Нелинейная задача теплопроводности для радиационно-теплового экрана реактора АЭС Текст научной статьи по специальности «Физика»

Нелинейная задача теплопроводности для радиационно-теплового

экрана реактора АЭС

Аннотация: Рассмотрена стационарная задача теплопроводности для радиационно-теплового экрана реактора АЭС с учетом внутренних источников тепловыделения. Учитывалась зависимость коэффициента теплопроводности бетона от температуры, что обуславливало нелинейность задачи. Решение выполнялось при помощи метода конечных элементов в сочетании с методом последовательных приближений. Установлено, что учет зависимости коэффициента теплопроводности от температуры приводит к незначительному (2.5%) повышению температуры в толще.

Ключевые слова: теплопроводность, метод конечных элементов, стационарное температурное поле, радиационно-тепловой экран, толстостенные цилиндры.

Во многих работах [1-8] рассматриваются задачи расчета толстостенных цилиндров и сфер с учетом силовых и температурных воздействий, когда неоднородность материала носит одномерный (радиальный) характер. В ряде практических задач источник тепла, находящийся внутри цилиндрической оболочки, можно рассматривать как точечный. При этом температурное поле остается осесимметричным, но возникает двумерная неоднородность.

Рассмотрим задачу определения температурного поля для радиационно-теплового экрана реактора АЭС. Расчетная схема представлена на рисунке 1.

Такая конструкция, также называемая «сухой защитой», применяется для уменьшения тепловых и радиационных воздействий, возникающих при работе реактора. В конструктивном плане «сухая защита» является жестко закрепленной в основании толстостенной цилиндрической оболочкой, изготовленной из жаростойкого бетона [2,5,9].

11 2 Э.К. Агаханов , Р.М. Курачев , А. С. Чепурненко , И.И. Кулинич

1 Дагестанский государственный технический университет 2Ростовский государственный строительный университет 3Северо-Кавказский федеральный университет

3

3

В работах [2,5] задача теплопроводности решается

вариационно-разностным методом. Однако этот метод имеет недостаток, связанный с тем, что при определении напряженно-деформированного состояния решение также должно выполняться вариационно -разностным методом, либо при решении методом конечных элементов сетка КЭ должна

совпадать с разностной сеткой.

Рис. 1. - Расчетная схема: 1 - корпус реактора; 2 - теплоизоляция; 3 -«сухая защита»; 4 - биологическая защита; 5 - каналы охлаждения

Кроме того, в работах [2,5] не учитывается зависимость коэффициента теплопроводности и коэффициента линейного температурного расширения от температуры.

Рассмотрим решение осесимметричной задачи теплопроводности с учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры при помощи метода конечных элементов.

В случае стационарного температурного поля уравнение теплопроводности для осесимметричной задачи имеет вид:

1

1 д_

г дг

гЯ(Т)

дт

дг

+ -

д_ дг

Л(Т)

дТ дх

= -Ж ( г, г ),

(1)

где Я(Т) - коэффициент теплопроводности, Ж (г, г) - плотность внутренних источников тепловыделений.

Для функции Ж (г, г) используется следующая зависимость, приведенная в работах [2,5]:

Ж(г, г) = Ж0 + Ж ехр[-8(г - а)] Бт

7П

И'

(2)

где Ж0, Ж1, 8 - эмпирические параметры.

На верхней и боковых поверхностях цилиндра граничные условия принимаются в виде:

дТ

Л"— + к(Т - Г ) = 0, дп

(3)

где к - коэффициент теплоотдачи, Тш - температура окружающей среды, п -нормаль к поверхности.

Для нижней поверхности считаем, что масса основания намного больше массы цилиндра и температура на границе является заданной функцией:

Т = Т0( г) при г = 0. (4)

Решению уравнения (1) с граничными условиями (3) и (4) соответствует минимум следующего функционала:

Г1

я

'дТV (дТ^1

дг

+

V /

Кд2 у

- 2ЖТ

йУ +1 к/(Т - Тш)2 №. 2 ^

(5)

Будем использовать треугольный симплекс-элемент, представленный на рис. 2.

1

Рис. 2. - Используемый конечный элемент Для температуры в пределах элемента принимается следующая аппроксимация:

Т = N Т + ЫТ] + ыктк = {ыг N. ык }т Т. Тк } = {. N. Ык }{Т},

где N 1, N., Ык - функции формы, Т1, Т}, Тк - узловые значения температуры. 1

N. = (а + Ь г + с.г\

г 2 А г г

где А - площадь элемента, а. = г.г. - г^., Ь. = z. - , с. = г - г .

(6)

г .к к р г . к? г к .

Первый интеграл в (5) с учетом аппроксимации (6) запишется в виде:

Ь

/1

2

V

г

'дтЛ2 (дт^2

\дг у

+

дz

V ^ У

- 2ЖТ

(IV =1 }т (

2 4 А

{ Ь. Ьк}+

+ ^

{ с.. Ск }){Т} (V - Ж| TdV.

| TdV = {Т }Т | N. N. }TdV = {Т }Т

пА 6

"2 1 1" г г

1 2 1 < г

1

1 1 2 гк,

Интеграл по поверхности в (5) вычисляется следующим образом: | (Т - Тш )2 (Б =| Т2(Б - 2Тш| Т(Б + Т25.

| Т2 (Б = {Т }Т 2п{

N.

г

N] N

№ N. N. }(ЦТ }Т = {Т }Т 2п[С ]{Т}, (7)

к

к

где Ь - длина ребра, попавшего на границу сред.

Интеграл (7) вычисляется только для ребер, попавших на границу между оболочкой и окружающей средой. Если граница проходит по ребру, соединяющему узлы I и_/, то матрица [С] имеет вид:

[С ] = — 1 12

3г + г г + г 0

' 1 ' 1

г + г г + 3г 0

' 1 ' 1

0

00

Если граница раздела сред совпадает с ребром Iк или Д, то матрица [С] записывается в виде:

^0 0 0

С ] =

— 12

3г + гк 0 г + гк

г к г к

000

г + гк 0 г + 3 гк

г к г к

; С ] =

— 12

0 3г + г г + г

1 к 1 к

0 г + г, г + 3г.

1 к 1 к

I Ш = |

N.

г

N.

1

N.

2жгdL = 2п|

N.

г

N.

1

N.

>(Nr + N г + Nкгк)с— = 2п{/}.

Вектор {/} для ребер у, гк,]к имеет вид:

{/} = Ь

2г + г

1

г + 2г

1

0

; /} =

Ь 6

2г + г,

к

0

г + 2г.

к

; {/к}

Ь

1к' 6

0

2г + г.

1 к

г + 2г.

1 к

Минимизируя функционал х, получим следующую систему уравнений:

[ К ]{Т} = {Р},

где [ К ] - матрица теплопроводности, {Р} - вектор нагрузки.

[ К ]

X

4 А

где г = (г + г + гк )/3.

/ \Ь-} г с г \

< Ь 1 Ь Ьк} с 1 {г С1 Ск } 2пг + 2лк[С ],

V Ьк ск У

J

{P} =

WnA

6

"2 1 1" r г

1 2 1 < r

j

1 1 2 lrk J

+ 2nhTm {f}.

Поскольку коэффициент теплопроводности зависит от температуры, то задача решается методом последовательных приближений. В первом приближении принимаем, а затем корректируем X для каждого элемента по формуле: X = (Х-1 +Х(Т-1))/2. Критерием выхода из цикла является условие

(тах(Т) - тах(Т"»-100% < 0.1%. тах(Т)

Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры для жаростойкого бетона, представленная в действующих строительных нормах [10], приведена в таблице 1.

Табл. 1. - Коэффициент теплопроводности жаростойкого бетона при

различных температурах

T, °С 50 100 300 500 700

X, Вт/(м-°С) 1,51 1,37 1,39 1,51 1,62

Представленная в табл. 1 зависимость при 50 °С < Т< 700 °С аппроксимируется следующим образом:

з ( T - 50 V

1(T) = 5 4-100-),

где T - температура в градусах Цельсия; в0 = 1,51, Д =-0,2136, в2 = 0,0774, в3 = -0,0065 - коэффициенты, полученные при помощи метода наименьших квадратов.

При T< 50 °С примем, что Л = const = 1,51 Вт/(м-°С). Вычисления

выполнялись при следующих исходных данных: коэффициент теплоотдачи и средняя температура окружающей среды вблизи внутренней поверхности цилиндра (при r = a): ha = 5 Вт/(м -°С), Тдаа = 50 °С; на внешней поверхности

J

2

при г = Ь: кЬ = 35 Вт/(м -°С), Тю,ь = 20 °С; на верхнем торце при г = Н: кн = 20 Вт/(м2-°С), ТЮ,Н = 35 °С; а = 2 м, Ь = 3 м, к = 3 м.

Температура в основании цилиндра определялась следующим образом: т (г) = т 1п(Ь / г) + т 1п(г / а)

^ 0 V / Лп - "т ^ О,

ln(6 / а) B 0ln(6 / а)' где T^ = 72 °С, TB 0 = 28 °С.

Эмпирические коэффициенты: W0 = 6,7 -10-4 Вт/м3 , W1 = 1,6 -10-3 Вт/м3, 8 = 10.

На рисунке 3 представлен график изменения температуры в зависимости от r и z. Закрашенной поверхности соответствует решение при X = const, сетчатой - при X ф const. Учет зависимости коэффициента теплопроводности от температуры приводит к незначительному (на 2.5%) повышению температуры в толще конструкции. Распределение коэффициента теплопроводности в зависимости от r и z представлено на рисунке 4.

Рис. 3. - Распределение температуры Рис. 4. - Изменение коэффициента в зависимости от г и г теплопроводности Х(г, г)

Литература

1. Дудник А.Е., Чепурненко А.С., Никора Н.И., Денего А.С. Плоское деформированное состояние полимерного цилиндра в условиях термовязкоупругости // Инженерный Вестник Дона: электронный журнал. 2015. №2 (часть 2). URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/3063

2. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел: монография. М.: Издательство АСВ, 2002. 288 с.

3. Языев Б.М., Литвинов С.В., Козельский Ю.Ф. Плоская деформация элементов цилиндрических конструкций под действием физических полей // Инженерный Вестник Дона: электронный журнал. 2013. №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1616

4. Литвинов С.В., Козельский Ю.Ф., Языев Б.М. Расчёт цилиндрических тел при воздействии теплового и радиационного нагружений. Инженерный Вестник Дона: электронный журнал. 2012. №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2012/954

5. Смолов А.В. Напряжённо-деформированнное состояние неоднородных упругих цилиндров под действием силовых и температурных нагрузок: дис. канд. техн. наук. М.: 1987. 161 с.

6. Andreev V.I., Chepurnenko A.S., Jazyjev B.M. Model of Equal-stressed Cylinder based on the Mohr Failure Criterion//Advanced Materials Research Vols. 887-888 (2014) pp 869-872. Trans Tech Publications, Switzerland

7. Andreev V.I., Avershyev A.S. Nonstationary Problem Moisture Elasticity for Nonhomogeneous Hollow Thick-Walled Sphere // Advanced Materials Research Advanced Materials Research, Vols. 838-841 (2013), pp. 254-258. Trans Tech Publications, Switzerland

8. Andreev V.I., Avershyev A.S. About Influence of Moisture on Stress State of Soil Taking into Account Inhomogeneity // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2013. №9. pp. 14-20.

9. Дубровский В.Б. Радиационная стойкость строительных материалов. М.: Стройиздат, 1977. 278 с.

10. СП 27.13330.2011. Бетонные и железобетонные конструкции, предназначенные для работы в условиях воздействия повышенных и высоких температур. Актуализированная редакция СНиП 2.03.04-84. М., 2011. 121 с.

References

1. Dudnik A.E., Chepurnenko A.S., Nikora N.I., Denego A.S. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015. №2 (chast' 2). URL: http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/3063

2. Andreev V.I. Nekotorye zadachi i metody mehaniki neodnorodnyh tel: monografija [Some problems and methods of mechanics of inhomogeneous bodies: monograph]. M.: Izdatel'stvo ASV, 2002. 288 p.

3. Jazyev B.M., Litvinov S.V., Kozel'skij Ju.F. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013. №2. URL: http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1616

4. Litvinov S.V., Kozel'skij Ju.F., Jazyev B.M. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2012. №3. URL: http://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2012/954

5. Smolov A.V. Naprjazhjonno-deformirovannnoe sostojanie neodnorodnyh uprugih cilindrov pod dejstviem silovyh i temperaturnyh nagruzok: dis. kand. tehn. nauk [Stress-strain state of inhomogeneous elastic cylinders under mechanical and temperature loads: diss. cand. tech. sciences ]. M.: 1987. 161 p.

6. Andreev V.I., Chepurnenko A.S., Jazyjev B.M. Model of Equal-stressed Cylinder based on the Mohr Failure Criterion.Advanced Materials Research Vols. 887-888 (2014) pp 869-872. Trans Tech Publications, Switzerland

7. Andreev V.I., Avershyev A.S. Nonstationary Problem Moisture Elasticity for Nonhomogeneous Hollow Thick-Walled Sphere. Advanced Materials Research Advanced Materials Research, Vols. 838-841 (2013), pp. 254258. Trans Tech Publications, Switzerland

8. Andreev V.I., Avershyev A.S. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2013. №9. pp. 14-20.

9. Dubrovskij V.B. Radiacionnaja stojkost' stroitel'nyh materialov [Radiation strength of building materials]. M.: Strojizdat, 1977. 278 p.

10. SP 27.13330.2011. Betonnye i zhelezobetonnye konstrukcii, prednaznachennye dlja raboty v uslovijah vozdejstvija povyshennyh i vysokih temperature [Concrete and Reinforced Concrete Structures intended for the Service in Elevated and High Temperatures]. Aktualizirovannaja redakcija SNiP 2.03.0484. M., 2011. 121 p.