Некоторые замечания о применении K-моделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

датчиками силы, как дополнительное средство контроля можно предусмотреть возможность установки чувствительных элементов - ОДД на рёбрах изогрид-ной конструкции у основания штанги, где деформации максимальны. В процессе настройки системы обезвешивания возможно добиться минимальных значений деформации, что и будет означать отсутствие нагрузки на устройство раскрытия.

С помощью ОДД также возможно контролировать нагрузки, приходящиеся на спицы рефлекторов зонтичного типа большого диаметра в процессе их отработки и транспортировки.

Для определения предельных значений деформации образцов необходимо произвести эксперимент, позволяющий получить информацию о растяжении-сжатии в различных точках конструкции при воздействии предполагаемой изгибной нагрузки.

Образец с закреплённым на его поверхности датчиком подвергают нагружению заданным усилием или моментом, затем строится характеристика зависимости показаний ОДД в микрострейнах (це) от приложенной нагрузки, определяются допустимые границы деформаций и перегрузок.

Проведён предварительный эксперимент по определению несущей способности спицы рефлектора. Длина спицы около 6 м, спица имеет в сечении 20 радиальных рёбер. На спицу было установлено 40 ОДД в 2 секциях, разделённых поперечными шпангоутами - центральном (80 мм от центра) и периферийном (2 200 мм от центра), на каждом ребре по одному ОДД.

Была получена информация при пошаговом нагружении спицы изгибающим усилием. Максимальная деформация перед разрушением составила -2 400 це, что составляет 0,24 % деформации (знак «-» означает сжатие). В дальнейшем это значение можно использовать для определения границ нормальных нагрузок на спицу подобной конфигурации.

Для использования ОДД в качестве системы мониторинга подобные эксперименты необходимо провести для всех типов структур, где они будут применяться.

Предложенный подход может найти применение в системах мониторинга напряжённо-деформированного состояния узлов КА и для получения экспериментальных данных, способных подтвердить правильность расчётов прочности и жёсткости конструкций.

© Мальцев А. А., 2013

УДК 51-74

НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ПРИМЕНЕНИИ ^-МОДЕЛЕЙ

Т. В. Мальцева

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31. E-mail: nonparametric@mail.ru

Рассматривается новый класс моделей многомерных нелинейных стохастических процессов, не поддающихся декомпозиции, в условиях частичной параметрической и непараметрической априорной неопределенности. Приводится общий вид моделей, базирующихся на триаде: фундаментальные законы, параметризованные зависимости, непараметрические связи, а также даются некоторые комментарии, касающиеся целесообразности их применения.

Ключевые слова: априорная информация, комбинированная система, непараметрические оценки, много-связность, К-модели.

SOME NOTES ON ^-MODELS USE

T. V. Maltseva

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, "Krasnoyarsky Rabochy" Av., Krasnoyarsk, 660014, Russia. E-mail: nonparametric@mail.ru

The paper deals with a new class of models of multidimensional nonlinear stochastic processes that can not be decomposed, in partial parametric and nonparametric uncertainty. Common view of the models based on the triad: basic laws, parameterized and nonparameterized relations is performed, and some comments concerning the use advisability of such models are given.

Keywords: prior information, complex system, nonparametric estimate, multilinked system, K-models.

При исследовании реального процесса довольно часто мы сталкиваемся с ситуацией, когда информация о виде некоторых его связей отсутствует, что приводит к большой трудоемкости получения их параметрических моделей. Вместе с тем некоторые свя-

зи, обусловленные техническими, технологическими, конструктивными особенностями, могут быть описаны параметрически или вовсе подчиняются известным законам физических, химических, электрических, механических и других явлений.

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

Таким образом, разные связи процесса могут быть изучены в разной степени, т. е. априорная информация может принадлежать к разным уровням. Как следствие этого - различные математические постановки задач с точки зрения математической строгости в рамках одной задачи моделирования интересующего нас процесса. В то время как в классической теории идентификации используются многочисленные модели, соответствующие определенному и вполне конкретному уровню неопределенности - Байесов, параметрической или непараметрической неопределенности.

Следует отметить, однако, что при моделировании и управлении многомерными дискретно-непрерывными процессами целесообразно использовать все поддающиеся измерению переменные, но это требует тщательного анализа не только самого процесса, но и средств и технологии контроля всех доступных переменных, а также априорной информации, которая может соответствовать различным уровням [2]. Это означает, что общеизвестная теория идентификации «вынуждает» исследователя приводить априорную информацию к определенному уровню: приходится либо намеренно отказываться от части информации, либо же использовать допущения и предположения, которые, к сожалению, зачастую имеют отдаленное отношение к реальности.

Важно подчеркнуть также тот факт, что помимо высокой размерности, присущей практически любому реальному процессу, трудоемкость получения моделей такого процесса обусловлена сложным характером внутренних связей с обратными и перекрестными потоками (см. рисунок).

Как видно из рисунка, наличие обратных связей приводит к тому, что некоторая часть компонент вектора выхода зависит от других его компонент (соответствующие связи выделены на рисунке черными стрелками), и исследуемый класс объектов описывается не в традиционной форме «вход - оператор связи -выход», а в виде некоторой системы уравнений, определяющих соответствующие неявные функции.

Математические модели процессов, которые строятся в условиях, когда априорная информация об ис-

следуемом процессе может одновременно принадлежать к нескольким уровням, и базируют на триаде: фундаментальные законы, параметризованные зависимости и связи, отражающие только характер зависимости одних переменных процесса от других, будем называть ^-моделями [2].

Сформулируем задачу построения ^-моделей. Пусть для многомерного статического объекта, подверженного действию неконтролируемых возмущений, со случайными ошибками, имеющими нулевое математическое ожидание и ограниченную дисперсию, могут быть проведены наблюдения {ХЩ, УЩ}, t = 1, 2, ..., N вектора состояний {X, У}. Плотности вероятностей р(Х), р(У) неизвестны. Известно, что переменные {X, У} на объекте связаны некоторыми соотношениями, некоторые из которых известны точно (на основании фундаментальных законов), другие известны с точностью до набора параметров, а некоторые в силу недостатка априорной информации о структуре не могут быть параметризованы и представлены качественными соотношениями «вход-выход». Тогда, имея выборку наблюдений {ХЩ, УЩ}, t = 1, 2,...,Ц, требуется найти такое значение выходной величины У е 0.(У), которое соответствует заданному входному воздействию X = X е 0(Х), т. е. осуществить прогноз выхода системы по заданному входному воздействию.

Представим модель системы в виде [1]

^ (х(■>), У(у),ау ) = 0, у = 1Х к < т < I, N (х(]), У(у), ру ) = 0, у = к + 1т, т < I, (1) Уу - Фц (X0),У(у)) = 0, ] = тГ+и,

где

I Уу [t ]ф

Ф Щ(Х' ,уУ ) = --

Х-' - Ху и ]

с

Ху

Ф

У] - У] [t]

с

Уу

ц ( Ху - Ху [t]А

(2)

I®

с

ху У

<=1

непараметрические оценки качественных зависимостей по наблюдениям вектора состояний процесса;

(■■■) - уравнения, найденные на основе известных

фундаментальных законов, определенные с точностью до набора параметров а] ; /Ы]- ( ■ )- параметризованные компоненты соответствующих вектор-функций, определенные с точностью до набора параметров р] ; Х3\ ^ - векторы, составленные из различных компонент соответствующих векторов входных и выходных переменных, участвующих в описании интересующей нас связи [2]; Ф(-) - колоколооб-разные функции, параметры размытости С удовлетворяют условиям сходимости [2].

Безусловно, предлагаемые ^-модели имеют достаточно сложную форму, но вместе с тем более точно отражают свойства реально протекающего процесса на том или ином объекте.

Они принципиально отличаются от общеизвестных моделей тем, что объединяют уравнения, полученные на основе фундаментальных законов, технические, конструктивные особенности процесса и его параметрическую и непараметрическую составляющие в единое целое.

Для описания многих процессов, скажем, механических или электрических, которые достаточно хорошо контролируются, применение ^-моделей не требуется - там «справляются» классические модели.

Однако в реальности приходится сталкиваться с ситуациями, в которых требуемого для адекватного применения подобных моделей контроля не удается получить. В таких случаях упрощение модели дискретно-непрерывного процесса неизбежно приведет к ухудшению ее качества, и может оказаться, что упрощенные модели, в отличие от моделей типа (1), уже

не пригодны для получения качественного прогноза или создания систем автоматического управления в силу своей грубости.

Подобная ситуация наблюдается в попытках построения модели геофильтрации нефти в пористой среде [3], когда принимаемые допущения (неучет ряда важных факторов, характера протекания процесса и пр.) оказываются слишком «грубыми», в результате чего классические модели плохо описывают реальность и оказываются неприменимыми с практической точки зрения.

Библиографические ссылки

1. Мальцева Т. В., Медведев А. В. О компьютерном исследовании К-моделей // Вестник СибГАУ. Красноярск, 2013. Вып. 3 (49).

2. Медведев А. В. Теория непараметрических систем. Моделирование // Вестник СибГАУ. Красноярск, 2010. Вып. 4. С. 4-9.

3. Molokova N. V., Konnykh M. A. Modeling of the Dynamics of Spreading of Spilled Hydrocarbons Taking into Account the Gravity-Capillary Interaction // Журнал СФУ. Красноярск, 2012. Вып. 5(4). С. 462-470.

References

1. Mal'ceva T. V., Medvedev A. V. O komp'juternom issledovanii K-modelej // Vestnik SibGAU. Krasnojarsk, 2013. Vyp. 3 (49).

2. Medvedev A. V. Teorija neparametricheskih sistem. Modelirovanie // Vestnik SibGAU. Krasnojarsk, 2010. Vyp. 4. S. 4-9.

3. Molokova N. V., Konnykh M. A. Modeling of the Dynamics of Spreading of Spilled Hydrocarbons Taking into Account the Gravity-Capillary Interaction // Zhurnal SFU. Krasnojarsk, 2012. Vyp. 5(4), S. 462-470.

© Мальцева Т. В., 2013

УДК 519.854.33

СХЕМА МЕТОДА ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ ДЛЯ ЗАДАЧ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ С АЛГОРИТМИЧЕСКИ ЗАДАННЫМИ ПСЕВДОБУЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ

И. С. Масич

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 E-mail: i-masich@yandex.ru

Рассматриваются задачи псевдобулевой оптимизации, в которых функции предполагаются заданными алгоритмически. Выделяются классы часто встречаемых на практике задач. Исследуется алгоритм нахождения точного решения задачи, основанный на схеме метода ветвей и границ.

Ключевые слова: метод ветвей и границ, псевдобулевые функции.