CC BY
176
нутой нити должны быть пропорциональны порядковому номеру тона и y[Ñ : рк = tiWTV / ML =nk-yj(ig/Z , то есть безразмерные частоты «s^ = pk^L/g = .
При больших (/7=20, е =+1, /¿=20, £=0.1) схожим свойством обладает список расчетных значений 20-ти низших частот sk рассматриваемой дискретной схемы нити в поле силы тяжести: 12.96, 26.15,39.72, 53.72,68.20, 83.21,98.79, 115.0, 131.9, 149.6, 168.0, 187.1,206.9,226.9, 246.9, 266.2, 283.7, 298.5, 309.4, 314.3.
Выполненное исследование позволяет сделать заключение об эффективности применения дискретных моделей МТТ для численного анализа влияния ориентации конструкции в поле силы тяжести, величины силы предварительного натяжения и длины пружины в статическом состоянии на спектр низших безразмерных частот собственных колебаний вертикально расположенного отрезка нити. Предложенная методика расчета и полученные результаты могут быть применены для оценки погрешности показаний конструкции струнного акселерометра.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Русанов П.Г. Расчет собственных колебаний в вертикальной плоскости отрезка тяжелой нити методом физической дискретизации. //Известия вузов. Машиностроение. -2008. ~М>1. -С. 3 - 9.
2. Русанов П.Г. Расчет собственных колебаний отрезка тяжелой нити с закрепленными концами «из вертикальной плоскости». //Известия вузов. Машиностроение. -2008. -№2. -С. 3 - 9.
539.3
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА БАЛОК ЭЙЛЕРА-БЕРНУЛЛИ
И ТИПА ТИМОШЕНКО
Др.техн.наук,проф.В.А Крысько,канд.техн.наукдоц. МВ Жигалов, асп. О. А.Салтыкова
Представленная работа посвящена исследованию нелинейных колебания балки Эйлера-Бернулли и балки типа Тимошенко. Исследование проведено посредством двух методов: конечных разностей с аппроксимацией \С / и конечных элементов в форме Бубнова-Галеркина, что обеспечивает достоверность получаемых результатов. Выявлены сценарии перехода системы от гармонических колебаний к хаотическим.
Анализ литературы по тематике работы показывает, что в настоящее время значительное внимание уделяется относительно новому явлению в нелинейной динамике - хаотическим
№ б
2008
колебаниям. Хаотические колебания - это возникновение неупорядоченных движений в совершенно детерминированных системах. Много внимания уделяется хаотическим колебаниям таких сложных детерминированных систем, как пластины, конические, сферические и цилиндрические оболочки [1-6]. Среди работ посвященных исследованиям хаотических колебаний балок, можно отметить статью [7] в которой исследуется динамическое поведение нелинейно-упругой балки при большом отклонении и проводится исследование хаотического движения. А также работу [8] где представлены результаты исследования глобальных бифуркаций и хаотической динамики в нелинейных неплоских колебаниях консольной балки под действием осевых гармонических возбуждений и поперечных возбуждений на свободном конце балки.
Однако, несмотря на это стохастические колебания диссипативных, геометрически нелинейных балок Эйлера-Бернулли и балки типа Тимошенко мало изучены. Данная работа ставит своей целью частично заполнить указанный пробел.
1. Нелинейные колебания балки Эйлера-Бернулли
Введем систему координат Х02
(рис.1). Пусть в области
рас-
А
/
/
2Ъ
I ^.У""
X
1X11
м^—м ду»,........^р |„ трг
Рис. 1
сматривается тонкая, упругая балка, деформация срединной поверхности которой
г £х = и'х + 1/2(Ч)2> где - прогиб балки,
и(х^) - перемещение срединной линии вдоль оси ох. Предполагается, что по гипотезе Эйлера - Бернулли нормаль к срединной линии остается перпендикулярной к ней в процессе де-
и
формирования балки: е^ = ех - где - деформация в срединной линии, [а йг
X J XX
-И
ь (оьУ
- продольное усилие, Мх = ахх zdz~ —— Ем!^ - момент [9].
Система дифференциальных уравнений в перемещениях, описывающих движения балки с учетом диссипации энергии, при безразмерных параметрах
№ 6 2008
_ и1 _ ш _ х „ <я _ а4 ^=7—с, М=-= — ,Я=т—г, = д
(1)
(2А)' (2/г)2 ' а' (2й)' 4
- я [Ее ~ а .. .
I = Г = с = —, = = 1,2
г с \ у с
принимает вид:
+ £з("И>, м>)- и-е2й = О,
{ 1 Г 1 ' ] (2)
здесь черточки над безразмерными параметрами для простоты опущены. Введены следующие обозначения: X,(и,= + , = )2, = > ^ "
коэффициенты диссипации; д = д(х,?) - поперечная нагрузка, Е - модуль Юнга, р , у - плотность и объемный вес материала балки, g - ускорение свободного падения.
К уравнениям (2) присоединим уравнения на границе: «защемление - защемление»:
м<0,0 =«(0,0 = н(л,0 = 0. (3)
«шарнир - шарнир»
Н<0,о = К«,0 = «(0,Г) = М(Л,о -<(о,0 = (я,0=0 (4)
«защемление - шарнир»
М/С0,0 = «(0,0 = 1^(а,0 = и(я,0 = ЧО^О® = (5)
«защемление - свободный край»
м<0,0 = м/х (о, 0 = и(0,0 = 0; Мх (а, 0 = ЛГ, (а, 0 = & & 0 = 0 (6)
К системе уравнений (2) - (6) присоединим уравнения для начальных условий:
= = = й(*>0| 1-0® (7)
1.1 Решение нелинейных дифференциальных уравнений методом конечных разностей
Бесконечномерная задача (2) - (7) с помощью метода конечных разностей, с аппроксимацией о(с2) сводится к конечномерной - системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В каждом узле сетки получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
№6
2008
0 = 0.....л)
(8)
где, п - число разбиений по пространственной координате, с - шаг по пространственной координате.
При ¿ = 1, / = 77-1 в уравнениях (8) приходится учитывать значения М? в законтурных точках, которые, в этих точках, определяется граничными условиями. Для граничных условий (3): = и;,.
Для граничных условий (4): м?^ = -мл.
К системе уравнений (8) присоединим уравнения на границе: для граничных условий (3)-(5):
Полученную систему (8), с граничными и начальными условиями (9) и (11) решаем методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Обоснование выбора данного метода с решения подробно рассмотрено в [10].
1.2 Решение нелинейных дифференциальных уравнений методом конечных элементов
Наряду с методом конечных разностей большую популярность при расчете конструкций получили метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов (МГЭ). Основная идея последних состоит в том, что любую непрерывную величину можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей - МКЭ или границы - МГЭ.
Методы построения дискретных моделей МКЭ делятся на две большие группы. Первая использует минимизацию различных энергетических функционалов, вторая группа основана на вариантах метода взвешенных невязок, одним из которых является метод Бубнова-Галеркина.
Рассмотрим его основные положения на примере некоторой одномерной задачи, описываемой дифференциальным уравнением:
м>0 =0; =0;и0 =0;и„ =0;
для граничных условий (6):
^0=0; и0 = 0;МХ = = 0;@х = 0. Начальные условия для всех граничных в разностном виде перепишем:
(10)
(9)
™<Л-)|,=0 = м(*/)|ы> = >К*/)|М) = 0; м(х,.)и = 0.
0" = о,...,»)
(11)
на отрезке [а; б] при граничных условиях
5(«)=0 (13)
в граничных точках.
В методе Бубнова-Галеркина неизвестная функция и(х) представляется приближенно в
N /=1
где щ - значение функции и(х) в узлах (/ = ), подлежащие определению; (р,{х) - известные аналитические (пробные) функции; также называемые в литературе по МКЭ функциями формы. Подстановка (14) в уравнение (12) приводит к отличной от нуля невязке Я :
N
Л^о,«!,--,^,*)«^"/^)-// > (15)
/=1
Неизвестные определяются из решения следующей системы уравнений
{Я,д>к)= О, * = (16)
где (К,(рк)= • <ркУЬс - внутреннее произведение; срк - весовая функция, принадлежащая к
тому же семейству функций, что и (р1 из (14). Полученные коэффициенты их подставляются в
формулу (14), что дает искомое приближенное решение и .
Заметим, что высший порядок производных присутствующих в операторе Ь(и) не ограничен, он определяется физическим смыслом задачи. Однако порядок производных, который допустим в (16), должен быть на единицу больше порядка непрерывности интерполяционного многочлена в (14). Это ограничение можно преодолеть сокращением порядка Ь(и) , используя интегрирование по частям.
Согласно теории МКЭ, для построения балочного элемента необходимо ввести пробные
функции. На элементе рассматривается 4 степени свободы (ч>1Уми для аппроксимации используется кубический полином:
м{х)=а{ + а2х + аъх2 + а4хг9в(х)=~— = ~~(а2 + 2а3х + За4х2)
сЬс
После определения значения констант выражение дггя аппроксимации функции имеет где = Ш~ ; 2 - 32 -- матрица формы;
\у} = (м^ вх 02 )Т - матрица узловых смещений; £ = х/1 - безразмерная величина (ло-
кальная координата).
Аппроксимация перемещения и(х) выглядит следующим образом:
" = [N„111},
здесь, = и2)\
Применяя процедуру метода Бубнова-Галеркина с учетом введенных аппроксимаций получаем следующие разрешающие уравнения МКЭ
\M\W\ {м2[и_
где М19С1 К1 - матрицы масс, демпфирования и жесткости соответственно.
1.3 Численные результаты
Исследование колебаний нелинейных конструкций на различных режимах (от гармонических до хаотических) предъявляет повышенные требования, как к самой математической модели, так и к численным методам. В связи с тем, что аналитических методов решения практически не существует, для проверки достоверности получаемых результатов необходимо сравнение с результатами, полученными по разным численным методам. В данной были использованы разные по самой сути методы: прямой - метод конечных разностей и вариационный - метод конечных элементов в форме Бубнова-Галеркина. Сопоставление проводилось для различных режимов колебаний. При этом геометрические и физические параметры балки выбирались одинаковые.
На рассматриваемую балку действует знакопеременная поперечная нагрузка вида:
д = д0^т(й)рГ) (18)
где сор - частота вынуждающей силы, - ее амплитуда. Рассматриваемая система является диссипативной. В уравнениях учтены демпфирующие члены, с коэффициентами затухания ¿у,^ , соответственно для прогиба м> и перемещения и .
Исследования поведения балок под действием знакопеременной поперечной нагрузки проведены посредством разработанного пакета программ, который позволяет строить карты характера колебаний в зависимости от управляющих параметров {^д,^}. Для построения карты, с разрешением ЗООх 300 точек, необходимо решить задачу динамики, построить и проанализировать спектр мощности и Ляпуновские показатели для каждого набора управляющих параметров. Алгоритм позволяет выделять на картах зоны гармонических колебаний, зоны бифуркаций, зоны колебания балки на независимых частотах, зоны хаоса.
Ф
с2[й'
+ К2[и}=
(17)
№ 6
Для апробации процедуры исследования колебаний балки с помощью МКЭ и МКР рассмотрена поставленная задача, со следующими данными: коэффициенты демпфирования €х = 1, £2=®> СОр=в,9 - частота вынуждающей силы, относительная длина балки Л = 50 . На балку также действует поперечная знакопеременная нагрузка с амплитудой д0 104]. Шаг по пространственной координате С и шаг по времени Ы выбирались из
условий устойчивости получаемых решений по принципу Рунге. Задача решалась при разбиении я = 40, с = 1/40, и шагом по времени Д/= 3.9052-10"3. Выбор оптимальных значений шага по времени и шага по пространственной координате проведен в [11]. Достоверность результатов подтверждается сопоставлением шкал зависимости характера колебаний балки от амплитуды вынуждающих колебаний, которые построены только для одного значения со, а также графиков >Утах(0о)> полученных посредством методов конечных разностей и конечных
элементов (рис.2), мкр
МКЭ 1
мкр
Условные обозначения
0.5
МКЭ
1 1ГГ
:мгг
Т1ГГ
¿ыгг
<МГГ
в -1ГГ
опе&ьия -а частзге 9 колеба-мя на г-агависиисй часгссте Д «пукэюи/в колебания 5ифуркацми хаос
Рис. 2
Как видно, из приведенных выше результатов, решения, получаемые с помощью МКР и МКЭ, практически совпадают, что позволяет говорить о достоверности получаемых численных результатов.
Приведем также «карты» зависимости характера колебаний балки от управляющих параметров посчитанные методами конечных разностей (рис.3 а) и конечных элементов (рис.3 б). «Карты» построены с разрешением 300x300. Максимальная амплитуда нагрузки соответствует прогибу балки, равному 5(2К). Для получения «карты» характера колебаний в зависимости от управляющих параметров размерностью 300x300 необходимо просчитать 9-104 вариантов.
Если говорить о достоверности получаемых результатов, то практически полное совпадение «карт», полностью подтверждает сделанный выше вывод.
Рис. 3
На «картах» четко различимы зоны гармонических, хаотических, колебаний системы, зоны бифуркаций. При малых значениях амплитуды вынуждающих колебаний, на «картах» видна полоса черного цвета, соответствующая затухающим колебаниям системы.
Наличие зон хаотических колебаний на «картах» вызывает вопрос о сценарии перехода системы от гармонических колебаний к хаотическим.
Исследуем сценарий на примере частоты сор = 9.2 (таблица 1) методом конечных элемен-
Таблица 1
№6
2008
60000 0 "10 Sdb1 ' 1 1 да, ^..... lili" ар -g,2 1 0.5 0 -Q.5 w 1 ..... i ...... «Л 1 t 1 ÜJ и чо w I | MV
"i J ] 1.9 3.8 5.7 7.6 9 .5 ~i 505 MU ~L •J и -A
1. д0 = 100. Колебания на частоте возбуждения сор .
2. = 560. Последовательно появляются первая и вторая независимые частоты сох =3,31 ,со2 =2,92.
3- <?о ~ 8740 . Появляется третья частота ¿у3 = 2,51 и четвертая соА - 3,75 . Значения частот сох, со2 изменяются. Линейная комбинация следующая: а){ - со2 ~а>2 -а>ъ.
4. = 10500 . Происходит зашумление частот. Появляется хаотическая составляющая. Линейная комбинация значений частот следующая: сох -со2 -со2 - соъ =а>{ -соА .
5. = 60000. Хаотическое состояние системы.
Рассмотренный сценарий соответствует модифицированному сценарию Рюэлля-Таккенса-Ньюхауза, выявленному в [12,13].
Также приведем сценарий перехода системы от гармонических колебаний к хаотическим на примере частоты со= 6.2 .
Таблица 2
Далее возникает частота сох - 0,07, значение которой постепенно уменьшается. 2, д0 = 9812.5 . Исчезает частота со1,
3. д0 = 9812,70887900199977594. Происходит резкий переход системы к хаосу.
4. = 10300. Система выходит из состояния хаоса. Происходит перестройка частот. Кроме частоты возбуждения имеются еще две со2 = 1,57 и а>ъ = 4,62. Причем разность значений частот со? соъ равно со2.
Далее появляются парные частоты вокруг со2 и сог. Их количество возрастает до определенного момента, а затем парные частоты начинают исчезать. При этом значения частот со2 и 6У3 «плывут».
5. д0 = 16000. Для частоты со2 парные частоты су4 = 0,61 и й>7=2,79; 0)5 = 1,08 и ¿уб=2,32, для частоты ¿у3 парные частоты = 3,40 и я>п = 5,5837; ¿у9 = 3,8779 и ю10 =5,1143,
Потом количество парных частот увеличивается.
й)р
6. = 23000. Выделяется частота -> вокруг которой группируются парные частоты,
2
происходит бифуркация удвоения периода - «I».
7. = 23500. На спектре мощности появляется хаотическая составляющая, после чего система переходит к хаосу.
Рассмотренные сценарии, приведены для одной и той лее задачи, но для разных частот вынуждающих колебаний. Как видно, при различных значениях сосистема переходит к хаотическому состоянию по разным сценариям.
2. Нелинейные колебания балки типа Тимошенко СП.
При построении математической модели балки типа Тимошенко предполагается, что поперечные сечения, после деформации, остаются плоскими, но не перпендикулярными срединной оси балки [14]. В данной модели, учет угла между поперечными сечениями и осью балки после деформации, приводит к увеличению количества неизвестных функций при неизменном порядке системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Система дифференциальных уравнений в перемещениях, описывающих движения балки с учетом поперечных сдвигов (математическая модель типа Тимошенко) и диссипации энергии
у а
в безразмерном виде (безразмерные параметры (1), но с учетом у = у-—г - поперечный сдвиг),
(2к)
и еъ = £3 — - коэффициент демпфирования для у, принимает вид: с
1 Л 1
+ -г^ № и)+212 "О + 0", и) + = °>
{«4 + ЬА(м>,м?)-и-е2й = 0, О8)
I
где ьх(ч>,и) = 12(м>,мО = = = 3Десь черточ-
ки над безразмерными параметрами опущены для простоты.
К системе дифференциальных уравнений (18), следует присоединить граничные и начальные условия.
«защемление - защемление»:
м<0,0 ="И>,0 = 0; и(0,0 = и(а, ?) = 0;
ко, о = у (я, о = о; 4(0.0 = <М= о;
(19)
«шарнир - шарнир»
1^(0,0=4^0 = 0; «(0,0 = и(а, 0 = 0; 6,(0,0 = & (я, 0 = 0;<(0,0= = 0;
(20)
«защемление - шарнир»
»<0,0 ="И>,0 = 0; г/(0,0 = «(я,0 = 0; КО,0 = £>,0 = 0;<(0,0= 0; (21)
«защемление - свободный край»
*(0,о = «(0,0 = 0; ко, 0 = 4(0,0 = 0;
Мх М = = (Л»0 = 0;
Начальные условия:
>К*,Ои = и(х,0|/-о = К*,0М = о,
= "Мм = Кх>*)М = (23 }
(22)
2,1 Решение нелинейных дифференциальных уравнений методами конечных разностей и
конечных элементов
Бесконечномерная задача с помощью метода конечных разностей, с аппроксимацией
о(с2) сводим к конечномерной - системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В каждом узле сетки получим систему дифференциальных уравнений вида:
Ь2с(м>,и) = £2й1+и„ (24)
№6
2008
Граничные и начальные условия также представляются в разностном виде, которые аналогичны уравнениям (9) - (11), но с учетом у.
Применяя процедуру метода Бубнова - Галеркина получим следующие разрешающие уравнения МКЭ
(25)
'мх IV +С1 ж
{М2 и +с2 и +к2[и}=
М.
Системы уравнений (24), (25) решаем стандартной процедурой Рунге-Кутта 4 порядка.
2.3 Численные результаты
В задачах хаотической динамики важным является достоверность получаемых результатов. Так как очень часто погрешность, тех или иных методов, вносимая в решение задач, принимается за хаотические колебания нелинейных систем, проводилось сравнение результатов, полученных разными методами.
Достоверность численных результатов подтверждается совпадением результатов, полученных различными методами. Так, для граничных и начальных условий (19), (23), решена задача с теми же параметрами, что и для балки Эйлера-Бернулли (8Ъ =0). Графики зависимости
максимального прогиба от амплитуды вынуждающих колебаний, полученные различными методами, при не хаотических колебаниях системы совпадают полностью, незначительные различия, наблюдаются только в зоне, соответствующей хаотическим колебаниям.
мир шшшшшшш
. . . ^ ¡§¡¡11 ит
3
^'гг.^ 1 1 I 1
2 мкр - о » ь -
1 М1СО п Т"" Ы ...'А 1 -----"""С. \ 1 1 П„
О 1-ю* 2-Ю1 ЗЛ0л 4 10*^ 5-10* 6Л0л
Рис. 4
Сопоставление результатов, полученных для модели Эйлера-Бернулли (рис.2) и для модели типа Тимошенко С.П, (рис.4) позволяет говорить о том, что учет влияния поперечных сдвигов существенно влияет на характер колебаний системы. Если на рис. 2 зон хаотических колебаний нет, то на четвертом рисунке зона хаоса представлена четко. Необходимо отметить явление динамической потери устойчивости балки под действием поперечной знакопеременной нагрузки, которое характеризуется резким изменением значения максимального прогиба при
№6
2008
незначительном изменении амплитуды вынуждающих колебаний. На рис. 4 явление динамической потери устойчивости хорошо видно при переходе системы от точки А к точке В, и от точки С к точке Б. На шкале этим переходам соответствуют зоны хаоса. При переходе от точки Е к точке Б происходит обратный переход системы от хаоса к гармоническим колебаниям, что также можно наблюдать на шкале. В этом случае значения прогиба уменьшаются в 1,5 раза.
Приведем также «карты» зависимости характера колебаний системы от управляющих параметров, для математической модели балки типа Тимошенко, которые построены методами конечных разностей (рис. 5 а) и конечных элементов (рис. 5 б).
6.9
МКР
\ 60000 "
48000 *
1 эбооо
V
24000 г
. ' - 120001
10.35
а)
Рис. 5
В.9
мкэ
Анализ «карт» на рис. 3 и рис. 5 только подтверждает сделанный выше вывод о значительном влиянии учета поперечных сдвигов, при одних и тех же геометрических и физических параметрах, при построении математической модели системы. Сравнение этих «карт» для балки типа Тимошенко (рис. 5) и Эйлера-Бернулли (рис. 3) показывает, что при одинаковых начальных, граничных условиях и управляющих параметрах карты довольно сильно отличаются. Так, зоны хаотических колебаний на рис. 3 более обширны, чем на рис. 5, а зоны гармонических наоборот. Характерной особенностью обеих карт является то, что колебания системы на независимой частоте занимают значительную площадь карт. Это говорит о том, что при изучении сложных колебаний нелинейной динамики балок следует серьезно заниматься построением более точных математических моделей.
Остановимся подробнее на сценариях перехода колебаний системы от гармонических к хаотическим. Рассмотрим три сценария, которые соответствуют частотам: со р = 8.05, 6.9, 5.75 . Как видно по «карте», на каждой из этих частот система переходит к хаосу при изменении амплитуды вынуждающих колебаний, В таблице 3 отражены основные моменты сценария перехода колебаний системы от гармонических к хаотическим для частоты
¿ор = 8.05 (МКР).
№ 6
2008
Таблица 3
3(0))
-я
псЬ
Г'
я г «О
4 г
^ -111
Г-5
V*1
"З-И!
П
500 505 510
•и^-ф)
2-10
-2-10"*'
1 10-45-10 5 О 5.Ш"5110Ч
4600
о ~
зЫз
а3
~1-г
Э]
]_Ь
я« -; Ш о] »4.^
¿32 -12]
лз ««¿9м
0)/-0.?2-= -0.35
-0.1
500 505
510
-0.1
-0.4 -0.2
0.2 0.4
11000
5 ж
п
~1-г
щ
Р"
^ I I Я
J_
1.1 \_
Оу =805 «1 - 4.42
лз «5.4:
«И "7£4 =3.41 =2
О Л 0.2 О -0.2 -и л
5ПЛ
11П
0.5 1
30000
х
п ^ о •ил -1
мю
ми
1
0.5 0
-0.5 -I
V* 1 1 >
-
-2 -1
40000
500 50-4
510
42500
мш
ми
45000
•^■С-й
4-2X5 Я* а 14$
>ии
:>и:> ми
-2 -1
№6
2008
1. <?0 = 1 - колебания системы гармонические, присутствует только частота возбуждения систе-
На данном промежутке возникает 3 частоты, значения которых линейно независимы: й)г = 4.46, со2 =1.83, со3 =4.9.
2. =4600 - после появления соА = 0.92, выявляется линейная зависимость значений частот: со2 - соА = 0,85, и соъ -а>х = 0.85 .
3. # = 11000 . Частоты образуют три группы, линейная зависимость внутри каждой из групп такова: со1 ~со2 =со2 -соА =1.1, сог -сог = сох -со6 =1.1, сор -а)5 =1.1.
4. = 30000 - спектр мощности характеризуется тем, что благодаря изменению значений частот, на нем четко различимы 1-я, 2-я и 3-я бифуркации удвоения периода, обозначенные «I», «II», «III».
5. = 40000 - выявляется 4-я бифуркация. Фазовый портрет представляет собой четыре кольца неправильной формы.
6. ¿/0 = 42500 - количество бифуркаций 3. Происходит обратный переход системы от хаотического состояния.
7. = 45000 - на спектре мощности легко различимы новые частоты, значения которых отличается от основных частот на 0.42. А так же: ¿у4 - щ =соп -й)4 =со9 -со1 = со — со10 = 1.86 Данный сценарий, при малых значениях амплитуды вынуждающей нагрузки, характеризуется трехчастотными колебаниями, в дальнейшем возникает серия частот, значения которых линейно зависят от трех основных и после их изменения выявляется серия бифуркаций на фоне сильного зашумления спектра. Система проходит фазу детерминированного хаоса, после чего, количество бифуркаций уменьшается.
В таблице 4 рассмотрен сценарий для частоты сор = 6.9 (МКР).
Таблица 4
Я (аз)
м>
(0
м^м)
1000
т =0.627 Юр «6.9
0.04 0.02 0 -0.02
51П
-0.04
уу I I-Т
- Г
Ч х
X ч
^о -
-1_I
0.04 -0.02 0 0.02 ОСИ
24000
■10
> =65 *|(У] = 0.33 |й>2 = 5,23 я / 2! ¿1]
(УЗ к 2.49 = = з
500
505
510
№6
Продолжение таблицы
2008
2
4600
500 505
510
•'1 - IUI
25500
•ю
-15
sdHrj-g—1 i.s ; 1.8 »а
1 (02 <02
/с
Ш'1
0.S3
53 I
4
а9 jJ
0.53
0.5Э
«р -6.9 «1 =0.92 «2 - 5.09 »3 = 2.76 л»4 - 3.28 «б =4.5" » «ю*10 oj-j =1.45
<ÜQ » З.бР
<»10 =0.45 = и «»/15
ЙДЦ = 2.28
^UU .ХО
¿Ш
-4-2 0 2 4
¥0000
i> =6.9
500 505
510
43000
-5
10
Selb
(Up =0.9
>uu
ми
1. = 1000 - колебания системы гармонические, на спектре мощности, кроме частоты возбуждающих колебаний, присутствует частота сох = 0.627, значение которой линейно не зависит от частоты о) .
2. qQ = 24000. На спектре мощности присутствуют линейно зависимые частоты: со2 ~сор — 2^, ö)3=ö),-3, ¿у4 = ¿у2 -.
Значения частот изменяются.
3. q0 = 24600. Вышеописанные частоты, путем изменения значений, образуют три бифуркации, обозначенные «I», «II», «III» на графике.
4. qQ = 25500. На спектре мощности присутствуют следующие частоты, которые линейно зависят между собой, следующим образом: со - со2 = 0)2 - 0)А = СОА - 0)7 = 1.8, со2 ~ со6 = й)9 - соА = су4 - соъ = ¿у3 - ¿уп = £У? - = 0.53.
5. g0 = 40000. Хаотическое состояние системы.
6. = 43000. Произошел обратный переход системы от хаотического состояния к гармоническим колебаниям.
№ б 2008
В данном случае, система, от двухчастотных колебаний, путем образования новых линейно зависимых частот и в результате изменения ранее появившихся, переходит к трем бифуркациям. Но значения частот продолжают изменяться, и система переходит к колебаниям на четырех основных частотах, значения которых линейно зависят от сор. В результате образования новых частот, значения которых есть линейные комбинации, система переходит к хаосу. В таблице 5 приведен сценарий для частоты а>р =5.75 (МКР).
Таблица 5
№6
Продолжение таблицы
2008
20000
3 25
-5 -10 -15
1. I "
й1у
йр = 5.75 т 267
» л
...V''
Л А
500
505
* V
I 1
510
23750
.яоо
503
510
28000
бсЬ
°г
-20
J_ь
"7
40000
= 5.75
4 6
500
505
510
I 1. = 1. Колебания системы линейные.
| 2. = 6200 . Значения частот сох = 0.46 и ¿у5 = 1.36 являются линейно независимыми. Связь
между значениями других частот; сор-0)п -соъ-со2 ~ со2- со6 = 1. | 3. = 12000. Значения всех частот отличаются между собой на 0.61.
I
I
4. <?0 = 18000. На спектре мощности присутствует большое количество частот, значения основ-
|
ных отличаются между собой на 0.169.
| Яо = 19000. Система возвращается к гармоническим колебаниям.
I
| 6. = 20000 . Появляется первая бифуркация на частоте й)2 = 2.87 = й)р/2.
1
"I 7. д0 = 23750 . Возникают новые частоты, значения которых линейно зависят от вышеописан-
!
| ных: сох =1.04, сй2-соъ = ¿у4 ~со2 =сор~со5 - сох.
] 8. = 28000. Спектр мощности постепенно зашумляется.
! 9. = 40000. Хаотическое состояние системы.
- Наблюдаем трехчастотные колебания системы, которые в дальнейшем переходят к линейной комбинации значений всех частот. Данный сценарий соответствует модифицированному сцена-
рию Рюэля-Таккенса-Ньюхауза. В дальнейшем, система вновь переходит к гармоническим колебаниям, после чего появляется первая бифуркация, а затем утроение со р и первой бифуркации. Таким образом, система переходит к хаотическому состоянию. Данный сценарий представляет собой модифицированный сценарий Рюэля-Таккенса_Ньюхауза через бифуркацию.
Данные результаты говорят о том, что в области управляющих параметров {<у0 9й)р } нет
единого сценария перехода колебаний из гармонических колебаний в хаотические. Существуют подобласти [д0>й)р)> в которых переход колебаний из гармонических в хаотические совершается по различным сценариям.
ВЫВОДЫ
Выявлены новые сценарии перехода системы от гармонических колебаний к хаотическим.
Учет влияния поперечных сдвигов при построении математической модели балки значительно влияет на поведение системы под действием поперечной знакопеременной нагрузки.
Выявлено, что в области управляющих параметров не всегда присутствует
один и тот же сценарий перехода системы от гармонических колебаний к хаотическим.
Сценарии перехода системы к хаотическим колебаниям зависит от математической модели балки.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Крысько В.А, Савельева Н.Е., Сложные колебания замкнутых цилиндрических оболочек при неосесимметричном неравномерном знакопеременном внешнем давлении // Известия Вузов. Машиностроение. №7. 2004. с. 3-14. Крысько В.А., Кравцова И.В., Динамика и статика гибких осесимметричных оболочек при действии распределенной знакопеременной нагрузки в зависимости от величины параметра пологости и краевых условий // Известия Вузов. Машиностроение. №12. 2004. с. 3-14.
Крысысо В.А.; Щекатурова Т.В., Хаотические колебания конических оболочек ,// Изв. РАН. МТТ, 2004. № 4, с. 140 - 150.
J.Awrejcewicz, V.A.Krysko, A.V.Krysko, Thermodynamics of Plates and Shells. -Springer, 2007, p. 777
Awrejcewicz, Krysko, Vakakis, Nonlinear Dynamics of Continuous Elastic Systems. -
№ 6 2008 Springer, 2004; р. 341
6. J.Awrejcewicz, Vadim A. Krysko Norxclassical Thermoelastic Problems in Nonlinear Dy namics of Shells. - Springer, 2003, p. 427
7. Han Qiang, Zheng Xiangfeng, Chaotic response of a large deflection beam and effect of the second order mode // Eur. J, Mech. A. 2005. 24, N 6, c. 944-956.
8. Zhang Wei, Wang Fengxia, Yao Minghui, Global bifurcations and chaotic dynamics in nonlinear nonplanar oscillations of a parametrically excited cantilever beam // Nonlinear Dynamics 2005. 40, N 3, c. 251-279.
9. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. - М.: Гостехиздат, 1956, - 420с.
10. Jan Awrejcewicz, Anton V. Krysko, Olga Saltykova, Yuriy Chebotyrevskiy, Nonlinear Vibrations Of The Euler-Bernoulli Beam Subject To Transversal Load And Impact Ac tions // Mathematical problems in engineering, (to take into publication).
И, В. А. Крысько; M, В. Жигалов, О. А. Салтыкова, А. С. Десятова Диссипативная динамика геометрически нелинейных балок Бернулли-Эйлера. // Известия АН МТТ, принята к печати,
12. Крысько В,А., Кравцова И.В. Управление хаотическими колебаниями гибких сферических оболочек. // Известия АН МТТ, № 1, 2005, с. 10 - 20.
13. Савельева Н.Е., Диссертация на соискание ученой степени кандидат физико-математических наук «Математическое моделирование хаотических колебаний замкнутых цилиндрических оболочек и панелей».
14. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек, М.; Наука, 1972 . - 432с,
539.3
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ АВТОМОБИЛЬНОЙ ШИНЫ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ КАЧЕНИИ С БОКОВЫМ УВОДОМ
Д-р техн, наук, проф. А. Е. Белкин, асп. О А. Одинцов
Рассмотрено решение задачи о деформациях автомобильной шины при качении по плоской дорожной поверхности или цилиндрической поверхности бегового барабана с заданным боковым уводом. Для расчета шины использована модель геометрически нелинейной оболочки Тимошенко. Область контакта и границы зон сцепления и скольжения определяются решением контактной задачи. Расчеты выполнены методом конечных элементов с использованием трёх-
