Нелокальная задача для гиперболического уравнения с интегральным условием первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.95

НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ПЕРВОГО РОДА

А.В. Дюжева, Л.С. Пулькина 9)

Самарский государственный университет, ул. Академика Павлова, 1, Самара, 443011, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. В статье рассматривается задача с интегральными нелокальным условием первого рода для дифференциального уравнения с частными производными. Основной целью статьи является доказательство эквивалентности поставленной задачи и задачи с интегральным условием второго рода специального вида.

Ключевые слова: гиперболическое уравнение, нелокальная задача, интегральные условия, обобщенное решение.

1. Постановка задачи.

Рассмотрим в области Q = (0,l) х (0,T), где l,T < ж, уравнение

utt - uxx + c(x,t)u = f (x,t) (1)

и поставим следующую задачу: найти в области Q решение уравнения (88), удовлетворяющее начальным данным

u(x, 0) = ф(х), ut(x, 0) = ф(х), (2)

граничному условию

ux(0,t) = 0 (3)

и нелокальному условию

i

IK t-xttuxtd = 0- (4)

0

В условии (4) K(x,t) задана в Q и обладает необходимой для предстоящих преобразований гладкостью.

Особенность поставленной задачи заключается в том, что условие (4) является нелокальным интегральным условием первого рода, а ядро K(x, t) , зависит не только от пространственной переменной x, но и от переменной t.

Напомним, что нелокальными условиями принято называть соотношения, связывающие значения искомого в области П решенияна некотором внутреннем многообразии и в точках границы области П.

9Дюжева Александра Владимировна, ассистент Самарского государственного университета. Пулькина Людмила Степановна, профессор Самарского государственного университета.

Если в этих соотношениях отсутствуют значения искомого решения на границе области, то будем их называть нелокальными условиями первого рода. Если же значения искомого решения или его производных на границе области в соотношения входят, то такие соотношения называют нелокальными условиями второго рода. Проиллюстрируем это определение примером:

I

= ! К(х, г)п(х, (5)

0

где г = 1, 2, £1 = 0, £2 = I, П = (0,1) х (0,Т).

Если Л = 0, то (5) — условие второго рода, а если Л = 0 — то первого.

Нелокальные задачи давно вызывают интерес математиков, в том числе в связи с их приложениями в исследованиях различных процессов естествознания [2]—[6]. Задачи с нелокальными интегральными условиями в настоящее время активно изучаются, разрабатываются методы доказательства их разрешимости. Одним из эффективных методов исследования нелокальных задач с условиями второго рода вида (5) является метод компактности. Этот метод базируется на возможности получения тождества, лежащего в основе определения обобщенного решения задачи, с помощью известной процедуры ([1], с.210, [3]). Этот метод нельзя применить в случае нелокального условия первого рода. Однако удалось показать, что условие (4) можно свести к условию второго рода вида (5) эквивалентным образом, если выполняются условия согласования данных.

2. Эквивалентность нелокальных условий

Теорема 1. Пусть

с(х,г) Е С((^) , /(х,г) Е ¿2(Q) , К(х,г) Е С2^) П С 1((^), К1хх(х,^) Е С(@) ,

к(1,г) = 0, Кх(0,г) = 0 Уг е [0,т] и выполняются условия согласования

I

/ К(х, 0)ф(х)ё,х = 0,

0 I (6)

/ Кг(х, 0)ф(x)dx + / К(х, 0)'ф(х)в,х = 0 .

00

Тогда нелокальное условие первого рода (4) эквивалентно нелокальному условию второго рода

пх(1,г) = т(п(0,г),п(1,г)), (7)

где Т - линейный оператор, вид которого будет представлен ниже в ходе доказательства.

□ Пусть п(х,г) удовлетворяет уравнению (88) и условиям (89), (3), (4). Дифференцируя равенство (4) дважды по г, получим:

I I I

I к х ^ ^ +21о* + / ^ ць = о. (8>

0 0 0

Так как п(х,г) удовлетворяет уравнению (88), то

I I

J К(x,t)пtt(x,t)dx = J К(х,г)[пхх — с(х,г)п + /(х,г)^х ; 00 I I ь

J Kt(x,t)ut(x,t)dx = J Кь(х,г)[ф(х) + У (пхх — с(х,г)п + /

0 0 0 Интегрируя теперь содержащие пхх слагаемые двух последних равенств, получим из (8):

ь ь

п^^) + a(t) J пх(1,т)dт = Ь^п^^) + 7(^ ^ п(1,т)dт—

00 I т I

— J S(x,t)п(x,t)dx — ! J Н(х^,т)п(х,т)dxdт — д({) , (9)

0 0 0

где обозначено

Шь^^) иил тл 2кхь(1,^

а(е> = КОЖ' т = КМ ’ ^ = КЖ'

с ^_Ktt(x,t) + Кхх(х^) и( ^ _ ^Кь(х,1)с(х,т) — Кьхх(х^)

S (х, )= К(¡^) , Н (х,1,т) = 2 К(¡^) ;

I ь

g(t) = 2J Кь(х^)[ф(х) + J /(х,т)dт]dx.

00

Рассматривая соотношение (9) как уравнение Вольтерра с ограниченным в силу условий теоремы ядром, получим его единственное решение:

ь ь

/— Г а(п)йп

С(т)е т ¿т , (10)

0

где обозначено

I ь

С^) = Ь(1)п(1,1) — J S(x,t)п(x,t)dx + Y(t) J п(1,т)dт—

00

І і

Н(х, і, т)и(х, т)—х—т — д(і).

0 0

Из последних двух равенств видим, что правые части (10) не содержат производных искомого решения, в том числе их следов, и являются соотношениями между значениями решения во внутренних точках области и на ее границе. Таким образом, (10) -нелокальное условие второго рода вида (5).

Пусть теперь и(х,Ь) - решение уравнения (88), удовлетворяющее условиям (89), (3) и (10). Но тогда выполняются и равенства (8), из которых и получены условия (10). Равенства (8) запишем следующим образом:

С2 [

— / К(х,і)и(х,і)—х = 0.

Из условий согласования (6) вытекают начальные условия

I

/ К(х, 0)и(х, 0)dx = 0 ,

— [ К(х,і)и(х,і)—х

0.

І=0

Задача Коши (11)—(12) имеет единственное решение

К(х, і)и(х, і)—х = 0

что и означает выполнение условия (4). В

3. Разрешимость задачи.

Решением задачи будем называть функцию и(х,Ь) Е W},(Qт), удовлетворяющую условию и(х, 0) = ф(х) и тождеству

т і

(—иІуІ + ихух + еиу)СхСі+

00

т

+ у у(ї,і) 0

І і

Г —Г а(п)Лп

Є (і) — а(і) Є(т )е т —т

—і =

і т і

= J ь(х, 0)ф(х)Сх + J У f (х,і)у(х,і)Сх—і (13)

0 0 0

для любой функции ь(х,і) Є W21(QT), где W21(QT) = {ь(х,і) : ь(х,і) Є W2,(QT) ,

ь(х, Т) = 0}.

Теорема 2. Если выполнены условия

с(х,і) Є С((^) , Сі(х,і) Є С((^) ,

К (х,і) Є С 1(^?) , К (х,і) Є С ^) , Кіхх Є С ^) ,

К (І, і) = 0 , Кх(0,і) = 0 ,

f (х,і) Є Ь2^) Л(х,і) Є Ь2^) , ф(х) Є W^(0,l), ф(х) Є Ь2(0,І) ,

і і і

/ К(х, 0)ф)—х = 0, І Кі(х, 0)ф)<Ь + / К(х, ОЖФ* = 0,

0 0 0

то существует единственное решение поставленной задачи.

□ Начнем с доказательства единствености решения. Предположим, что существует два различных решения, и\(х, і) и и2(х, і). Тогда их разность, и = и — и2, удовлетворяет тождеству

т і т

J У (—иІьІ + ихьх + сиь)Сх—і + У ь(І,і)Є(і)Сі—

0 0 0

т І і

! ! — І а(п)^п

— ь(І,і)а(і) Є(т)е т Ст—і = 0 (14)

00

и и(х, 0) = 0. Выберем в (14)

,(х,і)= \ Iи(х-’>)—П' 0 - * - т- (15)

0, т - і - Т.

Первое слагаемое преобразуем стандартным образом и получим

Т і і т і

J J(—иІьІ + ихьх + сиь)Сх—і = — 2 J[и2(х,т)+ ьІ(х, 0)]Сх + ^ J С№і)СхСі.

0 0 0 0 0

Наибольший интерес представляют два других слагаемых, к изучению которых и перейдем. Особое внимание уделим интегралам, содержащим следы функции у(х,і) и ее производной.

Отметим, что из условий теоремы следует существование положительных постоянных a0,b0,c0,Y0,h0, s0 таких, что

max |a(t)| < a0, max \b(t), b'(t)\ < b0, max \c(x, t)\ < c0 , max |Y(t)I < Y0 ,

[0,T] [0,T] Q [0,T ]

T l

max

[0,T]

S2(x, t)dx

< s0 , max

[0,T]

H2(x,t, т)dxdt

< h-0.

00

Рассмотрим второе слагаемое (14) и слегка преобразуем:

T т t

J v(l,t)G(t)dt = j v(l,t)[b(t)vt(l,t) + y(t) j vn(l,rq)drq]dt— 0 0 0 т l t l

— J v(l,t) J S(x,t)vt(x,t)dx + j J H(x,T,n)vn(x,n)dxdn 0 |_0 0 0

dt

Так как

v(l,t)b(t)vt(l,t)dt = — - I b'(t)v2(l,t)dt — -v2(l, 0)

vn(x, n)dn = v(l,t) — v(l, 0)

то получим равенство

T

J v(l,t)G(t)dt = — -^1 У(t)v2(l,t)dt — у2(1, 0)+

0 0

Т Т

+ 5 Y(t)v2(l,t)dt — ^ 0)/ Y(t)v(l,t)dt— 00 Т I г I

— J v(l,t)[J Б(x,t)vt(x,t)dx + ! J Н(х,г,ц^п(x,rq)dxdrq]dt.

0 0 0 0 Теперь рассмотрим третье слагаемое, и, сделав аналогичные преобразования и обозна-

Ь

ч -I

чив А^, т) = е т , получим

т г г

J v(l,t)a(t) J G(т)A(t,n) J a(rq)drqdтdt =

0 0 Т

т

т

t

т

т г т

= —J v(l,t)a(t) J(A(t,rq)b(rq))пv(l,rq)drqdt + ! a(t)b(t)v2(l,t)dt—

0 0 0 Т Т г

—Ь(0^(^ 0) ! a(t)A(t, 0)v(l,t)dt + ! a(t)v(l,t) J J(rq)A(t,rq)v(l,rq)drqdt—

0 0 0

Т г

^ <»/

00 т г I

— J a(t)v(l,t) J A(t,n) J Б(x,rq)vv(x,rq)dxdrqdt—

0 0 0 т г п I

— J v(l,t)a(t) J A(t,n) J У Н(х,ц,£^%(x,£)dxd£dr|dt.

0 0 0 0

Теперь приступим к выводу оценки, для чего воспользуемся неравенством Коши, а также неравенством

I I

v2(l,t) < еJ v2x(x,t)dx + с(е) У v2(x,t)dx, (16)

00 справедливым для всех t Е [0,Т], которое выводится из равенства

I

■^(1,Ч = [ Щ (£,Ч^ + 'и(х^)-

Нам также будет полезно неравенством

Т

"2 м < Ч* (х-е>м- (17)

0

которое вытекает из представления функции v(x,t). Получим:

I I Т I

J[u2(x,т)+ vX(x, 0)^х < те У vX(x, 0)dx + М ^ J v2(x,t)dxdt, (18)

0 0 0 0

где числа т,М зависят от a0,b0,c0,Y0,h0, 80. Выбрав е = 2т, получаем возможность

перенести первое слагаемое правой части в левую. Тогда справедливо

I т I

У u2(x,т)dx < N У У v‘2(x,t)dxdt,

0 0 0

применив к которому лемму Гронуолла, (учитывая, что vг(x,t) = и(х,Ь)), приходим к утверждению о единственности решения задачи.

Доказательство существования решения задачи проведено по известной схеме: построена последовательность приближенных решений методом Галеркина; доказана ограниченность полученного множества приближенных решений в пространстве W1(Q), что позволило выделить слабо сходящуюся в ^^^^(0) подпоследовательность; показано, что предел выделенной подпоследовательности и является искомым решением.

Не останавливаясь на подробных вычислениях, отметим особенность реализации этой схемы в условиях рассматриваемой задачи: при построении приближенных решений мы приходим к системе интегродифференциальных уравнений, которая редуцируется к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Априорная оценка получена с помощью техники, продемонстрированной при доказательстве единственности решения. Возможность предельного перехода показывается стандартным образом. В Замечание 1. Полученные результаты нетрудно распространить на случай более общего уравнения

игг — ^(х, Ь)щ)х + с(х, Ь)и = /(х, г).

Если a(x,t) Е С(О)^^^) Е С(О), то можно показать, что полученные выше оценки справедливы, однако вывод их еще более громоздок.

Замечание 2. Можно рассматривать задачу с двумя нелокальными условиями

I

/ К^и(хЛ)1х =0 •

0

В этом случае условия К(1,Ь) == 0, Кх(0,Ь) = 0 должны быть заменены условием

К1(0,Ь)К2(1,Ь) — К1(1,Ь)К2(0,Ь) = 0.

Литература

1. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики / М.: Наука, 1973.

2. Стеклов В.А. Задача об охлаждении неоднородного твердого тела / Сообщ. Харьковского мат. о-ва/ - 1986. - 5;(3-4). - C.136-181.

3. Дмитриев В.Б. Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения // Вестник СамГУ. - 2006. - 2;42. - C.15-27.

4. Кожанов А.И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных параболических уравнений //Вестник СамГУ. - 2008. - 3;62. - C.165-174.

5. Пулькина Л.С., Дюжева А.В. Нелокальная задача с переменными по времени краевыми условиями Стеклова для гиперболического уравнения // Вестник СамГУ. - 2010. - 4;78. -C.56-64.

6. Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений // Математический журнал института математики МО и Н РК, Алматы. - 2009. - 2;32. - C.78-92.

NONLOCAL PROBLEM FOR HYPERBOLIC EQUATION WITH FIRST INTEGRAL CONDITION A.V. Duzheva, L.S. Pulkina Samara State University,

Academician Pavlov St., 1, Samara, 443011, Russia, e-mail: [email protected], [email protected]

Abstract. In this article, we consider a nonlocal problem with integral condition of the first kind . The main goal is to prove equivalence of a nonlocal problem with integral conditions of the first kind and nonlocal problem with integral conditions of the second kind in special form.

Key words: hyperbolic equation, nonlocal problem, integral conditions, generalized solution.