CC BY
50
Теория ползучести
НЕЛИНЕЙНАЯ НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
Р.С. САНЖАРОВСКИЙ, д.т.н, профессор
Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева
010008, Республика Казахстан, г. Астана, ул. Мирзояна, 2; salsa87@bk.ru
Проведен анализ правил построения теории ползучести материалов с существенно нелинейными мгновенными свойствами - бетон, каменная кладка, древесина, алюминий, полимеры. Получены нелинейные уравнения ползучести, в том числе связывающие между собой полные и мгновенные деформации. Для традиционных мер ползучести уравнения записаны также в дифференциальной форме.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: нелинейная теория ползучести, мгновенные нелинейные деформации, расчеты конструкций.
Основные материала в строительных конструкциях - бетон, каменная кладка, древесина, алюминий, полимеры обладают существенно нелинейными мгновенными диаграммами о-е, ползучестью, свойством старения. Теории ползучести, разработанные для таких материалов, не учитывают их мгновенные нелинейные свойства, и основаны на законе Гука. Это обстоятельство вносит в результаты расчета конструкций большую погрешность, приносит большой материальный урон. Например, в сжатых железобетонных конструкциях погрешность достигает 75%, т.к. возникает разрыв между мгновенной нелинейной теорией расчета и линейной длительной теорией расчета одной и той же конструкции. Изящество линейной наследственной теории упругости, хорошо разработанный математический аппарат отвлекли исследователей от проблем нелинейной теории, привели к неудачным практическим результатам.
В статье исследуются правила построения нелинейной теории ползучести, предлагаются новые уравнения, учитывающие одновременно и мгновенную нелинейность и длительную прочность материала и позволяющие эффективно использовать их при создании практических методов расчета конструкций.
Линейные наследственные теории ползучести основаны на использовании принципа суперпозиции, вытекающего из совокупности принципа независимости действия сил классической механики и свойств потенциального силового поля. Принцип независимости действия сил устанавливает правило их объединенного действия по отношению к ускорению (первое правило): ускорение, вызванное силой, определяется только этой силой и не зависит от остальных сил; сумма ускорений, вызываемых силами, приложенными к точке, пропорциональна сумме этих сил. Такой принцип наложения имеет отношение к ускорению точки.
Принцип наложения сил по отношению к перемещению следует из принципа независимости действия сил, после введения ограничений на силы - рассматривается класс упругих сил F _ сх , в частности а _ Ееу, где 8у - мгновенная деформация. Система является потенциальной и стационарной (второе правило). Можно рассматривать и нестационарное потенциальное поле, в этом случае время t нужно рассматривать как фиксированный параметр. Обобщенная сила и обобщенное перемещение находятся через силовую функцию
Qj дgJ, gj .
В случае линейной ползучести вводится дополнительная гипотеза, аналогичная закону Гука о существовании линейной связи
1
а = Сп£п = СЦУ) £п,
где еп - деформация ползучести; сп - коэффициент жесткости при ползучести; С(^т) - мера ползучести (третье правило).
Соединение второго и третьего правил позволяет ввести понятие приведенного коэффициента жесткости модели
с _ Е (г) Спр Е (г, т)+ 1.
Величина называется характеристикой ползучести
р(, т) _ еп/£м , где ем - мгновенная деформация; в частности р^, т) _ еу .
Силовую функцию запишем в виде
и м л-21 - 21 - щ *+21а ^ •
На основании совокупности перечисленных правил можно сформулировать принцип суперпозиции Больцмана. Уравнение линейной ползучести имеет вид
'0 '0
В выражении (1) не учитываются мгновенные нелинейные свойства, которые в кратковременных и длительных экспериментах с бетоном проявляются при довольно низких а « 0,2Я уровнях загружения.
Результаты экспериментов привели к дополнению уравнения (1) нелинейным слагаемым
8(')-||г 1 *(х)£ Ш 1 а^!^, ^ 1 Ра 2 т)* , (2)
'о 'о 'о
где показатель степени выбирается каждым исследователем по своему усмотрению. Запись (2) соответствует предположению о существовании нелинейной связи еп - /[<т(х)]с(/1,т)-[сг(т) + [а2(т)]с(/,т), призванной удовлетворить отмеченные выше правила. Однако, такое предположение не является достаточным для выполнения принципа суперпозиции. Четвертое слагаемое в (2) свидетельствует о введении трех новых гипотез, изменяющих корректные правила линейной теории. Эти же гипотезы оказываются несоответствующими классической механике.
Первой гипотезой (четвертое правило) является предположение о выполнимости принципа независимости действия сил для силы Ра2. Однако такое предположение не соответствует механике Ньютона: тм>1 - [ст^ + Ф1;
тм>2 - [а 2 +Ф2; + w2)- [(а1 + а2 )2 +(Ф1 +Ф2); в дифференциальной
форме уравнения (2) появляются силы, пропорциональные ускорениям.
Второй гипотезой (пятое правило) является пренебрежение в первых двух членах уравнения (2) той частью мгновенных деформаций, которая соответст-
2 2 вует силе Ра . Ввиду этого внутри модели образуется разрыв сил: а о Ра ;
используется две диаграммы мгновенного деформирования.
Третьей гипотезой (шестое правило) является предположение об одновременном существовании нескольких линейных связей с одним коэффициентом жесткости
а-С(Ь) 8", Ра 2 - С(Ь) 8 п, (а + Ра 2 )- С^) 8 п,
что противоречит понятию меры ползучести С(',т).
У мгновенно нелинейного материала второе правило изменится. Для случая возрастания напряжений учитываем мгновенно нелинейную диаграмму, представленную функцией а - /Це м (')], либо обратной функцией ем - /2 [ст(?)]. При разгрузке учитывается линейная мгновенная диаграмма, либо задаются соответствующие функции /1р [е м (')] и /2р [а(')]. Параметры диаграммы мгновенного деформирования изменяются с течением времени.
Например, для бетона используем нелинейную диаграмму Еврокодов с ниспадающим участком
4[Е(/)]бм + А[Е(/),Я(г)]Бм . р _ В,[Е(г)]а + В2 [Е(/),Я(г)]а2
1 + Аз[Е(г),)]БМ ; Бм _ 1 + ВзЕ(г),Я(г)]а , (3)
где модуль упругости Е(г) и прочность Я(г) (в том числе длительная) являются известными функциями времени.
Интегральное уравнение ползучести на основе принципа наложения с учетом старения и длительной прочности записываем в виде
б(')_ /2Кг)]-}
д/2 дВ1 дЕ + /ГдВ2 дЕ + —В2дЯ +
8В1 дЕ дг дВ2 ^ дЕ дг дЯ дг
+ д/2 Г дВ3 дЕ + дВ3 дЯ
дВ3 ^ дЕ дг дЯ дг
г д А?г- [а(г)— С(г, г)о?г. дг
го
(4)
Последний интеграл содержит не функцию от напряжений, а само напряжение.
Рассмотрим прежде частный случай, когда Е и Я с течением времени не изменяются. Уравнение (4) имеет простой вид
г
б(')_б м (г)+ | /1[б м (г)]-С (г, г)^г, (5)
' г
г о г
д
либо Б(г)_ /2 [а(г)] + | /1[б м (г)]— С (г, г)^ . (6)
дг
г о
Важно подчеркнуть, что в первом и втором слагаемом уравнения (6) содержатся функции от разных аргументов.
При вырожденной функции С (г, г)_ Со (1 - е _у(г-г)) интегральные уравнения (5) и (6) сводим к дифференциальным с нелинейными коэффициентами
б( ) + уБ(г) _ Бм (г) + /1 [бм (г )}у(1 + Со) + убм (г), (7)
либо б (г)+ УБ(г) _ ^МЗ с (г)+а(г )у(1 + Со)+ у/2 [а(г)]. (8)
да
При учете функции старения 0(г) вместо константы Со, а также параболы для функции /[[бм (г)], дифференциальное уравнение ползучести имеет второй порядок
Бм (г)+ Бм (гм + е(г))+ 2«у0(г)бм ()] _ б(')+ уб('). (9)
Обратим внимание на важный результат. Дифференциальные уравнения ползучести типа (7), (9) позволяют, при решении различных задач в условиях ползучести и длительной прочности, учитывать точное распределение напряжений по поперечному сечению конструкции, соответствующее принятой функции /1 [бм (г)]. Гипотеза плоских сечений дает дополнительное дифференциальное условие совместности краевых деформаций сечения (полных и мгновенных)
Б1 (г)б2м (г) + Б1 (г)б2м (г) _ Б2 (гКм (г) + б2 (г)б1м (г). (1о)
Оказывается возможным преодолеть существенные трудности, связанные с выявлением характера распределения напряжений по сечению в условиях нелинейной ползучести, и не использовать ошибочную гипотезу о линейном харак-
г
о
тере этого распределения, особенно при наличии трещин. Деформация ем играет здесь роль вспомогательной переменной, позволяющей в любой момент времени найти соответствующее напряжение.
Оказывается возможным на основе уравнений ползучести (7), (9) отказаться от использования интерполяционных полиномов, применяемых для описания характера распределения напряжений по поперечному сечению конструкции, и в ряде случаев существенно снизить порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений задачи [2].
Рассмотрим способы преобразования последнего интеграла в уравнении (4), позволяющее нелинейное интегральное уравнение свести к линейному.
Введем в рассмотрение эквивалентную зависимость для деформации ползучести
в п = сС (Г, х) = в м ф , (11)
где ф = вп/вм ; для мгновенно линейного материала ф(г, т) = Е(т)С(г, т), т.е. получаем известную зависимость.
Характеристику ползучести ф запишем в виде
ф = — С (', т)= ° С (', т) = Ес (с)С (', т), /2 (с)
где Ес = Е(т)[1 - рс + р2с2 - р3с3 +... Таким образом, имеем ф = Е (т)С
= Е(т)ф1(с). Г, т)ф1(с).
Полагая ф1 (с) = 1, мы рассматриваем мгновенно упругий материал. Деформация ползучести записывается в следующем виде
вп = } вм (т)|ф * = }/2 [с(т)С (', т)0^ * +
;от от
'0 '0
+ | /2 [с(т)Ес (<)- С (Г, т^т.
'0
Для частного случая функции/ из (2) имеем
/2 [с(т)] = В1С + В2 с 2 =[с + В2Е (т)с 2/[с(т)]. (13)
(12)
Е(т) -Е(т)"
Деформация ползучести из (12) равна для этого случая
вп = ?/[с(т)]Е7т)С(Г,т)0Ес(С)* + 1/[с(т)]ЕТт)Ес(с)|С(',т^т . (14) ' 0 Г0 Если в выражении (14) ввести два новых упрощающих допущения
^ = 0; Ес (с) = Е (т), (15)
от
то первый интеграл обращается в ноль, а второй интеграл (14) становится тождественным двум последним интегралам выражения (2). При этом функция
/[с(т)] = -1 вм [с(т)] представляет собой мгновенную нелинейную деформацию
В1
материала, умноженную на модуль Е (т) = 1/В1 . Эта функция превратила интегральное уравнение (2) в известное уравнение нелинейной ползучести, в котором одновременно материал считается мгновенно упругим.
С помощью упрощающих допущений (15), нелинейное интегральное уравнение (5) можно привести к линейному интегральному уравнению
t д
s(t) = sм (t)+ Isм (х)^(^x)dx ,
. ох t
а при вырожденной функции ф(^ х)=ф0 (l - e y(t х)), к линейному дифференциальному уравнению
s+ys = sм + Y(l +Фо)Вм .
При учете старения фо = 0(t ), получаем
s+ys = sм + y[l + 0(t)]sм .
Для упрощения интегрального уравнения (4) можно применить известное допущение о том, что изменение с течением времени параметров нелинейной диаграммы мгновенного деформирования определяется только функцией начального модуля E(t): sм = /2 [<^(t)] = -щ f(а).
В этом случае можно записать
s(t)=/|i)]+Î/Wt)(iXEîX) + EÎX)^lE(x)c(t,x))dx. <17>
Структура выражений, входящих в уравнения (4), (17), показывает, что использование в общей нелинейной теории ползучести формального разложение в ряд Тейлора без учета особенностей диаграммы мгновенного нелинейного деформирования, структуры характеристики ползучести, не может привести к положительным результатам в построении теории.
Литература
1. Санжаровский Р. С. Проблемы теории ползучести // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2013. - №3. - С. 28-34.
2. Санжаровский Р.С. Устойчивость элементов строительных конструкций при ползучести. ЛГУ, 1978. - 216 с.
3. Беглов А.Д., Санжаровский Р.С. Евростандарты и нелинейная теория железобетона. СПбГАСУ, 2011. - 309 с.
References
1. SanzharovskijR.S. Problemy teorii polzuchesti // Stroitel'naja mehanika inzhenernyh konstrukcij i sooruzhenij. - 2013. - №3, рр. 28-34.
2. SanzharovskijR.S. Ustojchivost' jelementov stroitel'nyh konstrukcij pri polzuchesti. LGU, 1978. - 216 s.
3. Beglov A.D., Sanzharovskij R.S. Evrostandarty i nelinejnaja teorija zhelezobe-tona. SPbGASU, 2011. - 309 s.
NON-LINEAR HEREDITARY CREEP THEORY
R.S. Sanzharovskij
L.N. Gumilyov Eurasian National University, Astana, Republic of Kazakhstan
The analysis of rules of the creep theory for materials with essentially non-linear momentary behavior (concrete, stone masonry, wood, aluminum, polymer) is researched. Non-linear creep equations are got as well as equations connecting full and instantaneous deformations. The equations for traditional creep measure are got both in integral and differential forms.
KEY WORDS: non-linear creep theory, instantaneous non-linear deformation, analysis of building structures.
