типа Коши, гёльдеровости функций.
Ключевые слова: интеграл, уравнение, парное, свёртка, банахова, алгебра, факторизация, проектор.
г.с. подетАев
Одеська державна академiя будiвництва та армтектури
НЕОБХ1ДНА ТА ДОСТАТНЯ УМОВА ЗВ'ЯЗКУ Р1ШЕНЬ ПАРНИХ ШТЕГРАЛЬНИХ Р1ВНЯНЬ ТИПУ ЗГОРТКИ - II
Розглянуте iснування та зв 'язок м1ж ршеннями абстрактних парних ттегральних ргвнянь типу згортки з довшьною та тieю, що дорiвнюe дельта-функци Дiрака, правими частинами. При деяких припу-щеннях доведено теорема - критерш з необхiдною та достатньою умовою такого зв 'язку. Процедура вi-льна вiд апарату теори ттеграла типу Кошi, умови Гельдера.
Ключовi слова: ттеграл, рiвняння, парне, згортка, банахова, алгебра, факторизаця, проектор.
G.S. POLETAEV
Odessa State Academy of Buildings and Architecture
A NECESSARY AND SAFFICIENT CONDITION FOR CONNECTION SOLUTIONS PAIRED INTEGRAL EQUATIONS OF CONVOLUTION TYPE - II
The connection between the solutions of the abstract convolution type paired intégral équations is considered. Right-hand side of the equations can be arbitrary and equal Dirac 's delta-function. The theorem - criterion of this connection is proved.Procedure is a free from the theory of Cauchy integral, Holder requirements.
Keywords: integral, equation, paired, convolution, Banach, algebra, factorization, projection.
Актуальность, постановка проблемы
Известна важная роль теории интегральных уравнений типа свёртки, в частности, парных, с ядрами от разности аргументов, а также круга проблем, связанных с их исследованием, в фундаментальных теоретических и прикладных вопросах математики, механики, теории некоторых видов дифференциальных и ин-тегро-дифференциальных уравнений, теории упругости, расчётов строительных элементов, математической и теоретической физики [1-14]. Общие элементы этой тематики связываются положениями строящейся автором теории уравнений в кольцах с факторизационными парами. Решение такого рода уравнений и смежных задач, в существенном, сопряжено с необходимостью преодоления серьёзных аналитических барьеров. Выяснением самого факта существования решений, разработкой неизвестных, при соответствующих предположениях, подходов к решению и исследованию. Поэтому получение новых общих результатов о разрешимости таких уравнений, возможных путях построения решений, формул их представления через известные величины, изучение свойств решений, возможных связей между решениями является актуальной задачей. Актуальна и разработка элементов точных методов, минимально опирающихся на теорию функций комплексного переменного и на теорию интеграла Фурье. Причём, свободных от аппарата теории интеграла типа Коши, требования гёльдеровости функций.
Анализ исследований и публикаций В рассматриваемом виде, изучаемые ниже обобщённые парные уравнения типа свёртки, при сделанных ниже предположениях, впервые, появились в работах автора. Они охватывают известные парные интегральные уравнения типа свёртки [1-4, 6, 10, 12-18]. Наиболее полная теория последних, в случае порождающих ядра функций к 2 (t) £ Li (-да, да), в целом классе E банаховых пространств построена в
[4]. В близкой к рассматриваемой в [12] и ниже постановке, но в других пространствах, эти парные интегральные уравнения изучались Черским Ю.И.; Черским Ю.И. и Гаховым Ф.Д. (1954, 1956; см. также [6]) при дополнительных ограничениях типа гёльдеровости функций. В этих исследованиях использован аппарат задачи Римана - Гильберта, на связь c которой впервые указал И.М. Рапопорт [1]. Наряду с этим, при изучении условия разрешимости некоторых видов уравнений разных классов, можно обнаружить существование свойства связи между решениями. При весьма общих предположениях, для них оказывается возмож-
ным, зная специальные решения, построить решения, соответствующие произвольной правой части. Это имеет место для ряда известных и новых классов уравнений. В том числе, важных при моделировании теоретических и прикладных задач [12 - 18, 21]. Например, обнаруживается связь между решениями, соответствующими произвольной и равной единице кольца (функций, матриц или абстрактных элементов, в котором отыскивается решение) правым частям. Для парных уравнений, в том числе типа свёртки, до работ автора, вопросы связи решений оставались не поставленными в общей форме и, в достаточно полном объёме, не были разрешены. База результатов установлена в [12]. Она связана с работами [1, 2, 4] - предшествующими составляющими замечательной истории исследования парных интегральных уравнений типа свёртки. В этих, а также иных работах, имеются и фрагменты историко-мотивационного характера [6].
Цель статьи
Целью статьи - второй части сообщения является доказательство сформулированной в представленной одновременно первой части: «Необходимое и достаточное условие связи решений парных интегральных уравнений типа свёртки - I », теоремы - критерия связи решений абстрактных обобщённых парных интегральных уравнений типа свёртки относительно неизвестной функции ф(1) вида:
ф(г) - | кх(г — ^)ф(s)ds = а5 + /(г), г < 0;
—да да
ф(г) — | к2(г — У)ф(s)ds = рб + g(г), г > 0.
(1)
Уравнения (1) при а=в=0; а,в е С являются известными парными интегральными уравнениями типа свёртки [1, 2, 4, 6, 10, 12, 13]. Предполагается, что:
к (г), к2 (г) ехр(сг} е Ц (—да, да); с е Р с > 0; (2)
да
[1 — Кх(Х)][1 — К2(Х — 1с)] * 0, —да < X < да;К/О := { ] = 1,2. (3)
—да
Основной материал и результаты
Доказательство необходимого и достаточного условия - критерия связи решений парных интегральных уравнений типа свёртки. Будем использовать обозначения, определения и общие положения из первой части сообщения. Для удобства, повторим формулировку доказываемой теоремы, а затем приведём, при рассматриваемых предположениях, доказательство теоремы-критерия непосредственно.
Теорема 3. Пусть к1(г), к2(г)ехр(сг) е Ц(—да, +да); с > 0, т.е. к1 е Ц, к2 е Ц<с>; с > 0, и выполнено условие (3), а парное интегральное уравнение с (1) с правой частью равной 5 (т.е. при при а5=р5=5; Ж^(0=0) имеет решение ф5 е Ь0пс, причём, фд=фд(х) = 5 + хх(г) е Ц0гс и
[1 + +Хх(Л — 1с) * 0, —да<Х<+да. (4)
Тогда для существования решений ф(г) е Ц0гс парного интегрального уравнения (1) с произвольной из всевозможных правых частей а5+/(г), -да<<0; в5+g(t), 0<1<®; где а,ре С; /, g е Ьогс с>^ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
а = в . (5)
При его выполнении, решение ф(г) е Ц0гс обобщённого парного интегрального уравнения типа
свёртки (1) с произвольной правой частью а5+/(г), -да<1<0; а5+ §(г), 0<г<да; аб С; /,щЕ Ц0гс; с > 0 в Ц0гс можно определить по формуле:
ф(г) = ф5 * (Р— (ф ]' * [5 + к ] * [а5 + /— ]) + р+ (ф ]' * [5 + к2 ] * [а5 + g+ ])}(г), (6)
где ф1,5+ к1 (:=[5— к1 ]0 )е Ц; \фб ]с ,5 + к2 (:=[5— к2 ]с )е Ц< с> - обратные в Ц , Ц< с> ,
соответственно, для решения ф5 е Ц г Ц< с> и для коэффициентов
[5 — к1 (г)] е Ц, [5 — к2 (г)] е Ь< с> , с > 0 парного уравнения (1).
Доказательство. Необходимость. Пусть при сделанных предположениях элемент ф е Ц0гс является решением уравнения (1). Тогда, используя введенные обозначения и проекторы, заключаем:
да
[(5 - к) * КО]- = а5 + /_ -), [(5 - к) * ф)]+ = Р5 + (г).
Отсюда, применяя к обеим частям каждого из записанных равенств проектор р°, получаем:
р0 [(3-к)*ф] = р0[а5 + /_] = а5;р0 [(3-к2)*ф] = р\Р5 + в + ] = 05
Используя теперь гомоморфические свойства проектора р , заключаем, что ф 1 =а3 = р3 и условие (5) действительно имеет место.
Достаточность. Пусть предположения теоремы 3 выполнены, имеют место условия (3) - (5) и в формуле (6): <р3 = <р3{1) = 5 + хх(1) е Ь0Г)С (с > 0), - удовлетворяющее условию (4) решение парного
интегрального уравнения (1) с правой частью равной присоединенной единице 5(= )) ; а
Ы0,ЫС;5 + к1,] =1,2 - обратные в банаховых алгебрах Ь, С), соответственно, элементы. Их существование гарантирует вариант теоремы Н. Винера, так как выполнены условия (3), (4)). Знаками « +, - » при функциях отмечено применение используемых проекторов [12]. Тогда:
([5 - к] *ф5 )- = ([5 - к2] *ф5 )+ =5. Поэтому, [5- к1] * р5 = 5 + а+ ,[5- Л2] * ф5 = 5 + а-; где а+ е Ь+, а- 6 Ь - некоторые элементы и справедливы представления:
[ф5]0 = [5 + а+ ]0 *[5-*1],[ф5]С =[5 +а-]С *[5-k2]. (8)
Используя свойства представления Гельфанда элементов банаховых алгебр функциями на максимальных идеалах, получаем ещё такие представления:
[р5 ] 0 = 5 + х£(х^ е Ь); [р5]С = 5 + х^(х^ е Ь<С> ), а с помощью (8) заключаем, что
р0[[5 + «+ ]0] = р0[[5 + о_ ]С ] = 5. (9)
Легко видеть, что при любой правой части уравнения (1) с а = Р; а, Ре С; /, g е ¿0ПС, с > 0 правая часть формулы (6) определяет некоторую функцию (элемент) у(:) е Ь^0ПС. Переписывая уравнение (1) с помощью введенных обозначений в краткой форме (7) и подставляя этот элемент у() е Ьдпс в левую часть (1) вместо ф(), в результате преобразований с учетом сделанных замечаний, включая (9), получим:
р -[{(5 - к) *р}(/)] =
= р -[ {(5 - к) *ф *{р_ (ф ]0 * [5 + к1] * [а5 + /_ ]) + р + + ]С * [* + к2] * [а8 + g+])}}}(/)] = = р"[ {(5 - к!) * р 5 * {ф ]0 * [ 5 + к1] * [а5 + /_ ] - р + (ф ]0 * [ 5 + к1] * [а5 + ) ] +
+р- [{( 5 + а+) * {р + (ф ]С * [ 5 + к2] * [а5 + g+ ])}}(/)] =
= а5 + /_(Г) -р0[{[5 + а+ ]0 *[а5 + /_]}(Г)] + р0[{(5 + а+)*{р+ ([5 + а_]' *[аЗ + g+ ])}}(Г)] = = а5 + /_ (0 -ар 0[[ 5 + а+ ]0(0] + ар0[[5 + а_ ]С (Г)] = а5 + /_ (0-а5 + а5 = а5 + /_ (Г).
Аналогично проверяется, что р + [{( 5 - к2) * ф}(?)] = а5 + §+. Стало быть, действительно, формула (6) определяет решение уравнения (1) в рассматриваемой ситуации. Достаточность, а с нею и теорема доказана.
Общая формула представления решения ф д , в предположении существования соответствующего типа факторизаций некоторых элементов, строящихся по ядрам парного интегрального уравнения вида (1) при с>0, имеется в [12].
Иногда нахождение решения ф 5 упрощается [17]. В частности, так может оказаться в случаях, когда порождающие ядра уравнения вида (1) функции к] (t), ] = 1,2 принадлежат соответствующим подалгебрам Ь, Ь(с). Например, если при условиях теоремы 3 будет к1 ^) = к1 + ^) е Ь+, к2^) = к2-) е Ь-с), решением уравнения (1) с правой частью равной 5 (= 5 )) оказывается сама функция 5 (= 5 )) . Для такого решения ф 5 = 5), условие (4), очевидно, выполняется; формула связи решений (6) упрощается и принимает вид:
р(г) = {р- ([8 + к1 ] * [а8 + /_ ]) + Р+ ([8 + ] * [а8 + ])} (0. (10)
Укажем, что ряд положений к теореме 3 и аналогичным, для рассматриваемого случая с > 0, можно получить, используя факторизационные теоремы 1, 2 из результатов [15], установленных для абстрактных парных уравнений в кольцах с факторизационными парами:
(а1х)~ = с-, (а2х)+ = Ь + . (11)
Пример. Рассмотрим в качестве примера уравнение:
ад
х (г к (г - ^) х (^) = с (г), г < 0,
(12)
ад
х (г)- | к2 (г - ^) х (^) ds = Ь+(г), г = 0;
—ад
где, к (г) = |>2г ]+ ; к (г) = [е5г ]_ ; с" = с" (г) = С- (г) е П, Ь+ = Ь (г) = Ь+ (г) е Ь+.
Полагаем,
а = 8 (г) - к (г) ;а 2 = 8 (г) - к 2 (г); (13)
то есть: а1 = 8-[е"21 ] ;а2 = 8-[е5г] . Решением р8 при с" = с"(г) = 8,Ь+= Ь+ (г) = 8, 5 = 8(г)очевидно, будет р8 = 8(г) - функция Дирака. Можно установить, что для функций (13), обратными в Ь будут: а'(г) = 8 + [е- ] ; а'2 (г) = 8 + [е4 ] . При любых с~ = с" (г) = с (г) е Ь,
Ь + = Ь+ (г) = Ь+ (г) е Ь условие (5), очевидно, выполнено: а = в = 0. Следовательно, в силу теоремы 3 решение р(г) е Ь уравнения (12) существует и допускает представление в виде:
р(г) = [а;. с-] +[>2 * Ь+Х= [№ ]+)* с )]-+[(8 + [ е4' ]- )* »*(')>
= с-( г) + {[ е]* с "(г)} + Ь+ (г) + {[ е4г ] * Ь+( г)}+ . Отсюда, в Ь :
р (г) = с- (г) + Ь+ (г) + {(е-<)+ * с- (г)}_ + {[е« ]_ * Ь+ (г)}+. (14)
Результаты о парных уравнениях освещались автором, в частности, в рамках Международной конференции имени академика М. Кравчука в Киеве, КПИ-2010, 2012; - Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике», в Москве, МГТУ-2013, а также в ОГАСА [21] и других.
Выводы и перспективы
Имеются важные, в том числе ранее неизвестные положения исследований по теории интегральных уравнений типа свёртки, которые можно получать единым подходом. При нём, среди прочих, используются элементы строящейся теории уравнений в кольцах с факторизационными парами. Удаётся, не опираясь на теорию задачи Римана, сократить использование аппарата преобразований Фурье, снять условие гёльдеро-вости функций, охарактеризовать разрешимость уравнений и связь решений соответствующих произвольным и специальным правым частям. При весьма общих условиях, без требований гельдеровости функций, доказана теорема с необходимым и достаточным условием (- критерием) связи их решений, соответствующих произвольной и равной присоединенной единице, исходных банаховых алгебр, правым частям. Использовались применяемые непосредственно к соответствующему случаю банаховых алгебр подходы, развиваемые для уравнений в абстрактных кольцах с факторизационными парами [15 - 17, 20]. При установлении вида формулы связи, существенно использованы варианты теоремы Н. Винера и факторизационных теорем [2, 4, 12 -14, 19, 20]. Результаты имеют теоретическое и практическое значение. Могут использоваться в соответствующих ситуациях при изучении конкретных примеров уравнений рассматриваемого вида (1). В перспективе возможно насыщение круга применимости новыми конкретными фактами для подклассов уравнений, исследование свойств связи для других специальных решений рассмотренного и иных классов уравнений.
Список использованной литературы
1. Рапопорт И.М. О некоторых «парных» интегральных и интегро-диффер. уравнениях // Сборник трудов института математики АН УССР. - Киев: Институт математики АН УССР. -1949. -12. - С. 102-118.
2. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов / М.Г. Крейн // Успехи мат. наук. — 1958. — № 13, Вып. 5(83). — С. 3—120.
3. Попов Г.Я. О спаренных интегро-диффер. уравнениях изгиба лежащей на упругом основании неограниченной плиты кусочн-постоянной жесткости// Изв. высш. учебн. завед., Матем. - №1, 1957. - С. 195-209.
4. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. О парном интегральном уравнении и его транспонированном I // Теорет. и прикл. математика. - Изд.-во Львовского ун.-та, 1958. - Вып. 1. - С. 58-81.
5. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. — М.: Наука, 1968.
— 512 с.
6. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. — М.: Гос. изд-во физ.-матем. лит., 1963. — 640 с.
7. Попов Г.Я. Метод факторизации и его численная реализация. Учебное пособие / Г.Я. Попов, П.В. Керекеша, В.Е. Круглов; под ред. проф. Г.Я. Попова. — Одесса: Одесский гос. университет, 1976. — 82 с.
8. Учебное пособие. Редактор: проф. Попов Г.Я. - Одесса: Одесский гос. университет, 1976. - 82 с.
9. Попов Г.Я. Контакт. задачи для лин.деформ. основан. Киев-Одесса: ВШ, 1982.-168 с.
10. Мхитарян С.М. О некотор. плоских контакт. задачах теор. упруг. с учётом сил сцепл. и связ. с ними интегр. и диффер. уравн. // Изв. АН Армянской ССР. Механика. - 1968. - XXI, №5-6. - С. 3-20.
11. Черский Ю.И. Керекеша Д.П. Метод сопряжения аналитических функций с приложениями / Ю.И. Черский, П.В. Керекеша, Д.П. Керекеша. — Одесса: Астропринт, 2010. — 552 с.
12. Акопян В.Н. Замкнутые решения некоторых смешанных задач для ортотропной плоскости с разрезом / В.Н. Акопян, Л.Л. Даштоян // Современные проблемы механики деформируемого твердого тела, дифференциальных и интегральных уравнений: Тезисы докладов международной научной конференции (Одесса, 2013 г.). — Одесса, 2013. — С. 12.
13. Полетаев Г.С. Парное уравнение типа свертки с ядрами из различных банаховых алгебр // Укр. матем. журн. — 1991. — 43, № 6. — С. 803—813.
14. Полетаев Г.С. Парш рiвняння типу згортки з ядрами з рiзних банахових алгебр абсолютно штегрова-них з вагою функцш// НАУКОВ1 В1СТ1 Нацюнального техшчного ушверситету Укра1ни «Кшвський полггехшчний шститут». - №4(24) , 2002. - С. 143-148.
15. Полетаев Г.С. Парные уравнения типа свёртки с ядрами из разных банаховых алгебр абсолютно интегрируемых по весу функций// Мiжнародна наукова конференщя iменi академжа М. Кравчука, 16 - 19 травня 2002 р., Кшв. Матерiали конференций - Кшв, 2002. - С. 349.
16. Полетаев Г.С. Абстрактный аналог парного уравнения типа свертки в кольце с факторизационной парой // Укр. матем. журн. — 1991. — 43, № 9. — С. 1201—1213.
17. Poletaev G.S. Connection of solutions of the abstract paired equations in the rings with factorization pairs// Birkhauser Verlag Basel/Switzerland, Operator Theory: Advances and Applications, Vol. 191. - 2009.- P. 479
- 484.
18. Полетаев Г.С. Критерий связи решений абстракт. парного уравн. в кольце с факторизационной парой// XIII МНК iм. акад. М. Кравчука.- НТУУ (КП1) травень 2010 р., Кшв. Матерiали конф. - Кшв, 2010. - С.-220.
19. Полетаев Г.С. Связь решений парных интегральных уравнений типа свёртки// XIY МНК iм. академша М. Кравчука. - НТУУ (КП1) квггень 2012 р., Кив. Матерiали конференци II. - Кшв, 2012. - С.-193.
20. Гельфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца. - М.: Физматгиз, 1960. — 316 с.
21. McNabb A., Schumitzky A. Factorization of Operators - I: Algebraic Theory and Examples// J. Funct. Anal. -1972. - 9, №3. - P. 262-295.
22. Полетаев Г.С. Критерий связи решений парных матричных уравнений с проекторами// В1СНИК ОДАБА. - Одеса, 2013. - вип. 50, ч. 1. - С. 229 - 244.
