Неньютоновское течение структурированных систем. I. теория равновесного и неравновесного состояния течения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 541. 182. 022: 532. 135 Е. А. Кирсанов

НЕНЬЮТОНОВСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СТРУКТУРИРОВАННЫХ СИСТЕМ. I. ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНОГО И НЕРАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЧЕНИЯ NON-NEWTONIAN FLOW OF STRUCTURED SYSTEMS. I. THEORY OF EQUILIBRIUM STATE FLOW AND NON-EQUILIBRIUM STATE FLOW

Московский государственный областной социально-гуманитарный институт, Коломна, Московская область. E-mail: Kirsanov47@mail.ru

Представлена обобщённая модель течения, предназначенная для описания равновесного и неравновесного состояния течения структурированных систем. Обсуждаются механизм течения, гидродинамический подход и кинетический подход к проблеме.

Ключевые слова: неньютоновское течение, структурированные системы, уравнения реологической модели.

The generalized flow model is suggested for the description of the equilibrium and nonequilibrium state flow of structured systems. The flow mechanism, hydrodynamic approach and kinetic approach are discussed.

Key words: non-Newtonian flow, structured systems, equations of rheological model.

Недавно разработанная реологическая модель [1 - 3] позволяет описывать стационарное пластичное и псевдопластичное течение любых структурированных дисперсных систем [4 - 11]. Однако отмечалось, что обобщённое уравнение течения (или уравнение Кэссона как его частный случай) справедливо для равновесного течения или для течения, близкого к равновесному состоянию [10, 12, 13]. Неравновесное состояние течения типично для тиксотропных систем и некоторые теоретические подходы к проблеме отражены в работах [3, 12, 13]. Имеет смысл рассмотреть в целом теоретические вопросы, связанные с равновесным и неравновесным течением дисперсных и полимерных систем.

1. Механизм течения

Обобщённое уравнение течения получено из новой реологической модели [1 -3], которая представляет собой обобщение микрореологической модели Кэссона [14], распространение ее на реальные агрегаты частиц и дополнительное объяснение коэффициентов реологической модели на основе кинетических уравнений разрушения-восстановления агрегатов (на базе модели Кросса [15]). Предлагаемый механизм течения состоит в диссипации энергии вязкого течения при обтекании совокупности агрегатов и отдельных частиц при условии их гидродинамического взаимодействия, возможного разрушения агрегатов за счет разрывающих гидродинамических сил и объединения при столкновениях частиц и агрегатов.

Под структурированной системой понимается система, состоящая из частиц (твёрдых частиц, капель, мицелл или макромолекул), которые способны объединяться в

© Кирсанов Е. А., 2012

агрегаты, причем агрегаты двигаются как единое целое в течение определённого времени в процессе сдвигового течения. Структурированная система становится неструктурированной при значительном снижении концентрации дисперсной фазы, при котором агрегаты исчезают. Структура системы включает в себя совокупность агрегатов разного размера и отдельных частиц. Равновесное состояние течения достигается, если измеряемая экспериментально величина не изменяется с течением времени (стационарное течение), а процессы разрушения и восстановления структуры при этом находятся в динамическом равновесии. Это означает, что среднее число агрегированных частиц и средний размер агрегатов при данной скорости сдвига не изменяются с течением времени. Равновесное состояние течения является обратимым, т. е. гистерезис отсутствует.

В рамках гидродинамического подхода [1] аналогом реальной дисперсной системы является система идеальных модельных цилиндров, которые способны разрываться под действием растягивающих гидродинамических сил и объединяться при столкновениях (рис. 1).

Рис. 1. Аналогия между реальными агрегатами и модельными цилиндрами.

Отдельная частица соответствует цилиндру с минимальным осевым отношением

Вязкость системы при простом сдвиговом течении определяется потерями энергии при обтекании внешней поверхности цилиндров, поэтому в уравнения для диссипации энергии и растягивающей гидродинамической силы входит осевое отношение цилиндра J. Предполагается, что существует минимальное осевое отношение j модельного цилиндра, которое соответствует размеру отдельной частицы. Максимальное критическое осевое отношение Jc соответствует максимальному размеру реального агрегата, при превышении которого он разрывается под действием гидродинамических сил. Вводится функция распределения числа цилиндров по осевому отношению соответствующая некоторому распределению реальных агрегатов по размерам. Для упрощения расчёта принимается, что существует одинаковое число цилиндров с большими и малыми осевыми отношениями, то есть используется равновероятная функция распределения «прямоугольной» формы ¥ (J) = 1/(у - j^.

Критическое осевое отношение цилиндра Jс определяется равновесием (балансом) между разрывающей цилиндр гидродинамической силой FH и силой сцепления FS, откуда

2. Гидродинамический подход. Равновесное состояние течения

где а - коэффициент, связанный с гидродинамическим взаимодействием модельных цилиндров [1 - 3], который используется как подгоночный параметр, не зависящий от скорости сдвига, г 0 - вязкость дисперсионной (жидкой) среды. Коэффициент X прямым образом вводится нами для ограничения величины осевого отношения при нулевой скорости сдвига. Разрыв агрегата частиц соответствует разрыву модельного цилиндра; сила сцепления, нормированная к площади сечения модельного цилиндра равна FA = F 8 / ж г2 , где г - радиус сечения модельного цилиндра, соответствующий усреднённому радиусу частицы. Среднее осевое отношение ансамбля модельных цилиндров равно

/ ^ Л1/2

J = -/ 3

!а_

3г0 а V 0 У

,-^А (2)

у ^2 + X 3

и соответствует среднему размеру реального агрегата частиц.

В результате обобщения реологической модели Кэссона получено [1] обобщённое уравнение течения

г 1/2

г1'2 = —^-¡7. + г,с1Пг1П. (3)

1 + х/у1/2 с

которое состоит из двух частей.

Первое слагаемое описывает диссипацию энергии, возникающую при обтекании агрегатов среднего размера (или модельных цилиндров с осевым отношением J^);

второе слагаемое соответствует диссипации энергии при обтекании отдельных частиц (или модельных цилиндров с минимальным осевым отношением у). Значение предельной эффективной вязкости при у ^ да равно г = г/ ; в этом предельном случае агрегаты полностью разрушены. Если коэффициент х равен нулю, то размеры агрегата (или осевое отношение модельного цилиндра) неограниченно возрастают при у ^ 0 . В

этом случае наблюдается нелинейное пластичное течение, коэффициент г^ приобретает

смысл предельного динамического напряжения и имеется тенденция к образованию сплошной сетки (каркаса) при нулевой скорости сдвига. Если х больше нуля, то размеры агрегата (или осевое отношение модельного цилиндра) остаются конечными при бесконечно малой скорости сдвига, при этом наблюдается псевдопластичное течение.

Коэффициент г с характеризует степень агрегации системы, он уменьшается

при уменьшении объёмной концентрации Ф и равен нулю, если агрегаты отсутствуют. В последнем случае наблюдается ньютоновское течение, которое описывается уравнением

г1/2 г1/2 у1/2 г1/2 у1/2 (4) г = гс ■у = г:м У . (4)

Таким образом, обобщенное уравнение течения сводится к уравнению Ньютона или к уравнению Кэссона при нулевом значении одного из трёх реологических коэффициентов. Оно описывает ньютоновское течение, нелинейное пластичное течение и псевдопластичное течение структурированных систем.

Аналитические зависимости двух коэффициентов от объёмной концентрации Ф дисперсной фазы имеют следующий вид:

1/2 1/2

гс = г0

и-г,

■1 - kфJ

г1/2 _ г1/2 1 с ~ 10с

V1 - к 2 фу

^А2

- 1

(6)

откуда коэффициенты к, А, к2, А2 , а также нормированная сила сцепления FA могут быть рассчитаны [2] по реологическим данным.

Можно допустить, что уравнение (4) одинаковым образом описывает зависимость эффективной вязкости от концентрации как в условиях неньютоновского течения при бесконечной скорости сдвига (Ло _ г/с ), так и в условиях ньютоновского течения

при низкой концентрации дисперсной фазы („о _ Л ^ ) В обоих случаях агрегаты отсутствуют. Тогда получим соотношение

— А *

„о_ Лы _Лс _Ло(1 — кф) , (7)

где л о - вязкость ньютоновской дисперсионной среды. В таком случае коэффициенты к и А* (где А *= 2 А) характеризуют гидродинамическое взаимодействие при движении отдельных частиц (или модельных цилиндров с минимальным осевым отношением) и не связаны с какой-либо реальной упаковкой частиц в агрегатах. Выражение (7) совпадает по форме с известным уравнением Кригера-Догерти для зависимости вязкости суспензий от концентрации.

Обобщённое уравнение течения можно также представить как зависимость вязкости от скорости сдвига:

12

„V2 ___!с________+ „1/2 (8)

Л Л/2 „с У ’

У' + Ж

1/2 1/2

или „12 _ „12 + Л(°) , (9)

° 1 + (1/ х) У12

где „( 0) - предельное значение вязкости при нулевой скорости сдвига, представленное уравнением

1/2

„12(°)_ Тс_ + „ V2. (10)

х с

Ясно, что реальные частицы и агрегаты в дисперсных системах не являются идеальными цилиндрами. Поэтому необходимо сделать допущение, что общие закономерности диссипации энергии вязкого течения одинаковы для реальных дисперсных систем и для системы модельных цилиндров. Это означает, что функциональные зависимости напряжения сдвига (или эффективной вязкости) от скорости сдвига, выраженные уравнениями (3), (8), (9) должны быть справедливы для реальных дисперсных систем с агрегатами произвольной формы, состоящими из частиц любой формы и размеров и в дисперсионных средах различной природы и вязкости. Кроме того, предполагается, что в определённых системах также выполняются функциональные зависимости (5) и (6) коэффициентов реологического уравнения от объёмной концентрации Ф.

3. Кинетический подход. Равновесное состояние течения

1

В рамках кинетического подхода [2] аналогом реальной дисперсной системы являются некие частицы, которые движутся в вязкой жидкости, образуя агрегаты при

столкновениях и разделяясь на отдельные частицы за счёт теплового движения и при воздействии растягивающих гидродинамических сил. Кинетические уравнения процессов разрушения и восстановления агрегатов получены методом, сходным с выводом уравнения Кросса [15], но с учётом ранее описанного гидродинамического подхода.

Кинетическое уравнение для состояния системы задано следующим образом:

dN 2

л М2 -(*„ + ка12 N 2, (11)

где Ы2 - число частиц, объединенных в агрегаты, N - полное число частиц в единице

объема, к2 - константа скорости формирования агрегатов, к0 — константа скорости

к „■ 12

спонтанного разрушения агрегатов, к1у - константа скорости разрушения агрегата под действием растягивающих гидродинамических сил. Допустим, что в равновесном состоянии течения скорость агрегирования равна нулю, т. е. (^2/ Ж) = 0, откуда

N * к

2 - 2 (12)

0

Звездочкой здесь и далее обозначено равновесное состояние течения.

Введём уравнение для эффективной вязкости по аналогии с подходом Кросса, но учитывая наличие степени (1/2) в реологических уравнениях:

V1'2 = пУ- + bn (13)

где В - некоторая постоянная, возможно, зависящая от концентрации.

Из (12) и (13) легко получить выражение

*12 *12 т^лт * BNk -

П 12 -П » = BN2 = ~ ,/2 2 ~ . (14)

к, у1/2 + к

0

Представим обобщённое уравнение течения в виде

*1/2

*1/2 *1/2 Г с

V 1/2-ЛС1П = * с .1/2 . (15)

X + 7

Сравнение уравнений (14) и (15) позволяет определить значения коэффициентов обобщенного уравнения течения через константы скоростей в кинетическом уравнении со-

„ *1/2 =„*1/2

стояния, а именно: 4-х, =чс ,

X* = ~о/~1, (16)

г *С 2 = BN(~2/ к,). (17)

Коэффициент „*1/2 не определяется через константы скоростей кинетического

уравнения, поскольку относится к обтеканию системы отдельных частиц вязкой дисперсионной средой (имеется только гидродинамическое взаимодействие между частицами). Коэффициент Кэссона г *С 2 прямо пропорционален константе скорости формирования агрегатов к2 и обратно пропорционален константе скорости разрушения

агрегатов под действием гидродинамических сил ( к1).

Коэффициент х выражает соотношение между скоростью спонтанного разрушения агрегата (например, под действием теплового движения частиц или в результате

соударений агрегатов) и скоростью разрушения агрегата в сдвиговом течении под действием растягивающих гидродинамических сил.

Если спонтанного разрушения агрегатов не происходит, то k 0 = 0, что приводит

к выражениют 1/2 = ц *^2 у12 + ВЫк2 /кх, которое переходит в обычное уравнение

Кэссона при условиях: т *с 12 = ВЫк2 / ~ и г/*с 12 = л *1оэ/2 .

Число частиц, объединенных в агрегаты, можно выразить соотношениями:

Ык2/ к = 1 т*1/2

2=~о/к + у1/2= в х*+^2

в X

N *2 Л*1'2 -Цхп

1 т*1/2

N *2(0)=V-, (19)

N2(о) л*1/2(0)-€п (Vк0)у1/2 +1 1+у1/2/X

(20)

1

4. Гидродинамический подход. Неравновесное состояние течения

В условиях неравновесного течения происходит уменьшение или увеличение размеров агрегатов с течением времени при постоянной скорости сдвига, что сопровождается уменьшением или увеличением вязкости. Такие системы обычно называют тиксотропными, для них характерно пластичное течение с предельным напряжением сдвига. Чтобы ввести тиксотропные свойства в реологические уравнения, необходимо установить характер зависимости реологических параметров от времени.

Предположим [3,12,13], что в неравновесном состоянии течения также существует некоторая функция распределения ¥ (I) модельных цилиндров по осевому отношению. Ей соответствует эквивалентная монодисперсная система цилиндров с осевым отношением I (у). Отклонение этой функции распределения от равновероятной

функции ¥р (I) будем учитывать с помощью коэффициента отклонения от равновесия £, который вводится следующим образом в выражение для осевого отношения:

I г = - £ I + а, (21)

/ 3 с

где а = 4/3 j, величина j есть осевое отношение наименьшего модельного цилиндра, соответствующего отдельной частице.

Равновероятному распределению цилиндров по осевому отношению соответствует равенство £ =1. В соответствующей реальной дисперсной системе существует равновесное состояние, где имеется некоторое распределение агрегатов по размерам, сохраняющееся в процессе течения при данной скорости сдвига. Если £ > 1, то в распределении модельных цилиндров по осевому отношению преобладают длинные цилиндры (соответственно, агрегаты больших размеров в реальной системе). Если £ < 1, то преобладают короткие цилиндры (или агрегаты малых размеров в реальной дисперсной системе). Чтобы ввести коэффициент отклонения £ в уравнения обобщённой

модели течения, достаточно заменить величину ^12 на величину (£^12). Отклонение системы от равновесия прежде всего скажется на коэффициенте т с, в первом прибли-

жении пренебрегаем изменением коэффициента вязкости Кэссона Лс . Можно описать отклонение от равновесия в виде

1/2

£ = ^, (22)

Ь *1/2

т !

с

где звездочкой отмечено равновесное состояние течения. Уравнение Кэссона для неравновесного состояния течения принимает вид:

т>/2 = £т12 Л2 • ^ (23)

Будем использовать коэффициент £ при описании неравновесного состояния реальных дисперсных систем, предполагая, что он примерно равен отношению линейных размеров агрегатов при неравновесном и при равновесном течении. С помощью коэффициента отклонения £ можно описать изменение кривых течения в сериях последовательных опытов (увеличение или уменьшение скорости сдвига): или ТТТ,

начальную кривую течения и установившуюся (равновесную) кривую течения.

Предположим, что образец тиксотропной дисперсной системы длительное время находится в сдвиговом течении при скорости у. Это означает, что течение можно считать равновесным при данной скорости ^, функция распределения (1) является

равновесной и соответствует равновероятной функции распределения Ч ^( I) в системе модельных цилиндров. Соответствующая эквивалентная монодисперсная система модельных цилиндров имеет осевое отношение

' / (», )=3 к (*)+3

/2

где к (,>1 М*Л/3Ла *1)'2.

Пусть скорость сдвига «мгновенно» увеличивается до величины ^2, что соответствует пошаговому изменению скорости сдвига. Распределение ч,( I) модельных

цилиндров по осевому отношению становится неравновесным, а именно, преобладают цилиндры с осевым отношением, которое больше, чем равновесное осевое отношение при новой скорости сдвига у ^. Изменение структуры суспензии с течением времени приводит к новой равновесной функции распределения ^2 (I), которая соответствует скорости сдвига у ^. Сразу после увеличения скорости сдвига (от у до у^ ) осевое отношение становится функцией скорости сдвига у ^ и времени измерения t :

■?/(;, Г2 )= £(t) 3~с (?>2)+ 3 j . (25)

Для исходного неравновесного состояния течения получим при t = 0

•'/КНИ^И./'. (26)

Здесь коэффициент отклонения £ 0 показывает отклонение от равновесного (равновероятного для модельных цилиндров) состояния в начальный момент времени t = 0. Запишем для конечного равновесного состояния при t ^ го следующее соотношение:

^2 ) = 31с (2 )+3 І •

Допустим, что новая "неравновесная" структура, существующая непосредственно после повышения скорости (при t = 0), совпадает со старой «равновесной» структурой, существовавшей до повышения скорости. То есть

(28)

(27)

Jf (°’ ^2 )= J ** ( 1 )'

Отсюда легко рассчитать коэффициент отклонения от равновесия £ 0 в момент времени t = 0:

3 с

(h)

4

+ 3

12

(29)

с X 2/ V 1 У

Примем для описания процесса перехода от неравновесной к равновесной структуре обычную экспоненциальную форму:

'*/ (?’ ^ 2 )=[-7/ (° ^ 2 )- У * (°°’ ^ 2 )] е - '2,

Тогда коэффициент отклонения равен

.-К (31)

+ J ^(*’ У 2 )-

(3°)

Здесь предполагается, что %* = £(<х>) = 1, поскольку равновероятное распределение модельных цилиндров считается также равновесным. Выразим £(t) через отношение коэффициентов Кэссона гЦ2и V2; допуская, что коэффициент вязкости г/ с незначительно изменяется с течением временем (параметр a = const).

В итоге получим выражение

с2

_с___

*1/2

-1

-1

v h У

-if

(32)

или в логарифмической форме

ln

1/2

Л/2

-1

= ln B - if , где B =

V ^1 У

12

-1

(33)

Поскольку экспериментальные результаты обычно представляют в виде функции т (f) при j = const , то перепишем уравнение (32) в виде:

т( t ) = т*+ 2т* V2r* V2 B. e -1 + т* B 2 e - 21t, v * c c

* 1/2 * 1/2 1/2 . 1/2

где т ' = т^ ' + ц’ у

(34)

с с

Таким образом, зависимость т (t) в первом приближении описывается двумя экспоненциальными зависимостями с показателями X и 2X, причем при больших скоростях сдвига преобладает первая экспонента. Из уравнения (32) следует, что при постоянном отношении скоростей 2/j 1) величина тс зависит только от времени измерения. Это означает, что для каждого сечения (t = const) кривых r(t, fi) можно построить «прямую Кэссона». Поскольку в реологических измерениях принята логарифмическая шкала изменения скорости сдвига, то отношение (fj+1/ у j) не изменяется при переключении скорости в ходе эксперимента, что позволяет получить серию «прямых» Кэссона

2

e

т

с

т

2

т

с

с помощью сечений кривых т ((). Отметим, что впервые отношение скоростей сдвига

При равновесном состоянии течения существует распределение агрегатов по размерам (от минимального размера до максимального критического размера), которое в среднем сохраняется с течением времени при фиксированной скорости сдвига. Неравновесное состояние системы проявляется либо как избыточное содержание крупных агрегатов, при котором происходит разрушение агрегатов с течением времени

^N2/dt) < 0; либо как избыточное содержание малых агрегатов, при котором происхо-

дит объединение агрегатов с течением времени ^N2/dt) > 0 . Таким образом, количество агрегированных частиц в неравновесном состоянии больше или меньше равновесного значения. В экспериментах неравновесные состояния могут возникнуть в первом опыте с увеличением скорости 1 Т (преобладание больших агрегатов) или во втором опыте с уменьшением скорости сдвига 2 X (преобладание малых агрегатов). Опыты

3 Т, 5 Т ... соответствуют состоянию течения, более близкому к равновесному. Будем

называть состояние течения квазиравновесным, если существует отклонение агрегатов от равновесного размера, но кривая течения описывается обобщённым уравнением течения или уравнением Кэссона [3, 12, 13]. Состояние течения с преобладанием малых агрегатов описывается соотношением

dN^ к к к

—^ = М2 - (к + к у ) N 2 > 0, (35)

dt

т. е. число агрегированных частиц растет и со временем достигает некоторого равновесного значения. Отсюда следует неравенство

Можно перейти от этого неравенства к равенству, вводя некоторый коэффициент отклонения от равновесного состояния £ :

писать £ >1. Кроме того, в зависимости от времени измерения величина £ (¿) изменяется, приближаясь в итоге к равновесной величине £* = 1. Уравнение для вязкости неравновесного течения введем следующим образом:

(;К }+1/У}) было использовано при анализе тиксотропной системы в работе [16], где кривая течения была приближённо описана степенным законом Оствальда.

5. Кинетический подход. Неравновесное состояние течения

N к 2

--< ——к------

N к0 + к у1/2

(36)

(37)

N к 0

N2 1

1

(38)

Л-1/2 = ^2 + BN 2, (39)

где N2 = N2 + AN2. (40)

Здесь AN2- дополнительное, избыточное число агрегированных частиц. В состоянии равновесия АЛ2 = 0. Если в системе преобладают крупные агрегаты, то АЛ2>0, что предполагается для опыта 1 Т. Если в системе преобладают малые агрегаты и отдельные частицы, то АЛ2 <0, что характерно для опытов 2 X, 4 X ....

Для у ^ 0 запишем выражение Г)1/2(0) = 771/2 + ВЛ2(0) , отсюда

АТ „„1/2 1/2

N2 V -V*

N2(0) v1/2(0) -ч1/2 Совмещая (38) и (41) получим

„1/2 „1/2 Л дг

V -V* 1 N

2

(41)

(42)

т?12(0)-?/2 1+(Vк0)г1/2 N2(0)

Используя уравнения (38), (39), (41) можно получить выражение

1/2 12 В^№к ъ

? - ? = 2 = ----к-. (43)

к, Г + к0

Сравним выражение (43) с обобщенным уравнением течения для «квазиравно-весного» течения, представленным в виде

т1/2

?1/2-?1/2 = -^тттг . (44)

* + У

Отсюда, получим значения коэффициентов реологического уравнения через константы скорости и коэффициент отклонения от равновесия:

г!'2

--£BN{k2 / k ) (45)

X = ko/ V (46)

Учитывая, что г ** 2 = BN{k2 / k), получим соотношение

Т1П

£ = -*¡72, (47)

где £ > 1 для состояния с преобладанием крупных агрегатов, £ < 1 для состояния с преобладанием малых агрегатов и отдельных частиц. Таким образом, мы определили физический смысл коэффициента £ из кинетических уравнений состояния системы.

Используя уравнения (35) и (37) можно определить скорость агрегации через значение коэффициента отклонения от равновесного состояния £ :

^ = Ж20 - £). (48)

dt

Квазиравновесное состояние течения при £ = const соответствует, таким образом, некоторой постоянной скорости агрегации дисперсной системы, которая имеет одну и ту же величину при каждом новом измерении в процессе определения кривой течения.

Исследование высокопарафинистой нефти показало [¡2, ¡3], что в опыте 1 Т преобладают крупные агрегаты, в опытах (3 Т,5 Т ...) достигается состояние, близкое к

равновесию, в опытах (2 X,4 X ...) преобладают малые агрегаты и отдельные частицы.

Представленная простая модель объясняет поведение коэффициентов агрегирования системы г с при гистерезисе кривых течения [12, 13]:

£>1, Мг > 0, т, Т> г*,

£ < 1, AN2 < 0, тс X <тс*, откуда тс t> тс X . (49)

К сожалению, невозможно аналогичным образом объяснить поведение коэффи-

циентов вязкости Кэссона при гистерезисе течения, а именно:

•v,1/2 I ^ ,v,;1/2 ^ 1/2 ф /zf\\

Vc X> Vc > Ve 1 (50)

Это связано с чисто гидродинамической природой коэффициента V,1 2 . Возможно, что смещение равновесия в сторону агрегации, которое соответствует увеличению числа частиц в агрегатах N2, приводит к уменьшению «гидродинамического объёма» (кФ) отдельных частиц и, соответственно, к уменьшению коэффициента V11 / 2 .

Список использованной литературы

1. Кирсанов Е. А. // Жидкие кристаллы и их практическое использование. 2006. Вып. 1/2. С. 21 - 30.

2. Кирсанов Е. А., Ремизов С. В., Новоселова Н. В., Матвеенко В. Н. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 2 : Химия. 2007. Т. 48. № 1. С. 22 - 26.

3. Кирсанов Е. А. Течение дисперсных и жидкокристаллических систем. Иваново: Иван. гос. ун-т, 2006. 232 с.

4. Матвеенко В. Н., Кирсанов Е. А., Ремизов С. В. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 2 : Химия. 2006. Т. 47. № 6. С. 393 - 397.

5. Кирсанов Е. А., Тимошин Ю. Н., Новоселова Н. В., Матвеенко В. Н. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 2 : Химия. 2006. Т. 47. № 6. С. 387 - 392.

6. Кирсанов Е.А. // Жидкие кристаллы и их практическое использование. 2004. Вып. 2 (8). С. 57 - 65.

7. Кирсанов Е. А. // Жидкие кристаллы и их практическое использование. 2007. Вып. 1. С. 21 - 30.

8. Кирсанов Е. А. // Жидкие кристаллы и их практическое использование. 2007. Вып. 2. С. 54 - 62.

9. Кирсанов Е. А., Тимошин Ю. Н. // Жидкие кристаллы и их практическое использование. 2008. Вып. 1. С. 14 - 23.

10. Кирсанов Е. А., Тимошин Ю. Н. // Жидкие кристаллы и их практическое использование. 2008. Вып. 4. С. 62 - 72.

11. Кирсанов Е. А. // Жидкие кристаллы и их практическое использование. 2009. Вып. 4 (30). С. 16 - 25.

12. Kirsanov E. A., Remizov S. V. // Rheol. Acta. 1999. Vol. 38. P. 172 - 176.

13. Матвеенко В. Н., Кирсанов Е. А., Ремизов С. В. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 2 : Химия. 2001. Т. 42. № 5. С. 363 - 368.

14. Casson N. // Rheology of disperse systems / ed. C. C. Mill. London: Pergamon Press, 1959. P. 84 - 104.

15. Cross M. // J. Colloid Sci. 1965. Vol. 20. P. 417 - 437.

16. Kemblowski Z., Petera J. // Rheol. Acta. 1979. Vol. 18. P. 702 - 710.

Поступила в редакцию 21.08.2012 г.