CC BY
18
УДК 539.37, 532.517.2, 539.5
Анализ свойств нелинейной модели сдвигового течения тиксотропных сред, учитывающей взаимное влияние эволюции структуры и процесса деформирования
А.В. Хохлов1,2,3, В.В. Гулин3
1 НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 119192, Россия 2 Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова, Якутск, 677027, Россия 3 Московский центр фундаментальной и прикладной математики, Москва, 119991, Россия
Проведено системное аналитическое исследование математических свойств предложенного ранее прототипа нелинейного определяющего соотношения типа Максвелла для описания сдвигового течения тиксотропных сред (полимеров в вязкотекучем состоянии, вязкоупругих расплавов и концентрированных растворов, паст и эмульсий), учитывающего взаимовлияние процесса деформирования и эволюции структуры (кинетики образования и разрушения межмолекулярных связей) на вязкость и модуль сдвига и влияние процесса деформирования на эту кинетику. В одноосном случае определяющее соотношение управляется неубывающей материальной функцией и шестью положительными параметрами. Оно сведено к системе двух нелинейных автономных дифференциальных уравнений для напряжения и параметра структурированности, доказана единственность положения равновесия этой системы, в общем виде исследованы зависимости его координат от всех материальных параметров и от скорости сдвига при произвольной неубывающей материальной функции, доказано, что все зависимости монотонны. Выведены и исследованы уравнения кривой течения и кривой вязкости, доказано, что модель приводит к возрастающей зависимости равновесного напряжения от скорости сдвига и к убывающей кривой кажущейся вязкости, отражающим типичные свойства экспериментальных кривых течения псевдопластических сред. При произвольных шести материальных параметрах и материальной функции, управляющих моделью, аналитически изучен фазовый портрет нелинейной системы двух дифференциальных уравнений для безразмерных напряжения и степени структурированности, к которой сведена модель, в окрестности ее единственного положения равновесия. Доказано, что положение равновесия всегда устойчиво и возможны только три случая: положение равновесия — устойчивый узел или вырожденный узел, или устойчивый фокус. Найдены критерии реализации каждого из случаев в виде явных ограничений на материальную функцию, параметры модели и скорость сдвига. Существование устойчивого фокуса означает немонотонность решений системы и существование режимов деформирования с (затухающими) колебаниями напряжения и структурированности при выходе на стационарные значения. Проанализировано влияние материальных параметров и материальной функции на тип точки равновесия и на поведение интегральных кривых модели.
Ключевые слова: тиксотропия, вязкоупругость, полимерные системы, сдвиговое течение, структурно-реологическая модель, структурированность, интегральные кривые, фазовый портрет, устойчивый фокус, кривая течения, аномалия вязкости
DOI 10.55652/1683-805X_2023_26_4_41
Analysis of the properties of a nonlinear shear flow model of thixotropic media taking into account the mutual influence of structural evolution
and deformation process
A.V. Khokhlov1,2,3 and V.V. Gulin3
1 Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119192, Russia 2 Ammosov North-Eastern Federal University, Yakutsk, 677027, Russia 3 Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics, Moscow, 119991, Russia
A systematic analytical study was conducted on the mathematical properties of the previously proposed prototype of a nonlinear Maxwell-type constitutive equation for describing the shear flow of thixotropic media (viscous liquid polymers, viscoelastic melts, concentrated solutions, pastes, emulsions), which takes into account the mutual influence of the deformation process and structural evolution (the kinetics of formation and breaking of intermolecular bonds) on viscosity and shear modulus and the effect of the deformation process on this kinetics. In the uniaxial case, the constitutive equation is governed by a nondecreasing material function and six positive parameters. The equation is reduced to a system of two nonlinear autonomous differential equations for the stress and the structuredness parameter. It is proved that the equilibrium position of this system is unique. The dependences of the position coordinates on all material parameters and on the shear rate for an arbitrary nondecreasing material function are investigated in general form, and all the dependences are proved to be monotonic. Equations for the flow and viscosity curves are derived and investigated. It is proved that the model leads to an increasing dependence of the equilibrium stress on the shear rate and to a decreasing apparent viscosity curve, which reflect the typical properties of the experimental flow curves of pseudoplastic media. Using six arbitrary material parameters and a material function that control the model, we analytically study the phase portrait of the nonlinear system of two differential equations, to which the model is reduced, for dimensionless stress and the degree of structuredness in the vicinity of its only equilibrium position. It is proved that the equilibrium position is always stable and can be of three kinds only: a stable node, a degenerate node, or a stable focus. Criteria for each kind are found in the form of explicit constraints on the material function, model parameters, and shear rate. The existence of a stable focus indicates the nonmonotonicity of the system solutions and the existence of deformation modes with (damped) fluctuations of stress and structuredness when stationary values are reached. The influence of the material parameters and material function on the type of equilibrium point and on the behavior of the model integral curves is analyzed.
Keywords: thixotropy, viscoelasticity, polymer systems, shear flow, structural-rheological model, structuredness, integral curves, phase portrait, stable focus, flow curve, viscosity anomaly
© Хохлов А.В., Гулин В.В., 2023
1. Введение
Адекватное описание нелинейных реологических эффектов, построение определяющих соотношений (ОС) течения неньютоновских вязких жидкостей и вязкоупругопластичных сред (например суспензий, гелей, полимеров в вязкотеку-чем состоянии или в виде расплавов и растворов и т.п.) важны для понимания закономерностей и моделирования огромного количества природных и технологических процессов [1-43]: движения магмы, поведения грунтов, схода селей и лавин, разнообразных технологий переработки полимеров и других материалов (экструзии волокон, прессования, сверхпластической штамповки и т.п.), нефтедобычи (в частности, методом гидроразрыва пласта) и перекачки нефти, производства лаков, красок, масел, пищевых продуктов, медицинской микрофлюидики и т.п.
Стационарное течение жидких сред при фиксированной температуре принято описывать кривой течения или кривой вязкости (графиками зависимости напряжения сдвига и кажущейся вязкости от скорости сдвига). Базовые наблюдаемые у неньютоновских жидкостей реологические эффекты — выраженная зависимость вязкости среды от скорости сдвига («аномалия вязкости»), температуры и давления [1-43], тиксотропия (явление обратимого изотермического уменьшения вязкости при увеличении скорости сдвига и ее восстановления при уменьшении скорости) [8-25, 30, 37], существование конечного предела вязкости при стремлении скорости к нулю или к бесконечности (максимальной и минимальной ньютоновских вязкостей) [3-25, 27-31, 36, 37, 42, 43], сверханомалия вязкости (наличие участка убывания на кривой течения) [32-35], разбухание экс-трудата при выходе из канала фильеры (эффект Баруса) [8-25, 37] и др. Обычно для аппроксимации кривой течения среды используют простейший степенной закон. Поскольку такая зависимость не распространяется на весь диапазон интересующих скоростей сдвига, а начальная вязкость равна бесконечности (для псевдопластичных жидкостей) или нулю (для дилатантных), то за полтора столетия, начиная с работ Максвелла, Шведова, Бингама, Оствальда, Ребиндера и др., предложено более сотни разных эмпирических и полуэмпирических определяющих соотношений (реологических моделей), аппроксимирующих нелинейные зависимости напряжения (или вязкости) от скорости сдвига разных сред в определенном интервале скоростей сдвига (модели Шведова-
Бингама, Гершеля-Балкли, Кэссона, Кросса, Кри-гера, Джиллеспи, Бернштейна-Кирсли-Запаса, Ол-дройда, Леонова-Прокунина, Карро-Ясуда, Виноградова-Покровского, Гиезекуса, Менцера, Фан-Тьен-Тэннера и др.) [3-31, 36-43], реология стала самостоятельным разделом науки на стыке физики, химии, механики, материаловедения. Большинство моделей носят феноменологический характер, содержат подгоночные параметры, не имеющие физического смысла, не учитывают упругость жидких сред и эволюцию их микроструктуры (образование и разрушение кристаллитов и агрегатов, ван-дер-ваальсовых связей между молекулами, сшивок и т.п.).
Представления о том, что понижение вязкости с увеличением скорости сдвига обусловлено постепенными структурными изменениями полимерной системы, развивались начиная с первых работ, в которых был описан этот эффект. Уже В. Оствальд (в 1926 г.) обнаружил, что вязкость, определяемая отношением напряжения к градиенту скорости сдвига, зависит от режима деформирования. Он назвал эту вязкость структурной вязкостью, а сам эффект — аномалией вязкости. В полимерных системах (расплавах, концентрированных растворах и т.п.) наличие структуры (разнообразных связей между макромолекулами и надмолекулярными агрегатами) обусловлено, прежде всего, огромной длиной и сложной формой макромолекул, их гибкостью, многочисленными степенями свободы их сегментов, наличием межмолекулярных взаимодействий, приводящих к образованию (и разрушению) зацеплений, узлов, водородных связей, сшивок, кристаллитов и других элементов сложной пространственной (сетчатой) структуры, эволюция которой влияет на механические свойства [8-13, 17-25, 29-38, 42, 43].
Лишь немногие из сотни известных определяющих соотношений жидких сред учитывают не только их вязкость и пластичность, но и вязкоуп-ругость (столь характерную, например, для расплавов и концентрированных растворов полимеров, для жидкостей-пропантоносителей и т.п.) и, так или иначе, эволюцию структуры [5, 8-13, 1725, 30-38, 42, 43]; последняя в большинстве случаев описывается всего одним структурным параметром. Приложению сформулированного определяющего соотношения к описанию конкретных экспериментальных данных и численному решению краевых задач практически никогда не предшествует системное аналитическое исследование
математических следствий из определяющего соотношения для произвольных материальных параметров и материальной функции, управляющих им, анализ, позволяющий строго математически описать круг реологических эффектов, которые ОС может или не может описывать, найти область применимости и индикаторы применимости ОС, которые удобно проверять по данным испытаний (как это сделано в серии статей автора [4452]). Несмотря на очевидное значение этого вопроса для химии и технологии полимеров, он изучен недостаточно. Учитывается в лучшем случае влияние изменения структуры на характер течения, но не учитывается влияние деформирования на кинетику изменения структуры. Отсутствие учета взаимного влияния эволюции структуры и процесса деформирования и системного качественного анализа определяющих соотношений не позволяет развить достаточно детальную и адекватную методику обработки данных реометричес-ких испытаний сложных жидкостей (текучих систем) и теорию процессов переработки материалов с учетом влияния всех важных для процессов факторов, проанализировать влияние этих факторов и выбрать важнейшие из них в разных режимах деформирования. Представляется принципиально важным адекватно описывать и моделировать эволюцию структуры, конкуренцию и взаимосвязанность процессов, влияние напряжения и его истории на текущую скорость разрушения структуры.
Эта статья — продолжение работы [53], посвященной формулировке одноосного прототипа нелинейного определяющего соотношения для изотермического сдвигового течения тиксотропных вязкоупругопластичных сред, учитывающего взаимное влияние процессов деформирования и эволюции структуры (кинетики образования и разрушения межмолекулярных связей и ассоциатов макромолекул), его сведению к системе двух нелинейных автономных дифференциальных уравнений для (безразмерных) касательного напряжения s(t) и степени структурированности w(t) и определению ее положений равновесия и в зависимости от скорости сдвига, всех (шести) материальных параметров (МП) и произвольной (неубывающей кусочно-гладкой) материальной функции (МФ). Задача данной статьи — системное аналитическое исследование общих математических свойств предложенной в [53] одномерной модели при произвольных МП и МФ: детальный анализ зависимости (единственного) положения равнове-
сия модели (равновесных напряжения и структурированности) от скорости сдвига, всех МП и произвольной МФ, вывод уравнения кривой течения и кривой вязкости модели, изучение поведения интегральных кривых и фазового портрета нелинейной системы двух дифференциальных уравнений для s(t) и w(t) в окрестности положения равновесия и вывод критерия существования устойчивого фокуса, т.е. критерия существования режимов деформирования с (затухающими) колебаниями напряжения и степени сшитости при выходе на стационарные значения при t ^ да.
2. Модель сдвигового течения тиксотропных вязкоупругих сред, учитывающая взаимное влияние эволюции структуры и процесса деформирования
Примем для описания изотермического сдвигового деформирования полимеров в вязкотеку-чем состоянии и в виде расплавов и концентрированных растворов и гелей нелинейную модель Максвелла:
X X
У = G + ->
(1)
в которой т — касательное напряжение; у — скорость сдвига, а материальные параметры зависят от изменения структуры полимера под влиянием деформирования. Будем считать, что модуль сдвига О и динамическая вязкость п зависят от одного безразмерного структурного параметра w(t). Скорость (простого) сдвига у = V (в этой работе) будем считать постоянной (заданным кинематическим параметром), а за w(t) примем степень структурированности («сшитости») полимера, т.е. отношение концентрации надмолекулярных или межмолекулярных связей (зацеплений, водородных связей, химических сшивок и т.п.) в текущий момент времени к некоторому максимально возможному значению концентрации связей для данной температуры: О = О^), п = п(^), w(t) е [0; 1], ^(0) = w0 е [0; 1). На данном этапе будем характеризовать текущую сетчатую структуру полимера только одним структурным параметром w(t) («структурированностью»), не различая механизмы влияния разных элементов (над)-молекулярной структуры на вязкость. Пока будет важно лишь то, что материал имеет структуру, которая разрушается под действием сдвиговых напряжений и может восстанавливаться. В дальнейшем модель будет обобщена введением второ-
го структурного параметра, учитывающего механизм ориентирования и распрямления макромолекул (гибкоцепных) полимеров при одноосном деформировании. Вообще говоря, модуль сдвига О и вязкость п зависят не только от к (и других структурных параметров), но и от температуры, давления и скорости сдвига V (градиента скорости или напряжения т), но температуру, давление и скорость сдвига мы пока считаем постоянными (рассматриваем изотермический процесс и сдвиговое течение с постоянной скоростью V). Величины О = О(м>) и п = п(^) и должны быть возрастающими функциями от степени сшитости, поэтому можно принять, что
/(к) = , О( к) = О^, (2)
где п0, О0 > 0, 0 < в < а (следуя традициям кинетики, выберем эти функции экспоненциальными). Поскольку вязкость обычно сильнее зависит от степени сшитости, чем модуль сдвига, то в < а (и можно положить в = 0, чтобы пренебречь зависимостью модуля сдвига от к), и потому время релаксации модели Максвелла (1) Т = //О выражается формулой Т(к) = Т0е(а-в)к, Т0 =/0/ О0, и возрастает с ростом к. Параметры О0 и п0 в (2) характеризуют модуль сдвига и динамическую вязкость в начальный момент (при ^=0), когда к(0) = к0. Относительную концентрацию сшивок в начальный момент времени е [0; 1) можно рассматривать как дополнительный МП процесса.
Таким образом, в уравнение (1) входят две неизвестные функции т(0 и и необходимо добавить некоторое кинетическое уравнение, описывающее эволюцию структурированности среды и учитывающее влияние напряжения (процесса деформирования).
Изменение структурированности в ходе деформирования происходит в результате наложения двух конкурирующих процессов: образования новых связей и разрушения имеющихся. С увеличением напряжения разрушение (т.е. убывание ускоряется (соответственно, вязкость падает), а скорость образования новых сшивок можно считать постоянной (при фиксированной температуре) и пропорциональной плотности вакансий сшивок (1 - к). Поэтому кинетическое уравнение для структурированности можно принять в виде
к = ¿1(1 - к) - ¿2я(5)к, (3)
где кь к2 > 0 — материальные параметры (вообще говоря, зависящие от температуры), задающие скорости образования и разрушения сшивок (их размерность с-1); я(5), 5 > 0, — неотрицательная
возрастающая (нестрого) материальная функция (с начальным значением g(0) = 1), задающая зависимость скорости разрушения сшивок от безразмерного напряжения s = т/т0 (тс — некоторое характерное касательное напряжение: пороговое, предельное или тс = G0 или тс = G0/100), например, функция g(s) = eKs, к > 0.
Таким образом, в модели (1)-(3) (управляемой шестью МП к1, k2, n0, G0, а > 0, в > 0 и одной МФ g(s)) учитывается кинетика взаимосвязанного протекания двух сопряженных процессов: сдвигового течения и структурных изменений в материале. При этом предполагается, что в уравнении Максвелла вязкость и модуль упругости зависят от структурированности (характеристика второго процесса), а скорости разрушения и восстановления структуры зависят от напряжения (характеристики первого процесса).
Введем безразмерное время t = t/T0, где T0 — минимальное время релаксации модели Максвелла (при w = 0). При переходе к безразмерному времени в аргументе любой функции y(t) имеем Y(t) = y(t T0) и производная по t вычисляется по формуле Y'(Г) = TУ(^Т)), или y(t) = Y'(t/T>) x T0-1. Поэтому уравнение (3) в безразмерных переменных s, w, t имеет вид W' = k1T0 (1 - W) - k2T0 x g (s)W, а модель Максвелла (1) в безразмерном виде (при у = v = const): v = sxc/G + sxc/r, v = S 'ic(GT,)-1 + Sxc/ц, v^^Tc = S'e-pw + Se-aw, или S' = aePw - Se(e-a)w, где a = vri0/ Tc = vT0G0/ Tc — безразмерный параметр, зависящий от скорости сдвига v и начальной вязкости (или времени релаксации). Упрощая обозначения (заменяя t на t, штрих на точку в обозначении дифференцирования, прописные буквы S, W в обозначении функций от t — на строчные, получим систему уравнений модели в безразмерном виде:
s = aepw - se(p-a)w, (4)
W = c[(1 - w(1 + bg (s))], (5)
где b = k2/к1 и c = k\T0 — безразмерные материальные параметры, характеризующие конкуренцию процессов образования и разрушения сшивок и соотношение их скоростей с минимальным временем релаксации модели (1) (с начальными вязкостью и модулем сдвига материала). Это автономная система двух нелинейных дифференциальных уравнений для s(t) и w(t). Очевидно, она удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решений задачи Коши, если функция g(s) непрерывно дифференцируема при s > 0.
3. Положение равновесия системы и анализ его зависимостей от параметров
Найдем положения равновесия системы (4), (5), чтобы исследовать его зависимость от материальных параметров, а затем фазовый портрет системы в его окрестности.
Положения равновесия — решения системы уравнений
Гае^ - 5е(р-а) " = 0,
к(1 - w(1 + bg (5))] = 0,
т.е.
а = 5е
+ bg (5) w = 1.
Эту нелинейную систему можно представить в виде
Г? = ае™, ^ = (1 + bg (?))-1,
(6)
где а, а, Ь — введенные выше безразмерные параметры (от параметров О0, в в (2) и с из (5) положения равновесия не зависят). Так как из (6) w = а-11п 5/а — возрастающая функция 5 при 5 > 0, а второе уравнение (6) задает убывающую функцию w(s) (для любой возрастающей МФ g(s)), то система (6) имеет не более одного решения. Решение ровно одно (существует), поскольку область значений непрерывной функции а-11п 5/а, 5 > а, совпадает с полуосью [0, +да). Обозначим точку равновесия (равновесные напряжение и степень сшитости) через (5*, w*). При любых МП и МФ 5* > а > 0, w* е (0; 1). Из (6)
w* =а-11п 5* / а, или w* = (1 + bg (5*))-1, (7) а равновесное напряжение 5* = 5*(а, Ь, а) — единственное решение уравнения
1п 5*/ а = а(1 + bg (5*))-1. (8)
Так как аw* = 1п 5*/ а, то для фиксированных МП а и а зависимость 5*^*) однозначна и МФ не влияет на нее, а множества точек кривых Саа = {5*(Ь), w*(b) | Ь > 0} в фазовом пространстве не зависят от МФ (а и а влияют как коэффициенты растяжения-сжатия кривой вдоль осей).
Формула (8) задает в неявной форме кривую течения 5*(а) (или 5*(г)), порождаемую ОС (1)-(3). Из (8) следует зависимость (установившейся) кажущейся вязкости ц := т*/V = %5*/а от равновесного напряжения 5* = т*/тс (а также от скорости сдвига V или структурированности w*), порождаемая построенной моделью (с любыми МП а, Ь, а,
с, п0, О0 > 0, в > 0 и любой неубывающей функцией g(s) > 1) при рассматриваемом режиме деформирования:
ц = % ехр(а[1 + bg(5*)]-1), или
Ц = = %еа^ (9)
(формулу (9) можно получить и подстановкой w = w* в (2)). При фиксированной скорости сдвига, когда меняются только параметры Ь и а, связь между 1п ц и 1п5* линейна: 1п ц = 1п5* - 1па + 1пп0. Характер зависимости ц от параметра а (т.е. от скорости сдвига V) полностью определяется зависимостью w* от а (или 5* от а) и ниже будет доказано, что кажущаяся вязкость (9) монотонно убывает по а (как и w*).
Исследуем характер зависимости функций 5* = у(а, Ь, а), w*(a, Ь, а) и ц(а, Ь, а), а, Ь, а > 0, от параметров (для любой неубывающей положительной функции g(s) > 1). Продифференцируем тождество (8), задающее функцию 5* = у(а, Ь, а), по каждому из параметров.
В силу связи 1п ц = 1п 5* - 1п а + 1п п0 производные 1п ц и 1п 5* по любому из параметров Ь и а совпадают: ц'/ц = 5*/5*. Поэтому совпадают знаки производных и интервалы монотонности величин ц и 5* по Ь или по а. Производная тождества (8) по Ь:
ау-1 Уba-1 = -а(1 + bg (у ))-2[ g (у) +bg'( у) Уь], У-1 уь =-аw,2 g (у) -аw*bg'( у) уь, уь = -ау g (уК2[1 + аbw*ryg '(у )]-1 < 0 (в силу g'(5) > 0 и положительности материальных параметров и функции 5* = у(а, Ь, а)). Поэтому 5* = у(а, Ь, а) убывает по Ь в интервале Ь > 0. В силу связи w* = а-11п5*/а функция w* = w*(a, Ь, а) тоже убывает по Ь в интервале Ь > 0 (как композиция возрастающих функций). Таким образом, равновесные напряжение 5*, кажущаяся вязкость (9) и структурированность w* монотонно убывают по параметру Ь. При Ь ^ 0+ w* ^ 1 и 5* ^ аеа, а при Ь ^ +да w* ^ 0 и 5* ^ а (т.е. любой график имеет горизонтальную асимптоту при Ь ^ +да).
На рис. 1 приведены графики зависимостей 5*(Ь) и w*(b) для трех материальных функций:
g(5) = еЬ, g(5) = 1 + (Н5)\ g(5) = 1 + Н5 (10) (сплошные, штриховые и пунктирные линии соответственно) с Н = 1 и для четырех наборов МП: а = 2 с разными а = 1, 3, 9 (черные, зеленые и красные кривые) и набора с а = 1, а = 7 (синие кривые; они иллюстрируют сильное влияние параметра а из (2) на положение равновесия).
0.0 0.5 1.0 Ь ' 0.0 0.5 1.0 Ъ
Рис. 1. Графики зависимостей координат положения равновесия 5*(Ь) и ^*(Ь) для трех МФ (10) (сплошные, штриховые и пунктирные линии соответственно) (а) и четырех наборов МП (б); к*(0+) = 1 и ^*(го) = 0 (цветной в онлайн-версии)
Дифференцируя (7) по а (или по а), получим
w*a = -(1 + bg ( s*)) -2 bg'( s*) s*a = -bw2 g '(У) Уа. Поэтому
sgn w*a = -sgn s*a, т.е. интервалы монотонности величин w* и s* по a (или a) совпадают, возрастание s* влечет убывание w*, а убывание s* — возрастание w*. Производная (8) по а имеет вид
ay-1 Уа a-1 = (1 + bg (y))-1 - а (1 + bg (y))-2 bg ' (y) Уа, У J У = w* -aw2bg '(У ) Уа, У J У = w*[1 + abw*2 yg ' (y)]-1 > 0. (11) Поэтому s* = y(a, b, а) возрастает по а в интервале а > 0, а степень сшитости (7) убывает по а (как композиция одной убывающей и двух возрастающих функций). Стационарное значение кажущейся вязкости (9) тоже возрастает по а при любых МП и МФ, т.к. выше было показано, что |а/| = Уа/y, т.е. |а/| тоже выражается формулой (11). В силу ограничений g'(s*) > 0 и w* е (0; 1) из (11) следуют оценки
0 < Уа/У < w* < 1, 0 < |а/|< w* < 1,
0 <ца < w*| = r0w*eaw* < r0w*ea.
Найдем пределы s* и w* при а ^ +0 и а ^ го (они существуют в силу монотонности функций, а пределы w* конечны и лежат на отрезке [0; 1]). Перейдем к пределу при а ^ +0 в тождестве (7): из конечности предела w*(0+) следует, что lns*/a ^ 0, т.е. s*(0+) = a; тогда в силу второго уравнения (7) w*(0+) = (1 + bg(a))-1 и sup w*^) = w*(0+) < (1 + b)-1 (т.к. g(a) > 1). Из тождества (11)
можно найти и пределы производных при а ^ +0: Уа(0+) = 5*(0+Н(0+) = а(1 + Ья(а))-1, w*а=-Ь£(а)а х (1 + Ья(а)) 3. Переход к пределу при а ^ го в (7) дает к*(го) = [1 + Ья(5*(го))]-1 и если предел 5*(го) бесконечен, то к*(го) = 0, а если 5*(го) конечен, то к*(го) > 0. Но последний случай невозможен: предел левой части (8) при а ^ го конечен, я(5*) < го и потому предел правой части (8) бесконечен — противоречие с предположением 5*(го) < го. Итак, для любых МП 5*(го) = го и к*(го) = 0.
На рис. 2 приведены графики зависимостей 5*(а) и к*(а) для трех МФ вида (10) (сплошные, штриховые и пунктирные линии соответственно) с И = 0.1, для пяти наборов МП: с Ь = 0.01 и тремя разными а = 1, 3, 9 (черные, зеленые и красные кривые) и двух наборов с а = 1, Ь = 0.5 и Ь = 5 (синие и голубые кривые, они иллюстрируют сильное влияние параметра Ь на положение равновесия, хотя к*(го) = 0 при любом Ь). На графиках есть точки перегиба (в отличие от рис. 1), к*(а) убывает с разной скоростью в зависимости от материальной функции и величины а.
На рис. 3, а приведены кривые {5*(Ь), к*(Ь) | Ь > 0} в фазовом пространстве для тех же трех наборов МП, что и на рис. 1: с а = 2, а = 1, 3, 9 (черные, зеленые и красные кривые 1-3), и наборов с а = 1, а = 4 и а = 7 (кривые 4, 5). Из (8), (7) следует, что аш* = 1п 5*/а и множество точек кривой {5*(Ь), w*(Ь)} не зависит от материальной функции, а параметры а и а влияют как множители, вызывающие растяжение-сжатие кривой вдоль осей. При Ь ^ +го всегда w* ^ 0 и 5* ^ а, а к*(0+) = 1.
На рис. 3, б приведены кривые {5*(а), ^*(а) | а > 0} в фазовом пространстве для тех же трех МФ
Рис. 2. Графики зависимостей 5*(а) и для трех МФ (10) (сплошные, штриховые и пунктирные линии соответственно) с Н = 0.1 (а) и пяти наборов МП (б); 5*(0+) = а, т(0+) = 1/(1 + bg(а)), 5*(да) = да, ^*(да) = 0 (цветной в онлайн-версии)
(10) (сплошные, штриховые и пунктирные линии соответственно) и четырех наборов МП с фиксированным а = 1: с Н = 0.1, Ь = 0.01 (черные), с Н =
0.5, Ь = 0.01 (желтые), с Н = 1, Ь = 0.1 (синие), с Н =
1, Ь = 1 (голубые). При изменении а меняется начальная точка кривой 5*(0+) = а, ж*(0+) = (1 + bg(a))"1 (она смещается влево и вниз с ростом а), но образ кривой совпадает с частью кривой для меньших значений а (см. красные кривые с а = 9 и черные с а = 1), поэтому все кривые на рис. 3, б (кроме красных) построены для а = 1. Все кривые при а ^ да стремятся к асимптоте w* = 0 (т.к. 5*(да) = да, ж*(да) = 0), но с разными скоростями. Все кривые, кроме черных и красных, оборваны при а = 300 или 5* = 60, черные и красные сплошные построены при а е (0; 10); 5*(а) растет тем
медленнее, чем быстрее растет функция g(s) (в частности, с ростом Н). Стрелками на кривых рис. 3 показано направление возрастания параметров Ь и а.
Итак, зависимости координат положения равновесия 5*(а, Ь, а) и ^*(а, Ь, а) и кажущейся вязкости (9) от параметров Ь и а монотонны на всей положительной полуоси каждого параметра.
4. Зависимость положения равновесия и кажущейся вязкости от скорости сдвига
Исследуем зависимость 5*, ц и от параметра а = тс, т.е. их зависимость от скорости сдвига V (и от параметра по). Как отмечено выше, возрастание реологической кривой 5*(а), убывание кривой вязкости ц(у) и существование конечных
Рис. 3. Кривые {5*(Ь),w*(b)| Ь > 0} (а) и {5*(а),^*(а)|а > 0} (б) в фазовом пространстве для трех МФ (10) (сплошные, штриховые и пунктирные линии соответственно) и разных наборов МП (цветной в онлайн-версии)
Рис. 4. Графики зависимостей координат положения равновесия 5*(а) и ^*(а) от параметра а = vn0/тc для трех МФ (10) (сплошные, штриховые и пунктирные линии) (а) и пяти наборов МП с разными Ь и Н (б) и фиксированными а = 2, в = 1 (цветной в онлайн-версии)
пределов при V ^ 0 и V ^ да — важнейшие качественные свойства типичных кривых вязкости разных псевдопластичных жидкостей [3-30].
Производные кажущейся вязкости (9) и структурированности (7) по а выражаются формулами ц'/ц = а^*, м?* =-Ьм%g' (5*)5* (12)
(производные по а для краткости обозначаем штрихом: 5* = ду/да, ш* = дw*/да, ц' = дц/да). Поэтому sgn ц ' = sgn w,*, sgn Щ* = -sgn 5* и интервалы монотонности величин ц, w* и 5* по а совпадают, причем возрастание 5* равносильно убыванию ц и w*. Производная (8) по а (с учетом (12)): (а/ 5* )а-2 (5*а - 5*) = а'^*, 5*15* = а-1 + аи'* = а-1 -аЬ^*2 g' (5*) 5*,
5* = 5*а-1[1 + аbwl 5* g' (5*)]-1 > 5*а-1 > 0, (13) 5* = 5*а-1[1 + аЬ5*(1 + bg (5*))-2 g' (5*)]-1
(5* > 5*а-1 > 0 в силу g'(s) > 0 и положительности МП и функции 5* = у(а, Ь, а)). Поэтому равновесное напряжение 5* = у(а, Ь, а) — возрастающая функция параметра а (и скорости сдвига V) в интервале а > 0, а равновесные степень сшитости (7) и кажущаяся вязкость (9) убывают по а и по V, а из (12) ц ' = а^*ц = ц0аеац'*
На рис. 4, а приведены графики зависимостей 5*(а) и w*(a) (т.е. зависимостей от скорости сдвига V) для трех МФ (10) (сплошные, штриховые и пунктирные линии) и пяти наборов МП с фиксированными а = 2, в = 1 и с разными парами Ь и Н: Ь = 0.01, Н = 0.1 (черным цветом), Ь = 0.01, Н = 1 (красным), Ь = 0.1, Н = 0.1 (синим), Ь = 0.1, Н = 1 (зе-
леным) и Ь = 1, Н = 1 (голубым). Увеличение каждого из параметров Ь и Н приводит к смещению кривых 5*(а) и wlt(a) вниз. На кривых течения 5*(а) (рис. 4, а) есть точки перегиба, и это отражает типичное поведение экспериментальных кривых. Ниже будет доказано, что для любых материальных функций и материальных параметров при а ^ 0 5*(а) ^ 0, 5*(а) ^ еа/(1+Ь) и w* ^ (1 + Ь)-1, а при а ^ да 5*/а ^ 1, w* ^ 0 и кривые течения 5*(а) для МФ (10) обладают наклонной асимптотой, параллельной прямой 5 = а (и лежат выше асимптоты).
Найдем пределы 5*(а), w*(a) и кажущейся вязкости (9) при а ^ +0 и а ^ да, т.е. при V ^ 0 и V ^ да. Перейдем к пределу при а ^ 0 или а ^ да в тождестве (8) и докажем, что 5*(0+) = 0 и 5*(+да) = +да, причем пределы величин 5*/а и ц конечны в обоих случаях (они отличаются лишь множителем п0) и ц(0+) > ц(+да) > 0 при любых МП и МФ.
При а ^ 0 правая часть тождества (8) стремится к а[1 + bg(5*(0+))]"1 (предел 5*(0+) существует и конечен в силу возрастания функции 5*(а)), и потому существует конечный предел левой части (8), 5*/а ^ ехр(а[1 + bg(5*(0+))]-1) > 0, следовательно, 5*(0+) = 0, 5*/а ^ Q, где
11 = ехр(а[1 + bg(0)]-1) = еа/(1+Ь) е (1, еа), (14)
5*(0+) = 1, ц = ^05*1 а = Л01, ^ (1 + Ь)-1 при а ^ 0 (по (7)). Из (12) можно найти и пределы производных при а ^ +0: ^*(0) = -^^(0) х ^(0)5*(0) = -Ь(1 + Ь)-2^(0) 1 < 0 и
|'(0) = ац(0К(0) = -ал0еа/ (1+Ь)Ь(1 + Ь) -2 g '(0) eа¡ (1+ь )
= -ал0Ь(1 + Ь) -2 g '(0)e
?2а/ (1+Ь)
<0.
(15)
Если ^(0) = 0 (как для второй функции (10)), то м4(0) = 0 и ц'(0) = 0 при любых МП.
При a ^ го правая часть тождества (8) стремит-
ся к а[1 + Ьg(s*(+гo))]- (предполагаем, что предел £*(+го) конечен), и потому существует предел левой части (8), s*/a ^ ехр(а[1 + Ьg(я*(+го))]-1). Значит, предположение я*(+го) < +го ложно, я*(+го) = +го, я*/a ^ ехр(а[1 + Ьg(+го)]-1) = 1 (т.к. g(+гo) = +го), | = Л0s*/a = Ло и w* ^ 0 при a ^ го.
Таким образом, пределы равновесных кажущейся вязкости (9), напряжения и степени сшито-сти при a ^ 0+ и a ^ го (т.е. при V ^ 0 и V ^ го) и начальный угол наклона я*(0+) кривой течения я*(а) выражаются формулами
10 = I w*(0+)
Л0-
=е, я*(0+)=е,
Цго
= -Ь(1 + Ь)-2 g '(0)
я*(0+)
|'(0+)
(16)
=
(17)
w*(0+)
я*(0+) = 0, я*(+го) = +го,
w*(0) = (1 + Ь)-1, w*(+ro) = 0,
где е = еа/(1+Ь) е (1, еа). Очевидно, из (16) при любых положительных значениях МП и любой МФ следует, что 0< цго < ц0 и цго > е-ац0, отношение |го/|и 0 совпадает с начальным углом наклона я*(0+) кривой течения я*(а), зависит лишь от параметров а, Ь (и не зависит от МФ g(s), от п0 и других МП модели (1)-(3)), причем возрастает по а и убывает по Ь. Таким образом, модель описывает общее свойство ц» < ц типичных кривых вязкости, наблюдаемых для разных псевдопластичных жидкостей (часть эффекта тиксотропии).
Отметим, что я*/а ^ 1 при а ^ го еще не означает, что кривая течения я*(а) всегда имеет наклонную асимптоту: ее нет, если g(s) растет достаточно медленно: g(я)/я ^ 0 при я ^ +го (тогда aw(a) ^ го при а ^ го, а я* - а ~ aaw*(a) ~ аw*(a) х я*(а) при а ^ го). Для функций (10) все кривые я*(а) обладают асимптотой (и лежат выше нее). Для моделей с g = 1 + (Ия)2 или g = еИ (и любым И > 0) асимптота общая: я = 1 • а (см. сплошные и штриховые кривые на рис. 4). Для линейных функций g = 1 + Ня асимптоты имеют вид я = а + В, где В = а/(ЬН) (см. пунктирные кривые на рис. 4). Поэтому на всех кривых течения рис. 4 есть точки перегиба при достаточно больших а.
Рис. 5. Графики зависимости кажущейся вязкости ц(а)/п0 = я*(а)/а для трех МФ (10) (сплошные, штриховые и пунктирные линии) и пяти наборов МП с разными Ь и И (цветом) и фиксированными а = 2, в = 1 (цветной в онлайн-версии)
На рис. 5 приведены графики зависимости от а обезразмеренной кажущейся вязкости ц(а)/п0 = т*/(уп0) = я*(а)/а для трех функций (10) (сплошные, штриховые и пунктирные линии) и тех же пяти наборов параметров с фиксированными а = 2, в = 1 и с разными парами Ь и И, что и на рис. 4: Ь = 0.01, И = 0.1 (черным цветом), Ь = 0.01, И = 1 (красным), Ь = 0.1, И = 0.1 (синим), Ь = 0.1, И = 1 (зеленым) и Ь = 1, И = 1 (голубым). При а ^ 0 ц(а)/п0 ^ е, при а ^ го ц(а)/п0 ^ 1; на кривых вязкости ц (а)/п0 (зависимость от скорости сдвига V получается сжатием вдоль горизонтальной оси) есть точки перегиба. Подытожим основные доказанные в пп. 3, 4 свойства равновесных напряжения, степени сшитости и кажущейся вязкости (9).
Теорема. Пусть а, Ь, а, с, п0, 00 > 0, в > 0 и функция g(s) непрерывна и кусочно-дифференцируема при я > 0, не убывает и g(0) = 1. Тогда система двух нелинейных дифференциальных уравнений (4), (5) имеет единственное положение равновесия (я*, w*) в области w е (0;1), я > 0, оно является решением системы уравнений (7), (8), зависит лишь от трех параметров а, а ^Т10/тс и Ь = к2/к1 (и не зависит от с, в, ^0), а функции я*(а, Ь, а), w*(a, Ь, а) и ц(а, Ь, а), а, Ь, а > 0, обладают следующими свойствами:
1) я* > а > 0, пределы при а ^ +0 и а ^ го (т.е.
при V ^ 0 и V ^ го): я*(0+) = 0, w*(0+) = (1 + Ь) я*(+го) = +го, w*(+гo) = 0, если g(+гo) = +го;
-1
и
2) функции 5*(а, Ь, а) и w,(а, Ь, а) монотонны по каждому из аргументов в области а, Ь, а > 0;
3) 5* и w* убывают по параметру Ь, производная 5*Ь =-а5* g (5*)w*2[1 + аbw*2 5* g' (5*)]-1 <0;
4) функция 5*(а, Ь, а) возрастает по а в интервале а > 0, а w*(a, Ь, а) убывает по а;
5) равновесное напряжение 5*(а, Ь, а) — возрастающая функция параметра а (и скорости сдвига V, и параметра п0) в интервале а > 0, а равновесная степень сшитости (7) убывает по а и по V, производные 5» и w» по а выражаются формулами (13) и w» = -bw'l g' (5*)5*;
6) кажущаяся вязкость ц(а, Ь, а) монотонно убывает по Ь, возрастает по а и убывает по а;
7) пределы равновесных кажущейся вязкости (9), производных напряжения и степени сшитости при а ^ +0 и а ^ да (т.е. при V ^ 0 и V ^ да) и начальный угол наклона 5* (0+) реологической кривой 5„(а) выражаются формулами (16).
5. О способах идентификации модели
Теоретическое равенство 5* (0+) = ц0 /из (16) независимо от измеряемых величин и проверка его выполнения по экспериментальным данным могут служить удобным индикатором применимости модели (1)-(3) к конкретному полимеру (твердообразному материалу, раствору, расплаву и т.п.). Равенства (16) удобны и для идентификации параметров Ь, а и ц0.
Методикам идентификации определяющих соотношений (1)—(3) будут посвящены специальные статьи. Отметим только, что по установившимся (равновесным) величинам 5„(а), известным из серии экспериментов при разных скоростях сдвига (разных заданных значениях а), т.е. по кривой течения материала 5*(г) (или 5*(а)) и кривой вязкости ц(а), можно определить МП а и п0, входящие в (2), и функцию g(s). По формуле (16) находятся параметры п0 = ц» и 1 = ц 0/ц ж, по (14) а=(1+ Ь)х 1п 1, а из формулы (8), задающей кривую течения 5*(а), порождаемую определяющими соотношениями (1)-(3), следует формула для определения функции g(s) в разных (экспериментальных) точках 5 = 5*(а): bg(5*) = а(1п5*/а)-1 -1. В силу (17) параметр Ь = к2/кх однозначно определяет предельную равновесную структурированность среды w,(0) = (1 + Ь)-1 при а ^ 0+. Его можно рассматривать как настроечный, а можно и определить по характерным или средним значениям наклона кривой вязкости ц(а) (см. формулы (12),
(13) или (15)). Остальные МП можно найти по экспериментальным зависимостям 5(^; а) напряжения от времени (в процессе установления), используя, что положение равновесия (8), (7) не зависит от параметров в в (2) и с из (5), но интегральные кривые (и тип точки равновесия системы (4), (5)) зависят от них.
6. Линеаризация системы с произвольной материальной функцией в окрестности точки равновесия и ее фазовый портрет
Линеаризация системы (4), (5) в окрестности точки равновесия (8), (7) дает линейную систему X = Ах, где X = (хь Х2)Т, Х1 = 5 - 5*, Х2 = w - w», А = ^5*, w*) — матрица Якоби отображения Г = (/¡, /2)Т, задающего поле скоростей системы (4), (5), в точке (5*, w»). Вычисление частных производных поля скоростей системы (4), (5) приводит к матрице с элементами
pw,
(18)
а21 = -cbw*g' (5*), а22 = -сю-', где 5* = аеат", w* = (1 + bg(5*))—1 по (6) и потому
Р™* г п /п \ -а*« т
а12 = е [ар- (р-а)5*е ]
= еР"*[ар- (Р-а)а] = ааеРГ Фазовый портрет системы X = Ах (и исходной системы), как известно, определяется собственными значениями и собственными векторами матрицы А, поэтому найдем собственные значения и условия, при которых они являются комплексными или действительными, простыми или кратными, исследуем знаки их действительных частей.
Характеристическое уравнение для собственных значений имеет вид
X2 -1^ +12 = 0, (19)
где / = аи + а22, /2 = ¿ег А = аиа22 - а^: — инварианты оператора А. Вычислим их и дискриминант характеристического уравнения с помощью (18):
Л = -e(p-a)w -cw,
-1
12 = ce(p-a) w* w,-1 + abcaw,g ' (s,^, D = I2 - 412 = [e(p-a)w* + cw-1]2
pw,
(20)
- 4ce(p-a) w* w,-1 - 4abcaw, g ' (s,)epw, или D = [cw,-1 -e-(a-p)w*]2 -4abcaw,g'(s,*, (21)
где cb = k2T0, abc = k2T0v^0 /xc. Вследствие условия g'(s) > 0 и положительности s,, w, и всех материальных параметров всегда выполнены неравенства 11 < 0, I2 > 0 и D < 112, а из w, е (0;1) и в < a
следуют ер а < е(р а)< 1 и более точные оценки:
-1 - си*-1 < 11 < -сил-1 < -с, 11 < -е(р-а) - с, 12 > се(р-а)Ми*-1 > се(р-а)М > сер-а, (22) [си*-1 -1]2 - 4аЬсаери*g'(я*) < Б < с2м-2 - 4аЬсам*g'(я*). Поэтому все коэффициенты уравнения (19) положительны при всех значениях МП и любой МФ g(s), следовательно, у него нет положительных действительных корней и положение равновесия не может быть седлом (случай, когда у (19) есть два вещественных корня разного знака). Корни характеристического уравнения (19) вычисляются по формуле
2Х = 11 ± = -е-(а-р)- си*-1
± [(си*-1 -е-(а-р)М*)2 -4аЬсам-^'(5*)ерММ*]1/2.(23)
Положение равновесия является невырожденным узлом, когда уравнение (19) имеет два разных вещественных корня, и критерий этого — неравенство Б > 0, т.е.
[си*-1 -е-(а-р)М* ]2 > 4аЬсам*^(я*)еРш. (24) В этом случае общее решение линеаризованной системы х = Ах имеет вид
) = С1 ехр(Х^ )а1 + С2 ехр(Х )а 2, (25)
где а1 и а2 — собственные вектора оператора А, и фазовые траектории монотонно приближаются к положению равновесия (устойчивый узел при Хь Х2 < 0) или монотонно удаляются от него (если Хь Х2 > 0), а решения системы — монотонные функции времени или могут иметь одну точку экстремума. В нашем случае из (23) следует, что при Б > 0 всегда оба корня отрицательны, т.к. 11 < 0 и Б < 112. Поэтому неравенство (24) — критерий того, что положение равновесия системы дифференциальных уравнений (4), (5) — устойчивый узел.
В случае одинаковых корней, т.е. в случае Б = 0 (ясно, что условие в виде равенства (26) не является грубым и легко нарушается из-за малейшего возмущения параметров), или
[си*-1 - е-(а-р) М* ]2 = 4аЪсам*^{ я*)ерМ*, (26)
получается устойчивый вырожденный узел и монотонность и и(0 может нарушаться. В этом случае Х1 = X 2 = 0.511 = -0.5(е(р-а) + си*-1), в силу (22) для собственного значения справедливы оценки
-си-1 <-0.5 - 0.5см,-1 <Х<-0.5шах{сш-1;1 + ер-а}.
В случае D = 0 пространство собственных векторов оператора A одномерно (т.е. он не диагонали-зируем), поскольку из a12 = aaepw* Ф 0 следует, что A - XE Ф 0; собственные вектора — решения уравнения [cw—1 - e(p_a) w*]x1 + 2aaepw* x2 = 0.
Наконец, в случае D < 0 уравнение (19) имеет комплексные сопряженные корни X = u ± iv и положение равновесия является фокусом при Re X Ф 0 или центром при Re X = 0 (случай периодических решений у линеаризованной системы). Фокус неустойчив, если Re X > 0, а при Re X < 0 положение равновесия — устойчивый фокус. В нашем случае из (23) следует, что при D < 0 всегда будет Re X < 0, поскольку 2Х = I1 ± iy]| D | и Re X = 0.5/j < 0. Таким образом, условие D < 0, т.е. неравенство
[cw*—1 - e-(a-p)w* ]2 < 4abcaw*g'(s*)epw*, (27) где s* = aeaw*, w* = (1 + bg(s*))-1 — критерий наличия устойчивого фокуса у системы (4), (5) с произвольной функции g(s). Существование устойчивого фокуса у системы дифференциальных уравнений (4), (5) означает немонотонность ее решений s(t), w(t), и существование режимов деформирования с (затухающими) колебаниями напряжения и степени сшитости при выходе на стационарные значения s*, w* при t ^ да.
Пример 1. При a = 0 (вырожденный случай, когда вязкость не зависит от w*) имеем в = 0 (поскольку 0 < в < a в силу (2)) и D = [cw-1 - epw* ]2 =
— 1 2 "ГТ
[cw* — 1] > 0. Положение равновесия не может быть фокусом, система (7), (8) для положения равновесия имеет явное решение s* = a, w* = (1 + bg(a))-1, и потому D = (c + bcg(a) - 1)2, а D = 0 тогда и только тогда, когда bg(a) = (1 — c)/c. При этом система дифференциальных уравнений (4), (5) тоже легко решается: S = a — s, s = a(1 - e-t), w + c[1 + bg (a — ae—t )]w = c — линейное уравнение первого порядка.
Пример 2. Если g(s) = const (в модели нет МФ, учитывающей влияние напряжения на скорость разрыва связей), т.е. g'(s) = 0, то D = [cw*"1 —
—(a—p) w*-.2 -г /т7\
e ] , выполнение критерия фокуса (27) не-
возможно (D > 0) и для положения равновесия (7), (8) всегда выполнены условия (24) или (26). Если выполнено равенство (26) с g'(s*) = 0, т.е. e(p—a)w* = cw*—1, то w* = ce(a—p)w* > c (поскольку в < a). При c > 1 это противоречит исходному ограничению w* < 1, следовательно, в случае c > 1 равенство (26) выполняться не может. Поэтому в случае g(s) = const и c > 1 всегда выполнено нера-
венство (24), положение равновесия 5* = а ехр(а х (1 + Ь)1), w» = (1 + Ь)-1 — устойчивый узел, собственные значения вещественны и различны и по (23) и = -с(1 + Ь) < -с, X2 = -е-(а-р)/(1+Ь) > -1. Общее решение линеаризованной системы X = Ах при этом имеет вид (25).
Пример 3. Если g = 1 + Н5 , то g' (5) = Н и все критерии (24), (26), (27) заметно упрощаются, а система (7), (8) принимает вид w» = (1 + Ь + ЬН5*)-1, 5* = аеау", т.е. w»"1 = 1 + Ь + ЬНаеаш.
7. Зависимость дискриминанта характеристического уравнения, его корней и типа точки равновесия от материальных параметров
Отметим, что положение равновесия (7), (8) не зависит от параметров G0, в в (2) и с из (5), но тип точки равновесия (фазовый портрет системы (4), (5)) зависит от них, поскольку в и с входят в критерии (24)-(27) (поэтому управлять типом положения равновесия, не сдвигая его, проще всего с помощью параметров в и с). В частности, зависимость В(с) всегда квадратичная (поскольку точка (5*, w*) не зависит от с), при с = 0 В = е-2(а-р)т е (0; 1], при достаточно больших с тоже В(с) > 0. Это означает, что при больших с положение равновесия не может быть фокусом; это верно и при достаточно малых, если а ограничено, но если нет, то для любого с Ф 0 найдется достаточно большое а(с), такое, что В(с) < 0 в (узкой) окрестности точки а(с) (правда, при а ^ да В(с) > 0). Фокус ярче всего проявляется в окрестности точки минимума функции В(с), т.е. точки
ст1п = w*2[w"1e"(a"р)m + 2abaw» g ' Ые^]
= w»eрw» [е"ат + 2abаw*2^(5*)] > 0.
Докажем, что при любых МФ и МП В(ст1п) < 0, т.е. всегда можно настроиться на фокус только за счет выбора МП с в окрестности значения с = ст1п:
В(стк) = [ер,> + 2abaw» g ' (5*)) - е-( а-р) т]2
- 4abaw*2e2рw' [е-ат + 2abaw*2 g '(5*)^ ' (5*),
В(стш) = 4e2рw'[abaw*2 g ' (5*))]2
- 4abaw*2e2рw' g' (5*)[е ^ + 2abaw*2 g' (5*)],
В(ст1п) = -4abaw*2e2рw» g ' (5»)[abaw*2 g ' (5*) + е-ат].
Зависимость В от параметра в полностью определяется зависимостью от переменной х = eрw', поскольку 5* и w» не зависят от в в силу (21):
В(х) = Ах2 - Вх + С, А = е-2ат,
В = 2cw*"1e"aw* + 4abcaw»g' (5*), С = c2w»~2, -1п I т г. 2 и \ aw»^ aw»
хт1п = cw» [1 + 2abaw» g (5*)е ]е , В( хт1п) = c2w*"2[1 + 2abaw» g' (5»)eaw» ]2 - 2с2 w"2[1 + 2abaw*2 g' (5»)eaw»]2 + с2 w*"2, В(хт1п) = c2w*"2 -с2^- + 2abaw»g'(5*)еат]2 = с 2w"2[1 - (1 - 2 abaw*2 g'(5*) еат )2], В( хт1п) = 4abc2ag '(5»)eaw»[1 - abaw«2 g' (5*)еат]
= 4Ьс 2а5* g' (5*)[1 - baw*25»g' (5*)]. Таким образом, знак В(хт1п) всегда совпадает со знаком выражения 1 - baw»5»g'(5*), он может быть любым в зависимости от величин МП.
Зависимость В(а) сложнее. При а ^ 0+ w* ^ (1 + Ь)-1, 5*(0+) = 0, В ^ [с(1 + Ь) - е-(а-р^(1+Ь)]2 > 0, т.е. при а ^ 0+ (и фиксированных остальных параметрах) предел В(0+) не зависит от материальной функции и положение равновесия всегда является узлом при достаточно малом а (малой скорости сдвига). При а ^ да имеем 5*(+да) = +да, 5*/а ^ 1, w* ^ 0 и В ~ с2w"2 - 4abcaw»g' (5*).
На рис. 6, а приведены графики зависимости В(а) (21) для трех МФ (10) (кривые 1-3: сплошные, штриховые и пунктирные линии) и МФ g = 1 + (Н5)3 и g = 1 + 1п(1 + Н5) (кривые 4, 5) с Н = 0.1 и фиксированных параметров а = 2, в = 1, Ь = 0.01, с = 2. Функция В(а) для модели с g = 1 + Н5 (кривая 3) тоже имеет точку минимума (а ~ 10) и стремится к бесконечности при а ^ да, но гораздо медленнее, чем в случае других МФ (кажется постоянной). Красная кривая 5, сливающаяся с кривой 4 при а < 50 — график В(а) для функции g = 1 + 1п(1 + Н5); если увеличить Н до Н = 1000, получим кривую 7. Пунктирная кривая 6 — для В(а) для линейной МФ с Н = 1. Рисунок 6 показывает, что выбор g(s) может существенно влиять на знак В(а) и тип точки равновесия (хотя предел В(0+) = [с(1 + Ь) - е-(а-р)/(1+Ь)]2 не зависит от МФ).
Графики В(а) существенно меняются в зависимости от значений МП. Поэтому на рис. 6, б приведены В(а) для моделей с теми же МФ и Н = 0.07, но с другими МП: с а = 2, в = 1, с = 0.3 и Ь = 1012, 0.022, 0.66 (кривые 1'-3' ). Балансировка моделей с разными МФ осуществлялась за счет подбора параметра Ь таким образом, чтобы обеспечить совпадение их положений равновесия при а = 400 (такая балансировка необходима для совмещения фазовых траекторий моделей на одном рисунке,
О 10 20 30 а 0 100 200 300 а О 1 2 3 с
Рис. 6. Графики зависимостей Б(а) и Б(с) для разных материальных функций g (цветной в онлайн-версии)
см. далее рис. 10). Модель с экспоненциальной функцией из (10) (и Ь = 10-12) отличается тем, что Б(а) > 0 в заметном интервале скоростей в окрестности а = 0: Б(0) = 0.005, Б ~ 0.005 при а < 30, Б = 0 при а ~ 37.5 (кривая 1'). У моделей с квадратичной или линейной МФ (кривые 2', 3') начальный интервал с Б(а) > 0 очень узок (и даже не заметен на рис. 6, б). Кривая 4' — график Б(а) для модели с той же экспоненциальной МФ, что и 1', но при с = 0.6 (с увеличенной в два раза скоростью образования сшивок к1 в (3)). Кривые 5-7 — в точности те же графики, что и на рис. 6, а, но для более широкого интервала изменения параметра а; графики 5 и 7 для логарифмической функции g = 1 + 1п(1 + кя) так и остаются почти постоянными.
На рис. 6, в приведены графики зависимости Б(с) (21) для трех функций (10) (кривые 1-3:
сплошные, штриховые и пунктирные линии) и функций g = 1 + (кя)3 и g = 1 + 1п(1 + кя) (кривые 4, 5) с к = 0.1 и двух наборов параметров: а = 2, р = 1, Ь = 0.01, а = 10 (черным) и а = 5 (голубые кривые 1' -5' ). С уменьшением а интервал Б(с) < 0 сужается, но, как было доказано выше, при любых МФ и МП всегда Р(сш,п) < 0, т.е. найдется интервал, в котором Б(с) < 0 и можно настроиться на фокус только за счет выбора параметра с.
На рис. 7 приведены графики зависимости Б(а) и Б(Ь) для функции g=ек с к = 0.1, показывающие, как изменение параметров а, Ь и с может приводить к отрицательным значениям дискриминанта (21), а следовательно, к перестройке семейства интегральных кривых и появлению (или исчезновению) фокуса. На рис. 7, а приведены графики Б(а) для фиксированных а = 2, в = 1, Ь =
Рис. 7. Графики зависимости Б(а) и Б(Ь) для функции g = е * с к = 0.1 для разных значений с (цветной в онлайн-версии)
О 100 200 300 400 а 0 50 100 150 200 а
Рис. 8. Зависимости действительной и мнимой частей корней характеристического уравнения (19) от параметра а (от скорости сдвига) для трех моделей с тремя разными функциями (10) (цветной в онлайн-версии)
0.01 и разных значений с: с = 10-8 и с = 0.01, 0.1, 0.5, 1, 2, 3, 3.5, 4 (кривые 0-8). Графики, пресекающие горизонтальную ось (не менее чем в двух точках, т.к. Б(0+) > 0 и Б(ю) = +ю), окрашены черным цветом, а те, что не пресекают — красным. При с ^ 0 (см. кривую 0) график Б(а) приподнимается (по сравнению с кривой 1), при очень малых с Б(а) сначала возрастает, но в окрестности некоторой точки а(с) (она сдвигается вправо с убыванием с) график резко падает вниз, пересекает ось (при а = 230 для кривой 0) и столь же быстро начинает возрастать (этот эффект связан с обращением в нуль первого слагаемого в (21) при достаточно малом с). На рис. 7, б приведены графики Б(Ь) для фиксированных а = 2, в = 1, а = 1 и разных значений с: с = 0.01, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 (кривые 1-10). С ростом с область отрицательных значений Б сначала расширяется, а затем сужается и исчезает.
На рис. 8 приведены графики зависимостей действительной и мнимой частей корней характеристического уравнения от параметра а (от скорости сдвига) для трех моделей с тремя разными функциями (10) (сплошные, штриховые и пунктирные линии) с к = 0.07 и параметрами а = 2, в = 1, с = 0.3 и Ь = 10-12, 0.022, 0.66 (в точности тех же трех моделей, для которых приведены графики Б(а) 1 -3 на рис. 6, б). Мнимые части корней — голубые кривые: это замкнутые контуры, симметричные относительно оси а. Остальные кривые — действительные части корней (абсциссы их точек ветвления — корни уравнения Б = 0). Рисунок 8, б — увеличенная часть рис. 8, а в окре-
стности а = 0. Модель с экспоненциальной функцией из (10) и Ь = 10-12 отличается тем, что Б(а) > 0 для заметного интервала скоростей в окрестности а = 0 (кривая 1), Б(0) = 0.005 и Б ~ 0.005 при а < 30, и при а < 37.5 характеристическое уравнение имеет два вещественных корня (черные сплошные кривые на рис. 8, б). У моделей с квадратичной или линейной МФ (штриховые и пунктирные кривые) начальный интервал, где Б(а) > 0, очень узок и даже не заметен на рис. 8 и 6, б.
8. Зависимость интегральных кривых модели от материальных параметров и функции и от начальных условий
На рис. 9 приведены графики решений и (кривые 1-5 и 1' -5') задач Коши для системы дифференциальных уравнений (4), (5) с материальной функцией g = екя, к = 0.07 (рис. 9, а), и ее фазовые кривые (рис. 9, б) для пяти начальных условий при t = 0: я(0) = 300 фиксировано, а и(0) = 0.02, 0.1, 0.3, 0.6, 0.9 (они маркированы цветом: голубым, черным, зеленым, синим и красным). Значения МП выбраны так, чтобы положение равновесия было фокусом (рис. 9, б) и осцилляции и и(0 имели значительный размах: а = 2, в = 1, а = 170, Ь = 10-12, с = 0.3. Для этих значений параметров я* = 399, м* = 0.427 (см. горизонтальные асимптоты на рис. 9, а), Б = -25, отношение удельных скоростей разрушения связей к скорости образования в начальный момент — примерно д0 = 1/900 (^0 = к2 g (¿(0))/к = Ьg (я (0)) = Ьек (0) = Ье21 «109 Ь «10 3), а с выходом на стационарный
Рис. 9. Решения 5(7) и ^(7) системы уравнений (4), (5) с функцией g = е 5, Н = 0.01 (а) и ее фазовые кривые в окрестности фокуса (б) при пяти разных начальных условиях (цветной в онлайн-версии)
режим qда = Ь^(5*) = 1.34 (в общем случае из (3) следует, что при 7 ^ да q( = к2g(5*)к1-1 = w"1 -1 и qда близко к 1, если w» близко к 0.5). При малом ^(0) = 0.02 (голубая кривая) никаких осложнений в численном решении и в поведении решения не возникает. Штриховые линии на рис. 9, б, пересечение которых определяет положение равновесия, — кривые (6), т.е. изоклиы поля скоростей системы (4), (5), в точках которых вектор скорости горизонтален или вертикален. При больших а и в размах осцилляций решений возрастает и может превышать 50 % от установившихся значений
5*, W».
При всех начальных условиях наблюдается следующий «критический» сценарий (рис. 9, б): сначала напряжение 5(7) нарастает, структурированность w(t) сначала тоже растет или остается примерно постоянной (красная кривая), а затем w резко падает при почти постоянном напряжении (в начале этого обрушения структуры 5(7) еще растет, а затем падает). Это видно и на рис. 9, а: участок убывания графика w(t) значительно круче предшествующего участка возрастания (кривые 1-5). Если w(0) значительно меньше равновесной величины w*, то напряжение предварительно убывает, а затем начинает нарастать вместе с w(t) (кривые 1, 2 на рис. 9, а, б), пока не происходит описанное «обрушение». Этот сценарий наглядно иллюстрирует и рис. 10, в (довольно резкая смена почти горизонтальных участков фазовых кривых почти вертикальными для экспоненциальной МФ). При последующих осцилляци-
ях в окрестности фокуса размах отклонений и скорость изменения 5(7) и w(t) уменьшаются.
На рис. 10, а, б приведены графики решений 5(7) и w(t) системы дифференциальных уравнений (4), (5) для трех МФ (10) с Н = 0.07 (сплошные, штриховые и пунктирные линии) при пяти начальных условиях: 5(0) = 300 фиксировано, а w(0) = 0.02, 0.1, 0.3, 0.6, 0.9. Для удобства сравнения влияния МФ на интегральные кривые положение равновесия задано одним и тем же: 5* = 399, w* = 0.427 (см. общие асимптоты на рис. 10, а, б), таким же, как на рис. 9. В силу формулы (7) этого можно добиться только за счет изменения Ь, поддерживая постоянными 5* и bg(5») при замене МФ (тогда Ь = 10-12 для экспоненциальной функции, Ь = 0.0017 для квадратичной и Ь = 0.0465 для линейной), а остальные параметры задав одинаковыми для трех МФ: а = 2, в = 1, а = 170, Ь = 10-12, с = 0.3 (как и на рис. 9). Все три модели имеют в точке (5*, w*) фокус, но для линейной функции он слабо выражен (В = -0.86), для экспоненциальной — сильно (В = -25), а для квадратичной — средне (В = -1.8). На рис. 10, в приведены фазовые траектории тех же моделей с начальными условиями 5(0) = 300 и w(0) = 0.1, 0.6, 0.9.
Для полноты картины на рис. 10, в приведено еще одно положение равновесия 5* = 473, w* = 0.0836 модели с теми же МФ (Н = 0.07), но другими параметрами а и Ь, которое уже является узлом для МФ g = 1 + (Н5)2 (В = 3.1) и фокусом для g=еН5 (В = —60). Заданы а = 400 (более высокая скорость сдвига), Ь = 0.01 и Ь = 4.6 • 10-14, осталь-
300 400 500 5 0 1 2 t
Рис. 10. Сравнение решений s(t) (а), w(t) (б) и фазовых портретов (в) системы уравнений (4), (5) для трех функций (10) с h = 0.07 при разных начальных условиях, одинаковом положении равновесия и одинаковых значениях всех параметров, кроме b. Графики s(t) и w(t) для моделей с иными параметрами a и b и другим положением равновесия (точка В на рис. 9, в) для тех же материальных функций и разных начальных условий (г) (цветной в онлайн-версии)
ные параметры и функции остались прежними. Фазовые кривые этих двух моделей (с теми же тремя начальными условиями б(0) = 300 и м(0) = 0.1, 0.6, 0.9) показаны на рис. 10, в желтым и голубым цветами. На рис. 10, г приведены графики решений задач Коши б(^) и м(Р) для этих двух моделей (голубым, черным, зеленым, синим и красным — для пяти начальных условий м(0) = 0.02, 0.1, 0.3, 0.5, 0.8): б(^) — верхнее семейство кривых с асимптотой л = б*, м(^) — нижнее семейство с асимптотой м/ = w*. Отметим, что даже в случае узла (квадратичная материальная функция, штриховые кривые) неравенство между начальными значениями не сохраняется для м({) с течением времени: черная кривая с начальным условием
м(0) = 0.1 лежит выше красной кривой с м(0) = 0.9 при t > 0.8.
На рис. 11, 12 приведены графики решений б^) и системы уравнений (4), (5) с а = 2, р = 1, Ь = 10-12, с = 0.3 и g = вИз, И = 0.07, при восьми разных значениях параметра а = 10, 37; 70, 200, 300, 400; 420, 500 (с начальными условиями б(0) = 0 и пятью разными значениями м(0) = 0.02, 0.1, 0.3, 0.6, 0.9) и соответствующие фазовые кривые в окрестности положения равновесия, иллюстрирующие смещение точки равновесия и смены ее типа по мере роста параметра а (роста скорости сдвига). На рис. 11, а, б для а = 10 (Да) = 0.005, точка равновесия (б*, м*) = (74; 0.99999) — узел) и а = 37 (Д(а) = 0.001 ~ 0, (б*, м*) = (273; 0.9998) — вырож-
Рис. 11. Решения 5(7), w(t) системы уравнений (4), (5) с функцией g = еН5, Н = 0.07 при разных значениях параметра а = 10, 37 (а, б), 70 (в, г), 200 (д, е) (с начальными условиями 5(0) = 0 и пятью разными значениями w(0) = 0.02, 0.1, 0.3, 0.6, 0.9) и соответствующие фазовые кривые в окрестности положения равновесия, иллюстрирующие смещение точки равновесия и смены ее типа по мере роста параметра а (роста скорости сдвига) (цветной в онлайн-версии)
Рис. 12. Решения 5(7), w(t) системы уравнений (4), (5) с функцией g = е 5, Н = 0.07 при разных значениях параметра а = 300 (а, б), 400, 420 (в, г), 500 (д, е) (с начальными условиями 5(0) = 0 и пятью разными значениями w(0) = 0.02, 0.1, 0.3, 0.6, 0.9) и соответствующие фазовые кривые в окрестности положения равновесия, иллюстрирующие смещение точки равновесия и смены ее типа по мере роста параметра а (роста скорости сдвига) (цветной в онлайн-версии)
денный узел) графики w(t) неотличимы визуально, напряжения s(t) существенно выше при a = 37, все решения монотонно возрастают. На рис. 11, в, г для a = 70 (Да) = -4.5, (s*, w*) = (372; 0.835) — фокус) при любом w(0) напряжение превышает равновесное значение s* и возникают (затухающие) осцилляции вблизи асимптоты. На рис. 11, д, е для а = 200 (D(a) = -31, (s*, w*) = (404; 0.351) — фокус) вслед за начальным участком возрастания структурированности w(t) следуют ее резкое падение («обрушение структуры») и постепенно затухающие колебания в окрестности асимптоты, напряжения s(t) на участке до первого максимума растут практически пропорционально времени (т.е. деформации сдвига), а затем падают и осциллируют вблизи равновесного значения (асимптоты), максимумы s(t) запаздывают по сравнению с максимумами w(t). На рис. 12, а, б для а = 300 (D(a) = -49, (s*, w*) = (418; 0.166) — фокус) наблюдается аналогичное поведение, но равновесное значение (асимптота на рис. 12, а) напряжения выше, а структурированности — ниже, «обрушение структуры» становится еще более резким, а осцилляции w(t) и s(t) затухают немного быстрее, чем при a = 200. На рис. 12, в, г для a = 400 (D = -35.5, (s*, w*) = (438; 0.046) — фокус, едва заметные осцилляции вблизи асимптоты) и a = 420 (D = 18.3, (s*, w*) = (445; 0.029) — узел) графики w(t) неотличимы визуально, хотя осцилляций уже нет, напряжения s(t) при a = 420 немного выше, формы графиков полностью идентичны, на графиках s(t) (и на диаграммах деформирования s(y)) сохранил-
ся «зуб» над асимптотой), осцилляции w(t) и я^) затухают гораздо быстрее, чем при а = 300. Эти графики иллюстрируют и вырожденный узел при а ~ 415.7. На рис. 12, д, е для а = 500 (О(а) = 245600, (я*, w*) = (501; 0.0006) — узел), «зуба» уже нет при а > 470, и ¿(у) монотонно возрастают и напоминают двухзвенную ломаную с «изломом» в момент резкого «обрушения структуры», соответствующего выходу фазовых кривых в зону вертикального поля скоростей. При дальнейшем увеличении а первое «звено» остается прямолинейным и его угол наклона растет, а второе звено становится все более криволинейным и выпуклым, поскольку асимптота я*(а) движется вверх (выше доказано, что ¿*(а)/а ^ 1 при а ^ го). Зависимости Б(а) и характеристических корней этой модели от параметра а изображают кривая 1' на рис. 6, б и кривые 1 на рис. 8.
С увеличением параметра а (с ростом скорости сдвига) равновесная степень сшитости w*(a) монотонно убывает, равновесное напряжение я*(а) возрастает (см. теорему в п. 4), а положение равновесия (всегда устойчивое) меняет тип: узел при а < 37.5, фокус при 37.5 < а < 415.7, узел при а > 415.7 (рис. 13). Черной штриховой линией на всех рисунках, изображающих поле скоростей и фазовые кривые системы в фазовом пространстве, показана вторая из кривых (7) (т.е. множество нулей правой части уравнения (5)), на пересечении которых лежит точка равновесия. Эта кривая не зависит от параметра а, и потому точка равновесия двигается вдоль нее (вправо) с ростом а.
Рис. 13. (а) Фазовые кривые той же модели, что и на рис. 11, 12, при пяти разных значениях параметра а = 10, 50, 100, 200, 420 иллюстрируют смещение точки равновесия и смены ее типа по мере роста параметра а: узел, три фокуса, узел; (б) кривые w*(a), я*(а) (кривая течения) и кривая вязкости ц(а)/^0 = я*(а)/а (красный цвет) (цветной в онлайн-версии)
Эта же кривая указывает на всех фазовых кривых точку (пересечения) с максимальной величиной структурированности w (и позволяет вычислить соответствующее напряжение и проанализировать его зависимость от начальных условий и от параметра а). Влияние начального значения структурированности w(0) затухает все быстрее с ростом а (веер цветных кривых на рисунках все быстрее стягивается в узкую полоску, ширина которой стремится к нулю). Конечно, w(0) влияет на начальный угол наклона кривых 5(7) и на мгновенный модуль d5/диаграммы деформирования 5(у, а). При больших значениях а «зуб» становится невозможен при любом выборе начального значения w(0). Отметим, что в силу выбора нулевого начального напряжения 5(0) все графики 5(7) на рис. 11, 12 по форме подобны диаграммам деформирования 5(у, а) с постоянной скоростью, т.к. у = vt, а = уп0/тс и 7 = у/V = УП0/(атс).
На рис. 13, а приведены фазовые кривые той же модели, что и на рис. 11, 12, при пяти разных значениях параметра а = 10, 50, 100, 200, 420 (с начальными условиями 5(0) = 0 и пятью значениями w(0) = 0.02, 0.1, 0.3, 0.6, 0.9), иллюстрирующие смещение точки равновесия (вправо и вниз) и смены ее типа по мере роста параметра а (роста скорости сдвига): узел, три фокуса, узел. На рис. 13, б приведены структурированность w*(a) (штриховая кривая), кривая течения 5*(а) и кривая вязкости ц(а)/п0 = 5*(а)/а для той же модели. На кривой вязкости хорошо заметна горизонтальная полка, соответствующая ньютоновскому поведению среды (ц(а)/п0 « 7.4 при а < 37), а затем убывание до равновесной вязкости ц(о)/п0 = 1 (см. теорему в п. 4). Красная пунктирная кривая — график ц/п0). Синяя штрих-пунктир -ная прямая — асимптота 5 = а кривой 5*(а).
фикаций минеральными и эластомерными наполнителями, расплавов термопластов (полиэтиле-нов, полиамидов, полифениленсульфида и др.), углеродно-кремниевых паст для печати и для решения краевых задач в технологиях переработки полимеров (в частности твердофазной плунжерной экструзии, формования нитей методом экструзии расплава и вытяжки), задач ползучести с учетом накопления (и залечивания) поврежден-ности и кинетики химических превращений под влиянием агрессивной среды и задач моделирования сверхпластического деформирования металлов и сплавов с учетом эволюции нескольких параметров структуры (среднего размера, формы и ориентации зерен, плотности дисперсоидов, степени сегрегации на границах зерен легирующих элементов, облегчающих зернограничное скольжение и т.п.) [39, 54-60].
Следует отметить, что исследованная модель (1)-(3) родственна физически нелинейному определяющему соотношению типа Максвелла с четырьмя произвольными (возрастающими) материальными функциями, исследованному в цикле статей [44-50 и др.]. В них доказано, что это определяющее соотношение хорошо описывает более десятка базовых эффектов (см. список в [4550]), типичных для вязкоупругопластических твердых тел (а не только для жидких вязкоупру-гих сред), в частности, пригодно для описаний кривых нагружения и разгрузки, циклического нагружения, рэтчетинга, различных эффектов при ползучести и сверхпластическом деформировании. Обнаруженные в [44-50] свойства и возможности этого определяющего соотношения служат ориентирами для дальнейшего исследования свойств модели (1)-(3) (в частности, семейств кривых деформирования, релаксации и ползучести, которые она порождает) и ее обобщений для расширения круга описываемых эффектов.
9. Дальнейшие направления развития базовой модели и ее приложения
Модель (1)-(3) (после формулировки в трехмерном случае, дальнейшего исследования, детального сопоставления с данными экспериментов и необходимых модификаций и обобщения, в частности учета влияния тепловыделения и теплообмена [26, 32-34] и, возможно, введения нескольких структурных параметров и дополнительных уравнений для учета кинетики основных физико-химических процессов) будет применяться для описания испытаний битумов и их моди-
10. Заключение
В статье проведено аналитическое исследование нелинейной структурно-реологической модели сдвигового течения тиксотропных вязкоупру-гопластичных сред (1)-(3) (для описания сдвигового деформирования полимеров в вязкотекучем состоянии, вязкоупругих расплавов и растворов, паст и эмульсий), учитывающей взаимовлияние процесса деформирования и эволюции структуры, предложенной в статье [53]. Модель сведена к системе двух нелинейных автономных дифференциальных уравнений (4), (5) для безразмерных
напряжения 5(7) и структурированности w(t) и управляется шестью материальными параметрами и одной (неубывающей кусочно-гладкой) материальной функцией. Доказана единственность положения равновесия (5*, w*) этой системы, в общем виде исследованы (неявные) зависимости его координат от всех шести материальных параметров и от скорости сдвига при произвольной материальной функции, доказано, что все зависимости монотонны, найдены предельные значения (теорема, п. 4). Выведены уравнения кривой течения и кривой вязкости, доказано, что модель приводит к возрастающей зависимости равновесного напряжения от скорости сдвига и к убывающей кривой кажущейся вязкости, отражающим типичные свойства экспериментальных кривых течения псевдопластических сред.
Аналитически изучен фазовый портрет системы дифференциальных уравнений (4), (5) в окрестности единственного положения равновесия при произвольных шести материальных параметрах и (возрастающей) материальной функции g(s), управляющих моделью. Доказано, что положение равновесия (5*, w*) всегда устойчиво и возможны ровно три случая положения равновесия: устойчивый узел, устойчивый вырожденный узел, устойчивый фокус. Найдены критерии реализации каждого из случаев в виде неравенств для материальных параметров, проиллюстрированы качественные свойства интегральных и фазовых кривых, проанализировано влияние материальных параметров и функции на тип точки равновесия и на поведение фазовых кривых модели. Существование устойчивого фокуса у системы уравнений означает немонотонность ее решений и существование режимов деформирования с (затухающими) колебаниями напряжения и структурированности при выходе на стационарные значения 5*, w* при 7 ^ да.
Благодарность
Авторы выражают благодарность А.М. Столи-ну (ИСМАН РАН), сформулировавшему прототип определяющих соотношений (1)-(3) с конкретной материальной функцией g = еН!1 и четырьмя параметрами, обобщение которого было исследовано в [53] и настоящей статье, и предложившему выяснить, при каких условиях такая модель обладает осциллирующими решениями 5(7), w(t).
Финансирование
Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда (грант № 22-13-20056) и Минобрнауки России в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по соглашению № 07515-2022-284.
Литература
1. Maxwell J. С. On the dynamical theory of gases // Philos. Trans. Roy. Soc. Lond. -1867. - V. CLVII. -P. 49-88.
2. Bingham E.C. Fluidity and Plasticity. - New York, 1922.
3. Oldroyd J.G. Non-Newtonian effects in steady motion of some idealised elastico-viscous liquids // Proc. Roy. Soc. Lond. A. - 1958. - V. 245. - P. 278-297.
4. Reiner M. Rheology // Encyclopedia of Physics. V. 6. -Berlin-Heidelberg: Springer, 1958. - P. 434-550.
5. Ребиндер П.А. Поверхностные явления в дисперсных системах. Коллоидная химия. Избранные труды. - М.: Наука, 1978.
6. Coleman B.D., Makrovitz A., Noll W. Viscometric Flows of Non-Newtonian Fluids. Theory and Experiment. - Berlin: Springer, 1966.
7. Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкостей. -Л.: Наука, 1975.
8. Виноградов Г.В., Мамкин А.Я. Реология полимеров. - М.: Химия, 1977.
9. БибикЕ.Е. Реология дисперсных систем. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981.
10. Бартенев Г.М., Зеленев Ю.В. Физика и механика полимеров. - М.: Высшая школа, 1983.
11. Larson R.G. Constitutive Equations for Polymer Melts and Solutions. - Boston: Butterworth, 1988.
12. Урьев Н.Б. Физико-химические основы технологии дисперсных систем и материалов. - М., 1988.
13. Leonov A.I., Prokunin A.N. Non-Linear Phenomena in Flows of Viscoelastic Polymer Fluids. - London: Chapman and Hall, 1994.
14. Macosko C. Rheology: Principles, Measurements and Applications. - New York: VCH, 1994.
15. Schramm G. A Practical Approach to Rheology and Rheometry. - Karlsruhe: Gebrueder Haake GmbH, 1994.
16. Rohn C.L. Analytical Polymer Rheology. - Munich: Hanser Publishers, 1995.
17. Huilgol R.R., Phan-Thien N. Fluid Mechanics of Vis-coelasticity. - Amsterdam: Elsevier, 1997.
18. Larson R.G. Structure and Rheology of Complex Fluids. - New York: Oxford Press, 1999.
19. Gupta R.K. Polymer and Composite Rheology. - New York: Marcel Dekker, 2000.
20. Tanner R.I. Engineering Rheology. - Oxford: Oxford University Press, 2000.
21. Yamaguchi H. Engineering Fluid Mechanics (Fluid Mechanics and Its Applications). - New York: Springer, 2008.
22. Malkin A.Y., Isayev A.I. Rheology: Conceptions, Methods, Applications. - Toronto: Chem. Tech. Publ., 2012.
23. Pokrovskii V.N. The Mesoscopic Theory of Polymer Dynamics. - Springer, 2010.
24. Гарифуллин Ф.А. Макромолекулы и реологические уравнения. - Казань: Изд-во КГТУ, 2008. - Ч. 1 и 2.
25. Алтухов Ю.А., Гусев А.С., Пышнограй Г.В., Коше-лев К.Б. Введение в мезоскопическую теорию текучих полимерных систем. - Барнаул: АлтГПА, 2012.
26. Столин А.М., Малкин А.Я., Мержанов А.Г. Неизотермические процессы и методы исследования в химии и механике полимеров // Успехи химии. -1979. - Т. 48. - № 8. - С. 1492-1517.
27. Прокунин А.Н. О нелинейных определяющих соотношениях максвелловского типа для описания движения полимерных жидкостей // ПММ. - 1984. -Т. 48. - № 6. - С. 957-965.
28. Leonov A.I. Constitutive equations for viscoelastic liquids: Formulation, analysis and comparison with data // Rheology. - 1999. - V. 8. - P. 519-575.
29. Stickel J.J., Powell R.L. Fluid mechanics and rheology of dense suspensions // Annu. Rev. Fluid Mech. -2005. - V. 37. - P. 129-149.
30. Mueller S., Llewellin E.W., Mader H.M. The rheology of suspensions of solid particles // Proc. R. Soc. A. -2010. - V. 466. - No. 2116. - P. 1201-1228.
31. Malkin A.Ya., Patlazhan S.A. Wall slip for complex liquids—Phenomenon and its causes // Adv. Colloid Interface Sci. - 2018. - V. 257. - P. 42-57.
32. Столин А.М., Худяев С.И., Бучацкий Л.М. К теории сверханомалии вязкости структурированных систем // Докл. АН СССР. - 1978. - Т. 243. - № 26. -С. 430-433.
33. Столин А.М., Иржак В.И. Структурно-неоднородные режимы течения в процессе формования полимерных волокон // Высокомолекулярные соединения. Б. - 1993. - Т. 35. - № 7. - С. 902-904.
34. Беляева Н.А., Столин А.М., Стельмах Л.С. Режимы твердофазной экструзии вязкоупругих структурированных систем // Инженерная физика. - 2009. -№ 1. - С. 10-16.
35. Кузнецова Ю.Л., Скульский О.И. Влияние режимов течения на расслоение сдвигового потока жидкости c немонотонной кривой течения // ПМТФ. -2019. - Т. 60. - № 1. - С. 27-36. - https://doi.org/10. 15372/PMTF20190104
36. Brady J.F., Morris J.F. Microstructure of strongly sheared suspensions and its impact on rheology and diffusion // J. Fluid Mech. - 1997. - V. 348. - P. 103-139.
37. Tucker C.L., Moldenaers P. Microstructural evolution in polymer blends // Annu. Rev. Fluid Mech. - 2002. -V. 34. - P. 177-210.
38. Малкин А.Я., Куличихин В.Г. Структура и реологические свойства высококонцентрированных эмульсий. Современный взгляд // Успехи химии. -
2015. - V. 84. - № 8. - C. 803-825.
39. Padmanabhan K.A., Vasin R.A., Enikeev F.U. Superplastic Flow: Phenomenology and Mechanics. - Berlin: Springer, 2001.
40. Fraggedakis D., Dimakopoulos Y., Tsamopoulos J. Yielding the yield stress analysis: A thorough comparison of recently proposed elasto-visco-plastic (EVP) fluid models // J. Non-Newtonian Fluid Mech. -
2016. - V. 236. - P. 104-122.
41. Эглит М.Э., Якубенко А.Е., Зайко Ю.С. Математическое моделирование склоновых потоков с учетом неньютоновских свойств движущейся среды // Труды Математического института им. В.А. Стек-лова РАН. - 2018. - Т. 300. - С. 229-239.
42. Pyshnograi G., Merzlikina D., Filip P., Pivokonsky R. Mesoscopic single and multi-mode rheological models for polymeric melts viscometric flows description // WSEAS Trans. Heat Mass Transfer. - 2018. - V. 13. -P. 49-65.
43. Varchanis S., Makrigiorgos G., Moschopoulos P., Dimakopoulos Y., Tsamopoulos J. Modeling the rheology of thixotropic elasto-visco-plastic materials // J. Rheology. - 2019. - V. 63. - No. 4. - P. 609-639.
44. Khokhlov АУ. Properties of a nonlinear viscoelasto-plastic model of Maxwell type with two material functions // Moscow Univ. Mech. Bull. - 2016. - V. 71. -No. 6. - P. 132-136. - https://doi.org/10.3103/S00271 33016060029
45. Хохлов А.В. Кривые длительной прочности нелинейной модели вязкоупругопластичности типа Максвелла и правило суммирования поврежденно-сти при ступенчатых нагружениях // Вестник Самарского гос. тех. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. -2016. - № 3. - С. 524-543. - https://doi.org/10.14498/ vsgtu1512
46. Хохлов А. В. Нелинейная модель вязкоупругоплас-тичности типа Максвелла: моделирование влияния температуры на кривые деформирования, релаксации и ползучести // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. - 2017. - Т. 21. - № 1. -С. 160-179. - https://doi.org/10.14498/vsgtu1524
47. Khokhlov A.V. A nonlinear Maxwell-type model for rheonomic materials: Stability under symmetric cyclic loadings // Moscow Univ. Mech. Bull. - 2018. -V. 73. - No. 2. - P. 39-42. - https://doi.org/10.3103/ S0027133018020036
48. Хохлов А.В. Индикаторы применимости и методики идентификации нелинейной модели типа Максвелла для реономных материалов по кривым ползучести при ступенчатых нагружениях // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2018. - № 6. - C. 92-112. - https://doi.org/10. 18698/1812-3368-2018-6-92-112
49. Khokhlov A.V. Applicability indicators and identification techniques for a nonlinear Maxwell-type elastoviscoplastic model using loading-unloading curves // Mech. Compos. Mater. - 2019. - V. 55. - No. 2. - P. 195-210. - https://doi.org/10.1007/s11029-019-09809-w
50. Khokhlov A.V. Possibility to describe the alternating and non-monotonic time dependence of Poisson's ratio during creep using a nonlinear Maxwell-type visco-elastoplasticity model // Russ. Metallurg. (Metally). -2019. - No. 10. - P. 956-963. - https://doi.org/10. 1134/S0036029519100136
51. Khokhlov A.V. Two-sided estimates for the relaxation function of the linear theory of heredity via the relaxation curves during the ramp-deformation and the methodology of identification // Mech. Solids. - 2018. -V. 53. - No. 3. - P. 307-328. - https://doi.org/10. 3103/S0025654418070105
52. Khokhlov A.V. Properties of the set of strain diagrams produced by Rabotnov nonlinear equation for rheono-mous materials // Mech. Solids. - 2019. - V. 54. -No. 3. - P. 384-399. - https://doi.org/10.3103/S00256 5441902002X
53. Столин A.M., Хохлов А.В. Нелинейная модель сдвигового течения тиксотропных вязкоупруго-пластичных сред, учитывающая эволюцию структуры, и ее анализ // Вестник Московского университета. Сер. 1: Математика. Механика. - 2022. -№ 5. - С. 31-39. - https://doi.org/10.3103/S00271330 22050065
54. Segal V.M., Beyerlein I.J., Tome C.N., Chuvil'de-ev V.N., Kopylov V.I. Fundamentals and Engineering of Severe Plastic Deformation. - New York: Nova Science Pub., 2010.
55. Zhilayev A.P., Pshenichnyuk A.I. Superplasticity and Grain Boundaries in Ultrafine-Grained Materials. -Cambridge: Cambridge Int. Sci. Publ., 2010.
56. Валиев Р.З., Жиляев А.П., Лэнгдон Т.Дж. Объемные наноструктурные материалы: фундаментальные основы и применения. - СПб: Эко-Вектор, 2017.
57. Ovid'ko I.A., Valiev R.Z., Zhu Y.T. Review on superior strength and enhanced ductility of metallic nanomate-rials // Progr. Mater. Sci. - 2018. - V. 94. - P. 462-540.
58. Шарифуллина Э.Р., Швейкин А.И., Трусов П.В. Обзор экспериментальных исследований структурной сверхпластичности: эволюция микроструктуры материалов и механизмы деформирования // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2018. - № 3. - С. 103-127.
59. Mikhaylovskaya A.V., Kishchik A.A., Kotov A.D., Rof-man O.V., Tabachkova N.Y. Precipitation behavior and high strain rate superplasticity in a novel fine-grained aluminum based alloy // Mater. Sci. Eng. A. - 2019. -V. 760. - P. 37-46.
60. Mochugovskiy A.G., Mosleh A.O., Kotov A.D., Khokhlov A.V., Kaplanskaya L.Y., Mikhaylovskaya A.V. Microstructure evolution, constitutive modelling, and superplastic forming of experimental 6XXX-type alloys processed with different thermomechanical treatments // Materials. - 2023. - V. 16. - No. 1. - P. 445-1-18. -https://doi.org/10.3390/ma16010445
Поступила в редакцию 03.10.2022 г., после доработки 25.02.2023 г., принята к публикации 27.02.2023 г.
Сведения об авторах
Хохлов Андрей Владимирович, к.т.н., внс НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова, внс СВФУ, внс Московского центра фундаментальной и прикладной математики, доц. МГУ им. М.В. Ломоносова, [email protected] Гулин Вячеслав Владимирович, мнс СВФУ, мнс Московского центра фундаментальной и прикладной математики, асп. МГУ им. М.В. Ломоносова, [email protected]
