CC BY
1Механика
УДК 539.3
НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ СДВИГОВОГО ТЕЧЕНИЯ ТИКСОТРОПНЫХ ВЯЗКОУПРУГОПЛАСТИЧНЫХ СРЕД, УЧИТЫВАЮЩАЯ ЭВОЛЮЦИЮ СТРУКТУРЫ, И ЕЕ АНАЛИЗ
A.M. Столин 1, А. В. Хохлов2
Сформулировано нелинейное определяющее соотношение типа Максвелла для описания сдвигового деформирования полимеров в вязкотекучем состоянии и в виде вязко-упругих расплавов и концентрированных растворов и эмульсий, учитывающее взаимное влияние кинетики образования и разрушения межмолекулярных связей и ассоциатов макромолекул на вязкость и модуль сдвига, а также влияние процесса деформирования на эту кинетику. В одноосном случае определяющее соотношение управляется неубывающей материальной функцией и шестью положительными параметрами. Оно сведено к системе двух нелинейных дифференциальных уравнений; доказаны существование и единственность положения равновесия этой системы, в общем виде исследованы зависимости его координат от всех материальных параметров и от скорости сдвига при произвольной материальной функции; установлено, что все зависимости монотонны. Выведены уравнения кривой течения и кривой вязкости, доказано, что модель приводит к возрастающей зависимости равновесного напряжения от скорости сдвига и к убывающей кривой кажущейся вязкости, отражающим типичные свойства экспериментальных кривых течения псевдопластичных сред.
Ключевые слова: тиксотропия, вязкоу пру гость, структурно-реологическая модель, полимерные системы, положение равновесия, кривая течения, аномалия вязкости.
We formulate a nonlinear Maxwell-type constitutive equation for shear deformation of polymers in flow state or polymer viscoelastic melts and solutions which takes into account interaction of deformation process and structure evolution, namely, influence of the kinetics formation and breakage of chain cross-links, agglomerations of molecules and crystallites on viscosity and shear modulus and deformation influence on the kinetics. The constitutive equation is governed by an increasing material function and six positive parameters. We reduce it to the set of two nonlinear autonomous differential equations for two unknown functions (namely, stress and relative cross-links density) and prove existence and uniqueness of its equilibrium point and prove that its coordinates depend monotonically on every material parameter and on shear rate. We derive general equations for model flow curve and viscosity curve and prove that the first one increase and the second one decrease while the shear rate grows. Thus the model describes basic phenomena observed for simple shear flow of shear thinning fluids.
Key words: thixotropy, viscoelasticity, rheological model, polymeric systems, equilibrium point, flow curve, viscosity anomaly.
1. Введение. Адекватное описание нелинейных реологических эффектов, построение определяющих соотношений (ОС) течения неньютоновских вязких жидкостей и вязкоупругопластичных сред (суспензий, гелей, полимеров в вязкотекучем состоянии или в виде расплавов и растворов и т.п.) важно для понимания закономерностей и для моделирования огромного количества природных и технологических процессов [1-33]: движения магмы, поведения грунтов, схода селей и лавин, разнообразных технологий переработки полимеров и других материалов (экструзии волокон, прессования, сверхпластической штамповки и т.п.), нефтедобычи (в частности, методом гидроразрыва пласта) и перекачки нефти, медицинской микрофлюидики, производства лаков, красок, масел, пищевых продуктов и т.д.
1 Столин Александр Моисеевич — доктор физ.-мат. наук, зав. лаб. пластического деформирования материалов Ин-та структурной макрокинетики и проблем материаловедения РАН, e-mail: amstolinQism.ac.ru.
2 Хохлов Андрей Владимирович — канд. техн. наук, вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ; вед. науч. сотр. СВФУ им. М. К. Аммосова; e-mail: andrey-khokhlovQya.ru.
Stolin Alexander Moiseevich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Institute of Structural Macrokinetics and Material Science of the Russian Academy of Sciences, Head of Laboratory for Plastic Materials Deforming.
Khokhlov Andrew Vladimirovich — Candidate of Technical Sciences, Leading Scientific Researcher, Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics; Leading Scientific Researcher, North-Eastern Federal University.
16 ВМУ, математика, механика, № 5
Стационарное течение жидких сред при фиксированной температуре принято описывать кривой течения и кривой вязкости (графиками зависимостей напряжения сдвига и кажущейся вязкости от скорости сдвига). Базовые наблюдаемые у неньютоновских жидкостей реологические эффекты — это выраженная зависимость вязкости от скорости сдвига (аномалия вязкости), температуры и давления, тиксотропия (явление обратимого изотермического уменьшения вязкости с ростом скорости сдвига и ее восстановления при уменьшении скорости), существование конечного предела вязкости при стремлении скорости к нулю или к бесконечности (максимальной и минимальной ньютоновских вязкостей) [1-19, 21-25], сверханомалия вязкости (наличие участка убывания на кривой течения) и др. [26-28].
Обычно для аппроксимации кривой течения среды используют простейший степенной закон. Поскольку такая зависимость не распространяется на весь диапазон интересующих скоростей сдвига, а начальная вязкость равна бесконечности (для псевдопластичных жидкостей) или нулю (для дилатантных), то за полтора столетия начиная с работ Максвелла, Шведова, Бингама, Оствальда, Ребиндера и др. было предложено более сотни разных эмпирических и полуэмпирических определяющих соотношений (реологических моделей), аппроксимирующих нелинейные зависимости напряжения (или вязкости) от скорости сдвига разных сред в определенном интервале скоростей сдвига (модели Шведова-Бингама, Гершеля-Балкли, Кэссона, Кросса, Кригера, Джиллеспи, Бернштейна-Кирсли-Запаса, Леонова-Прокунина, Карро-Ясуда и др.) [1-25]. Реология стала самостоятельным разделом науки на стыке физики, химии, механики, материаловедения [2-18]. Большинство моделей носит феноменологический характер, содержит подгоночные параметры, не имеющие физического смысла, не учитывает упругость жидких сред и эволюцию их микроструктуры (образование и разрушение кристаллитов и агрегатов, ван-дер-ваальсовых связей между молекулами, сшивок и т.п.).
Представления о том, что понижение вязкости с ростом скорости сдвига обусловлено постепенными структурными изменениями полимерной системы, стали развиваться с первых работ, в которых был описан этот эффект. Уже В. Оствальд (в 1926 г.) обнаружил, что вязкость, определяемая отношением напряжения к градиенту скорости сдвига, зависит от режима деформирования. Он назвал эту вязкость структурной вязкостью, а сам эффект — аномалией вязкости. В полимерных системах (расплавах, концентрированных растворах и т.п.) наличие структуры (разнообразных связей между макромолекулами и надмолекулярными агрегатами) обусловлено прежде всего огромной длиной и формой макромолекул, их гибкостью, многочисленными степенями свободы, наличием межмолекулярных и межсегментных взаимодействий, приводящих к образованию зацеплений, узлов, водородных связей, сшивок, кристаллитов и других элементов сложной пространственной (сетчатой) структуры, эволюция которой влияет на механические свойства [6-11, 14-22, 27, 30].
Лишь немногие из сотни известных ОС жидких сред учитывают не только их вязкость и пластичность, но и вязкоупругость (столь характерную, например, для расплавов и концентрированных растворов полимеров, для жидкостей-пропантоносителей и т.п.) и так или иначе эволюцию структуры; последняя в большинстве случаев описывается всего одним структурным параметром [3, 6-11, 15-19, 26-31]. Приложению сформулированного ОС к описанию конкретных экспериментальных данных и решению краевых задач практически никогда не предшествует системное аналитическое исследование математических следствий из ОС для произвольных материальных параметров (МП) и функций (МФ), управляющих им, анализ, позволяющий очертить круг реологических эффектов, которые ОС может или не может описывать, найти область и индикаторы применимости ОС, которые удобно проверять по данным испытаний (как это сделано в серии статей второго автора, посвященных качественному анализу ряда линейных и нелинейных ОС вязкоупругопластичности [3441]). Несмотря на очевидное значение этого вопроса для химии и технологии полимеров, он изучен недостаточно. Как правило, учитывается лишь влияние изменения структуры на характер течения, но не влияние деформирования на кинетику изменения структуры. Отсутствие учета взаимного влияния эволюции структуры и процесса деформирования, а также системного качественного анализа ОС не позволяет развить достаточно детальную и адекватную методику обработки данных реометрических испытаний сложных жидкостей (текучих систем) и теорию процессов переработки материалов с учетом влияния всех важных факторов, проанализировать влияние этих факторов и выбрать ключевые из них в разных режимах деформирования. Представляется принципиально важным адекватно моделировать эволюцию структуры, влияние текущего напряжения на скорость разрушения структуры, конкуренцию и взаимосвязанность процессов.
Поэтому основными задачами настоящей работы являются: 1) формулировка ОС, описывающего вязкоупругопластические свойства тиксотропной текучей системы при изотермическом сдвиговом деформировании (с минимально необходимым количеством МП и МФ), учитывающего взаимное влияние двух сопряженных процессов — сдвигового течения и структурных изменений в материале;
2) системное аналитическое исследование математических следствий из ОС для произвольных МП и МФ, управляющих им, и доказательство того, что оно описывает перечисленные выше базовые реологические эффекты (при определенных ограничениях на МП и МФ).
Вклад авторов в работу над статьей распределился следующим образом: A.M. Столин инициировал обсуждение темы, сформулировал прототип ОС (1)-(3) с тремя параметрами и экспоненциальной МФ, участвовал в подготовке материала для введения; A.B. Хохлов сформулировал более общее ОС с шестью параметрами и произвольной МФ, поставил задачу качественного анализа ОС в общем виде, выполнил анализ и изложил результаты.
2. Нелинейное ОС вязкоупругопластичности типа Максвелла и его возможности. В качестве основы ОС, описывающего вязкоупругопластические свойства полимеров (в вязкотеку-чем состоянии и в виде расплавов и концентрированных растворов и гелей) при изотермическом сдвиговом деформировании, выбрано нелинейное ОС типа Максвелла
Y = Т/G + т/п, (1)
где т — касательное напряжение, y — скорость сдвига, материальные параметры (вязкость п и модуль сдвига G) зависят от изменения структуры полимера под влиянием деформирования, а скорость изменения параметра состояния структуры связана с (изменяющимся) напряжением т специальной МФ (см. п. 3). Поэтому настоящая работа (в значительной мере) тематически связана с циклом статей ([33-39] и др.) по качественному анализу нелинейного ОС типа Максвелла
= I ^)а(1)-1[аг](1) - <x0(í)<y + i e(t)5ij} e(t) = Ma, 9{t) = M0a0,
t t
Ma = E-1F(a(t)) + n-1 J V(a(r)) dr, M,a, = E-lFo(a(t)) + п-1 J V,(aQ(r)) dr,
0 0
с четырьмя произвольными (возрастающими) МФ F(x),V(x),Fq(x),Vq(ж) и параметрами E,n,Eo, По > 0 Оно связывает истории изменения тензоров деформаций s(t) и напряжений a(t) в точке тела в предположении отсутствия взаимного влияния шаровых и девиаторных частей тензоров e = £ — £qI и s = а — aoI (независимости объемной деформации 9(t) от касательных напряжений и интенсивности напряжений a = (1.5SjSj)0'5, а деформаций сдвига и интенсивности деформаций е = (eijeij/1.5)0'5 — от среднего напряжения ao(t)) и пренебрежения влиянием третьих инвариантов тензоров. Одномерный прототип ОС получается из классической модели Максвелла заменой линей-
F(x) V(x)
т.е. опирается на разложение полной деформации в сумму упругой и вязкопластической компонент.
Это ОС обобщает (включает) классические степенные модели вязкого течения и ползучести, реологические модели Гершеля-Балкли и Шведова-Бингама и частный случай модели Соколовско-
го-Малверна (обзор и библиографию по этим темам см. в работах [35, 37, 38]). Нелинейные ин-
q
формации (не влияющими друг на друга). Модули упругости E, Eq и коэффициенты вязкости п, По выделены из МФ для удобства учета влияния температуры в форме E = E(T), п = п(Т) Eq = Eq(T), по = по (T) [35] и для обезразмеривания времени с помощью параметра тг = п/E. В столь общей форме ОС исследованию еще не подвергалось до статей [34-39]. В них доказано, что это ОС (при определенных ограничениях на свои МФ) хорошо описывает более десятка базовых эффектов (см. список в [35, 37, 38]), типичных для вязкоупругопластичных твердых тел (а не только для жидких вязкоупругих сред), в частности пригодно для описаний кривых нагружения и разгрузки, циклического нагружения, эффектов при ползучести и сверхпластическом деформировании.
3. Модель сдвигового течения тиксотропных вязкоупругих сред, учитывающая взаимное влияние эволюции структуры и процесса деформирования. Примем для описания сдвигового деформирования полимеров (в вязкотекучем состоянии и в виде расплавов и концентрированных растворов и гелей) при постоянной температуре вязкоупругую модель Максвелла (1), в которой материальные параметры зависят от изменения структуры полимера под влиянием деформирования: будем считать, что модуль сдвига G и динамическая вязкость п зависят от одного безразмерного структурного параметра w(t). Скорость (простого) сдвига y = v в настоящей работе будем считать постоянной (т.е. заданным кинематическим параметром), а за w(t) примем сте-
w
связей (зацеплений, водородных связей, химических сшивок и т.п.) в текущий момент времени к
некоторому максимальному возможному значению концентрации связей для данной температуры: G = G(w), п = n(w), w(t) € [0,1], w(0) = wo, wo € [0,1).
На данном этапе будем характеризовать текущую структуру полимера только одним параметром w(t), не различая механизмы влияния разных элементов (над)молекулярной структуры на вязкость; пока будет важно лишь то, что материал имеет структуру, которая разрушается под действием сдвиговых напряжений и может восстанавливаться. В дальнейшем модель будет обобщена введением второго структурного параметра, учитывающего механизм ориентирования и распрямления макромолекул (гибкоцепных) полимеров при одноосном деформировании.
Вообще говоря, модуль сдвига G и динамическая вязкость п зависят те только от w (и других структурных параметров), но и от температуры, давления и скорости сдвига v (градиента скорости или напряжения т), но температуру, давление и скорость сдвига мы пока считаем постоянными
v
G = G(w) и п = n(w) должны быть возрастающими функциями от степени сшитости, поэтому можно принять, что
n(w) = noeaw, G(w) = Go eßw, no, Go > 0, 0 < ß<a (2)
(следуя традициям кинетики, выберем эти функции экспоненциальными). Поскольку вязкость обычно сильнее зависит от степени сшитости (и от температуры), чем модуль сдвига, то ß < а (и можно положить ß = 0, чтобы пренебречь зависимостью модуля сдвига от w), и потому время релаксации модели Максвелла (1) T = n/G выражается формулой T(w) = Toe(a-e)w, T0 = n0/G0, и возрастает с увеличением w. Материальные параметры Go и no в (2) характеризуют модуль сдвига и динамическую вязкость в начальный момент (при t = 0), когда w(0) = wo (относительную концентрацию сшивок в начальный момент времени wo € [0,1) можно рассматривать как дополнительный параметр модели).
В уравнение (1) входят две неизвестные функции времени т (t) и w(t), и следует добавить некоторое кинетическое уравнение, описывающее эволюцию степени сшитости полимера во времени и учитывающее влияние напряжения (процесса деформирования) на нее.
Изменение числа сшивок при деформировании происходит в результате наложения двух конкурирующих процессов — разрушения имеющихся сшивок и образования новых. При увеличении
w(t)
рость образования новых сшивок можем считать постоянной (при фиксированной температуре) и пропорциональной плотности вакансий (1 — w). Поэтому кинетическое уравнение для степени сшитости можно принять в виде
w = ki(1 — w) — k2g(s)w, (3)
где ki,k2 > 0 — материальные параметры (вообще говоря, зависящие от температуры), задающие скорости образования и разрушения сшивок (их размерность с-1); g(s), s ^ 0, — неотрицательная
g(0) = 1
сшивок от безразмерного напряжения s = т/тс (тс — некоторое характерное касательное напряжение: пороговое, предельное или просто тс = Go, или тс = Go/100), например функция g(s) = eKS, к > 0.
Таким образом, в модели (1)-(3) (управляемой шестью материальными параметрами ki,k2,no, Go, а > 0 в ^ 0 и одной МФ g(s)) учитывается кинетика взаимосвязанного протекания двух сопряженных процессов — сдвигового течения и структурных изменений в материале. При этом предполагается, что в уравнении (1) вязкость и модуль упругости зависят от структурного параметра (характеристики второго процесса), а скорости разрушения и восстановления структуры — от напряжения (характеристики первого процесса). Построенная модель — развитие концепции, сформированной в работах [26-28].
Введем безразмерное напряжение s = т/тс и безразмерное время t = t/To, где То = —
w=0
мени в аргументе любой функции y(t) полагаем Y(t) = у (¿То), и производная по t вычисляется по формуле Y'(t) = Toy(tTo), или y(t) = Y'(t/To)/To. Поэтому кинетическое уравнение (3) в безразмерных переменных имеет вид W' = kiTo(1 — W) — k2Tog(s)W, а модель Максвелла (1) записывается в безразмерном виде следующим образом:
v = stc/G + sTc/n, v = S 'тс/(GTo) + £тс/п, S' = aeew — Se(e-a)w,
где а = иг]о/тс = vTqGq/tc — безразмерный параметр, зависящий от заданной скорости сдвига j = и и начальной вязкости (или времени релаксации). Заменив t на t, штрих на точку в обозначении
дифференцирования, а прописные буквы S, W в обозначении функций от t на строчные, получим систему уравнений модели в безразмерном виде
s = aeew - se(e-a)w, (4)
w = c[1 - w(1 + bg(s))], (5)
где a = vqo/rc, a b = k2/k1 ш c = k1T0 — безразмерные МП, характеризующие борьбу процессов образования и разрушения сшивок и соотношение их скоростей с минимальным временем релаксации модели (1) (с начальными вязкостью и модулем сдвига материала). Это автономная система двух нелинейных дифференциальных уравнений для s(t) и w(t). Очевидно, она удовлетворяет усло-
g(s)
дифференцируема при s > 0.
4. Единственность положения равновесия автономной системы (4), (5) и анализ его зависимостей от параметров. Найдем положения равновесия системы (4), (5), чтобы исследовать их зависимость от МП, а затем фазовый портрет системы в его окрестности. Положения равновесия — решения системы уравнений
aeew - se(e-a)w = 0, cTo(1 - w) - dTQg(s)w = 0, т.е. a = se-aw, w + bg(s)w = 1.
Эту нелинейную систему можно представить в виде
s = aeaw, w = (1 + bg(s))-1, (6)
где a, a = уцо/тсш b = k2/ki — введенные выше безразмерные (положительные) МП. От параметров Go, в в (2) и c из (5) положения равновесия не зависят. Из первого уравнения системы (6) w = a-1 ln s/a — возрастающая функция s при s > 0, а второе уравнение (6) задает убываю-
w(s) g(s)
решения. Решение ровно одно (существует), поскольку область значений непрерывной функции a-1 ln s/a, s ^ a, совпадает с полуосью [0;+гс>). Обозначим точку равновесия (равновесные напряжение и степень сшитости) через (s*, w*). Очевидно, при любых MП и МФ s* > a > 0 w* € (0; 1). Из (6) имеем w* = a-1 ln s*/a, значение s* = s*(a, b, a) — единственное решение уравнения
ln s*/a = a(1 + bg(s* ))-1, (7)
и
w* = (1 + bg(s* ))-1. (8)
Из (7) следует зависимость (установившейся) кажущейся вязкости у = t*/v = nos*/a от равновесного напряжения s* = т*/тс (а также от скорости сдвига v или степени сшитости w*), порождаемая построенной моделью (с любыми МП a,b,a,c,no ,Go > 0,в ^ 0 и любой неубывающей МФ g(s) ^ 1) при рассматриваемом режиме деформирования:
у = noea/[a+b9(s*)], юш у = n(w*) = noeawt (9)
(формулу (9) можно получить и подстановкой w = w* в (2)). При фиксированной скорости сдвига,
b a ln у ln s* ln у = ln s* - ln a +
ln no у a v
w* a s* a a w*
Исследуем зависимости функций s* = y(a,b,a), w*(a,b,a) и y(a,b,a), a,b,a > 0 , от параметров (для любой неубывающей положительной МФ g(s) ^ 1). Продифференцируем тождество (7), s* = y(a, b, a)
ln у = ln s* - ln a + ln no ln у ln s* b a
совпадают: у'/у = s*/s. Поэтому совпадают знаки производных и интервалы монотонности величин у s* b a b
ay-1yba-1 = -a(1 + bg(y))-2[g(y) + bg'(y)yb], y-1yb = -awlg(y) - aw*bg'(y)yb,
откуда
= -ayg(y)w2 [1 + abw„yg'(y)] < 0
(в силу g'(s) ^ 0 и положительности МП и функции s* = y(a, b, а)). Поэтому s* = y(a, b, а) убывает по b на интервале b > 0. Ввиду связи w* = а-1 ln s*/a функция w* = w*(a, b, а) тоже убывает по b на интервале b > 0 (как композиция возрастающих функций). Таким образом, равновесные s* w*
b = ^2/^1.
Дифференцируем (8) по а (или по а): w*a = -(1 + bg(s*))-2bg'(s*)s*a = — bw¡í;g'(y)ya. Поэтому sgn w*a = —sgn s*a, т.е. интервалы монотонности величин w* и s* по а (или а) совпадают, возрастание s* w* s* w* а
ay-1yaa-1 = (а + bg(y))-1 — а(1 + bg(y))-2bg'(y)ya, Уа/У = w* — аw2bg'(y)yа,
откуда
Уа/У = w*[1 + аbw2yg'(y)]-1 > 0. (10)
s* = y(a, b, а) а а > 0 а
композиция одной убывающей и двух возрастающих функций). Стационарное значение кажущейся вязкости (9) тоже возрастает по а при любых МП и МФ, ибо выше было показано, что ца/ц = ya/y, т.е. ца/ц тоже выражается формулой (10). В силу ограничений g'(s*) ^ 0 и w* € (0; 1) из (10) следуют оценки
0 < ya/y < w* < 1, 0 < ца/ц < w* < 1, 0 < ца < w^ = n0w*eQW* < n0w*eQ;.
s*(a, b, а) w*(a, b, а)
(9) от МП b и а монотонны на всей положительной полуоси каждого параметра.
5. Зависимость положения равновесия и кажущейся вязкости от скорости сдвига. Исследуем зависимость s*, ц и w* от параметра a = vn0/rc, т .е. их зависимость от скороети сдвига v (и от МП no)- Как отмечено выше, возрастание реологической кривой s*(a), убывание кривой вязкости ^(v ) и существование конечных пределов при v — 0и v — то — важнейшие качественные свойства типичных кривых вязкости, наблюдаемые для разных псевдопластичных жидкостей [1-23].
a
ц'/ц = aw/*, w* = —bw2g'(s* )s* (11)
(производные по а обозначаем штрихом: s* = ds*/da, w* = dw*/da, ц' = дц/да). Поэтому sgn ц' = sgn w', sgn w' = —sgn s*, и интервалы монотонности величин ц, w* и s* по a совпадают, а возрастание s* равносильно убыванию ц и w*. Производная (7) по а:
(a/s*)a-2(s**a — s*) = аw/, s*/s* = а-1 + аw/* = а-1 — аbw2g'(s*) s* (с учетом ( 11)),
s* = s*a-1[1 + аbw2s*g' (s*)]-1 = s*a-1[1 + аbs*(1 + bg(s*))-2g' (s*)]-1. (12)
Из (12) следует, что s' ^ s*a-1 > 0 в силу g' ^ 0 и положительности МП и функции s* = y^, b, а). Поэтому равновесное напряжение s* — возрастающая функция параметра а (и скорости сдвига v) на интервале а > 0 равновесные степень сшитости (8) и кажущаяся вязкоеть (9) убывают по а и по v, а из (11) получаем ц' = aw/*ц = п0аеаад*w*.
Найдем пределы кажущейся вязкости (9) при а — +0 и а — то, т.е. при v — 0 и v — то. Для этого необходимо найти пределы s*(а), и потому перейдем к пределу при а — 0 или а — то в тождестве (7) и докажем, что s*(0+) = 0 и s*(+to) = +то, причем пределы величин s*/^ и ц конечны в обоих случаях (они отличаются лишь множителем no) и ц(0+) > ц(+то) > 0 при любых МП и МФ. При а — 0 правая часть тождества (7) стремится к а[1 + bg(s*(0+))]-1 (предел s*(0+) существует и конечен в силу возрастания функции s*^)), и поэтому существует конечный предел левой части (7): sz/а — еа/[1+6»(в*(0+))], следовательно, s*(0+) = 0 sz/а — Q, где Q = еа/[1+ь^(0)] = еа/(1+ь) > 1, s**(0+) = Q, ц = п^*/а — ц0 = n0Q, w* — (1 + b)-1 при а — 0 (согласно (8)). Из (11) можно найти и пределы производных при а — +0:
w*(0) = —bw2(0)g'(0)s*(0) = —b(1 + b)-2g'(0)Q < 1, (13)
ц'(0) = ац(0)w/*(0) = — ап0^1 + b)-2g'(0)Q2 < 0.
Если g'(0) = 0, то в силу ( 13) w' (0) = (0) и ц'(0) = 0 при любых МП.
При a ^ ж правая часть тождества (7) стремится к L = a[1 + bg(s*(+œ))]-1 (предполагаем, что предел s*(+ж) конечен), и потому существует предел левой части (7) и s*/a ^ eL. Значит, предположение s^+ж) < +ж неверно, и s^+ж) = +ж, L = 0 (так как д(+ж) = +ж), s*/a ^ eL = 1, / = nos*/a ^ /ж = no и w* ^ 0 при a ^ ж.
Таким образом, пределы равновесных кажущейся вязкости (9), напряжения и степени сшитости при a ^ +0 и a ^ ж (т.е. при v ^ 0+ и v ^ ж) а также начальный угол наклона s* (0+) реологической кривой s*(a) выражаются формулами
/о = noQ, /ж = По > 0, ßo/Лж = Q, Q = ea/(1+b) ç (1, ea);
(14)
s*(0+) = Q, / (0+)/w*(0+) = anoQ, w*(0+)/s*(0+) = -b(1 + b)-2g'(0),
s*(0+) = 0, s^+ж) = +ж; w*(0+) = (1 + b)-1, w*(+ж) = 0. (15)
Очевидно, из (14) при любых положительных значениях МП и любой МФ следует, что /ж < /о и /ж > e-a/o, отношение /ж//о совпадает с начальным углом наклона s' (+) реологической кривой s* (a), зависит только от пара метров a, b (и не зависит от МФ g(s), от no и других МП модели (1)-(3)), причем возрастает по a и убывает по b. Таким образом, модель описывает общее свойство /ж < ßo типичных кривых вязкости, наблюдаемое для разных псевдопластичных жидкостей (часть эффекта тиксотропии).
Равенство s' (0+) = ßo/ß<x> независимо от измеряемых величин и проверка его выполнения по экспериментальным данным могут служить удобным индикатором применимости модели (1)-(3) к конкретному полимеру (твердообразному материалу, раствору, расплаву и т.п.). Равенства (14), (15)
b, a no
6. О фазовом портрете системы уравнений (4), (5) в окрестности точки равновесия.
Линеаризация системы (4), (5) в окрестности точки равновесия (7), (8) дает линейную систему x = Ax с матрицей
an = -e(ß-a)w*, ai2 = aßeßw* - (ß - a)s*e(ß-ö>*,
(16)
a2i = -cbw*g' (s*), a22 = -c/w*.
Анализ решений характеристического уравнения матрицы (16) (для произвольных материальных параметров и функции g (s) модели) позволил доказать, что положение равновесия (s*,w*) всегда устойчиво и возможны три случая: 1) положение равновесия — устойчивый узел; 2) положение равновесия — устойчивый вырожденный узел; 3) положение равновесия — устойчивый фокус. Найдены критерии реализации каждого из случаев. Существование устойчивого фокуса у системы ДУ (4), (5) означает существование режима деформирования с затухающими колебаниями напряжения и степени сшитости при выходе на стационарные значения. Доказательство, иллюстрации и интерпретация этих результатов будут приведены в специальной статье.
Предложенное определяющее соотношение (после дальнейшего исследования, детального сопоставления с результатами вискозиметрических экспериментов и необходимых модификаций и обобщения, в частности введения нескольких структурных параметров и учета влияния тепловыделения и теплообмена [20, 26-28]) целесообразно применять для решения краевых задач в технологиях переработки полимеров (например, твердофазной плунжерной экструзии, формования нитей методом экструзии расплава и вытяжки), задач моделирования сверхпластического деформирования металлов и сплавов с учетом эволюции нескольких параметров структуры, задач ползучести с учетом накопления (и залечивания) поврежденности и кинетики химических превращений под влиянием агрессивной среды.
Исследование выполнено при поддержке гранта РНФ № 22-13-20056.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bingham Е.С. Fluidity and Plasticity. N.Y., 1922.
2. Reiner M. Rheology // Encyclopedia of Physics. Vol. 6. Berlin; Heidelberg: Springer, 1958. 434-550.
3. Ребиндер П.А. Поверхностные явления в дисперсных системах. Коллоидная химия. Избранные труды.
М.: Наука, 1978.
4. Coleman B.D., Makrovitz A., Noll W. Viscometric Flows of Non-Newtonian Fluids. Theory and Experiment.
Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1966.
5. Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкостей. Л.: Наука, 1975.
6. Виноградов Г.В., Малкин А.Я. Реология полимеров. М.: Химия, 1977.
7. Бибик Е.Е. Реология дисперсных систем. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981.
8. Бартенев Г.М., Зеленев Ю.В. Физика и механика полимеров. М.: Высшая школа, 1983.
9. Larson R. G. Constitutive Equations for Polymer Melts and Solutions. Boston: Butterworth, 1988.
10. Урьев Н.Б. Физико-химические основы технологии дисперсных систем и материалов. М., 1988.
11. Leonov A.I., Prokunin A.N. Non-linear Phenomena in Flows of Viscoelastic Polymer Fluids. London: Chapman and Hall, 1994.
12. Macosko C. Rheology: Principles, Measurements and Applications. N.Y.: VCH, 1994.
13. Schramm G. A Practical Approach to Rheology and Rheometry. Karlsruhe: Gebrueder Haake GmbH, 1994.
14. Rohn C.L. Analytical Polymer Rheology. Munich: Hanser Publishers, 1995.
15. Larson R.G. Structure and Rheology of Complex Fluids. N.Y.: Oxford Press, 1999.
16. Gupta R.K. Polymer and Composite Rheology. N.Y.: Marcel Dekker, 2000.
17. Tanner R.I. Engineering Rheology. Oxford: Oxford University Press, 2000.
18. Malkin A. Y., Isayev A.I. Rheology: Conceptions, Methods, Applications (2nd Ed.). Toronto: ChemTec Publishing. 2012.
19. Кирсанов E.A., Матвеенко B.H. Неньютоновское поведение структурированных систем. М.: Техносфера, 2016.
20. Сталин A.M., Малкин А.Я., Мержанов А.Г. Неизотермические процессы и методы исследования в химии и механике полимеров // Успехи химии. 1979. 48, вып. 8. 1492-1517.
21. Прокунин А.Н. О нелинейных определяющих соотношениях максвелловского типа для описания движения полимерных жидкостей // Прикл. матем. и механ. 1984. 48, № 6. 957-965.
22. Leonov A.I. Constitutive equations for viscoelastic liquids: Formulation, analysis and comparison with data // Rheol. Ser. 1999. 8. 519-575.
23. Stickel J. J., Powell R.L. Fluid Mechanics and Rheology of Dense Suspensions // Annu. Rev. Fluid Mech. 2005. 37. 129-149.
24. Mueller S., Llewellin E.W., Mader H.M. The rheology of suspensions of solid particles // Proc. Roy. Soc. A. 2010. 466, N 2116. 1201-1228.
25. Malkin A. Ya., Patlazhan S.A. Wall slip for complex liquids — Phenomenon and its Causes // Adv. Colloid and Interface Sci. 2018. 257. 42-57.
26. Сталин A.M., Худяев С.И., Бучацкий Л.М. К теории сверханомалии вязкости структурированных систем // Докл. АН СССР. 1978. 243, № 26. 430-433.
27. Сталин A.M., Ирака к В. И. Структурно-неоднородные режимы течения в процессе формования полимерных волокон // Высокомол. соединения. Сер. Б. 1993. 35, № 7. 902-904.
28. Беляева Н.А., Сталин A.M., Стельмах Л. С. Режимы твердофазной экструзии вязкоупругих структурированных систем // Инж. физ. 2009. № 1. 10-16.
29. Brady J.F., Morris J.F. Microstructure of strongly sheared suspensions and its impact on rheology and diffusion //J. Fluid Mech. 1997. 348. 103-139.
30. Tucker C.L., Moldenaers P. Microstructural evolution in polymer blends // Annu. Rev. Fluid Mech. 2002. 34. 177-210.
31. Малкин А.Я., Куличихин В.Г. Структура и реологические свойства высококонцентрированных эмульсий. Современный взгляд // Успехи химии. 2015. 84, № 8. 803-825.
32. Padmanabhan К. A., Vasin R.A., Enikeev F. U. Superplastic Flow: Phenomenology and Mechanics. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2001.
33. Эглит М.Э., Якубенко A.E., Зайка Ю.С. Математическое моделирование склоновых потоков с учетом неньютоновских свойств движущейся среды // Тр. Матем. ин-та РАН. 2018. 300. 229-239.
34. Khokhlov А. V. Properties of a nonlinear viscoelastoplastic model of Maxwell type with two material functions // Moscow Univ. Mech. Bull. 2016. 71, N 6. 132-136 (DOI: 10.3103/S0027133016060029).
35. Хохлов А.В. Нелинейная модель вязкоупругопластичности типа Максвелла: моделирование влияния температуры на кривые деформирования, релаксации и ползучести // Вести. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2017. 21, № 1. 160-179 (DOI: 10.14498/vsgtul524).
36. Khokhlov А. V. A nonlinear Maxwell-type model for rheonomic materials: stability under symmetric cyclic loadings // Moscow Univ. Mech. Bull. 2018. 73, N 2. 39-42 (DOI: 10.3103/S0027133018020036).
37. Хохлов А.В. Индикаторы применимости и методики идентификации нелинейной модели типа Максвелла для реономных материалов по кривым ползучести при ступенчатых нагружениях // Вестн. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естеств. науки. 2018. № 6. 92-112 (DOI: 10.18698/1812-3368-2018-6-92-112).
38. Khokhlov A.V. Applicability indicators and identification techniques for a nonlinear Maxwell-type elastovisco-plastic model using loading-unloading curves // Mech. Compos. Mater. 2019. 55, N 2. 195-210 (DOI: 10.1007/ sll029-019-09809-w).
39. Khokhlov A. V. Possibility to describe the alternating and non-monotonic time dependence of Poisson's ratio
during creep using a nonlinear Maxwell-type viscoelastoplasticity model // Russ. Metallurgy (Metally). 2019. N 10. 956-963 (DOI: 10.1134/S0036029519100136).
40. Khokhlov A. V. Two-sided estimates for the relaxation function of the linear theory of heredity via the relaxation curves during the ramp-deformation and the methodology of identification // Mech. Solids. 2018. 53, N 3. 307328 (DOI: 10.3103/S0025654418070105).
41. Khokhlov A. V. Properties of the set of strain diagrams produced by Rabotnov nonlinear equation for rheonomous materials // Mech. Solids. 2019. 54, N 3. 384-399 (DOI: 10.3103/S002565441902002X).
Поступила в редакцию 16.03.2022
УДК 534-16
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОРТОТРОПНОЙ КОНИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
С. Д. Алгазин1, И. А. Селиванов2
Рассматриваются свободные колебания ортотропной конической оболочки конечной длины. Это задача 80-90 годов прошлого века. Большинство задач механики деформируемого твердого тела описывается уравнениями эллиптического типа, которые имеют гладкие решения, в связи с чем актуальна разработка алгоритмов, учитывающих эту гладкость. В работе приведен современный алгоритм без насыщения, рассмотрены конкретные расчеты, которые показывают его высокую эффективность.
Ключевые слова: коническая оболочка, задачи на собственные значения, численный алгоритм без насыщения.
Free oscillations of an orthotropic conical shell of finite length are considered. This is a problem of the 80-90 years of the last century. Most problems of deformable solid mechanics are described by elliptic equations that have smooth solutions, and therefore the development of algorithms that take into account this smoothness is relevant. The paper presents a modern algorithm without saturation and considers specific calculations that show its high efficiency.
Key words: conic shell, eigenvalue problem, numerical algorithm without saturation.
Введение. Задача о свободных колебаниях ортотропной конической оболочки конечной длины сводится к проблеме собственных значений для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая предположительно имеет гладкие решения. Это задача 80-90 годов прошлого века. Чтобы воспользоваться этой гладкостью, в работе строится метод дискретизации задачи, не имеющий насыщения [1, 2]. Наиболее распространенным в настоящее время методом решения задач механики деформируемого твердого тела является метод конечных элементов. Его недостатки общеизвестны: аппроксимируя перемещение кусочно-линейной функцией, мы получаем разрывные напряжения. Вместе с тем следует заметить, что большинство задач механики деформируемого твердого тела описывается уравнениями эллиптического типа, которые имеют гладкие решения. Представляется актуальным разработать алгоритмы, которые учитывали бы эту гладкость. Идея таких алгоритмов была высказана К. И. Бабенко [3] в начале 70-х годов прошлого века. Многолетнее применение первым автором этой методики в эллиптических задачах на собственные значения доказало их высокую эффективность. Например, рассматривалась задача на собственные значения для нулевого уравнения Бесселя, на сетке из 23 узлов первое собственное значение этой задачи определено с 28 знаками после запятой. В отличие от классических разностных методов и метода конечных элементов, где зависимость скорости сходимости от числа узлов сетки степенная, здесь имеем экспоненциальное убывание погрешности.
1 Алгазин Сергей Дмитриевич — доктор физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. лаб. механики и оптимизации конструкций Ин-та проблем механики РАН, e-mail: algazinsdQmail.ru.
2 Селиванов Иван Алексеевич — асп. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shertorsQgmail.com.
Algazin Sergey Dmitrievich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Leading Researcher, Ishlinsky Institute for
Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences.
Selivanov Ivan Alekseevich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Elasticity Theory.
