НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ПЕРВОГО РОДА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

Научная статья DOI: 10.18287/2541-7525-2023-29-3-8-17

УДК 517.95 Дата: поступления статьи: 24.07.2023

после рецензирования: 31.08.2023 принятия статьи: 30.10.2023

Я.С. Бунтова

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, г. Самара, Российская Федерация E-mail: [email protected]. ORCID: https://orcid.org/0009-0003-7786-8019

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ПЕРВОГО РОДА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается задача с интегральными нелокальными условиями первого рода. Основной целью является доказательство однозначной разрешимости нелокальной задачи с интегральными условиями 1 рода, если ядра этих условий зависят не только от пространственной переменной, но и от времени. Показана эквивалентность нелокальной задачи с интегральными условиями 1 рода и нелокальной задачи с интегральными условиями 2 рода. Получены ограничения на входные данные, обеспечивающие единственность обобщенного решения поставленной задачи.

Ключевые слова: гиперболическое уравнение, нелокальная задача, интегральные условия, обобщенное решение.

Цитирование. Бунтова Я.С. Нелокальная задача с интегральными условиями первого рода для уравнения колебания струны // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия / Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2023. Т. 29, № 3. С. 8-17. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2023-29-3-8-17.

Информация о конфликте интересов: автор и рецензенты заявляют об отсутствии конфликта интересов.

© Бунтова Я.С., 2023

Яна Сергеевна Бунтова — аспирант кафедры дифференциальных уравнений и теории управления, Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34.

1. Постановка задачи

Рассмотрим в области Q = (0,1) х (0, Т), где 1,Т < ж, уравнение

ии - (а(х,г)их)х = /(х,Ь) (1)

и поставим следующую задачу: найти в области Q решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным

и(х, 0) = ф(х),щ(х, 0) = ф(х) (2)

и нелокальным условиям

,1 ,1

/ К\(х,1)и(х,1)йх = Н\(1), I К(х,1)и(х,1)йх = (3)

ио Jо

Будем считать, что а(х,Ь) > 0 в Qт.

Особенность поставленной задачи заключается не только в том, что условия (3) являются нелокальными интегральными условиями первого рода, но и в том, что их ядра К^(х,г) зависят и от переменной г.

Напомним, что нелокальными условиями принято называть соотношения, связывающие значения искомого в области О решения на некотором внутреннем многообразии и в точках границы области О.

В случае одной пространственной переменной нелокальные интегральные условия могут быть представлены следующим соотношением:

Г1

аи(х,г) + вих(х,г) + X К (х,г)и(х,г)йх = 0. (*)

Jo

Если а и в не обращаются в ноль одновременно, то условие называется интегральным условием второго рода.

Если а = в = 0, то условие называется интегральным условием первого рода. [3]

К настоящему времени имеется значительное количество статей, посвященых исследованию нелокальных задач с интегральными условиями [5-8; 11]. Разработаны методы исследования разрешимости нелокальной задачи с интегральными условиями второго рода [2; 5; 10]. Если в (*) в = 0, то эффективным оказался метод, впервые реализованный в [4] для многомерного уравнения. Если же в (*) а = в = 0, то есть нелокальные условия первого рода, при обосновании рассуждения возникает много трудностей, отмеченных и в статьях [2; 6; 9]. Одним из способов преодолеть возникающие трудности является сведение условий первого рода к условиям второго рода, причем так, чтобы они оказались эквивалентными. Условия на входные данные, обеспечивающие возможность этой процедуры, отражены в следующей лемме.

Лемма. Пусть

Кг(х,г) е с2(^Т),ф(х) е ш1(0,1),ф(х) е 12(0,1),н^г) е с2(0,т),

/(х,г) е Ь2(Ят), а(х,г),ах(х,г) е с(^т),

△ = к1(0,г)к2(1,г) - к(1,г)к2(0,г)) =0,тг е [0,т]

и выполняются условия согласования

/■ 1

Ki(x, 0)ф(х)сЪ = hi(0), [Ki(x, 0)'ф(х) + Kit(x, 0)ф(х)]сХ = hi(0).

ri J0

(4)

Jo

Тогда нелокальные условия первого рода (3) эквивалентны нелокальным условиям второго рода

с1 г I

ux(0,t) = aiiu(0,t) + ai2u(l,t)+ Pi(x,t)u(x,t)dx + 2 P2(x,t)ut(x,t)dx + Gi(t),

Jo Jo

A A

ux(l,t) = a2iu(0,t) + a22u(l,t)+ P3 (x,t)u(x,t)dx + 2 P^(x,t)ut(x,t)dx + G2(t),

Jo Jo

(5)

где а^^, Р.1 (х,г)^^(х,г) выражаются через К^(х,г), а(х,г), / (х,г), Ь^(г) и их производные.

Доказательство. Пусть и(х,г) удовлетворяет уравнению (1) и условиям (2), (3). Дифференцируя равенство (3) дважды по г, получим

(Ki(x,t)utt(x,t) + 2Kit(x, t)ut(x, t) + Kitt(x, t)u(x, t))dx = h 1 (t),

oi

(6)

o

(K2(x,t)uu(x,t) + 2K2t(x,t)ut(x,t) + K2tt(x, t)u(x, t))dx = h2(t).

Теперь выразим из уравнения (1) utt(x,t) и подставим в (6), получим

/ (Ki(x,t)(f + (a(x,t)ux)x) + 2Kit(x,t)ut(x,t) + KUt(x,t)u(x,t))dx = h"i(t),

Jol

/ (K2(x,t)(f + (a(x,t)ux)x) + 2K2t(x,t)ut(x,t) + K2tt(x,t)u(x,t))dx = hn2(t).

o

Проинтегрируем теперь слагаемые, содержащие uxx дважды, и получим

i K1(x,t)(a(x,t)ux)xdx = K1(l,t)a(l,t)ux(l,t) - K1(0,t)a(0,t)ux(0,t)+

Jo l

+K1x(0,t)a(0,t)u(0,t) - K1x(l,t)a(l,t)u(l,t) + (K1x(x,t)a(x,t))xu(x,t)dx,

Jo

1x - 1x 1x

lo

/ K2(x, t)(a(x, t)ux)xdx = K2(l,t)a(l,t)ux(l,t) - K2(0,t)a(0,t)ux(0,t)+ o l

+K2x(0,t)a(o,t)u(0,t) - K2x(l, t)a(l, t)u(l, t) + / (K2x(x,t)a(x,t))xu(x,t)dx.

o

Подставим (8) в (7)

i K1(x,t)fdx + K1(l,t)a(l,t)ux(l,t) - K1(0,t)a(0,t)ux(0,t) + K1x(0,t)a(0,t)u(0,t)-

o

A A

-K1x(l,t)a(l,t)u(l,t)+ (K1x(x,t)a(x,t))xu(x,t)dx + 2 Kn (x,t)ut(x,t)dx+

o lo

+ K1tt(x,t)u(x,t)dx = hV1(t), i Jo

/ K2(x,t)fdx + K2(l, t)a(l, t)ux(l, t) - K2(0, t)a(0, t)ux(0, t) + K2x(0,t)a(0,t)u(0,t)-

o

A A

-K2x(l,t)a(l,t)u(l,t)+ K2x(x,t)a(x,t))xu(x,t)dx + 2 K2t(x,t)ut(x,t)dx+

o lo

+ K2tt(x, t)u(x, t)dx = h"2(t).

o

(8)

(9)

в

o

Так как

Л = K1(0,t)K2(l,t) - K1 (l,t)K2(0,t)) = 0, то (9) можно разрешить относительно ux(0,t) и ux(l,t). Выразим их из (9) и получим нелокальные

условия второго рода:

d

где

ux(0,t) = anu(0,t) + a12u(l,t)+ P1(x,t)u(x,t)dx+

i Jo

+2 P2 (x, t)ut(x, t)dx + G1(t), o l

ux(l,t) = a21u(0,t) + a22u(l,t)+ P3 (x,t)u(x,t)dx+

i Jo

+2 P4(x, t)ut(x, t)dx + G2(t),

o

an := 1[K1x(0,t)K2(l,t) - K1(l,t)K2x(0,t)],

a12 := - fl[KMW,t) - K1(l,t)K2x(l,t)], a(0, t) Л

P1(x,t) := [a(x,t)K1x(x,t))xK2(l,t) - (a(x,t)K2x(x,t))xK2(l,t)+

+K1tt(x,t)K2(l,t) - K1(l,t)K2tt(x,t)],

P2(x,t) := 1 [K1t(x,t)K2(l,t) - K1(l,t)K2t(x,t)], a(0, t) Л

G1(t) := -aotjÂ(ÙK1 (x,t)K2(l,t) - K1(l,t)K2(x,t)]fdx+

+ h1tt(t)K2(l,t) - K1(l,t)h2tt(t)), a21 := a^lH [Kx(0,t)K2(0,t) - K1(0,t)K2x(0,t)],

а.22 := -△ [К1х(1,г)К2(0,1) - К1(0,Ь)К2х(1,Ь)],

Рз(х,г) := 1 [(а(х,г)К1х(х,г))хК2(0,г) - (а(х,г)К2хХх,г))хК1(0,г)+ а(1, г)А

+Кш(х,г)К2(0,г) - К1(0,г)К2и(х,г)],

Р4(х,г) := 1 [Ки(х,г)К2(0,г) - К1(0,г)К2г(х,г)], а(1, г)Л

С2(г) : = ,Лл(/ [К1(х,г)К2(0,г) - К1(0,г)К2(х,г)]/вх-а(1,г)А ./о

-нш(г)К2 (0,г) + К1(0,г)Н2и(г))-

Пусть теперь и(х,г) — решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2) и (5). Домножим уравнение (1) на К1(х,г) и проинтегрируем по отрезку [0,1]. Аналогичную процедуру проделаем с ядром К2(х,г), получим

1-1 /■ I 1-1

/ Ki(x,t)utt(x,t)dx — Ki(x,t)(a(x,t)ux)xdx = / Ki(x,t)fdx,

Jo Jo Jo

/ K2(x,t)utt(x,t)dx — K2(x,t)(a(x,t)ux)xdx = / K2(x,t)fdx.

o o o

Подставим (8) в (10). Но тогда выполняются и равенства (6), из которых получены условия (5). Равенства (6) запишем в виде

o

Эти условия можно свернуть таким образом:

/ (Ki(x,t)u(x,t))ttdx — h"i(t) = 0, Jol

/ (K2(x,t)u(x,t))ttdx — hn2(t) = 0.

o

(11)

at2 dt2

Cl

Ki(x,t)u(x,t)dx — hi(t)

o

ri

K2(x,t)u(x,t)dx — h2(t)

(12)

0.

Из условий согласования (4) вытекают начальные условия

Jl

(13)

Кг(х, 0)и(х, 0)с1х = Нъ(0),

, ■'о

д Г1

— у К1(х,1)и(х,1)ах\г=о = н[(0), т =1, 2.

Задача Коши (12), (13) имеет единственное решение

Г1

/ К1(х,г)и(х,г)йх = Н1(г),

3оI

/ К2(х,г)и(х,г)йх = ь,2(г),

о

что и означает выполнение условий (3).

2. Единственность решения задачи

Теперь рассмотрим частный случай этой задачи (1)-(3), в которой ядро представлено в виде К^(х,г) = Фъ(х)^ъ(г). Тогда условия (3) можно записать таким образом:

I Фь(х)Фг(г)и(х,г^х = Ы(г),% = 1,2. (14)

о

0

o

Будем считать, что ^¿(t) = 0 всюду в [0, T] и обозначим г( ) = Ti(t), тогда (14) можно представить так:

™i(t)

%

Ф1(х)и(х,г)с1х = Т1(г),

/ ^2(х)и(х,г)йх = Т2(г).

о

Условия (5) для этого частного случая выглядят следующим образом:

[1

их(0,г) = аци(0,г) + а12и(1,г) + Р1(х,г)и(х,г)йх + о^г),

3о1

их(1,г) = а21и(0,г) + а22и(1,г)+ Р2(х,г)и(х,г)йх + 02(г),

о

1

(15)

(16)

где

а.11 := △ [Ф>1 (0)Ф2(1) - Ф1(1)Ф2(0)], а12 := -0Щ)А [ф>1(1)ф2(1) - ф1(1)ф'2(1)],

Р1(х,г) ■= ЩЩ[ф'1ф2(1) - ф1(1)ф'2],

1 Г1

01(г) : = [ф1(1)ф2(х) - *1(х)Ф2(1)/х-

а(0, г)А ./о

-т1'(г)Ф2(1) + Ф1(1)т2'(г)),

а21 : = жй[Ф'Л0)Ф2(0) - Ф1(0)Ф2(0)], ^

а22 : = - 1[Ф[(1)Ф2(0) - Ф1(0)Ф2(1)],

Р2(х,г): = ^Г^(0) - Ф1(0)Ф2'], 1 г1

02(г) := (Уо [Ф1(0)Ф2(х) - Ф1(х)Ф2(0)]/йх-

-Т1 '(г)Ф2(0) + Ф1(0)Т2' (г)),

△ :=Ф1(0)Ф2(1) - Ф1(1)Ф2(0)=0. Введем понятие обобщенного решения. Следуя известной процедуре [1], считая что и — классическое решение, умножим равенство (1) на гладкую функцию, проинтегрируем по области Qт и, подставляя краевые условия, получим равенство:

/ / [-щг01 + аихух^хА + а21ь(1,г)а(1,г)ь^0,г)&+ ■1 о -1о Оо

+ а22v(l,t)a(l,t)vt(l,t)dt + / Р2(х,г)у(1,г)а(1,г)и(х,г)в,хвг-ио Jо Jо

Гт Гт

а^(0,^(0,^(0,^ - а12v(0,t)a(0,t)vt(l,t)dt- (18)

'о Jо

ст /Ч

Pl(x,t)v(0,t)a(0,t)u(x,t)dxdt =

t —

о о I т I

= , 0)ф(x)dx + / v(x,t)/dxdt.

ио Jо Jо

Определение. Обобщенным решением задачи (1),(2), (16) будем называть функцию и(х,Ь) е е Щ^^т), удовлетворяющую условию и(х, 0) = ф(х) и тождеству

/ / [—utvt + auxvx]dxdt - v(l,t)a(l,t)ux(l,t)dt + v(0,t)a(0,t)ux(0,t)dt = Л J0 J0 J0 (19)

= , 0)ф(x)dx + / v(x,t)/dxdt

ио Jо Jо

для любой функции ^и^х^) е Щ^^т),

где Щ1^) = Мх^) : v(x,t) е )^(х,Т) = 0].

Теорема. Если выполнены условия

а(х,г), а^х,г) € С(^т),

Ф € С2[0,1],Ъг(г) = 0 уг € [0,Т] а.12а(0, г) + а.21а(1, г) = 0,

апа(0, 0)£ + 2аиа(0, 0)^2 — а.22а(1, 0)$ > 0,

то существует не более одного обобщенного решения поставленной задачи.

Доказательство. Покажем, что существует не более одного решения задачи. Предположим, что существует два решения и\ и и. Тогда и = и\ — и,2 удовлетворяет тождеству:

¡■т А

/ / [—utvt + auxvx]dxdt + a21v(l,t)a(l,t)vt(0,t)dt+

J 0 Jo Jo

+ a22v(l,t)a(l,t)vt(l,t)dt + / P2(x,t)v(l,t)a(l,t)u(x,t)dxdt Jo T Jo Jo T

a11v(0,t)a(0,t)vt(0,t)dt — a12v(0,t)a(0,t)vt(l,t)dt—

Jo

Pi(x,t)v(0,t)a(0,t)u(x,t)dxdt = 0.

Ю Jo

,-t a

oo

Выберем в тождестве (18) с f (x,t) = 0 и ф(x) =0

v(x,t) = { T u(x,V)dV, 0 ^ I ^ 1, (21)

T 0,r < t < T.

t) = ^ J u(x, r])dr/, 0 ^ т,

Проинтегрируем по частям некоторые слагаемые:

— i i utudxdt =--f u2(x,T)dx,

i Jo Jo i % Jo i

auxvxdxdt =--(I atvXdxdt + a(x, 0)vX(x, 0)dx).

Jo Jo 2 Jo Jo Jo

Подставляя в (20), получим:

— — I [u2(x,t) + a(x, 0)vx(x, 0)]dx = — f i atv2xdxdt + f a2iv(l,t)a(l,t)vt(0,t)dt+

2 Jo 2 Jo Jo i Jo

+ a22v(l,t)a(l,t)vt(l,t)dt + / P2(x,t)v(l,t)a(l,t)u(x,t)dxdt—

Jo ^ Jo Jo ^

,-T ,-T

a11v(0, t)a(0, t)vt(0, t)dt — a12v(0,t)a(0,t)vt(l,t)dt—

o

P1(x, t)v(0, t)a(0, t)u(x, t)dxdt.

Ю Jo

t-T rl

oo

Проинтегрируем по частям и подставим в (22) такие интегралы:

1 „, 2,„ 1 ^

Г 1 1 Г

a11v(0, t)a(0, t)vt(0, t)dt = — -a11a(0, 0)v2(0, 0) — - a11at(0,t)v2(0,t)dt,

o 2 2 o

/ a12v(0, t)a(0, t)vt(l, t)dt = —a12a(0, 0)v(0, 0)v(l, 0) — a12at(0,t)v(0,t)v(l,t)dt—

Jo _ Jo

)v(0, t)v(

Ю Jo Jo

+P2 (x, t)v(l, t)a(l, t)]u(x, t)dxdt.

(20)

(22)

— a12a(0, t)vt(0, t)v(l, t)dt,

T Jo T

rT — — rT

a22v(l,t)a(l,t)vt(l,t)dt =--a22a(l, 0)v2(l, 0)--a22at(l,t)v2(l,t)dt.

Jo 2 2 Jo

Учитывая условия теоремы a.12a,(0,t) + a.21 a(l,t)=0, получим:

/ [u2(x,r) + a(x, 0)vx(x, 0)]dx = — / atv2xdxdt + [ацв(0, 0)v2(0, 0)+

Jo Jo Jo T

+2a12a(0,0)v(0,0)v(l, 0) — a22a(l, 0)v2(l, 0)]+ a11at(0,t)v2(0,t)dt— , ,

Jo i (23)

— a22at(l,t)v2 (l,t)dt + 2 a12at(0,t)v(0,t)v(l,t)dt — 2 [—P1(x,t)v(0,t)a(0,t)+

Jo Jo Jo Jo

Из равенства (23) вытекает неравенство и, если учесть условие теоремы аца(0, 0)£2 + 2ai2a(0, 0)^1^2 — — а22a(l, 0)^2 ^ 0, получим:

[u2(x, т) + a(x, 0)v2x(x, 0)]dx ^

+

+2

at vx dxdt

>o Jo

axxat(l, t)v2(l, t)dt

+2

+

anat(0,t)v2(0,t)dt

+

a12at(0, t)v(0, t)v(l, t)dt

+

(24)

[—P1(x, t)v(0, t)a(0, t) + P2(x, t)v(l, t)a(l, t)]u(x, t)dxdt

>o Jo

Обратимся теперь к правой части (24) Коши, Коши — Буняковского и

и2^^^) ^ 2^ / у2(x,t)dx + 2 [ v2(x,t)dx, ./о l Jо

вывод которой показан в [3, с. 107]. Учитывая сказанное выше, получим оценки для таких слагаемых правой части неравенства (24):

a11at(0,t)v2(0,t)dt

< f \a11at(0,t)v2(0,t)\ dt < f \a11\\at(0,t)\v2(0,t)dt <

oo

< Ai I v2(0,t)dt < 2lAi i i v2x (x,t)dxdt +2Alf f v2(x,t)dxdt Jo Jo Jo l Jo Jo

T fl

12 v2

где Ai := bi ■ a2,

a12at(0, t)v(0, t)v(l, t)dt

< 2Î \a12at(0,t)v(0,t)v(l,t)\dt <

T o T

< 2Î \ai2\\at,(0,t)\\v(0,t)\\v(l,t)\dt < A2 i [v2(0,t) + v2(l,t)]dt,

oo

где A2 := b2 ■ a2,

a22at(l,t)v2 (l,t)dt

< f \a22at(l,t)v2(l,t) \ dt < [ \a22\\at(l,t)\v2(l,t)dt <

oo

T T л 2A Г fi

< A3 v2(l,t)dt < 2lA3 v2x(x,t)dxdt + A v2(x,t)dxdt

Jo Jo Jo l Jo Jo

Tl

32

v2

где A3 := C2 ■ a2,

Tl

Tl

[—P1 (x, t)v(0, t)a(0, t) + P2(x, t)v(l, t)a(l, t)]u(x, t)dxdt

oo

Tl

<

< 2

\Pi(x,t)v(0,t)a(0,t)u(x,t)\dxdt + 2

T ol o Tl

oT ol

Tl

\P2(x,t)v(l, t)a(l, t)u(x, t)\dxdt ^

\P2(x,t)\\v(l,t)\\a(l,t)\\u(x,t)\dxdt <

< D1l [ v2(l,t)dt + D2l i v2(0,t)dt +(D1 + D2) [ i u2(x,t)dxdt, Jo Jo Jo Jo

< 2 / \Pi(x,t)\\v(0,t)\\a(0,t)\\u(x,t)\dxdt + 2 /

o o o o

oo где Di := di ■ ai, D2 := d2 ■ ai.

Преобразуем (24), учитывая оценки, написанные выше:

[u2(x, т) + a(x, 0)v2(x, 0)]dx ^

atvx dxdt

oo

+ 2lAi

v2(x, t)dxdt+

oo

+ i f v2(x,t)dxdt + A2 i [v2(0, t) + v2 (l,t)]dt + 2lA3 [ ( v\(x,t)dxdt+ l o o T l o T T o o

+~T3 f f v2(x,t)dxdt + Dil f v2(l,t)dt + D2l f v2(0,t)dt+ l Jo Jo J o i Jo

+(Di + D2) / u2(x,t)dxdt.

oo

Введем некоторые обозначения:

2

Ci = 2l(Ai + A3),C2 = A2 + D2l, C3 = A2 + Dil, C4 = Di + D2,C5 = - (Ai + A3).

T

T

o

o

T

T

o

o

T

o

T

o

2

T

T

o

Преобразуем (25):

pi i'T pi i'T pi

/ [u2(x,r)+ a(x, 0)v2x(x, 0)]dx ^ / / a,tv2xdxdt + C1 / v2x(x,t)dxdt+ Jo Jo Jo Jo Jo

+C2 i v2(0,t)dt + C3 i v2(l,t)dt + C4 i [ u2(x,t)dxdt+ (26)

Jo Jo i Jo Jo

+C5 / v2(x,t)dxdt.

oo

Ю J0

Используя неравенство, полученное в [2], получим:

[ v2(0,t)dt < 2l [ ( v2x (x,t)dxdt +ji f v2(x,t)dxdt,

J0 Jo Jo l Jo Jo

I v2 (l,t)dt < 2l I I v2x (x,t)dxdt +2 I I v2(x,t)dxdt,

Jo 1 Jo Jo Il Jo Jo

/ / v2(x,t)dxdt ^ t2 / / u2(x,t)dxdt.

o o o o

o o o o

Учитывая оценки, написанные выше, получим:

/ [u2(x,t)+ a(x, 0)v2(x, 0)]dx ^ / [(0,2 + B\)v2x (x,t) + B2u2(x,t)] dxdt, (27)

Jo Jo Jo

[u2(x,T) + a(x, 0)v2(x, 0)]dx ^ / [(a2 + B\)v2x(

io Jo Jo

где

2

Bx := Cx + 2l(C2 + C3), B2 := max{-(C2 + C3)t2 + C4 + C5t2}.

[o,T ] l

(29)

Теперь введем функцию ш(х,г) = их^ц. Тогда, используя преставления функции V, получим

о

v2x(x, 0) = и}2(х,Г), vx(x, 0) = —ш(х,т), vx(x,г) = ,ш(х,г) — ш(х,т). Тогда в (27) У2(х,г) ^ 2ш2(х,г) + 2ш2(х,т). Подставляя это неравенство, получим:

/ [и2(х,т) + а(х, 0)ш2(х,т)^х ^ / / [2(а2 + Б1)(ш2(х,г) + ш2(х,т)) + Б2и2(х,г)] dxdt. (28)

Jо Jо Jо

Заметим, что ш2(х,т) не зависит от г и а(х,г) ^ ао > 0 Ух,г € Qт. Тогда

/ [и2(х,т)+ аои>2(х,т)^х ^ / [2(а2 + Б1)и>2(х, г) + Б2У2( х, г^ dxdг+

Jо Jо Jо I

+2т (а2 + Б1) ш2 (х,т )dx.

о

Выберем т так, чтобы ао — 2т(а,2 + Б\) > 0. Тогда последнее слагаемое в (29) можно перенести в левую часть: ^

/ [и2(х,т) + иш2(х,т)]dx ^ / / [2(а2 + Б1 )ш2(х,г)+ Б2и2(х,г)] dxdt, (30)

ио Jо Jо

где V = ао — 2т(а,2 + Б\). Выберем в (30) т = тт{1; V} и М = тах{2(а2 + Б\); Б2}, получим

т / [и2(х,т)+ ш2(х,т)У1х ^ М / [ш2(х,г) + и2(х,г)] dxdt. (31)

Jо Jо Jо

ао

Применив к последнему неравенству лемму Гронуолла, получим и(х,г) = 0 в [0, т], где т < —-——.

2(а2 + Б1)

Так же, как и в [1, с. 212], повторяя рассуждения для г € [т, т{], убедимся, что и(х,г) =0 на этом промежутке (т ^ т1 < Т). И так в конечное число шагов докажем обращение в нуль для всех г € [0, Т].

Таким образом, доказано утверждение о том, что не может существовать более одного решения поставленной задачи.

Литература

[1] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. Москва: Наука, 1973. 407 с. URL: https://djvu.online/file/Rh97R3cVXNcZE?ysclid=lntxmubmb390280080.

[2] Пулькина Л.С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями I и II рода // Известия высших учебных заведений. Сер.: Математика. 2012. № 4. С. 74—83. URL: https://www.mathnet.ru/rus/ivm8596.

[3] Пулькина Л.С. Задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений: монография. Самара: Изд-во "Самарский университет" , 2012. 194 с.

[4] Дмитриев В.Б. Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2006. № 2 (42). С. 15-27. URL: http://vestniksamgu.ssau.ru/est/2006web2/ math/200620002.pdf.

[5] Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy // Quarterly of Applied Mathematics. 1963. Vol. 21. Pp. 155-160. DOI: https://doi.org/10.1090/QAM/160437.

[6] Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференциальные уравнения, 1977. Т. 13, № 2. С. 294-304. URL: https://www.mathnet.ru/rus/de2993.

[7] Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими краевыми условиями // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4, № 6. С. 1006-1024. URL: https://www.mathnet.ru/rus/zvmmf7694.

[8] Пулькина Л.С. О разрешимости в L2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения, 2000. Т. 36, № 2. С. 279-280. URL: https://www.mathnet.ru/rus/de10101.

[9] Пулькина Л.С. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с интегральными условиями I рода с ядрами, зависящими от времени // Известия высших учебных заведений. Сер.: Математика. 2012. № 10. С. 32-44. URL: https://www.mathnet.ru/rus/ivm8743.

[10] Пулькина Л.С., Савенкова А.Е. Нелокальная задача с интегральными условиями второго рода для гиперболического уравнения // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2016. № 1-2. С. 33-45. URL: https://www.mathnet.ru/rus/vsgu499; https://www.elibrary.ru/item.asp?id=29345215. EDN: https://www.elibrary.ru/wfyota.

[11] Пулькина Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40, № 7. С. 887-892. URL: https://www.mathnet.ru/rus/de11100.

Scientific article

DOI: 10.18287/2541-7525-2023-29-3-8-17 Submited: 24.07.2023

Revised: 31.08.2023

Accepted: 30.10.2023

Y.S. Buntova

Samara National Research University, Samara, Russian Federation E-mail: [email protected]. ORCID: https://orcid.org/0009-0003-7786-8019

A NON-LOCAL PROBLEM WITH INTEGRAL CONDITIONS OF THE FIRST KIND FOR THE STRING VIBRATION EQUATION

ABSTRACT

In this article, we consider a problem with nonlocal integral conditions of the 1st kind for the one-dimensional wave equation. The kernels of the integral conditions depend on both spatial and time variables. In order to study this problem we reduce first the integral conditions of the 1st kind to he integral conditions of the 2nd kind. Under certain additional assumptions these nonlocal conditions are equivalent. Obtained restriction on input data enable to show uniqurness of generalized solution to the problem.

Key words: hyperbolic equation; nonlocal problem; integral conditions; generalized solution.

Citation. Buntova Y.S. A non-local problem with integral conditions of the first kind for the string vibration equation. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya / Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2023, vol. 29, no. 3, pp. 8-17. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2023-29-3-8-17. (In Russ.)

Information about the conflict of interests: author and reviewers declare no conflict of interests.

©Buntova Y.S., 2023

Yana S. Buntova — postgraduate student of the Department of Differential Equations and Control Theory, Samara National Research University, 34, Moskovskoye shosse, 443086, Russian Federation.

References

[1] Ladyzhenskaya O.A. Boundary value problems of mathematical physics. Moscow: Nauka, 1973, 407 p. Available at: https://djvu.online/file/Rh97R3cVXNcZE?ysclid=lntxmubmb390280080. (In Russ.)

[2] Pul'kina L.S. Boundary-value problems for a hyperbolic equation with nonlocal conditions of the I and II kind. Russian Mathematics, 2012, vol. 56, issue 4, pp. 62--69. DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X12040081. (In English; original in Russian)

[3] Pul'kina L.S. Problems with non-classical conditions for hyperbolic equations: monograph. Samara: Izdatel'stvo "Samarskii universitet" , 2012, 194 p. (In Russ.)

[4] Dmitriev V.B. A non-local problem with integral conditions for a wave equation. Vestnik of Samara State University. Natural Science Series, 2006, no. 2 (42), pp. 15-27. Available at: http://vestniksamgu.ssau.ru/est/2006web2/math/200620002.pdf. (In Russ.)

[5] Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy. Quarterly of Applied Mathematics, 1963, vol. 21, pp. 155-160. DOI: https://doi.org/10.1090/QAM/160437.

[6] Ionkin N.I. The solution of a certain boundary value problem of the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition. Differential Equations, 1977, vol. 13, no. 2, pp. 294-304. Available at: https://www.mathnet.ru/rus/de2993. (In Russ.)

[7] Kamynin L.I. A boundary value problem in the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1964, vol. 4, issue 6, pp. 33—59. DOI: https://doi.org/10.1016/0041-5553(64)90080-1. (In English; original in Russian)

[8] Pulkina L.S. The L2 solvability of a nonlocal problem with integral conditions for a hyperbolic equation. Differential Equations, 2000, vol. 36, issue 2, pp. 316--318. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02754219. (In English; original in Russian)

[9] Pulkina L.S. A non-local problem for a hyperbolic equation with integral conditions of the 1st kind with time-dependent kernels. Russian Mathematics, 2012, vol. 56, issue 10, pp. 26-37. DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X12100039. (in English; original in Russian)

[10] Pulkina L.S., Savenkova A.E. A problem with second kind integral conditions for hyperbolic equation. Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2016, no. 1-2, pp. 33-45. Available at: https://www.mathnet.ru/rus/vsgu499; https://www.elibrary.ru/item.asp?id=29345215. EDN: https://www.elibrary.ru/wfyota. (In Russ.)

[11] Pulkina L.S. A Nonlocal Problem with Integral Conditions for a Hyperbolic Equation. Differential Equations, 2004, vol. 40, no. 7, pp. 887-892. DOI: https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000047025.64101.16 (In English; original in Russian)