Нелокальная задача с нелинейным интегральным условием для гиперболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.3

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С НЕЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

В. Б. Дмитриев

Самарский муниципальный институт управления,

443084, Самара, ул Стара-Загора, 96.

E-mail: dmitriev_v.bamail.ru

Рассматривается задача для гиперболического уравнения с нелинейным интегральным условием вместо стандартного граничного. Задача рассмотрена в пространстве произвольной размерности. Доказаны существование и единственность решения.

Ключевые слова: нелокальная задача, нелинейные условия, гиперболическое уравнение, априорная оценка, обобщенное решение.

Введение. Математическое моделирование ряда процессов, изучаемых в физике, химии и биологии, нередко приводит к постановке нелокальных задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Ранее краевые задачи для гиперболических уравнений на плоскости с интегральными условиями были исследованы Л. С. Пулькиной в работах [1, 2], Д. Г. Гор-дезиани и Г. А. Авалишвили в работе [3], А. И. Кожановым и Л. С. Пулькиной в работе [4]. Исследования нелокальных задач с интегральными условиями показали, что стандартные методы для их изучения часто оказываются неприемлемыми без соответствующих модификаций.

В настоящей работе доказана однозначная обобщённая разрешимость задачи с нелокальным условием, содержащим значение производной от искомого решения на границе. Однако как интегральное условие, так и правая часть нелинейны по и — в отличие от работы [5].

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

в цилиндре Qт = {(х, т) : х € П С К”, 0 < т < Т}, где П — ограниченная область в К” с гладкой границей, и поставим для него задачу с начальными условиями Коши:

и нелокальным условием

Дмитриев Виктор Борисович — доцент кафедры математических методов и информационных технологий; к.ф.-м.н.

и(х, 0) = <p(x), ut(x, 0) = ф(х)

(2)

(3)

где <^(х), ф(х), К(х, у, т, и(у, т)) —некоторые заданные функции, а Бт = = {(х, Ь) : х € д О, 0 < Ь <Т} —боковая поверхность цилиндра Qт. Здесь

П

(Щ = а^г, v{2 ^ ^2 а%з(х, Ь)&£,- ^ К2, V > 0.

*,.7 = 1

Стандартным образом получим следующее тождество:

т

— і

0 п

пт + ^2 а. (х, і)их, ^Хі + ^ І)ихіV + Ь(х, і}и^+

г,.7 = 1 г=1

\ т *

+ „ОМ)™, — / (к^г^.гт*гь* =

0 дП 0 п

т

= У J /(х , і, п}ь(х, і} дхді + 1 ф(х}у(х, 0} дх. (5) 0 п п

Определение. Назовём обобщённым решением, из ^^(^т} задачи (1)—(4) функцию и(х , і} Є ^21(^т}, удовлетворяющую условию (2) и тождеству (5) для любой функции V Є W21(Qт} такой, что у(х, Т} = 0.

Основным результатом работы является следующая Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

|/(х, і, и1} — / (х, і, и2}| ^ Н (х, і}|и1 — и2|, |/(х, і, 0}| ^ В (у, і} Ух Є П;

|К(х, у, т, щ} — К(х, у, т, и2}| ^ Е(у, т}|и1 — и2|,

т

0п

шах( Ят V

К2(у, і} (Іуді = К1 < ж, ^ (х, у, і, 0}| ^ Г (у, і} Ух Є П;

/(/ Г (у, т} дт = Мз < ж;

В(х, і} Є ^д^т}, ^(х} Є W21 (П}, ф(х} Є ^(П};

т

|аг|, |5П ^ ^1, / вирН(х, і} ді = С < ж.

' У хЄП

0

г а СО даі дЪ

ді , дхі , ді

Тогда задача (1)-(4) имеет единственное обобщенное решение из W1(Qт)■ Далее в статье получена априорная оценка, доказывается единственность решения, затем при помощи априорной оценки устанавливается существование решения.

2. Априорная оценка и доказательство теоремы. Рассмотрим уравнение

Lw = f (x, t, w). (6)

Пусть w(x, t) € W%(Qt) —решение этого уравнения, удовлетворяющее нелокальному условию

п t

п dw ( (

^2 aij{x, cos(n, Xi) = K(x, у, t, w(y, t)) dy dr. (7)

ij=1 j T 0 П

Введём обозначения:

/п

(w2 + w2 + ^2 aijwxiw j dx,

П i>j=1

2c|Q|M3 + sup z(£) = z1(t), A(t) = supH(x, t), где c — некоторая константа. 0^£^t xen

В итоге приходим к оценке, верной для любого t € [0, T]:

z?(t) ^ р(г)гЦо) + q(t)\\B\\2yhQt + r(t), (8)

где p(t), q(t) и r(t) определяются постоянными c, M3, G, Ri и величиной t. Это энергетическое неравенство, позволяющее оценить энергетическую норму решения w(x, t) через начальные данные Коши и f (x, t, w), доказывается так же, как и априорная оценка в работе [5], но с рядом усложнений—задача более общая, и вывод нужных неравенств более тонок. Так, для наших

Г ti +t

целей нужно оценить интеграл вида / A(t) dt (где ti + t ^ T) для произ-

Jti

Г T

вольного ti. Из условия / A(t) dt < ж, и в силу абсолютной непрерывности

J0 г ti+t

интеграла Лебега имеем / A(t) dt < е, как только мера Лебега множества

ti

E = [ti, ti +1] достаточно мала: y(E) = t < 5.

Доказательство единственности решения. Пусть задача (1)—(4) имеет два обобщённых решения ui и U2 из W2i(Qt). Тогда их разность U = Ui — U2 € W21(Qt) удовлетворяет равенству

пп

-UtVt + ^2 aij(x, t)uxjVxi + ^2 ai(x, t)uxiv + b(x, t)utv dxdt— о n 4 i>j=i i=i '

t t

Hv(x' t)U {K {x-y t ui(y t )]—K {x'y t' U2(y't »}dydTdsdt—

0 dn on

T

f (x, t, ui) — f (x, t, u2))vdxdt = 0 (9)

0n

и при Ь = 0 обращается в нуль. Возьмём в этом равенстве

( 0, при р ^ Ь ^ Т,

у(х’ Ь) = I I и(х, т) <1т, при 0 < Ь < р.

(10)

Подставим V из (10) в (9) и выразим и, щ и их через V и их производные.

После преобразований, учитывая условия VI и условия теоремы, получаем

П

Г' ' ' ™ VХj иХ

П ЯР

и

і=0

= 0, V*

і=0

0

і=р

У V2(x,p)+^2/ аЧ (х,і) V* Vxi йх ^ С1 J (v2 + |Vv|2) йх+С1р J V2 йхйі+

і=0

р

Яр

+ 2

У У (/(х, І, иі) — /(х, і, u2))v йх йі

0 п

(11)

Здесь Сі зависит только от М и ^і

(■о

г

Введём функции дг(х, Ь) = / их(х, т) ё,т. Преобразуя (11) и воспользо-

вавшись произволом в выборе р, получаем:

J (и2(х, ^ + ¿5* (ж, с1х < j У ^2(ж, т) + ^#2(ж, т)^ с1х с1т.

П г=1 О П г=1

Здесь с2(р) = С1(2 +р + р2) + С^/р. Это в силу неравенства Гронуолла [6,

с. 23], где д(Ь) = 0, означает, что / I и2(х,р) + ^ д2(х, р) I ^х = 0, и тогда

./П V г=1 /

и(х, р) = 0 и д^х, р) = 0 при р € [0, 7], где 7 = ), 1/(4С2)^. По-

вторяем рассуждение для Ь € [7, 27], и так в конечное число шагов докажем обращение и(х, Ь) в нуль для всех Ь € [0, Т]. Единственность доказана. □ Доказательство существования решения. Воспользуемся методом Галёркина. Пусть (х)} есть фундаментальная система в ^^(О),

ортонормированная в £2(0), и пусть

N

N _

uN = ^ CN (Ь) 1£к(х) (12)

к=1

— приближённое решение, которое ищется из соотношений

/и п

[5^ аи(x, Ь)и^(x, 1)^1х<(х) + ^ а(x, Ь)и^(х ЬМ(х)+

і,3 = 1

І=1

+ Ь(х, і)щ (х, І) фі(х) йх — <рі К(х, у, Т, и (у, т)) йуйтйв—

дп 0 п

— (/(х, і, и (х, і)), ф{) =0, І = 1,2,... ,М, (13)

і

Л

Ск (0) = а$, —с%(*) ^ = (ф, <рк). (14)

N

Здесь —коэффициенты сумм vN (х) = ^2 ^ Vк (х), аппроксимирующих

к=1

при N ^ Ж функцию <^(х) в норме ^21(0).

Подставим (12) в (13) и после несложных преобразований и смены порядка суммирования получим

^ г / п п

+^2ск(1) ( ^2а^Х’ *)<Ркх^х)<Р1ХЛх) + '52аИРкп(х)<Р1(х) +

к=1 п ¿>.7=1 *=1

+ Ъ(р ы(х)<Рь (х)^ Лх — J <рг(х) J ! К^х, у, т,^Г^ (т )<рк (у)^ ЛуЛтЛв— дП о п к=1

- (f(кx,t, ^(Ь)Vк(х)) ,(Р^ =0, I = 1 2,■■■,N■ (15)

В силу условий теоремы коэффициенты системы (15) ограничены, а последнее слагаемое левой части (15) —ограниченная функция переменных ^(Ь).

Таким образом, система (15)—система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка по Ь для неизвестных ^(Ь), к =1, 2, ..., N, разрешенная относительно старших производных. Далее, f € Ь2,1^т),

V € ^21(0) и ф € £2(0). Следовательно, система (15) для любого N однозначно разрешима при начальных условиях (14) [7, с. 27].

Мы построили последовательность {uN}дг=г Для неё верна оценка (8). Из этой последовательности можно выделить подпоследовательность (за которой сохраним то же обозначение), которая будет сходиться равномерно по Ь € [0, Т] в норме £2(0) слабо к элементу и € £2(0) при всех Ь € [0, Т], при этом и € ^21(^т) [8, с. 214].

Более того, полученная последовательность будет сходиться равномерно по Ь € [0, Т] в норме £2(0) к элементу и € £2(0) для любого Ь € [0, Т] сильно. Чтобы доказать это, применяется лемма [9, с. 529] для случая т = 2. Более подробные выкладки приведены в [10].

Покажем, что и(х, Ь) есть обобщённое решение задачи (1)—(4). Начальное условие будет выполнено в силу отмеченной сходимости uN(х, Ь) к и(х, Ь) в £2(0) и того, что uN(х, 0) ^ V(x) в £2(0). Теперь умножим каждое из соотношений (13) на свою функцию й\(Ь) € ^^(0, Т), й\(Т) = 0, полученные равенства просуммируем по всем I от 1 до N и проинтегрируем по Ь от 0 до Т. После этого в первом члене выполним интегрирование по частям, тогда имеем равенство

/п п Л

^—uNVI + ^ а,ци£. vХi + ^ V + Ъи{уV + аuNиЛх^ ЛхЛЬ — /

От *’^=1 *=1 п

Лх—

*=о

Т *

VJJ К (х,у,т,пм (у, т)) йу йт йв йЬ =У / (х, Ь, пм )ийхсМ, (16)

0 дП 0 П Ят

N

справедливое для любой функции V вида ^ ((Ь) рI (х). Совокупность таких V

1=1

мы обозначим через MN. Переходя в (16) к пределу по {-^ }°=1 при фиксированном V из какого-либо Жщ, получим равенство (5) для предельной функции и при любой функции V € Ж^. При этом сильная сходимость {-^} к и

в £2(П) нужна для того, чтобы / / /(х, Ь, ^)v йх йЬ сходился при N ^ ж

7о Уп

сТ г гг *

N /

к / /(х,Ь,и,)ийхйЬ и чтобы / V K(кx,y,т,uN(у, т))йуйтйв сходил-

./о ■> П * ГдП Уо ./П

ся к / V К(х, у, т, и(у, т))йуйтйв.

дП 0 П

°°

Далее, Ж = У MN плотно в V2(От), а и € ^2 (От), следовательно, (5) N=1

будет выполняться при любой функции V € IV”1 (От). Таким образом, доказано, что предельная функция и(х, Ь) есть обобщенное решение из ^21(От) задачи (1)—(4).П

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пулькина Л. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения// Матем. заметки, 2003. — Т. 74, №3. — С. 435-445.

2. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения, 2004. — Т. 40, № 7. — С. 887-892.

3. Гордезиани Д. Г., Авалишвили Г. А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды// Математ. моделирование, 2000. — Т. 12, №1. — С. 94-103.

4. Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Докл. РАН, 2005. — Т. 404, №5. — С. 589-592.

5. Дмитриев В. Б. Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения// Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2006. — №2(42). — С. 15-27.

6. Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. — М.: Иностр. лит-ра, 1961. — 122 с.

7. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения: изд. 4-е. — М.: Наука, 1974. — 331 с.

8. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973. — 408 с.

9. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967. — 736 с.

10. Дмитриев В. Б. Нелокальная задача с интегральным условием для уравнения гиперболического типа// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2006. — № 42. — С. 35-40.

Поступила в редакцию 24/Х/2008; в окончательном варианте — 09/11/2009.

MSC: 35L70

NON-LOCAL PROBLEM WITH NON-LINEAR CONDITIONS FOR A HYPERBOLIC EQUATION

V. B. Dmitriev

Samara municipal management institute,

96, Stara-Zagora st., Samara, 443084.

E-mail: dmitriev_v.bamail.ru

Non-local problem with non-linear integral condition for the hyperbolic equation with random size space variables is studied. Existence of the unique generalized solution is proved,.

Key words: nonlocal problem, nonlinear conditions, hyperbolic equation, estimation, generalised solution.

Original article submitted 24/X/2008; revision submitted 09/II/2009.

Dmitriev Victor Borisovich, Ph. D. (Phys. & Math.), Dept. of Mathematical Methods and, Information Technologies.