CC BY
28
УДК 539.3
В. М. Мальков, Ю. В. Малъкова
Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2005, вып. 1
НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ФЛАМАНА
ДЛЯ МАТЕРИАЛА БАРТЕНЕВА-ХАЗАНОВИЧА*)
Введение. В настоящей работе получено аналитическое решение нелинейной задачи Фламана для полуплоскости, нагруженной на границе сосредоточенной силой. Для полуплоскости принята модель несжимаемого материала Бартенева-Хазановича (он же материал Варга), которая применяется в механике эластомерных материалов [1]. Решения нелинейных сингулярных краевых задач, к их числу относится и задача Фламана, полученные без наложения ограничений на величину деформаций, представляют большой интерес. Обычно решают линейные сингулярные краевые задачи, использующие уравнения линейной теории упругости, что, вообще говоря, незаконно. В окрестности точки приложения сосредоточенной силы деформации не только не малы, как того требует линейная теория упругости, но и обращаются в бесконечность. Ранее была решена аналогичная задача для неогуковского материала [2]. Сравнение решений задач для разных моделей материала показало принципиальное различие напряженных состояний в окрестности точки приложения силы, напряжения имеют в ней разную асимптотику. Оба решения существенно отличаются и от решения линейной задачи Фламана [3]. В последней только радиальное напряжение не равно нулю; в нелинейных задачах присутствуют и радиальные, и окружные напряжения, которые зависят от модели материала и не малы.
1. Постановка задачи. Введем цилиндрические координаты отсчетной конфигурации (г, с векторным базисом е*, г = 1,2,3, полуплоскости соответствует область г € [0, оо), |</?| ^ 7г/2. Предположим, что векторный базис совпадает с главными осями тензора деформации Коши. Обоснование этого предположения имеется в работе [2]. В результате деформации векторы е$ переходят в базис текущей конфигурации е^, причем е^ = <3 • е,, где - ортогональный тензор, участвующий в полярном разложении градиента деформации в = • А, (А - тензор кратностей удлинений).
Представим градиент деформации и тензор условных напряжений в смешанном базисе
С* = Аа еаеа, Б = еаеа, (1-1)
где А» - кратности удлинений, я; - условные напряжения; по повторяющимся греческим индексам выполняется суммирование.
Для плоской задачи параметр Аз = 1, для обобщенной плоской задачи Аз ф 1 либо заданное число, либо величина, определяемая по известной осевой силе [4].
Уравнения равновесия сНуБ = 0 в проекциях на главные оси имеют вид
А1(гв1)/г-(гА2);в2=0,
(1.2)
Граничные условия задачи
0 при,г -> оо, 8ч — 0 при </> = ± 7г/2. (1.3)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 03-01-00214).
© В.М. Мальков, Ю. В. Малькова, 2005
Ортогонально к границе полуплоскости приложена внешняя сила F. Ее должна уравновешивать результирующая напряжений si = ei • S на дуге полуокружности радиуса г = const
+тг/2
J sirdip = -F. (1.4)
-тг/2
Рассматривается эластомерный несжимаемый материал, свойства которого заданы упругим потенциалом Бартенева-Хазановича [1]
Ф = 2/х (tr Л — 3).
Для этого потенциала тензор условных напряжений равен
S = 2/i QT + qJ G_1, (1.5)
здесь // - модуль сдвига, q - неизвестная функция переменных (г, (р), J = detG -кратность изменения объема.
Запишем (1.5) в условных напряжениях
Si = 2n + qJXi\ i = 1,2,3. (1.6)
При малых деформациях из (1.5), (1.6) вытекает линейный закон Гука несжимаемого материала.
Тензор истинных напряжений и истинные напряжения вычисляются по формулам
JT = 2/х Q • Л • QT + qJ I,
Jti = 2/i Ai + q J, ¿ = 1,2,3. Из условий на бесконечности si, S2 -> 0 при г оо следует
Ai, А2 -> уДз, q -2{лХ^1/2,
эти выражения можно использовать для контроля решения.
2. Решение задачи. Подставим напряжения (1.6) в уравнения (1.2):
2ц (Ai - А2) - 2fir\'2 r+rq'r= О,
(2.1)
Уравнения (2.1) содержат три неизвестные функции. Две из них - кратности удлинений - с помощью этих уравнений можно записать через функцию q:
2tiXt=q + ff'(r),
(2.2)
2/л гА2 = h [ф) + rq + д (г),
где д (г), h(ip) - неизвестные функции интегрирования.
Из условия несжимаемости J = А1А2А3 = 1 получим уравнение для функции q (г, <р)
rq2 + (h + g + rg')q + (h + g)g'-4rfi2X^ = 0, (2.3)
из которого найдем эту функцию
2гд = -(Л + д + гд') + + гд')2 + 16г2^2А^. (2.4)
Второй корень не годится, так как приводит к противоречию с очевидными неравенствами Х{ > 0.
Неизвестная функция д (г) определяется из граничных условий на лучах <р = ± 7г/2, где окружное напряжение вг = 2/х + д А1А2 = 0. Ввиду симметрии задачи относительно луча <р = 0 имеем только одно уравнение, из которого получим
д2+д'д + 4/х%1 =0, (2.5)
Л0 + д + 2гд = 0, (2.6)
где Ло = Л(±7г/2). Исключим из (2.5) и (2.6) функцию д\
г[(Ло + д)Х - (Ло + д)2 - 16г2а*2Аз 1 = 0. (2.7)
Найдем общее решение уравнения (2.7)
Л0 + д (г) = ± ^Аг + 1 б^^Аз1. (2.8)
Второй корень (со знаком минус) не подходит, так как должно быть (/10+0) > 0. Чтобы это показать, запишем уравнение (2.3) на границе полуплоскости </? = ±7г/2 с учетом равенства (2.5)
(Ы> + д){д + д') ~ 8гд2А^х = 0.
Поскольку 2(л = д + д' > 0, то и (Ло + д) > 0.
Дальнейшее исследование показало, что константы А и Ло следует положить равными нулю. Если довести решение до определения функции Л (ср), то получим
Л — Ло + Аг/( 8/м) = С1 сову?.
Полагая здесь = ±7г/2, приходим к тому, что А = 0, Ло = 0. В таком случае из (2.8) для функции <7 (г) имеем
<7(г)=4/.гА3-1/2. (2.9)
Учитывая (2.9), для кратностей удлинений (2.2), функции д - (2.4) и напряжений получим
4цгХх = -Л + /, 4дгАг = Л + /, 2гд = -Л + / - 8/хгЛд 1/2, г«1 = -Л + / - 4^гА^"1/2, г*2 = / - 4//гА~1/2, (2.10)
гв1 =-(Л + /)А^/2+4/гг, г*2 = (Л - /)(А^/2 + ЛА3/(4//г)) + 4//г. В (2.10) введено обозначение
/ = ^Л2 + 16/х2г2Аз1.
Справедливы следующие зависимости:
¿1 = 2//(А1 - А2) = -Лг-1,
«1 - «2 = -Я - = Я-
2 цг
Напряжения и деформации определены формулами (2.10) с точностью до неизвестной функции Н ((р).
3. Асимптотические разложения. Построим асимптотические разложения кратностей удлинений и напряжений в окрестности полюса и на бесконечности. Асимптотические разложения при гЧО
3
2„2
52 = 4д-2М + (1-^-1^+0 (г5).
\ Л 4/гг
¡Ар; V
На границе области = ±7г/2 имеем Л = 0, и некоторые формулы теряют смысл. В окрестности этой границы нужно специальное исследование асимптотики. На самой границе
Х{ = А^1/2, д = -2/лХ^1^2, и = вг = 0, г = 1,2. Асимптотические разложения при г оо
А1=А3-1/2- А+ + (г"4),
3 4/2Г 32//2г2 4 7
д = - А + ^ + О (г"4),
r 8/zr¿
Л2 A3 h?xV2 . _4ч
Из этих формул видно, что напряжения и кратности удлинений удовлетворяют условиям на бесконечности. Главные члены разложений напряжений имеют ту же зависимость от г, что и напряжения линейной задачи Фламана [3].
4. Определение функции h (</?). Для нахождения функции h(íp) используем условие совместности деформаций [4], которое в плоской задаче в главных осях деформации имеет вид
д 1 дг\2 t 8 1 д\\ __ в dr Ai dr dip гА2 dip Будем использовать это уравнение в предельной форме при г —> оо; это возможно, так как функция h (<р) не зависит от переменной г.
Подставляя в равенство (4.1) кратности удлинений из (2.10) и переходя к пределу при г -> оо, получим следующее уравнение для функции h (ip):
h'¿ + h = 0. (4.2)
Общее решение уравнения (4.2)
h (ф) = С\ cos ip + С2 sin </?.
Ввиду симметрии задачи относительно луча ip = 0 имеем С2 = 0. Константа С\ определяется из интегрального условия равновесия (1.4). Окончательное выражение для функции h (ip) таково:
h(<p) = 2Fy/Xz~ cosip,
7Г
где F - величина сосредоточенной силы в полюсе.
5. Определение перемещений. Чтобы найти вектор текущего положения точки R с помощью уравнения dR = G • dr, в котором г - вектор точки отсчетной конфигурации, необходимо знать градиент деформации G = Аа е^еа. Кратности удлинений A¿ известны, векторы текущего базиса находятся из системы уравнений
де[ ___1 <9Ai , де[ _ 1 дгХ2 ,
дг rA2 dip 2' dip Ai dr 2
де'2 _ 1 <9Aj , де^_ _ 1 дгХ2 , дг гА2 dip dip Х\ dr 1'
Необходимое и достаточное условие разрешимости этой системы относительно векторов базиса ej есть (4.1). Положим
e'j = coswei +sino;e2, е'2 = — sinwei +coswe2. (5.1)
Подставив эти значения в формулы дифференцирования векторов, получим уравнения для угла ш
ди ___1 дХг х + ^ _ 1 дгХ2 ^
dr rX-2 dip ' dip Ai dr Равенство (4.1) является условием совместности уравнений.
Интегрируя первое уравнение (5.2), найдем
,, I dh
(5.3)
где шо (ф) - неизвестная функция интегрирования. Так как на бесконечности при г -у оо должно быть ш = 0, то wo = 0. Теперь векторы (5.1) известны и градиент деформации полностью определен.
Вектор текущего положения точки вычисляется с помощью криволинейного интеграла, который не зависит от пути интегрирования:
R = J G - dr = JiX^dr+ r\2e'2dip). (5.4)
Условием независимости интеграла (5.4) от пути является равенство rot GT = 0, легко проверить, что оно выполнено.
Заключение. Проведем сравнение аналитических решений нелинейной задачи Фламана, приведенных в данной статье для материала Бартенева-Хазановича и полученных в работе [2] для неогуковского материала. Обе модели описывают несжимаемый материал.
Напряжения нелинейных задач зависят от модели материала (от модулей упругости материала), причем, наряду с радиальными сжимающими напряжениями, в решениях присутствуют и окружные напряжения, которые являются растягивающими. Напомним, что в решении линейной задачи Фламана только радиальное напряжение отлично от нуля и не зависит от свойств материала [3].
Разложения кратностей удлинений и напряжений при г -У оо в двух нелинейных задачах практически совпадают, по крайней мере в главных членах. Такой результат следовало ожидать, поскольку оба решения на бесконечности переходят в решение линейной задачи.
Совершенно другую ситуацию наблюдаем для разложений в окрестности полюса при г —У 0. Здесь различия в асимптотике напряжений имеют принципиальный характер. Так, истинные напряжения Коши для неогуковского материала обладают особенностью в полюсе порядка 1 /г (как и в решении линейной задачи). Для материала Бартенева-Хазановича получили радиальные истинные напряжения, у которых нет особенности в полюсе, и окружные напряжения с особенностью 1 /г. Особенности условных радиальных и окружных напряжений для неогуковского материала - порядка 1/г3/2 и 1 /г1/2 соответственно. Для материала Бартенева-Хазановича радиальное напряжение имеет особенность порядка 1/г, окружное напряжение ее не имеет.
Из сказанного можно сделать следущий вывод. Прежде всего отметим, что характер особенности в полюсе напряжений и деформаций нелинейной задачи Фламана зависит от модели материала. По-видимому, это относится ко всем нелинейным сингулярным краевым задачам. Если напряжения нелинейной задачи Фламана для модели неогуковского материала не противоречат нашим физическим представлениям, то напряжения для модели материала Бартенева-Хазановича вызывают сомнения. В первую очередь это относится к истинным радиальным напряжениям, отсутствие у них особенности в полюсе и зависимости от внешней нагрузки противоречит физическим представлениям и не согласуется с решением линейной задачи.
^онечно, окончательные выводы о применимости рассмотренных моделей материала к реальным эластомерным материалам можно будет сделать на основе экспериментальных исследований нелинейной задачи Фламана.
Summary
Mal'kov V. M., Mal'kova Yu. V. Non-linear Flamant problem for Bartenev-Hazanovich material.
The analytical solution of non-linear Flamant problem is obtained for semi-plane loaded concentrated force on the board for a model of Bartenev-Hazanovich material. The comparison of two solutions for Neo-Hookean and Bartenev-Hazanovich materials has shown essential differences in asymptotics of stresses in the vicinity of a pole for these models. It follows from the physical considerations relating to the stresses, that the first model is more acceptable than the second one.
Литература
1. Бартенев Г.М., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластичных деформаций сеточных полимеров// Высокомолекулярные соединения. 1960. Т. 2, № 1. С. 20-28.
2. Мальков В. М., Малъкова Ю. В. Нелинейная задача Фламана для несжимаемого материала// Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2004. Вып. 3. С. 123-134.
3. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., 1975. 576 с.
4. Мальков В. М. Основы математической нелинейной теории упругости. СПб., 2002. 216 с.
Статья поступила в редакцию 21 апреля 2005 г.
