НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ВЯЗКОУПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ, СОДЕРЖАЩЕЙ ВЯЗКУЮ НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ И ОКРУЖЕННОЙ УПРУГОЙ СРЕДОЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 78 www.mai.ru/science/trudy/

УДК 681.03.06:531.383:532.516

Нелинейные волны в вязкоупругой цилиндрической оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость и окруженной

упругой средой

Блинкова А. Ю.,1* Иванов С.В.,2** Кузнецова Е.Л.,3*** Могилевич Л.И.4****

1 Саратовский Государственный технический университет им. Гагарина Ю.А., ул. Политехническая, 77, Саратов, 400054, Россия 2Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, ул. Астраханская, 83, Саратов, 410012, Россия 3Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет),

МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия 4Московский государственный университет путей сообщения (Поволжский филиал),

ул. Астраханская, 1а, Саратов, 410790, Россия *e-mail: anblinkova26@gmail. com **e-mail: evilgraywolf@gmail. com ***e-mail: lareyna@mail.ru ****e-mail: mogilevich@sgu.ru

Аннотация

Получено уравнение, обобщающее известное уравнение Гарднера, описывающее волны деформации с помощью асимптотических методов решения связанной задачи гидроупругости, включающей уравнения динамики геометрически нелинейной вязкоупругой оболочки, окруженной упругой средой с учетом уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости, находящейся внутри оболочки, с соответствующими

граничными условиями. Вследствие того, что радиус срединной поверхности оболочки значительно меньше длины волны деформации, в уравнениях динамики вязкой несжимаемой жидкости сделан асимптотический переход к классическому уравнению гидродинамической теории смазки.

В данной работе при численном решения задачи Коши для полученного нового уравнения, с учетом влияния жидкости и окружающей оболочку упругой среды, применяется подход к построению разностной схемы, основанный на построении переопределенной системы разностных уравнений, получаемой из аппроксимации интегральных законов сохранения и интегральных соотношений, связывающих искомые функции и их производные. В результате разностная схема определяется как условие совместности для данной системы и получаемая разностная схема, автоматически обеспечивает выполнение интегральных законов сохранения по областям, составленным из базовых конечных объемов.

Наличие жидкости в оболочке, окруженной упругой средой, приводит к росту амплитуды волны деформации или ее падению в зависимости от величины коэффицинта Пуассона для вязкоупругой среды. Упругая среда, окружающая оболочку, приводит к увелечению скорости нелинейной волны деформации.

Использование данных моделей в свою очередь позволит существенно расширить возможности анализа экспериментальных данных по исследованию систем подачи топлива, систем охлаждения для авиакосмической техники, и т.д. динамика которых носит принципиально нелинейный характер.

Ключевые слова: нелинейные волны, вязкая несжимаемая жидкость, цилиндрические вязкоупругие оболочки, окружающая упругая среда.

Введение

В современных приборах и инженерных устройствах аэрокосмической техники одним из основных элементов конструкции является трубопровод, который служит для подвода жидкости. Система трубопроводов широко используется в ракетных двигателях, гидроприводах современных летательных аппаратов (ЛА), системах охлаждения и дозирования (ЛА) и др. Встречаются трубопроводы окруженные упругой средой, с которой они взаимодействуют.

Для абсолютно жесткой трубы кругового сечения ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости под действием гармонического по времени перепада давления исследовано в [1]. Для трубы кольцевого сечения (в виде двух упругих соосных цилиндрических оболочек) аналогичное исследование проведено в [2].

Настоящее исследование посвящено анализу распространения волн деформаций при взаимодействии вязкой несжимаемой жидкости с вязкоупругими стенками цилиндрической оболочки.

1. Волновые процессы в вязкоупругих и нелинейно вязкоупругих оболочках не взаимодействующих с вязкой жидкостью рассмотрены в [1-3].

Получим, уравнения динамики с учётом наличия вязкой несжимаемой жидкости

в цилиндрической оболочке, окруженной упругой средой, с помощью асимптотических методов для решения связанной задачи гидроупругости с соответствующими граничными условиями.

Рассмотрим бесконечно длинную вязкоупругую цилиндрическую оболочку, взаимодействуюшую с упругой окружающей средой, внутри которой находится вязкая несжимаемая жидкость.

Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат r,3, x записываются в случае осесимметричного течения в виде [4]

+ grad1 V2 + rotV х V + — grad ■ p = -v rot rotV, dt 2 p (1)

div— = 0.

На границе с оболочкой выполняются условия прилипания жидкости

dW dV dV dU dV dV

-_ = Vr + U^--W^-,— = Vx + U^-x-W^-x i6e r = R -W. (2)

dt dx dr dt dx dr

Здесь t - время; Vr,Vx - проекции вектора скорости жидкости на оси цилиндрической системы координат; p - давление; p - плотность; v - кинематический коэффициент вязкости; U - продольное упругое перемещение оболочек по оси x; W -прогиб, положительный к центру кривизны оболочки; R1 - внутренний радиус

оболочки.

В случае осевой симметрии используя гипотезу Кирхгофа-Лява, имеем связь между компонентами деформаций sx , а перемещениями [5]

_ сЦ г д^ + ЬдЦ д2W)2 + 1 (дW)2 е _ ^^

(3)

где я - радиус срединой поверхности оболочки, 2 - расстояние от нее. Связь между компонентами напряжений ах, иу и деформаций зададим уравнениями линейной

теории вязкоупругости [6], учитывающей линейную упругость объёмных деформаций

_

сту _

Е Е г

--Г(е* + Моеу ) --«I

1 -Мо 1 + Мо

Е Ее

--Г(еу + Мех ) --«I

1 - М 1 + М,'

-р(г-т)еёт.

(4)

Здесь Е - модуль Юнга, м0 - коэффициент Пуассона материала оболочки, г - время; «, р - параметры вязкоупругости; ех, еу - компоненты девиатора деформаций

2 1 2 1

е _ — е —е , е _ — е —е .

х 3 х 3 у у 3 у 3 х

(5)

Разлагая функции ех, еу в ряд Тейлора по степеням (г -т), при условии рг >> 1 сохраняем

два члена разложения из формул (4) получим приближенные уравнения состояния [13]

Е 2 1

_"-2(ех +Моеу ) + Р[3 ех - ~еу ]

1 -Мо 3 3

сту _

Е 2 1 п

—т (еу+Моех)+Р[- еу ]

1 -м

(6)

где введен оператор р, такой, что

Е .ад а, .

р$ _ ^—т

1 + м0 р дг р

(7)

Вычисляя с использованием усилия и моменты по формулам

N = {^ = { \оу<Ь, Mx = | My = |

= 2 <J„„zdz

2

(8)

и подставим (8) в систему уравнений динамики оболочек [5]

N

8х

8 2U

82Мх 1

8

8 ^

-р ^ - -ь+8х^>~ро"о 18?-" -"п+р#

(9)

здесь р0 - плотность материала оболочки, Н0 - толщина оболочки; "х, "п напряжения, действующие со стороны жидкости на поверхность оболочки, снесенные на невозмущенную поверхность оболочки ^ << К)

8¥ 8¥ 8¥ "х = + ^)]Г=К ,"п =[-Р + 2РУ^~ ]Г =К

8г 8х 8г

(10)

Выражение -р0 н0 k1w характеризует реакцию на сдавливание (сжатие) упругой среды, в которой расположена труба кругового сечения [7].

2. Принимая за характерную длину - длину волны деформации I, перейдем к безразмерным переменным для исследования уравнений динамики оболочек (3)-(9)

* с * х I Е

W = жи3, и = им,, г = — г, х = —, с0 =

р

(1 -^02 У

(11)

здесь с0 - скорость звука в материале оболочки

Положим

а с0

рР У

= е = 0(1), = О(е),

К = О(е),

К

а=о(1), р

К = о(^1/2), К = о(^),

I К

где е << 1 - малый параметр задачи.

2

2

Применим метод двухмасштабных разложений, вводя независимые переменные в виде

о» * * * /1 Л\

д _ х -сг , т _ ег , (13)

где с - безразмерная неизвестная скорость волны, а зависимые переменные представлены в виде разложения по малому параметру е:

и1_ и10 + еи11 +..., и3 _ и30 +еы31 + ... (14)

Подставляя (11), (13), (14) в уравнения (3-9) с учетом оценок (12), получим в нулевом приближении по е линейную систему уравнений, из которой следует связь

1/1 л«

с М +-(1

^ _ _3_р (15)

я и30 М I дд 'М 1 2(1 ) а (15)

ь 1—(1 - и0) —

3 V ™ р

и определяется безразмерная скорость волны

с2_[1 - 3(1 -М0) «р](1 -М12). (16)

Из следующего приближения по е, учитывая (15) и (16), находится уравнения для определения и10 :

д2и10 2 с Я2 д4 ию с ит ди10 д и10

■М

дфт ' 212е дд4 2 1е дд дд2 (17)

1 ^ ч « с0 „ д3и10 Я2 М 1 д2и10 12 Я дя., —(1 -м0)—г (1+м+м12)—10К—20 _--2— [ях-М—^]

3^ 0 р2 1е 1 1 дд 12е 2с 1 дд2 еитр0И0с^>2сх 1 I дд

3. Для определения правой части уравнения (17) ведем безразмерные переменные и

параметры

-п «-п * Г * С * х

^ = ^ V ^ = " V г =_ г = — г х =— р = ——0——

'г "т I V' г х "т л ' я' / ' г>3

I

я

£о

I

х

7

я3

Р;

Я —

у = -1 = о(е2), Л = I Я

у<< 1, Л<< 1.

Подставляя (18) в уравнения гидродинамики (1) и граничные условия (2), представим безразмерные скорость и давление в виде разложения по малому параметру Л: Vx = V« + Л^Х + ..., Vг = V,0 + Лv— + ..., Р = Рп + ЛР1 + ... (19)

В нулевом приближении по у (у«о - гидравлическая теория смазки), считая (у)(Я1сп /у)<< 1 (- ползущие течения [8, 9]), и в нулевом приближении по Л получаем

уравнения гидродинамики (классические уравнения гидродинамической теории смазки)

Р

дг *

= п,

дРп 1 д , * дv[

дх г * дг * 4 дг

(г*т4)

1 д

дуп

* д * (гV) + -д^т = п

г дг дх

? * _ *

(2п)

и граничные условия

м

дг

*

= п, г ^ = п дг

Vп = дизп Vп = ишЯ\ ди\п

дг х м> I дг *

т

Из решения задачи (2п), (21) следует, что

где г = п, где г * = 1.

(21)

Рп 1 и-Я ди1п

J _ 2 "-1 дг *

1 * = — г дР и1 п

дг 2 дх*

■ ди

зп

дг

йх

йх

(22)

С принятой точностью по е,у,Л из (5) найдем

^0 Су WmCо I 0

Ях _ ру т20 ^х* I *_1, Яп _ -р^-^г0—я

Я2 д/

Я2 Я

и выражение в квадратных скобках правой части (2.7) имеем вид

Я дч >

WmC0 [(СУх •

Я I дР

[«х- М у уе] _ -*_1+м у я _р

WmCо 1 СР0

Я

я; 2 дд

[1 + 2м—] (23)

Я

Учитывая, что были введены переменные (13), (14) и имея соотношения (15) (16),

имеем

Р0_8сит^[2М^Я- 1К,с -3(1 -Мо)«](1 -М12).

Wml Я1 V 3 р

(24)

Следовательно, в правой части уравнения (17) остается выражение

2-^— [1 - (2«# )2] а'ю

роК Я1сое

Я/ дд

(25)

с принятой точностью по у, е положим Я1 « Я.

Подставляя (23) в уравнение (17), окончательно получим

д2и10 um с ди10 д2и10 1 ,ЯЧ2 2 с д4и

+- (У)2 м2

10

дддт 1е 2 дд дд1 е I 1 2 дд4

1 «2 с°-(1 -Мо)(1 + М +М12)^^и^ + ЯгМК%-2[1 -(2М)2]

2 0(1 -м0)(1 + М+М12)^г + К^т-2[1 -(2М)2] р ди10 _

3 р2 1е оА ^ 1 ' дд3 I е 2с 1 дд2 V р0К0Я1с0е дд

(26)

_0.

При отсутствии жидкости (р _ 0) последнее слагаемое выпадает и уравнение

превращается в уравнения Гарднера-Бюргерса, для

ди10 дд

имееющие точное частное

решение. В зависимости от физичеких параметров величина м может быть больше 2,

меньше — или равна —. Последний случай эквивалентен отсутствию жидкости, но

означает, что она не влияет на волну деформации. Легко видеть, что замена

ди1п

= еъф, г] = г = е2т

позволяет записать уравнение (26) в виде

дф „, дф д3ф д2ф дф , л — + 6ф —+ —у -а2 —у + а3 — -аф = п.

дг д] д] д] д]

(28)

здесь а = 1 при М < 2, а = -1 при м > "2 и а = п при м =

Постоянные с3, с1, с2 определяются формулами

с2=2а[1 - (2м)2]

р1у

РпК Я1спе

I Л2 2

Я у

1/3

_ с2 21 е с3 = 6—-

' 3

При этом вводятся обозначения

с2 1 а сп 2ч с1 Я2 м12 ,

с2 3 р 1е с2 I е 2с

(29)

4. Запишем уравнение (28) в интегральной форме

^(-3ф2 - ф] + а2фг - азф)йг + фйг - \\афйгйг = п

(зп)

для любой области О. Для перехода к дискретной формулировке сопоставим и" = ф(гп,] ) и выберем в качестве базового контур, показанный на рис. 2.

Рис. 1: Базовой контур для уравнения (28). Добавим интегральные соотношения

_ и (г, 7+1) - и (г, 7 х

(31)

|7й7 _ и7(г, 7]+1) - и7(г, 7]).

Используя для интегрирования по времени и по четным производным по 7 формулу трапеций, а по нечетным производным по 7 формулу среднего значения, и полагая гп+1 -гп _т, 7]+1 _К, перепишем соотношения (30), (31) в виде

I il 2" 2И+1 2n 2И+М i n , n+1 n n+1 i , ( и и+1 n я+1 i

3 [Uj+Uj - и j+2 - и j+2J - \yvvj+uvvj - Uvv.+2 - Uvv.+2) +&2 \Uvj+UVj ~ Uj2 ~ (un"+Un;1 - U"+2 - Un+ 2 ))) + (u;+; - u"+1) • 2h-а(и^ + un+1) • hr = 0,

h

/ n n^ 11 _ n n

(иЛ , + иЛ )---и,.+, - и,.,

v Л j+1 Л y 2 j+1 j n 1 i n n

и • 2h = и - и .

ЛЛ j+1 Л j+ 2 л.

(32)

В результате разностная схема для уравнения (28) определяется как условие совместности для данной системы разностных уравнений (32). Таким образом получается разностная схема [10, 11, 12], автоматически обеспечивающая выполнение интегральных законов сохранения по областям, составленным из базовых конечных объемов.

Для построения разностной схемой воспользуемся приведенной ниже программой написанной на языке системы компьютерной алгебры Singular (http://www.singular.uni-kl.de/).

ring r = (0, h, tau, sigma2, sigma3, sigma), (Tx, Tt), (c, dp); // u_xx, u_x, u, uA2

vector eq1 = [-(1+Tt-TxA2-Tt*TxA2)*tau/2,

sigma2*(1+Tt-TxA2-Tt*TxA2)*tau/2,

(1-Tt)*2*h -sigma3*(1+Tt-TxA2-Tt*TxA2)*tau/2 - sigma*(1+Tt)*h*tau, -3*(1+Tt-TxA2-Tt*TxA2)*tau/2]; vector eq2 = [0, (Tx+1)*h/2,-(Tx-1), 0]; vector eq3 = [Tx*2*h,-(TxA2-1), 0, 0]; module m = eq1, eq2, eq3; std(m)[1]/(4*tau*h**3); quit;

В первой строке программы описан полиномиальный модуль с переменными Tx, Tt с исключающим по позиции упорядочением над кольцом рациональных чисел с параметрами h, tau, sigma2, sigma. Как видно из следующего комментария программы первой позиции соответствует функция uxx, а затем по порядку ux, u, u2. Переменные Tx, Tt соответствуют операторам сдвига по переменным ц и t .За счет выбора исключающим по позиции упорядочения нелинейная часть 3u2 не будет входить в лидирующие мономы системы при построении базиса Грёбнера командой std(m). В приведенном ниже результате вычислений первый элемент базиса Грёбнера представляет собой искомую разностную схему для уравнения (28), аналогичную схеме Кранка-Николсона для уравнения теплопроводности. [0,0,1/(4*hA3)*TxA4*Tt+1/(4*hA3)*TxA4+(hA2*sigma3-2*h*sigma2-2)/(4*hA3)*TxA3*Tt+(hA2*sigma3-2*h*sigma2-

2)/(4*hA3)*TxA3+(sigma2)/(hA2)*TxA2*Tt+(sigma2)/(hA2)*TxA2+(-2*hA3*tau*sigma-4*hA3-hA2*tau*sigma3-2*h*tau*sigma2+2*tau)/(4*hA3*tau)*Tx*Tt+(-2*hA3*tau*sigma+4*hA3-hA2*tau*sigma3-2*h*tau*sigma2+2*tau)/(4*hA3*tau)*Tx-1/(4*hA3)*Tt-1/(4*hA3),3/(4*h)*TxA3*Tt+3/(4*h)*TxA3-3/(4*h)*Tx*Tt-3/(4*h)*Tx] Перепишем полученною разностную схему в обычных обозначениях

u"+1 и" , 2"+1 2"+к , , 2" 2" л Uj ~ Uj + 3 (u j+1 - и j-{) + (u j+1 - и j-1) +

4h

(unn+2 - 2и"++1 + 2u"+ - u£) + j - 2u"j+i + 2u"-i - u"-_2)

2h2 J 4h

4h3

(u£{ - 2u;+1 + и"-1) + (un+1 - 2u; + uj-i) _ (un+ - u£) + (u"+ - u"^) _ u"+1 + и" = q

(33)

+

- a

2

2

5. Полученная неявная разностная схема имеет квадратичную нелинейность для следующего временного слоя. При построении ее решения методом простой итерации использована следующая линеаризация

= - Ук + Ук = (ук+1 - Ук )(ук+1 + Ук) + V2 * у+1 • 2Ук - V2.

В качестве начального условия при решении задачи Коши для уравнения (28) можно выбрать следующее точное решение уравнения при а = 0.

т = — — + — а* —— <т2/апк(в)—— аЬапк2(в), в = — а2 х— + а3 1/ (34)

3 а2 50 2 25 2 50 2 10 2 1 - 31 4 У

V V 2 /у

Из формулы (35) следует, что упругая окружающая среда увеличивает скорость нелинейной волны в вязкоупругой оболочке на .

Шаг по времени t брался равным половине шага по переменной ц. Программа расчета была написана на языке Python с использованием пакета SciPy (http://www.scipy.org/).

Результаты проведенного компьютерного моделирования представлены на рис. 2-4. Наличие жидкости в оболочке приводит к существенному изменению характера распространения в ней продольных волн деформаций. Если в оболочке нет жидкости (эквивалентно условию а = 0), уединенная волна (имеет структуру ударной волны) движется, сохраняя свою первоначальную форму и скорость (см. рис. 2). Наличие жидкости в оболочке при а = 1 ведет к росту амплитуды волны (см. рис. 3).

Таким образом, можно утверждать, что при при ц < 2 жидкость способствует

постоянной дополнительной «подпитке» энергией (из источника первоначального возбуждения), обеспечивающей рост амплитуды.

Рис. 2: График численного решения уравнения (28) с начальным условием (7) при а = 0.0, а2 = 1.0 , а3 = 1.0, ¿> = 0.5 и для г = 0.0...7.52

Наличие жидкости в оболочке при а = -1 ведет к быстрому уменьшению амплитуды

волны, то есть к её затуханию (см. рис. 4). Для поддержки процесса распространения

волны при м >— необходимо периодическое её возбуждение.

- 4=0.00 -- ( = 0.20 - - ¡ = 0.40 I 4-0.60 - ¡ = 0.80 - ¡ = 1.00

о 20 40 60 80 100

V

Рис. 3: График численного решения уравнения (28) с начальным условием (7) при

ст = 1.0, а2 =1.0, СГ3 =1.0, ю = 0.5 и для г = 0.0...1.00

Заключение

Проведенное моделирование с использованием компьютерной алгебры позволило выявить особенности поведения волн в физически линейных вязкоупругих цилиндрических оболочках, окруженных упругой средой, содержащих вязкую несжимаемую жидкость.

Использование базиса Грёбнера для генерации разностной схемы при численном решении задачи Коши для нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка по пространственной переменной, позволило получить результат расчета без осцилляций вызываемых численной реализацией. Численная схема также была протестирована на точном решении для а = 0 (см. рис. 2).

Рис. 4: График численного решения уравнения (28) с начальным условием (7) при < = -1.0, сг2 =1.0, < = 1.0, ю = 0.5 и для г = 0.0...1.00

Полученный расчет показал влияние вязкой несжимаемой жидкости на поведение нелинейной волны деформации в оболочке в зависимости от величины ¡и1,

характеризующей материал оболочки: рост амплитуды волны для ¡1 < 2, падения

11 амплитуды волны для ¡1 > ^, отсутствие влияния жидкости для ¡1 = ^. За счет

рассеяния энергии в вязкоупругом материале оболочки происходит сглаживаие профиля волны деформации (см. рис. 3, 4).

Работа выполнена при финансовой поддержке Гранта РФФИ проект 13-01-00049-а.

Библиографический список

1. Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в цилиндрических

оболочках: солитоны, симметрии, эволюция. - Саратов, Сарат. гос. техн. ун-т, 1999. -132 с.

2. Аршинов Г. А.,Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Двумерные уединенные волны в нелинейной вязкоупругой деформируемой среде // Акустический журнал.

2000. Т.46. № 1. С. 116-117.

3. Аршинов Г. А., Могилевич Л. И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. - Саратов. СГАУ имени Н.И. Вавилова, 2000. - 152 с.

4. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. - М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

5. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. - М.: Наука, 1972. -432 с.

6. Москвитин В. В. Сопротивление вызко-упругих материалов. - М.: Наука, 1972. -328 с.

7. Власов В.З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. - 490 С.

8. Чивилихин С. А., Попов И .Ю., Гусаров В. В. Динамика скручивающихся нанотрубок в вязкой жидкости // Доклады РАН. 2007. Т. 412, № 2. С. 201-203.

9. Попов Ю. И., Розыгина О. А., Чивилихин С. А., Гусаров В. В. Солитоны в стенке нанотрубки и стоксово течение в ней. // Письма в Журнал технической физики. 2010. Т. 36. вып. 18. С. 42-54.

10. Блинков Ю. А., Мозжилкин В. В. Генерация разностных схем для уравнения Бюргерса построением базисов Грёбнера // Программирование. 2006. Т. 32. № 2. С. 71-

11. Gerdt V. P., Blinkov Yu. A., Mozzhilkin V. V. Grobner bases and generation of difference schemes for partial differential equations // Symmetry, Integrability and Geometry-. Methods and Applications. 2006. Vol. 2. P. 26. http://www.emis.de/journals/SIGMA/2006/Paper051/index.html.

12. Gerdt V. P., Blinkov Yu. A. Involution and difference schemes for the Navier-Stokes equations // Computer Algebra in Scientific Computing. Springer Berlin / Heidelberg, 2009. Vol. 5743 of Lecture Notes in Computer Science. Pp. 94-105.