Нелинейные фильтры, основанные на агрегационных операторах Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

The technique of rational definition of admissions on the accuracy ofproduction and assembly of ammunition based on results of a numerical experiment on calculation of the spatial movement dynamically and statically asymmetric shell by means of the solution of option of the equations of Euler-Poisson by the developed economic implicit numerical method is constructed.

Key words: trajectory, spatial movement, external ballistics, finite-difference scheme, the convergence of iteration, accuracy of production, technical dispersion.

Kert Boris Evvalovich, doctor of technical sciences, prof., head. Of department, kert a mail.ru, Russia, St. Petersburg, FGBOUin the BSTU "Voenmech" them. D.F. Ustinov,

Nabokov Yuri Alexandrovich, general Director, pribor@orc.ru, Russia, Moscow, JSC "NPO" Pribor

УДК 004.92

НЕЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ,

ОСНОВАННЫЕ НА АГРЕГАЦИОННЫХ ОПЕРАТОРАХ

А.В. Мартьянова, В.Г. Лабунец

Рассматриваются такие агрегационные операторы, как арифметическое среднее, геометрическое среднее, медиана с различной апертурой (квадратной, «икс»-и «плюс»-образной) и геометрическая медиана, а также основанные на них фильтры. Их эффективность оценена с помощью пикового соотношения сигнал-шум PSNR после воздействия импульсного и экспоненциального шумов.

Ключевые слова: агрегационный оператор, среднее, медиана.

Изображения в процессе формирования их фотографическими, го-лографическими или телевизионными системами обычно подвергаются воздействию различных случайных помех и шумов [1, 2]. Фундаментальной проблемой в области обработки изображений является эффективное удаление шума при сохранении важных для последующего распознавания деталей изображения.

В цифровой обработке изображений активно развиваются нелинейные алгоритмы на основе ранговой статистики для восстановления изображений, поврежденных различными моделями шумов. Подобные алгоритмы позволяют избежать дополнительного искажения при удалении шума, а также значительно улучшить результаты работы фильтров на изображениях с высокой степенью зашумленности.

Учитывая, что ряд исследователей отмечает низкую эффективность медианных фильтров относительно линейной фильтрации [2], в статье были исследованы фильтры, основанные на агрегационных операторах арифметическое среднее и геометрическое среднее.

225

Агрегационные операторы - это специфические методы информационного объединения, которые могут быть определены математически. Они - часть общего процесса информационной интеграции, т.е. процесса от получения данных до выполнения заключительной задачи. Таким образом, агрегационные операторы позволяют уменьшить количество информации и при этом улучшить ее качество.

Агрегационные операторы используются для комбинирования информации и представляют собой информационные методы объединения. Это операторы, которые комбинируют значения n в области D для получения новой отдельной величины из области D. Самый известный агрегаци-онный оператор - это среднее арифметическое. В его случае комбинируется n значений из реального множества для получения новой величины, которая также является частью данного реального множества.

Определение и свойства агрегационных операторов

Агрегационный оператор согласно [3] - это функция, которая назначает действительному числу y • n -ряд (x\, Х2,..., xn) действительных чисел y = Aggreg (xi, X2,..., xn), удовлетворяющих условию идентичности

Aggreg (x ) = x,

граничным условиям

Aggreg(0,...,0) = 0 и Aggreg (1,...,1) = 1, и условию монотонности

Aggreg(xi,..., xn) < Aggreg(yi,..., Уп) если (xb..., xn) < (yb..., Уп).

Эти свойства являются фундаментальными. Кроме них был предложен еще ряд условий, которые можно разделить на две группы: математические и поведенческие. К математическим свойствам относятся:

- Непрерывность, т.е. функция Aggreg непрерывна относительно каждой из переменных.

- Ассоциативность, т.е. на результат способ объединения аргументов не влияет.

- Симметричность или коммутативность, т.е. порядок аргументов не влияет на результат.

- Бисимметричность, или зеркальная симметричность. Это свойство связанно с агрегированием n2 значений для n -операторов. Если записать все эти значения в квадратную матрицу, то благодаря свойству зеркальной симметрии нет разницы каким образом объединять значения: сначала векторы столбцов, затем строк или наоборот.

- Абсорбирующий элемент a, т.е. Aggreg(xi,..., a,..., xn ) = a.

- Нейтральный элемент e, т.е. элемент, который не влияет на агрегацию Aggreg[n] (xi,..., e,..., xn-i) = Aggreg[n-1] (xb..., xn-i).

- Идемпотент, т.е. при агрегировании n-величин, имеющих одинаковое значение, получится сама эта величина.

226

- Компенсация, или свойство Парето, т.е. результат агрегирования ниже максимального элемента агрегации и выше минимального.

- Противовесность, т.е. поведение оператора, который уменьшает конечный результат, если есть аргументы, которые идут в противоположном направлении.

- Укрепление, т.е. тенденция, с одной стороны, сбора высокого множества для укрепления друг друга и получения утвердительного результата (восходящее укрепление), с другой стороны, сбора низкого множества для укрепления друг друга через дезинформацию (нисходящее укрепление).

- Стабильность, т.е. неизменность агрегационного оператора при различных изменениях масштаба.

К поведенческим относятся следующие свойства:

- Решающее поведение, т.е. определение поведения лица, принимающего решение.

- Интерпретация параметров, т.е. у каждого параметра своя очевидная семантическая интерпретация.

- Веса аргументов, т.е. привилегированность части аргументов.

Базовые агрегационные операторы и их обобщения

В качестве прототипов агрегационных операторов n-ряда (xi, Х2,..., xn) действительных чисел рассмотрены среднее арифметическое, среднее геометрическое, а также медиана, геометрическая медиана (медиана Фреше) и медианы с неквадратными окнами («плюс»- и «икс»-образными).

Арифметическое среднее AM ряда действительных чисел (xi, Х2,..., xn) представляет собой самый простой и самый распространенный способ агрегации, который математически описывается так:

1 n n i i \ AM(xi,Х2,...,xn) = — ^Xj = ^ — • Xj .

ni=1 j=i^n )

Этот оператор интересен тем, что он определяет объединенное значение, которое меньше самого большого аргумента и больше наименьшего. В результате получается агрегат - «среднее значение». Это свойство известно как свойство компенсации. Среднее значение используется часто, т.к. оно удовлетворяет условию монотонности, непрерывности, симметричности, ассоциативности, идемпотентности и стабильности. Но он не имеет ни абсорбирующего, ни нейтрального элементов, а также не имеет никаких поведенческих свойств.

Другой оператор, который преследует идею «среднего значения» -это медиана Med. Ее значение определяется срединным элементом из упорядоченного ряда аргументов (xi, x2,..., xn). Если количество аргументов, n, четное, то медиана - это среднее значение пары срединных аргументов.

Этот агрегационный оператор удовлетворяет граничным условиям, а также условиям монотонности, симметричности, идемпотентности и компенсационному поведению. Математически можно записать так: Aggregмed (*1, *2,.", хп) = Меф!, х2.., хп).

Арифметическое среднее, медиана, а также минимум, максимум являются базовыми агрегационными операторами. Обобщения арифметического среднего были определены как квазиарифметические средние, это геометрическое, гармоническое, степенное и квадратичное средние. В данной статье рассматривается наиболее популярный вариант геометрического среднего ОМ, который математически определяется как:

1

ОМ(х1, Х2,..., хп):

' п Л

п

П х

VI=1

Геометрическая медиана GMed обобщает медиану и представляет собой точку в евклидовом пространстве - с ^, минимизирующую сумму

К

расстояний до всех точек дискретного набора точек Х1,Х2,...,хп е Э = Я (рис. 1) [4, 5].

Рис. 1. Расстояния от произвольной точки с до каждой точки

к

Х1,Х2,...,хп е Э с Я

Нелинейные фильтры

Зашумленное изображение можно записать как /Мсо1 (х) = ^Мсо1 (х) + ЛМсо1 (х), где ^Мсо1 (х) -оригинальное изображение %со1(х) = (^(х), s2(x),...sк (х)) и Л Мсо1(х) - шум

Лмсо1(х) = (Л1(х),Л2(х),...Лк(х)) , который вводится в изображение %со1( х) для получения искажённого изображения

/мсо1(х) = (/1(х),/2(х),.../к(х)) . Здесь х = (1,у)е 22- двухмерное пространство, которое принадлежит к области изображения и представляет собой местоположение пикселей. Целью повышения качества изображения

228

является уменьшение шума с помощью нелинейных фильтров, базирующихся на агрегационных операторах. В двухмерном стандартном линейном случае фильтр с квадратным окном [м^ у)(т,п) т,^=+г размера

N = (2г +1) х (2г +1), расположенном в (/, у), заменяет центральный пиксель средним значением (рис. 2а):

^Мсо1(х) = Аёёгеё{/Мсс1 (m, п)}, (т,п)

где ^Мсо1 (х) - это отфильтрованное изображение; \fNcol(m, п)}(т, п)еМ (/, у)

- блок изображения фиксированного размера N, извлечённый из /мсо1 движущимся окном М(/,}) в позиции (/,у); Aggreg означает агрегацион-ный оператор в окне М (/, у).

При медианной фильтрации зашумленных изображений степень сглаживания контуров объектов напрямую зависит от окна обработки или апертуры фильтра. В данной статье три формы окон с минимальной апертурой (рис. 2). При малых размерах апертуры лучше сохраняются контрастные детали изображения, но в меньшей степени подавляются импульсные шумы.

Рис. 2. Исследуемые варианты окна (апертуры)

Эксперимент

Рассмотренные выше нелинейные фильтры исследовались после воздействия импульсного и экспоненциального шумов.

Импульсный шум характеризуется заменой части пикселей на изображении значениями яркости от 0 до 255. Частный случай импульсного шума - шум «соль-перец», при котором производится замена части пикселей значениями яркости 0 и 255. Данный вид шума может быть связан с ошибками при передаче изображения.

Экспоненциальный или лапласовский шум обычно возникает на этапе формирования цифрового изображения [2]. Он характеризуется добавлением к каждому пикселю изображения значения, согласно лапласов-ского закона распределения:

L(x, a,b) =

1 ea(x _b), x < b;

2

1 _ 1 e"a(x_b), x > b, 2

где a - коэффициент сдвига; b - коэффициент масштаба.

В качестве критерия оптимальности фильтра выбрана универсальная и наиболее распространенная мера - пиковое соотношение сигнал-шум, или PSNR (peak signal-to-noise ratio):

PSNR

256

N M

N • M , = 1," = 1

/ (, У)-/ (, У)

I = и = 1

где N х М - размерность изображения; /(/, у) - оригинальное незашум-

ленное изображение; / (/, у) - отфильтрованное изображение.

Критерий максимума PSNR является универсальным и распространенным критерием качества восстановления при проектировании алгоритмов фильтрации изображения из-за математической простоты. Графики зависимости PSNR от уровня шума для исследуемых видов нелинейных фильтров представлены на рис. 3.

70 68 66 64 62 60 56 56 54 52 50 48 46 44 42 40 36 36 34 32 30-128 26 24 22 26-

,PSNR

1 ; ; ; ;

— ---- ---4--- 1 -------- ---- ---4---+--- ___ ---- --- ___;___ ----___ч ___J

— 1 1 ___

1

ГГ " Я "" IT-"-- I ! ! ! ! !

■ • •

1 --- с-к,. ---4---+--- ___ ---- --- — | — ----

— 1 г ^ ^

! \ 1 " ■- Г

• 1 ■ 1 1 ' ■ ■ •».

— ---- --- ---- ---4--- 1 1 1 ----1---4---|---- 1

- - 1 1 1 1 -1-1-1-1- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1-1-1-1-1-1-1-1-1- 'Процент шу -1——1-%

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 80 95 100 Х-Х-Х--Х Медиана •—*■ —• Геометрическая медиана +—♦—*— Арифметическое среднее ■—■—■—■ Геометрическое среднее

■ -■-•--■ Медиана в окне вида'X"

■ ■—■ ■ Медиана ё окне еица "+м

Рис. 3. Графики эффективности нелинейных фильтров, основанных на агрегационных операторах, после воздействия импульсного шума

2

2

Выводы

Идея применения сглаживающих фильтров достаточна ясна. Поскольку случайный шум характеризуется резкими скачками яркости, имеет смысл заменить исходные значения элементов изображения на средние значения по маске фильтра, чем и достигается уменьшение «резких» переходов уровней яркости. Но вместе с шумом сглаживаются и контуры объектов на изображении, тем самым появляется расфокусировка. На рис. 3 и 4 видно, что применение данного вида фильтра является малоэффективным при зашумленности изображения менее 50 %.

РЗ!^

1 ■ 1 — ----1---4---1----1---- 1111 ---- — ---- ---■)

1

1..; -+ ! ! ! ! ! !

1 1

---- ^ ! ! ! ,

\ | к I ' Ч 1 X 1 1 —

'ь___' '___ ! ! !

! !

1 К 1 ---П--- ~ 1 ч.

— V --- 1 1 "- ч 1 -- . _ ^ ? Ч; . - - -. - - -. _ _ _ к» -: - - - ^. -.

| [ : — 1 Г"""

; ; ! ! !

1 1 1 ~Л 1—

! ! ! —ж ^

---- ---- --- — г —1---- ----1 — т — т — — ---- , " , " , — — — — "" Ж--- •Проц ----11 . енг шч

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 Ё0 65 70 75 80 85 80 85 100 Х-Х-Х--Х Медиана •——• Геометрическая медиана *—♦—Ф—* Арифметическое среднее ■—■—■—■ Геометрическое среднее ■ -■-■--■ Медиана е окне вида 'Xм Медиана в окне вида "+"

Рис. 4. Графики эффективности нелинейных фильтров, основанных на агрегационных операторах, после воздействия экспоненциального

шума

Метод медианной фильтрации с различной формой апертуры предполагает использование интерактивных систем обработки изображений, когда пользователь осуществляет экспериментальный подбор окна и текущий контроль за результатами обработки. Экспериментально доказано, что этот метод дает лучший эффект при обработке изображений с импульсными помехами, нежели при фильтрации флуктуационного (в данном случае, экспоненциального) шума. В то же время, медианные фильтры могут приводить к полному исчезновению мелких деталей изображения при неадекватном выборе параметров фильтра. Данный недостаток можно устранить, используя геометрическую медиану.

231

Заключение

В данной работе представлен новый класс фильтров, основанных на минимизации расстояний до оптимальной медианы. Здесь экспериментально и аналитически доказано, что обобщенное среднее агрегирование Фреше может быть использовано для решения проблем фильтрации изображений естественным и эффективным образом.

Список литературы

1. Bae S., Paris S., Durand F. Two-scale tone management for photographic look // ACM Transactions on Graphics, 2006. Vol. 25. № 3. P. 637-645.

2. Методы компьютерной обработки изображений / Под ред. В. А. Сойфера. 2-е изд., испр. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2003. 784 с.

3. Detyniecki M., Mathematical Aggregation Operators and their Application to Video Querying. Universite Curie. November 2000.

4. Astola J., Haavisto P., and Neuvo Y. Vector median filters. Proc. IEEE 1990 April; 78: 678-689.

5. Fréchet M. Les elements aleatoires de nature quelconque dans un espace distancie // Ann. Inst. H. Poincare 1948. № 10(3). P. 215-310.

Мартьянова Анна Викторовна, инженер, kurzinaav@gmail. com, Россия, Екатеринбург, АО «Научно-производственное объединение автоматики им. академика Н.А. Се-михатова»,

Лабунец Валерий Григорьевич, д-р техн. наук, проф., vlabunets05@yahoo.com, Россия, Екатеринбург, Уральский государственный лесотехнический университет

NONLINEAR FILTERS, BASED ON AGGREGATION OPERATORS А. V. Martyanova, V. G. Labunets

In given article aggregation operators arithmetic mean, geometric mean, median (aperture: square, «X»- and «+»-shared) are considered. Filters, based on aggregation operators are researched. The modeling experiment results allow to determine the advantages and disadvantages of aggregation operators in nonlinear filters. These filters are estimated on peak signal-to-noise ratio PSNR after influence exponential and pulse noise.

Key words: aggregation operator, mean, median.

Martyanova Anna Viktorovna, engineer, kurzinaav@gmail. com, Russia, Yekaterinburg, Academician Semikhatov Scientific-production Association of Automatics,

Labunets Valery Grigorievich, doctor of technical science, professor, vlabu-nets05@yahoo. com, Russia, Yekaterinburg, Ural State Forest Engineering University