НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГР С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета

2020. Том 56. С. 138-184

УДК 517.9 © А. Г. Ченцов

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГР С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

Рассматривается дифференциальная игра (ДИ) сближения-уклонения, а также ее релаксации, конструируемые с учетом соображений приоритетности в вопросах реализации наведения на целевое множество (ЦМ) и соблюдения фазовых ограничений (ФО). Относительно ЦМ предполагается замкнутость в естественной топологии пространства позиций, а относительно множества, определяющего ФО, постулируется замкнутость сечений, отвечающих фиксации моментов времени. Для такой постановки с использованием метода программных итераций (МПИ) установлен вариант альтернативы в некоторых естественных классах стратегий игроков (аналог альтернативы Н. Н. Красовского, А. И. Субботина). Рассматривается схема релаксации игровой задачи сближения для общего случая нелинейной ДИ с незамкнутым, вообще говоря, множеством, определяющим ФО. При построении релаксаций учитываются соображения, связанные с приоритетностью в «степени» осуществления наведения на ЦМ и соблюдения ФО (исследуется случай «несимметричного» ослабления условий окончания игры). Вводится функция позиции, значения которой (с «поправкой» на приоритетность) играют всякий раз роль аналога наименьшего размера окрестностей ЦМ и множества, задающего ФО, при которых еще возможно гарантированное решение релаксированной задачи игрока, заинтересованного в сближении с ЦМ при соблюдении ФО. Показано, что значение данной функции (при фиксации позиции игры) является ценой ДИ на минимакс-максимин функционала качества, который характеризует как «степень» сближения с ЦМ, так и «степень» соблюдения исходных ФО.

Ключевые слова: альтернатива, дифференциальная игра, квазистратегия, метод программных итераций, релаксация задачи сближения.

DOI: 10.35634/2226-3594-2020-56-10 Введение

Предметом исследования в статье являются дифференциальная игра (ДИ) сближения-уклонения и некоторые связанные с ней ДИ со специальными функционалами качества. Исходная ДИ на конечном промежутке времени задается парой множеств в пространстве позиций, одно из которых является целевым множеством (ЦМ) игрока I, а второе формирует его фазовые ограничения (ФО) посредством системы сечений, соответствующих каждое фиксированному моменту времени. Итак, игрок I заинтересован в приведении траекторий на ЦМ при соблюдении ФО. Цель игрока II противоположна. В случае когда оба множества-параметра замкнуты в обычной топологии покоординатной сходимости, а система удовлетворяет традиционным условиям (см. [1,2]), Н. Н. Красовским и А. И. Субботиным была установлена теорема об альтернативе [1,2], касающаяся разрешимости ДИ в естественных классах позиционных стратегий. Эта теорема послужила основой строгой математической теории. Отметим принципиальный результат А. В. Кряжимского, распространившего утверждение упомянутой теоремы на случай управляемой системы, не удовлетворяющей традиционному условию Липшица по фазовой переменной (см. [3]).

В настоящей работе рассматривается следующий, несколько более общий вариант ДИ сближения-уклонения: относительно множества, формирующего ФО, не предполагается замкнутость в естественной топологии пространства позиций; предполагается лишь замкнутость всех сечений упомянутого множества (добавляются по мере надобности также некоторые эффективно проверяемые условия технического характера, естественные для задач

управления). Итак, рассматривается случай весьма нерегулярной ДИ. Для данного случая оказывается, однако, справедливым вариант альтернативы, причем соответствующее (альтернативное) разбиение пространства позиций может быть найдено с помощью надлежащей модификации известного [4-10] метода программных итераций (МПИ).

Если позиция игры не принадлежит множеству (успешной) разрешимости задачи игрока I, а потому в силу упомянутой альтернативы игрок II гарантирует решение своей задачи, представляет все же интерес вопрос о наименьшем размере окрестностей ЦМ и множества, формирующего ФО, для которых, при упомянутом ослаблении условий окончания игры сближения, игрок I еще гарантирует решение своей задачи (см. [11,12]). Итак, представляет интерес наиболее экономная релаксация задачи сближения, изучению которой посвящена настоящая статья, являющаяся логическим продолжением работ [11,12].

В связи с исследованиями по теории ДИ отметим монографии [2,13-20]; имеется большое число журнальных статей, среди которых отметим сейчас [21-29] (в частности, отметим использование неупреждающих стратегий в [26-29]). Напомним, что в [19, гл. III, IV] подведен определенный итог ранних исследований по МПИ. Среди недавних работ выделим [10-12, 30, 31]. Особо отметим связь конструкций на основе МПИ и аппаратом квазистратегий (неупреждающих стратегий). Последние реализуются ниже в виде мульти-функций, действующих в пространствах мер; само условие неупреждаемости формулируется при этом в терминах соответствующих подпространств измеримых пространств (ИП). Необходимость в применении обобщенных управлений (ОУ), определяемых здесь в виде стратегических мер, и преобразований упомянутых ОУ с соблюдением условия неупре-ждаемости связано с тем, что далее рассматривается нелинейная конфликтно-управляемая система общего вида. В связи с общими вопросами применения ОУ см. [2,19,32,33].

Автор посвящает настоящее исследование светлой памяти Евгения Леонидовича Тонко-ва, выдающегося ученого, прекрасного педагога, простого и сердечного человека.

§ 1. Общие сведения

Используется стандартная теоретико-множественная символика (кванторы, связки и др.);

0 — пустое множество, = — равенство по определению. Семейством называем множество, все элементы которого сами являются множествами. Принимаем аксиому выбора. Любым двум объектам x и y сопоставляем их неупорядоченную пару {x; y} (итак, {x; y} — множество, содержащее x, y и не содержащее никаких других элементов). Для каждого объекта z в виде {z} = {z; z} имеем синглетон, содержащий z: z G {z}. Если а и b —

объекты, то (а,Ь) = {{а}; {а; b}} есть [34, с. 67] упорядоченная пара (УП) с первым элементом а и вторым элементом b. Для всякой УП h через pr1(h) и pr2 (h) обозначаем первый и второй элементы этой УП соответственно; они однозначно определяются условием

h = (Pr1(h) Pr2(h)).

Если H — множество, то P(H) — семейство всех подмножеств (п/м) H, а P'(H) =

= P(H) \ {0} — семейство всех непустых п/м H. Произвольным семейству A и множеству B сопоставляем след

a|b = {A П B: A gA}GP(P(B))

данного семейства на упомянутое множество. Множеству M и (непустому) семейству M G P'(P (M)) сопоставляется семейство

Cm[m] = {M \ M: M GM}GP'(P(M)), (1.1)

двойственное к M; в (1.1) в качестве M часто используются топология, либо семейство замкнутых множеств топологического пространства (ТП).

Отметим известные соглашения [35, гл. 1], касающиеся операций над множествами. Если a, b и c — объекты, то в виде (a, b, c) = ((a, b), c) имеем их (упорядоченный) триплет. Если x, y, p и q — объекты, то (x,y,p,q) = ((x,y,p),q). Для любых трех множеств A, B и C, как обычно, A х B х C = (A х B) х C. Для любых четырех множеств X, Y, Z и S

имеем X х Y х Z х S = (X х Y х Z) х S.

Если A и B — множества, то через BA обозначаем множество всех отображений (функций) из A в B. Для множеств A и B, f £ BA и C £ P(A) полагаем, что f:(C) =

= {f(x): x £ C} (образ C), а (f|C) £ BC — обычное сужение f на C; (f |C)(x) = f (x) Vx £ C.

Как обычно, R — вещественная прямая, R+ = {£ £ R|0 ^ £} = [0, ö[ (промежутки в R обозначаем только квадратными скобками), N = {1;2;...} и No = {0} U N = = {0; 1; 2;...} £ P'(R+). При обозначении промежутков R допускается случай, когда промежуток является пустым множеством; так, при h £ R в виде [h, h[ имеем 0:

[h, h[= {£ £ R|(h ^ £)&(£ < h)} = 0. Пусть -öÖ = {k £ No|s ^ k} Vs £ No. Если p £ No

и q £ N0, то pTq = {k £ N0|(p ^ k)&(k ^ q)}; ясно, что 1, m = {k £ N|k ^ m} при m £ N. Полагаем, что элементы R+ — неотрицательные вещественные числа — не являются множествами. С учетом этого для всякого множества H и числа m £ N используем вместо H 1'т более традиционное Hm для обозначения множества всех отображений из 1,m в H (т.е. кортежей «длины» m). Из общих определений следует для всякого семейства H, что HN есть множество всех последовательностей в H; если (Hi)ieN £ HN и H — множество, то, как обычно,

((Hi)teN I H) ^ ((H = f| Hi)&(Hj+i С Hj Vj £ N)).

ieN

Если 5 — непустое множество, то [5] = есть множество всех неотрицательных

вещественнозначных (в/з) функций на Б (в качестве Б может, конечно, использоваться семейство).

Измеримые пространства и меры. Если Е — множество, то через (а — а%) [Е] обозначаем семейство всех а-алгебр п/м Е; при Е £ (а — а^)[Е] в виде (Е, Е) имеем стандартное измеримое пространство (ИП). Если же Е £ Р(Р(Е)), то через а°Е(Е) обозначаем а-алгебру п/м Е, порожденную семейством Е; а°Е(Е) £ (а — а^)[Е]. Для множеств X и У £ Р(X), а также семейства X £ Р(Р(X)) имеем равенство а0(Х|у) = аХ(X)|у; при этом

(У £ аХ(X)) ^ (а0(Х|у) = {£ £ аХ(X)|Е С У}). (1.2)

Если (X, т) есть ТП, то а-алгебру аХ (т) и множества из этой а-алгебры называют борелев-скими; данная конструкция используется ниже только в случае, когда (X, т) — компакт в конечномерном арифметическом пространстве с обычной топологией покоординатной сходимости.

Для множества Е и Е £ (а — а%)[Е] через (а — add)+[Е] обозначаем множество всех в/з неотрицательных счетно-аддитивных мер на а-алгебре Е. Если Е = аЕ (т), где т — топология на Е, то меры из (а — add)+[E] называем борелевскими; в случае метризуемости ТП (Е, т) все такие меры регулярны (см. [36, гл. 1]).

§ 2. Содержательная постановка задачи

Фиксируем п £ N и рассматриваем Rn в качестве фазового пространства системы

х= f (¿, х,и, V), и £ Р, V £ (2.1)

функционирующей на промежутках [¿, $о], где * € Т при Т = [¿о,$о], ¿о € М, ^о € М, ¿о < В (2.1) Р и ^ — непустые конечномерные компакты в Мр и М9 соответственно, где (здесь и ниже) р € N и q € М;

/: Т х Ега х Р х Q —► Ега (2.2)

есть непрерывная (по совокупности переменных) функция. Предполагается, что вектор и € Р (вектор V € Q) есть управляющий параметр игрока I (игрока II). Реализации управлений игроков сейчас полагаем простейшими (релейными): при * € Т рассматриваем множество и (множество И) всех кусочно-постоянных, непрерывных справа и непрерывных слева в точке $о функций из Р(из Q[í'^o]). Полагаем сейчас, что позиции (¿,х) € Т х и управлениям и(-) € и, v(•) € V сопоставляется единственная траектория х(-) = х(-,¿,х,и(-), v(•)) € Сп([£, $о]), где Сга([£,-$о]) есть (здесь и ниже) множество всех непрерывных отображений из [¿,$о] в Ега, Сп([£, $о]) С (Ега)[^°]. Упомянутая траектория стартует из позиции (¿,х). В дальнейшем условия на систему (2.1), (2.2) будут уточнены. Каждой позиции (¿*,х*) € Т х Ега сопоставляем непустые множества Д(£*, х*) и ^(¿*,х*) возможных способов формирования реализаций и(-) € и v(•) € И* соответственно (ниже используются только варианты Д(£*, х*) = Д[£*] и х*) = ^[¿*], но сейчас сохраняем упомянутое более общее толкование). При и € Д(£*, х*) (при V € х*)) имеем непустой пучок Х/(¿*,х*,и) (непустой пучок (¿*,х*, V)) траекторий, возможных при использовании и (при использовании V) и стартующих из позиции (¿*,х*). Если М € Р(Т х Мп) и N € Р(Т х Ега), то возникают следующие две (М, N)-задачи:

1') найти множество всех позиций (¿*,х*) € N таких, что ЗО € Д(£*,х*):

Ух(^) € X/(¿*,х*, О) З^ € [¿*,^о]: ((#,х(0)) € М)&((£, х(£)) € N V* € [**,#[); (2.3)

2') найти множество всех позиций (¿*,х*) € N таких, что ЗV € ^(¿*,х*): Vx(•) € X//(¿*,х*, V) ^ € [¿*,^о] ((#,х(0)) € М) (З* € [**,#[: (¿,х(*)) € N). (2.4)

Напомним, что в [1,2] задачи, подобные 1') и 2'), рассматривались для замкнутых множеств М и N при условии, что Д(£, х) и ^(¿,х) являются множествами позиционных стратегий соответствующего типа, траектории определяются в виде равномерных пределов естественных пошаговых движений. В [37] в качестве возможных способов формирования реализаций управлений использовались квазистратегии (неупреждающие стратегии). У нас (2.3) и (2.4) определяют гарантированную реализацию (М, N)-сближения и (М, N)-уклонения соответственно в классах стратегий (способов формирования реализаций управлений) вышеупомянутого типа.

Если множества, определяемые в виде решений задач 1') и 2'), образуют разбиение N будем говорить, что имеет место альтернатива (именно это свойство реализуется в [1,2, 37]). Представляет интерес анализ изменений в решениях задач 1') и 2') при изменении параметров — множеств М и N. В частности, представляет интерес вопрос о релаксации, когда М и N будут заменяться надмножествами (имеется в виду релаксация задачи 1'), т. е. задачи игрока I).

§ 3. Обобщенные программные управления и стратегии игроков

Напомним, что Т = [¿о,$о], где ¿о € М, $о € М и ¿о < $о; Т есть объемлющий промежуток, а «рабочие» промежутки определяются в виде [¿, $о], где * € Т. При

* € Т рассматриваем конечномерные компакты [¿, $о], = [¿, $о] х Р, Zt = [¿,$о] х Q

и Qt = [¿, $о] х Р х Q в оснащении обычными топологиями покоординатной сходимости; а-алгебры, порожденные этими топологиями, называем борелевскими. Итак, в виде

% £ (а — а^)[Мо]], К £ (а — а!ё)[У4], Д £ (а — С; £ (а — а^)[П;] имеем

а-алгебры борелевских п/м упомянутых компактов;

(Мо],%), (у,к), Д), (а,С)

суть стандартные ИП. При I £ % имеем цилиндры I х Р £ I х ф £ Д и I х Р х ф £ . Кроме того (используем соглашения § 1), при К £ имеем К х ф £ С;, а при Д £ Д

ДхР = {(£,и^) £ П;|(С, V) £ Д} £ С;.

С учетом (1.2) получаем при Ь £ Т и 9 £ [¿, $0], что

Г, = %|М0] = {I £ ш С [9,ЗД, К, = К|у9 = {К £ К;|К С У,}, = "к = {Д £ С ^}, С, = С;к = {С £ С;|С С },

Д = = {Д £ С М[хф} £ (а — а^)[М[хф],

С, = С;|[;,,[хРхд[ = {С £ С;|С С [Ь,9[хР х ф[} £ (а — в^)[М[хР х ф].

Если Ь £ Т, то через Л; обозначаем сужение меры Лебега на %,

Н = {п £ (а — £^)+[С]|п(! х Р х ф) = Лt(I) VI £ %}, (3.1)

Я; = {^ £ (а — вЛф+К]^ х Р) = Л;(!) VI £ 7;}, (3.2)

Е; = {V £ (а — add)+(I х ф) = Лt(I) VI £ %}. (3.3)

Множество х V допускает естественное погружение в (3.1), множество — в (3.2), а множество V — в Е; (3.3); в этой связи см. [19, гл. IV, § 2] (более общие процедуры погружения с использованием измеримых управляющих функций см. в [32, гл. III, IV] и в [33]). Наряду с (3.1)-(3.3) полагаем при Ь £ Т, что

= {П £ Н;|П(К х ф) = МК) ^ £ К;} ^ £ Я;)

Л (3.4)

) = {п £ Н;|п(ДхР) = V(Д) ^ £ Д} Vv £ Е;)

Множества в (3.4) именуем и V-программой соответственно. Отметим один нужный в дальнейшем вариант управления-меры, т. е. обобщенного управления (ОУ). Для этого сначала заметим, что при Ь £ Т семейство К;{х}В = {К х В: К £ В £ В}, где В есть а-алгебра борелевских п/м ф, есть полуалгебра п/м для которой = а°((К;{х}В). Полагаем, что ^ £ (а — add)+[B] при V £ ф есть след на В меры Дирака, сосредоточенной в точке V (и определяемой первоначально на Р(ф)). Тогда при Ь £ Т, ^ £ и V £ ф через ^ ® V обозначаем единственную меру из (а — add)+[Ct], для которой (^ ® v)(K х В) = = ^(К(В) VK £ VB £ В; ясно, что ^ ® V £ отвечает совместному действию

меры ^ и константы V на систему (2.1).

Как обычно, через С(П;), С(У;) и Собозначим множество всех непрерывных в/з функций на У и ^ соответственно. Оснащая эти множества поточечно определяемыми линейными операциями и нормами равномерной сходимости, получаем сепара-бельные банаховы пространства; через С *(П;), С *(У;) и С * обозначаем пространства, топологически сопряженные к С (П;), С (У) и С соответственно (пространства линейных ограниченных функционалов). По теореме Рисса множества (3.1)-(3.3) отождествимы с п/м С * ), С * (У) и С соответственно и могут быть оснащены относительными *-слабыми топологиями, причем все множества (3.1)-(3.4) оказываются при таком оснащении метризуемыми компактами по теореме Алаоглу (учитывается сепарабельность пространств С), С(У) и Ссм. также [38, гл. V, §5]). Как следствие метризуемости

относительных *-слабых топологий на множествах (3.1)-(3.3) замкнутость соответствующих п/м (3.1)—(3.3) тождественна секвенциальной замкнутости, а компактность — секвенциальной компактности (имеются в виде *-слабая замкнутость и *-слабая компактность). В этой связи см. также [19, гл. IV]. Таким образом, все нужные топологические свойства пространств (3.1)-(3.4) в упомянутом оснащении (относительными) *-слабыми топологиями допускают исчерпывающее описание в терминах сходящихся последовательностей, что и будет использоваться в дальнейшем. Для обозначения *-слабой сходимости ниже используется символ — . Итак, полагая, что 5* — семейство всех *-слабо замкнутых п/м имеем, что

5* = {Е € Р€ Vn € Н ((%- п) (п € Е)> (3.5)

(множества — элементы 5* — *-слабо компактны).

Введем в рассмотрение квазистратегии игрока I, фиксируя момент ¿* € Т до тех пор, пока не будет оговорено противное. Итак, речь пойдет о квазистратегиях на промежутке [¿*,$о]:

Л. = { а € П Р'№.(V))| € Vv2 € ^ € [¿*,^о]

(3.6)

((ц|Я?.) = )) ({(пС. ): п € «(VI)} = {(пС. ): П € а^)})}

есть множество всех квазистратегий игрока I на отрезке [¿*,$о]. Итак, данные квазистратегии суть мультифункции, а, точнее, элементы множества Р'(Н.. С учетом (3.5) введем

«усовершенствованные» квазистратегии — квазипрограммы, полагая, что

= {« € А, | У «(V) € 5*.} (3.7)

(введено множество всех квазипрограмм на отрезке [¿*,$о]). Ясно, что

П.(•) = №.(V€ А*,

а потому множества (3.6), (3.7) непусты. Если х* € , то Д(£*,х*) отождествляем с А^. Рассмотрим теперь стратегии-тройки игрока II, следуя [30,31]. Всюду в дальнейшем

полагаем V = РхК", получая множество многозначных позиционных стратегий (см. [1,2]). Если * € Т, то

С*(*) = {£* € Р'(Мо])Сп(Мо1)|^1 € Сга(Мо]) ^2 € Сга(Мо]) ^ € Мо]

(ЫМ]) = ЫМ])) (/Ы П М] = £*Ы П М])};

= (множество всех отображений из Ега в С*(*)). Наконец, полагаем, что при

** € Т

= П с*(*); (3.8)

te[t.,^ol

элементы множества (3.8) называем стратегиями (неупреждающей) коррекции на отрезке [**, $о]. Легко видеть, что (3.8) — непустое множество. Элементы произведения V х х N называем стратегиями-тройками игрока II на отрезке ] (при (V,7, к) € V х х N значение к определяет число возможных переключений управления из И.). Ясно, что

V х х N = 0.

§ 4. Обобщенные траектории; пучки траекторий

Рассмотрим сначала вопрос о сопоставлении позиции (¿,я) € Т х Мга и управлению-мере (т.е. ОУ) п € Н траектории системы (см. (2.1), (2.2)) на отрезке [¿, $0]• Здесь же будут введены весьма общие условия на систему, подобные [3]. Итак, при (¿*, я*) € Т х Мга и п € Н, рассматриваем интегральную воронку

Ф(**,я*,п) = {я(-) € СП([г*,0о])|ж(0) = я* +

+ I /у^ € [¿„ад. (4.1)

[*„,0[хР хд

Как и в [3], предполагается, что при (¿*,я*) € Т х Ега и п € Н, множество (4.1) одноэлементно, т. е.

Ф(**,я*,п) = {<£(-, ,я*,п)}, (4.2)

где ¿*, я*, п) = ¿*, я*, п))*е[*»,^о] € Сга([**,-$0]) есть соответствующая обобщенная траектория (скользящий режим). Итак, у нас все интегральные воронки одноэлементны. Далее, полагая, что || ■ || есть евклидова норма в Мга, введем условие равномерной ограниченности, подобное [3]. Итак, пусть Вп(с) = {я € Ега|||я|| ^ с} Ус € Полагаем далее,

что Уа € Е+ 36 € Е+:

<^(т, ¿, я, п) € Бга(6) V € Т Ух € Бга(а) Уп € Н Ут € Мо]. (4.3)

Итак, относительно системы (2.1), (2.2) ниже предполагаются выполненными только условия (4.2), (4.3) (имеются, конечно, более частные случаи, допускающие непосредственную проверку; см. в этой связи традиционные условия в [1,2,15,19]). Полезно отметить положения [10, (4.12), (4.13)]. Важную роль далее играет свойство непрерывности отображения

(п,я) Н, х Сга([**,0о]) (4.4)

при ¿* € Т, где Н, оснащено относительной *-слабой топологией, Мга — обычной || ■ ¡-топологией, а Сга([**,-$0]) — топологией равномерной сходимости: если п* € Н,, ж* € Ега, (п,-),-ен € (Н,)н и (я,),-ен € (Еп)м, то

(((п,),ен ^ п*)&((я,),ен —» я*)) ((^(-,**,я,, п,)),ен ^ <£(•, ¿*, я*, п*)). (4.5)

Ясно, что (4.5) полностью определяет свойство непрерывности отображения (4.4). В качестве «прямого» следствия отметим (учитывая компактность множеств (3.4)), что при (¿*,я*) € Т х Ега и V € Е,

Хп(**,я*, V) = { ^(-,**,я*,п): п € П,(V)} (4.6)

есть непустой компакт в Сга([**,-$0]) с топологией равномерной сходимости; мы используем (4.6) в последующих программных конструкциях, при а € имеем, что

{<£(•,**, я*, п): п € а^)} С АП(£*,я*^).

Если же (¿*,я*) € Т х Ега и а € , то

я*; а] = ¿*, я*, п): п € ^ аИ} € Р'(Сга([**,#о])). (4.7)

Пучки (4.7) используются в качестве аналогов X/(**,ж*, и); при этом и заменяется квазистратегией из (в отличие от § 2 мы допускаем здесь воздействие на систему управлений-мер). Если а € А^, то (4.7) — непустой компакт в Сга([**,-$0]) с топологией равномерной сходимости. Подчеркнем, что траектории — элементы (4.7) — характеризуют возможности игрока I. Нам потребуется еще одно определение, связанное с ОУ игрока I: при (** , ж*) € Т х Ега и V € Q в виде

Хп(¿*,ж*^) = 0 V): ^ € Пъ,} € Р'(Сп([**, ^о])) (4.8)

имеем компакт в Сга([**,-$0]) с топологией равномерной сходимости.

В качестве аналогов Хц(**,ж*, V) используем ниже пучки траекторий, порожденные стратегиями-тройками, используемыми в качестве V; см. [30,31]. Итак, если (¿*,ж*) € € Т х V € V, в € С*, и т € М, то определяем (непустой) пучок Х[**; ж*; V; в; т] € € Р'(Сп([¿*,$0])) траекторий, порожденных стратегией-тройкой (V, в,т) и стартующих из (**,ж*); в этой связи напомним построения [30, раздел 7] и [31, (7.4)-(7.8)].

Если М € Р(Т х Кп) и N € Р(Т х Кп), то определены следующие две (М, N)-задачи. Задача I(M, N). Найти множество всех позиций (¿*,ж*) € N, для каждой из которых

За € Аъ, Уж(-) € Х[**; ж*; а] 3^ € [**А]: ((#,ж(0)) € М)&((*, ж(*)) € N V* € [**,#[).

Задача П(М, N). Найти множество всех позиций (**,ж*) € N для каждой из которых

3(V,в,m) € V х С* х N € Х[**; ж*; V; в; т] ^ € [Г,^] ((0,ж(0)) € М) (3* € [**,#[: (*,ж(*)) € N).

Обе постановки касаются построения множеств разрешимости в соответствующих задачах (М, N)-сближения и (М, N)-уклонения. Задачи 1(М, N) и П(М, N) являются аналогами задач § 2 (см. (2.3), (2.4)).

§ 5. Окрестности множеств

Напомним, что Ега есть фазовое пространство системы (2.1), (2.2), Т = [¿0,$0], где *0 € К, $0 € К, *0 < $0, Т х — пространство позиций, оснащаемое далее метрикой

р: (Т х Кп) х (Т х ) —► К+,

определяемой условием: V(t1,ж1) € Т х V(t2,ж2) € Т х

р((*1,ж1), (*2,ж2)) = йир({|*1 - *2 |; 11 ж 1 - ж2 || }) (5.1)

(наибольшее из двух чисел |*1 — *2|, ||ж1 — ж2||). Метрическая топология на Т х соответствующая метрике р (5.1), есть, конечно, обычная топология 1 покоординатной сходимости (конечно, выбор именно метрики (5.1) необязателен). Тогда

Т = СтхКп [1] € Р'(Р(Т х Кп))

есть семейство замкнутых в традиционном смысле п/м Т х Т' = Т \ {0}.

Если Н € Р'(Т х ) и г € Т х то р(г; Н) = т£({р(г,к): к € Н}) € К+ есть обычное расстояние от позиции до множества. Для множества Н € Р'(Т х Кп) определена равномерно непрерывная функция расстояния р(-; Н) € ^+[Т х Кп] вида

г —^ р(г; Н): Т х —► К+;

сопоставляем Н и числу е € К+ множество

Бо(Н,е) = {г € Т х Ега|р(г; Н) ^ е} = р(; Н)-1([0,е]) € Т', (5.2)

где при е > 0 (5.2) есть замкнутая окрестность Н, а Б0(Н, 0) — замыкание Н в топологии При Р € Т' имеем равенство Б0(Р, 0) = Р.

Рассмотрим другое оснащение Т х Ега, полагая, что тд = Р(Т), а т]п) есть обычная топология покоординатной сходимости в ] (конечно, т^ — топология на порожденная нормой || ■ ||). Через т^0т^га) обозначаем естественную (метризуемую) топологию на Т х отвечающую стандартному произведению ТП (Т, тд) и (Кп, т^); см. [39, раздел 2.3]. Семейство

д = Стхк« [та 0 т(п)] (5.3)

(всех) множеств, замкнутых в ТП (Тх], т^®т^га)), допускает простое описание в терминах сечений п/м Т х Итак, если Н € Р(Т х Кп) и * € Т, то в виде

Н(*) = {я € Ега|(*,я) € Н} € Р(Кп) имеем ¿-сечение Н. Тогда, как легко видеть,

д = {Р € Р(Т х Ега)|Р(*) € Е У* € Т}, (5.4)

где Е = С к« [т^га) ] (семейство всех замкнутых п/м ]п). Итак, д — семейство всех п/м Т х ], имеющих замкнутые сечения. При Б € Р'(Кп) и я € ] полагаем, что

(|| ■ || - тЭДя; Б] = тЩНя - в||: 5 € Б}). Тогда для Б € Р'(Кп) в виде (|| ■ || - т£)[^; Б], т. е. в виде

я (|| ■ || - 1п£)[я; Б]: К+,

имеем функцию расстояния до Б и при е € К+ полагаем, что

ВП(Б, е) = {я € Кп| (|| ■ || - ш£)[я; Б] ^ е}; (5.5)

ясно, что ВП(Б, е) € Е', где (здесь и ниже) Е' = Е \ {0}. Наконец, если Л € Р(Т х Кп), то

Яирр(Л) = {* € Т|Л(*) = 0}; (5.6)

при £ € Яирр(Л) имеем Л(£) € Р'(Кп) и определены множества В^(Л(£),е), где е € К+. С учетом (5.5), (5.6) полагаем, что при Н € Р(Т х Кп) и е € К+

§(Н,е) = {(¿,я) € Яирр(Н) х Кп|я € ВП(Н(¿),е)}; (5.7)

ясно, что §(Н, е) € д, при этом, конечно,

§(Н,е)(т) = ВП(Н(т),е) Ут € Яирр(Н). (5.8)

Если Н € Р(Т х Кп), то истинна импликация

(Н(*) = 0 У* € Т) (Яирр(Н) = Т). (5.9)

С учетом (5.6) и (5.9) полагаем, что

Р''(Т х К") = {Л € Р(Т х К")|Л(*) = 0 V* € Т}

= {Л € Р'(Т х К")|Л(*) = 0 V* € Т}. (5.10)

При Л € Р''(Т х!") и * € Т непременно Л(*) € Р'(К") и при е € К+ определено множество

.....

В"(Л(*),е). Из (5.7) и (5.10) вытекает, что при Н € Р''(Т х К") и е € !+

§(Н,е) = {(*,ж) € Т х !"|ж € В"(Н(*),е)}. (5.11)

Заметим, что при Б € Р'(!") функция (|| ■ || — т£)[-; 5] равномерно непрерывна на !"; более того (см. [40, (2.7.14)]) Vжl € К" Vж2 € К"

|(|| ■ || — т£)[жь Б] — (|| ■ || — 1п£)[ж2; Б]| ^ ||ж1 — ж2||.

Напомним, что элементы К+ у нас не являются множествами (соглашение, принятое, чтобы избежать «двойных» толкований традиционных обозначений). Тогда, как обычно, при

(ег)гем € (!+)М и е € !+

((е^ем I е) ^^ (((ег)ген —► е)&(е^ ^ ек М € М)). (5.12)

Из (5.2) и (5.12) вытекает, что V(е¿)¿eN € (!+ )М Vе € !+

((ег)гек | е) ((Б0(Н,ег))геК | 50(Н,е) VH € Р'(Т х К")). (5.13)

Аналогичным свойством обладают множества (5.7): если (е^)^ € (К+)М и е € К+, то (см. (5.8))

((ег)гек | е) ((§(Н, ег))гек | §(Н, е) VH € Р(Т х !")). (5.14)

Итак, имеем полезные свойства (5.13), (5.14), которые существенно используются при последующем исследовании релаксаций задачи сближения. Отметим, что (см. [10, (5.4)])

ТС д. (5.15)

Полагаем также, что д' = д \ {0}. Итак, в виде Т' и д' имеем непустые семейства непустых п/м Т х !".

§ 6. Метод программных итераций

В дальнейшем используем вариант метода программных итераций (МПИ), называемый итерациями стабильности. Введем операторы стабильности: при М € Р(Т х К") оператор А[М], действующий в Р (Т х !"), определяем условием

А[М](Н) = {(*, ж) € Н^ € Q Зх(-) € Хп(*, ж, V) 30 € М0]: (6 1)

((0, х(0)) € М)&((£, х(£)) € Н ^ € [*, 0 [)} VH € Р(Т х !"). .

Общие свойства операторов (6.1) подробно обсуждаются в [30,31], а сейчас отметим лишь некоторые. Так в силу (6.1) имеем совокупную изотонность: VM1 € Р(Т х К")

VH1 € Р (Т х К") VM2 € Р(Т х К") VH2 € Р(Т х К")

((М1 С М2)&(Н1 С Н2)) (А[М1](Н1) С АМ2КН2)). (6.2)

Кроме того (см. [31, предложение 4.2]), имеем следующее свойство:

а[м](р) € д vм € т ^ € д. (6.3)

Итак, при М € Т семейство д является инвариантным подпространством оператора (6.1). Отметим аналог «совокупной» секвенциальной непрерывности: если (М^еМ € ТМ, №)ген € М € Р(Т х кп), Р € Р(Т х Кп) и при этом

((Мг)гем I М)&(№)гек I Р), (6.4)

то М € Т, Р € д и при этом

(А[Мг](Рг))геМ | А[М](Р); (6.5)

существенна импликация (6.4) (6.5). Рассмотрим естественные итерационные процедуры на основе (6.1). Итак, при М € Р(Т х Кп) и N € Р(Т х ) рассматриваем последовательность (Пк(М, N))кем0 в Р(Т х Кп), для которой

(По(М, N) = N)&(П8+1(М, N) = А[М](П8(М, N)) Уз € N0); (6.6)

полагаем также в рассматриваемом случае множеств М и N что

П(М, N)=р| Пк(М, N). (6.7)

кеМо

При этом (см. (6.3), [31, предложения 5.1,5.2]) реализуются свойства: если М € Т и N € д, то

(Пк(М, N) € д Ук € Мо)&(П(М, N) = А[М](П(М, N)) € д). (6.8)

Итак, в «разумных» случаях наши итерационные последовательности и их пределы реализуются в д. С учетом (6.5) легко проверяется (см. [31, предложение 5.3, следствие 5.2]), что

при (М^еН € ТМ, € М € Т и N € д

(((М^ен | М)&((^)гем | N)) ((П(Мг, | Пв(М, N) (6 9)

Уз € Мо)&((П(Мг, | П(М, N))). ( . )

В силу (6.1), (6.6) и (6.7) имеем при М € Р(Т х Кп), N € Р(Т х Кп) и 5 € М0, что

П(М, N) С П,+1(М, N) С Пв(М, N). (6.10)

Свойства (6.8)-(6.10) используются в дальнейшем без дополнительных пояснений. Легко видеть, что при М € Р(Т х Кп) и N € Р(Т х Кп)

(М П N С Пк(М, N) Ук € Мо)&(М П N С П(М, N)).

Отметим очевидное следствие (6.2). Итак (см. [31, § 5]), УМ1 € Р(Т х Кп) У^ € Р(Т х Кп)

УМ2 € Р(Т х кп) У^ € Р(Т х кп)

((М1 С М2)ВД С N2)) ((П8(МЬ N1) С Ж(М2,^) (6 11)

Уз € Мо)&(П(М1, N1) С П(М2, N2))). ( . )

§ 7. Одна «несимметричная» альтернатива

Обсудим один из вариантов применения МПИ на основе (6.6). Всюду в дальнейшем фиксируем множества

(М €Т')&^ € д'); (7.1)

в (7.1) имеем соответственно ЦМ игрока I и множество, определяющее его ФО. Для множеств (7.1) определена (см. (6.6), (6.8)) итерационная последовательность

("(М, N^N0: N0 д, (7.2)

а также ее предел (см. (6.7), (6.8))

"(М, N = р| "(М, N) € д. (7.3)

Отметим, что согласно [10, теорема 10.1] и свойствам [41, § 11]

"(М, N = {(*, ж) € Т х К"|3а € А* Vx(•) € Х[*; ж; а] 30 € [*, 00]:

((0, х(0)) € М)&((£, х(£)) € N ^ € [*, 0[)} = {(*, ж) € Т х К"| (7.4) 3а € А,п Vx(•) € Х[*; ж; а] 30 € М0]: ((0, х(0)) € М)&((£, х(£)) € N ^ € [*,0[)}

Замечание 1. В связи с (7.4) и применением [10, теорема 10.1] отметим, что (в [10]) свойство, подобное (7.4), обосновано, строго говоря, для предела другой итерационной процедуры (см. [10, раздел 6]). Однако упомянутый предел (см. [10, (6.2)]) совпадает с (6.7) при М € Т и N € д- Данное свойство отмечено в [41, § 11] (см. также [19, гл. V, §4] для случая М € Т и N € Т). В связи с положениями [41, § 11] отметим [41, лемма 10.1], имея в виду следующее простое рассуждение. Свойство неподвижной точки, отмеченное в (6.8), является по сути стабильностью в смысле Н. Н. Красовского (см. [14, §39], а также [1,2]). Для нас важна «стабильность по постоянным управлениям» из множества Q. Из этого свойства легко следует «стабильность по управлениям из множеств» V, Ь € Т. Но при Ь € Т управления из V образуют при погружении в Е всюду плотное множество в (относительной) *-слабой топологии. Поэтому (см. [41, лемма 10.1]) мы получаем «стабильность по ОУ» из Е, т.е. свойство, определяемое в [10, предложение 6.1]. Это позволяет применить в (7.4) рассуждение [10, теорема 10.1]. Итак, (7.4) — множество успешной разрешимости задачи (М, ^-наведения, т. е. решение задачи 1(М,

Обратимся теперь к задаче (М, ^-уклонения, используя положения [30,31].

Предложение 7.1. Множество N \ " (М, N есть решение задачи 11(М, то есть

N \ "(М, N = {(*, ж) € ^3(У,в,т) € V х С* х N Vx(•) € Х[*; ж; V; в; т]

V0 € [*,00] ((0, х(0)) € М) (3£ € [*,0[: (£, х(£)) € (7.5)

Доказательство. Множество в правой части (7.5) обозначим через П. Требуется установить равенство N \ "(М, N = П. Пусть (**,ж*) € N \ "(М, Согласно (6.7), (6.10) имеем, что (**,ж*) € N \ "8(М, N) для некоторого 5 € N. Тогда в силу [30, теорема 9.2] 3(У, в, т) € V х С* х N Vж(•) € £[*»; ж*; V; в; т] V0 € [**, 00]

((0, ж(0)) € М) (3* € [**, 0[: (*,ж(*)) € N). Поэтому (**,ж*) € П, чем завершается проверка свойства

N (М, N С П. (7.6)

Пусть (**,ж*) € П. Тогда (**,ж*) € N и для некоторой стратегии-тройки (V,в,г) € € V х х N имеем VЖ(•) € ; ж*; в; г] V0 € [**, 00]

((0,ж(0)) € М) (3* € [**,0[: (*,ж(*)) € N). (7.7)

В частности, имеем, что существуют V € V, в € С** и к € 1,г со свойством: при ж(-) € £[**; ж*; V; в; к] и 0 € [**,00] истинна импликация (7.7) (достаточно полагать V = V, в = в и к = г). В силу [30, теорема 9.2] (**,ж*) € N \ "(М, N) и, тем более, (**,ж*) € € N \ "(М, Итак, П С N \ "(М, N). С учетом (7.6) получаем требуемое равенство. □

Из (7.4) и предложения 7.1 вытекает следующая теорема.

Теорема 7.1. Если (¿, я) € N то разрешима одна и только одна из следующих двух задач:

1) За € Л Ух() € Х[*; я; а] 3^ € Мо]: ((#, х(0)) € М)&((£, х(£)) € N У£ € М[);

2) 3(У,в,т) € V х С* х N Ух(^) € Х[*; я; V; в; т] У^ € Мо]: ((#, х(0)) € М) (3£ € М[:(£,х(£)) €

Итак (при М € Т' и N € д'), имеет место альтернатива, определяемая теоремой 7.1; соответствующее альтернативное разбиение N определяется множествами П(М, N и N \П(М, доставляемыми конструктивной процедурой (6.6), (6.7) при М = М и N = N т. е. в реализации (7.2), (7.3). Кроме того, отметим, что в случае (**, я*) € П(М, N конструктивно определяется [10, (10.22), (10.23)] квазипрограмма игрока I, гарантирующая (М, ^-наведение. Если же (¿*,я*) € N \ П(М, то в [30, раздел 8] указана структура стратегии-тройки игрока II, гарантирующая (М, ^-уклонение (имеется в виду стратегия «послойного» выталкивания траекторий из множеств-итераций). Отметим, наконец, свойство, определяемое в [30, следствие 9.1] и устанавливающее эквивалентность в вопросах разрешимости задач уклонения и строгого уклонения (уклонения по отношению к некоторым окрестностям множеств М и

§ 8. Релаксация игровой задачи сближения (общие построения)

В настоящем параграфе мы начинаем исследование вопросов, связанных с ослаблением условий, определяющих окончание игры с точки зрения игрока I (данное исследование продолжает [11,12]). Фиксируем в дальнейшем множества (7.1), полагая дополнительно, что

N € Р''(Т х Кп). (8.1)

Это означает с учетом (7.1), что N € д' и при этом (см. (5.10))

= 0 У* € Т. (8.2)

Фиксируем в последующем изложении параметр к € К+, к = 0. Рассматриваем возможности игрока I в части реализации гарантированного наведения в условиях замены

М —► Бо(М,е), N —► §(^ке),

где е € + (тривиальный случай е = 0 допускается). Отметим далее одно простое свойство, учитывая то, что согласно (5.11) и (8.1) при е € К+

§(^ке) = {(*,я) € Т х Кп|я € ВП^(*),ке)} € д. (8.3)

Итак, при е € К+ имеем Б0(М,е) € Т' и ке) € д'.

Предложение 8.1. Справедливо равенство

Т х =у П(Бо(М,е),§(^ке)). (8.4)

еек+

Доказательство. Пусть (**, я*) € Т х Введем в рассмотрение € Е',

(а* = р((**,я*); М) € К+)&(Ь* = (|| ■ || - 1п£)[я*; € К+).

Ясно, что (**,я*) € Б0(М,а*) и, кроме того, я* € В^При этом согласно (5.8)

§(N,6*)^*) = ВП (N(^,6*),

а тогда я* € 6*)(**) и в силу (5.3) (**, я*) € 6*). Итак,

(**,я*) € 5о(М,а*) П §(N,6*). (8.5)

Имеем а*к € М.+ и 6* — вир({а* к; 6*}) € Е+; при этом а*к ^ 6* и 6* ^ 6*. Введем в рассмотрение

6*

в = - € Е+; (8.6) к

тогда а* ^ в и 6* ^ кв. При этом §(N,6*) С §(^кв) в силу (5.5) и (5.11). Кроме того, (см. (8.6)) 50(М,а*) С 5о(М,в). В итоге

5о(М, а*) П 6*) С 5о(М, в) П кв), а тогда в силу (8.5) (**,я*) € 5о(М,в) П кв). Но согласно (6.11)

5о(М,в) П §(^кв) С П(5о(М,в), §(^кв)). Тогда (**, я*) € П(5о(М,в), §(^кв)) и, тем более,

(**,я*) € У П(5о(М,е),§(N,«5)).

ееК+

Поскольку выбор (**,я*) был произвольным, установлено, что

Т х Ега С У П(5о(М,е),§(^ке)). (8.7)

ееК+

С другой стороны, имеем в силу (6.6), (6.7), что

У П(5о(М,е), §(^ке)) С Т х Ега

ееК+

С учетом (8.7) получаем требуемое равенство (8.4). □

Если (*,я) € Т х Ега, то согласно предложению 8.1

Ео(*,я|к) = {е € Е+1(*,я) € П(5о(М,е),§(^ке))} € Р'(№+). (8.8)

Далее, из (6.10) и предложения 8.1 получаем следующие равенства:

Т х Ега = У П(5о(М,е), §(^ке)) Ук € Но. (8.9)

ееК+

Поэтому (см. (8.9)) имеем с очевидностью, что

^ок)(*,я|к) = {е € К+|(*,я) € П(5о(М,е),§(^ке))} € Р'(Е+)

У(*,я) € Т х Ега Ук € Но.

Из (8.8) следует, конечно, что

(8.10)

ео(*,я|к) = 1п£(Ео(*,я|к)) € Е+ У(*,я) € Т х Ега. (8.11) Кроме того, из (8.10) вытекает, что определено

еок)(*,я|к) = 1п£(Еок)(*,я|к)) € Е+ У(*,я) € Т х Ега Ук € Но. (8.12)

Как обычно, получаем из (8.11) и (8.12), что

(4fc)(-|K) = (4fc)(i,x|K))(i;x)eTXI" G R+[T х Rn] Vk G N0) &(е0(-|к) = (eo(t,x|K))(i;x)€Txr- G R+[T х Rn]).

(8.13)

Из (6.10) и (8.10) вытекает с очевидностью следующее свойство:

^0к+1)(*,ж|к) С ^0к)(*,ж|к) Vk € N0 V(t,ж) € Т х К". (8.14) С учетом (8.11), (8.12) и (8.14) получаем, что

е0к)(*,ж|к) ^ е0к+1)(*,ж|к) Vk € N0 V(t,ж) € Т х К". (8.15)

Всюду в дальнейшем через = обозначаем обычную поточечную упорядоченность на

R+[T х Rn]: Vgl G R+[T х Rn] Vg2 G R+[T х Rn]

(gi = g2) Ä (gi(t,x) ^ g2(t,x) V(t,x) G T х Rn). (8.16)

Из (8.13), (8.15) и (8.16) вытекает очевидное свойство

4fc)(-|K) = 4fc+1)(-|K) Vk G N0. Предложение 8.2. Если (t*, ж*) G T х Rn, то справедливо равенство

£o(t*,x*|к)= f| s0fc)(i*,x*|K). (8.17)

fceNo

Доказательство. Фиксируем (t*,x*) G T х Rn и обозначим множество в

o (t* ) |

правой части (8.17) через П. Из (6.10), (8.8) и (8.10) следует, что £0(£*,ж*|к) С £0fc)(t*,ж*|к)

Vk € N0. Как следствие

£0(**,ж*|к) С П. (8.18)

Пусть е* € П. Тогда (см. (8.10)) е* € К+ и, кроме того, е* € ^0к)(**,ж*|к) при к € N0. В силу (8.10) (**,ж*) € "к(Б0(М,е*), ке*)) при всех к € N0. С учетом (6.7) получаем, что

(**,ж*) € "(50(М,е*),§(N,«5*)). (8.19)

Из (8.8) и (8.19) вытекает, что е* € Е0(**,ж*|к). Итак, П С Е0(**,ж*|к), а потому (см. (8.18)) Е0(**,ж*|к) = П, что означает справедливость (8.17). □

Из предложения 8.2 вытекает, что (см. (8.11), (8.12))

е0к)(*,ж|к) ^ е0(*,ж|к) V(t,ж) € Т х К" Vk € N0. (8.20)

Из (8.16) и (8.20) получаем, как следствие, что

е0к)(-|к) = е0(-|к) Vk € N0. Предложение 8.3. Если (**, ж*) € Т х К" и к € то е0к)(**, ж*|к) € ж*|к).

Доказательство подобно обоснованию аналогичного положения в [11,12] и использует (5.13), (5.14) и (6.9).

Следствие 8.1. Если (**,ж*) € Т х К" и к € N0, то е0к)(**,ж*|к) есть наименьший элемент множества Е0к) (**, ж* | к).

eo (t*, x* | к) = sup eQ ) (t*, x* | к).

Доказательство сводится к непосредственной комбинации (8.12) и предложения 8.3.

Предложение 8.4. Если (t*, x*) G T x Rn, rno eQ(t*, x* |к) G E0(i*, х*|к).

Доказательство подобно обоснованию аналогичного положения в [11, 12] и сводится к применению (5.13), (5.14) и (6.9).

Следствие 8.2. Если (t*,x*) G T x Rn, то eQ(t*,x*|K) есть наименьший элемент множества EQ (t*, x* | к).

Доказательство получается непосредственной комбинацией (8.12) и предложения 8.4. В силу (8.20) (4fc)(t,x|K): k G N0} G P'([0,eQ(t,x|k)]) V(t,x) G T x Rn. Поэтому при (t,x) G T x Rn определено значение

sup eQfc)(t,x|K) = sup({eQfc)(t,x|K): k G N0}) G [0,eQ(t,x|k)].

fceNo

Предложение 8.5. Если (t*, x*) G T x Rn, то справедливо равенство

fceNo

Доказательство. Фиксируем позицию (t*, x*) G T x Rn и рассмотрим множество

E = {eQfc)(t*, x*|k) : k G Nq}. При e* = eQ(t*,x*|K) G R+ имеем свойство E G P'([0,e*]). Тогда

e* = sup(E) G [0, e*]

и, в частности, e* ^ e*. На самом деле здесь имеет место равенство. Действительно, при l G Nq имеем в силу (8.10) и предложения 8.3, что

(t*,x*) G W(sq(M,eQ1)(t*,x*|k)),S(N, KeQ1)(t*,x*|k))), (8.21)

где eQ1)(t*,x*|k) ^ e*, а потому (см. (5.2), (5.5), (5.7))

(sq(M, eQ1)(t*, x*|к)) С So(M,e*))&(S(N, KeQ1)(t*, x*|k)) С S(N,«e*)). (8.22)

Как следствие (см. (6.11), (8.22)) получаем, что

W(sq(M, eQ°(t*, x* |к)), S(N, KeQ1)(t*, x* |к))) С W(sq(M, e*), S(N, «e*)),

а потому (см. (8.21)) (t*,x*) G Wi(SQ(M,e*), S(N, кe*)). Поскольку выбор l был произвольным, установлено, что

(t*,x*) G Wfc(So(M,e*),S(N)Ke*)) Vk G Nq.

С учетом (6.7) имеем включение (t*,x*) G W(SQ(M,e*),^(N^e*)), а тогда в силу (8.8) e* G E0(t^x*^) и согласно (8.11) e* ^ e*. В итоге e* = e*. □

Следствие 8.3. Функция e^-^) является точной верхней гранью множества

{eO^-^: k G Nq}

в (R+[T x Rn], =).

Доказательство очевидно. Отметим, что согласно (8.15) и предложению 8.5 при (t,x) G G T x Rn

(eO^x^))^ t eo(t, x|к) (8.23)

(в (8.23) имеется в виду обычная монотонная сходимость числовой последовательности).

§ 9. Последовательность функций позиции

Функции (8.13) были определены в терминах множеств (8.8), (8.10), т. е. в терминах итерационных процедур вида (6.6). Ниже рассматривается способ непосредственного построения этих функций. В этих построениях потребуются некоторые простые представления, связанные с (8.8)—(8.13). Отметим сначала, что множества (8.8), (8.10) являются лучами.

Предложение 9.1. Если (¿*,ж*) € Т х К" и к € N0, то

е0й)(¿*,ж*|к) = [е0&)(¿*, ж*|к),

Доказательство. Фиксируем (¿*, ж*) € Т х К" и к € N0. Из следствия 8.1 имеем,

что е0^(£*,ж*|к) С [е*, где е* = е0'г)(£*,ж*|к). Осталось установить противоположное вложение. Пусть е € [е*, т. е. е € и при этом е* ^ е. Тогда в силу (6.11) имеем, что

"(50(М,е*), ке*)) С ПЪ(5о(М,ё), §(^ке)). (9.1)

Вместе с тем согласно следствию 8.1 е* € е0й)(^*,ж*|к), а потому (см. (8.10)) (¿*,ж*) € € "(50(М,е*),§(^ке*)). Тогда в силу (9.1)

(¿*,ж*) € "(^0(М,е),§(N,«5)),

а потому (см. (8.10)) е € £0^(^*,ж*|к). Итак, имеем, что [е*, то[с Ео*;)(£*,ж*|к), а потому е0й)(^*, ж*|к) = [е*, откуда следует доказываемое утверждение. □

Совершенно аналогично устанавливается следующее положение.

Предложение 9.2. Если (¿*, ж*) € Т х К", то £0(£*, ж*|к) = [е0(£*, ж*|к),

Предложение 9.3. Если Ь € К+, то

(е0')(-|к)-1([0,6]) = "(50(М,Ь),§(^кЬ)) Vk € ^^(еоМ«)-1 ([0,Ь]) (9 2)

= " (50(М,Ь), §(^кЬ))).

Доказательство. Фиксируем Ь € Для доказательства первого положения в (9.2) фиксируем, кроме того, к € N0. Из (8.10) вытекает, что при (¿,ж) € € "(50(М, Ь), §(^кЬ)) непременно Ь € Е0*0(г, ж|к), а, стало быть (см. (8.12)), е0й)(^,ж|к) ^ ^ Ь; в итоге (¿,ж) € е0й)(-|к)-1([0, Ь]). Следовательно,

"(5о(М,Ь),§(^кЬ)) С е0')(-|к)-1([0,Ь]). (9.3)

Пусть (Г, ж*) € е0\|к)-1 ([0, Ь]), т.е. (Г, ж*) € Т х К" и при этом е0й)(Г,ж* |к) € € [0,Ь], т.е. е0&)(¿*,ж*|к) ^ Ь. Поэтому Ь € [е0&)(¿*,ж*|к), и согласно предложению 9.1 Ь € ^(^ж*!«), а потому (см. (8.10)) (Г, ж*) € "(50(М, Ь), §(^кЬ)). Итак,

е0')(-|к)-1([0,Ь]) С"(5о(М,Ь),§(^кЬ)),

а тогда с учетом (9.3) получаем равенство е0й)(-|к)-1([0, Ь]) = "(50(М,Ь),§(^кЬ)). Первое положение в (9.2) установлено. Доказательство второго положения аналогично. □ Напомним, что согласно (6.8) при Ь € К+

("(5о(М,Ь), §(^кЬ)) € £ Vk € ^^О"(5о(М,Ь), §(^кЬ)) € £); (9.4)

см. также (5.2) и (8.3). Поэтому из предложения 9.3 имеем (см. (9.4)), что

(4к)(-|к)-1([0,Ь]) е $ УЬ е !+ Ук е Мо)&Ы-|к)-1([0,Ь]) е $ УЬ е !+). (9.5) Напомним (5.3). Тогда получаем в виде

М = еК+[г х кга]|£-1([0,й]) е $ Уй е !+} (9.6)

множество всех полунепрерывных снизу в/з неотрицательных функций на ТП (Т х тд 0 гкга))- Из (9.5) и (9.6) вытекает, что

(4\|к) е М Ук е Но)&(ео(-|к) е М). (9.7)

Для большей краткости в обозначениях полагаем далее, что

Ф = р(; М) = (р(г; М))^етх!«; тогда Ф е ^+[Т х !п] и при этом

Ф(*, ж) = р((*, ж); М) У(£, ж) е Т х (9.8)

Функция Ф непрерывна на (Т х 1) и, в частности, в силу (5.15)

Ф-1([0,Ь]) е УЬ е !+. (9.9)

Ниже используются обычные поточечные операции в учетом этого имеем, что

С = ^(Н ■ II - ^)[ж; ^>])(4;Ж)етхк« е ^+[Т х ] к

есть произведение скаляра К и в/з функции

(¿,ж) (Н ■ Н - т£)[ж; ^¿>]: Т х —► !+. Итак, получаем, что (: Т х —> !+ и при этом

с (¿,ж) = 1(Н-Н- тЛ[ж; У(*,ж) е Т х (9.10)

к

Предложение 9.4. Если Ь е !+, то (-1([0,Ь]) = §(^кЬ).

Доказательство следует из определений. Отметим, что (см. построения из § 5 и предложение 9.4).

с-1([0,Ь]) е $ УЬ е !+. (9.11)

По свойствам семейства $ (см. § 5) имеем из (9.9) и (9.11), что

Ф-1([0, Ь]) п с-1([0, Ь]) е $ УЬ е !+. (9.12)

С учетом (9.12) получаем, что

^ = (8пр((Ф(г); С(г)}))*етх!« е М. (9.13)

Итак, : Т х —> !+ есть функция, для которой

ж) = вир((Ф(*, ж); С(¿, ж)}) е !+ У(£, ж) е Т х (9.14)

(в силу (9.14) есть точная верхняя грань в (^+[Т х Кп], =) неупорядоченной пары (Ф; (}). Напомним теперь, что согласно следствию 8.3

е(к)(-|к) = £о(-|к) Ук е N0. (9.15)

Предложение 9.5. Справедливо равенство е00)('|к) = (. Доказательство. Согласно (6.6) имеем свойство

Щ(£о(М, е), §(^ке)) = ке) Уе е !+. (9.16)

При этом согласно предложению 9.1, (8.10) и (9.16) получаем, что У(£,ж) е Т х !и

Еоо)(^,ж|к) = (ее к+|(*,ж) е ке)} = [еоо)(^,ж|к), еР'(!+). (9.17) В силу (8.12) имеем, в частности, что

е (о)(£,ж|к) = т£(£(о)(£,ж|к)) У(*,ж) е Т х !и (9.18)

Фиксируем позицию (¿*, ж*) е Тх !и, получая при е* = е (о) (¿*, ж* |к) е !+ цепочку равенств (см. (9.17), (9.18))

£(о)(£*, ж*|к) = (ее !+|(£*,ж*) е §(^ке)} = [е *, (9.19)

В частности, е* е Е(о)(£* ,ж*|к), а потому с учетом (9.19) имеем включение

(¿*,ж*) е ке*). (9.20)

Из (8.3) и (9.20) получаем, что ж* е Ви^(г*>,ке*), где N(¿4 е Р'(!и). С учетом (5.5) получаем, что

(Н ■ Н - Ь£)[ж*; >] ^ ке*. Как следствие (см. (9.10)) имеем следующее очевидное неравенство:

С(¿*,ж*) = ^(Н ■ Н - т£)[ж*; ^¿*>] ^ е*. (9.21)

к

С другой стороны, из (5.5) имеем для 5* = (Н ■ Н - 1п£)[ж*; ^¿*>] е !+ свойство ж* е ^(N(^>,5*). Согласно (5.11) и (8.1) (¿*,ж*) е §(N,5*). С учетом (9.19) получаем,

что

^(о)/, | Ч

е ^о (£*, ж* | к)

к

и, как следствие, имеем следующее неравенство:

е* ^ - = ^(Н ■ Н - 1п£)[ж*; ^*>] = С(¿*,ж*), (9.22)

кк

где учтено (9.10). Из (9.21) и (9.22) получаем цепочку равенств ((¿*,ж*) = е* = е(о)(£*, ж*|к). Поскольку выбор позиции (¿*,ж*) был произвольным, требуемое совпадение двух функций установлено. □

Предложение 9.6. Функция мажорирует ео(-|к): ео(-|к) = Доказательство. Пусть (¿*,ж*) е Т х !и, Ь* = Ф(£*,ж*) и

с* = (Н ■ Н - 1п£)[ж*; >] = к((¿*,ж*).

Тогда (см. (5.2), (9.8)) (¿*,ж*) е £о(М,Ь*), а из (5.5) вытекает, что ж* е >,с*). Как

следствие получаем (см. (8.3)) включение (¿*,ж*) е §(N,0*) и, в итоге,

(¿*,ж*) е 5о(М, Ь*) П с*). (9.23)

Введем в рассмотрение следующие значения

а* = - с* = ((¿*,ж*) € К+, = 8ир({а*; Ь*}) € К+. к

Тогда 5о(М, Ь*) С 50(М, и, кроме того, с* = ка* ^ к^*, а потому с*) С к^*). Из (9.23) имеем теперь включение

(**,ж*) € 5о(М,^*) П §(N^4), (9.24)

где 50(М,4) П §(N^4) С "(5о(М,^*), §(N^4)) (см. (6.11)). Поэтому в силу (9.24)

(**,ж*) € "(5о(М,^*),

Тогда согласно (8.8) € Е0(**,ж*|к), а потому (см. (8.11)) е0(**,ж*|к) ^ где = = 8ир({Ф(**, ж*); ((**,ж*)}). С учетом (9.14) получаем равенство = ^к(**,ж*), а потому е0(**,ж*|к) ^ "0к(**,ж*). Поскольку позиция (**,ж*) выбиралась произвольно, установлено, что е0(*,ж|к) ^ ^к(*,ж) V(t,ж) € Т х К". Иными словами, е0(-|к) = (см. (8.16)). □ Из предложения 9.6 и следствия 8.3 вытекает, что

е0')(-|к) = ^ Vk € N0. (9.25)

Итак, мы получили (см. (9.25), предложение 9.6), что

€ М: (е0')(-|к) = ^ Vk € ^^(еоНк) = (9.26)

Отметим здесь же, что (см. (9.15), следствие 8.3, предложение 9.5)

С = ео (-|к). (9.27)

Введем в рассмотрение следующее множество функций:

М = {£ € = (9.28) ясно, что (см. (9.26), (9.28)) € . Далее, из (9.7), (9.26) и (9.28) получаем, что

(е0')(-|к) € М Vk € ^^(еоНк) € М). (9.29) § 10. Вспомогательные функционалы качества

В настоящем параграфе вводится специальный тип платежных функционалов, для которых затем будут рассматриваться задачи на минимакс в классе квазистратегий. Сначала введем ряд вспомогательных понятий и одно дополнительное (и не ограничительное) условие на множество N.

Условие 10.1. (квазиограниченность Всюду в дальнейшем полагаем, что

Зс € К+: В" (с) П = 0 V* € Т. С учетом условия 10.1 фиксируем число с € К+ со свойством

В"(с) П = 0 V* € Т. (10.1)

Если ** € Т и ж(-) € С"([**,0о]), то * I—> ||ж(*)||: [¿*,$0] —> есть непрерывная функция, для которой определен максимум; если при этом т € [**, $0], то при у € N(7") П В"(с)

(|| ■ || - 1п£)[ж(т); N(7)] ^ ||ж(т) - у|| ^ ||ж(т)|| + || - у|| = ||ж(т|| + ||у|| ^ тах ||ж(*)|| + с.

С учетом (10.1) имеем поэтому при t* G T и x(-) G Cn([t*, $o]), что

(||-||- inf)[x(r); N(r>] ^ max ||x(t)|| + c Vr G [t*,$o]. (10.2)

Здесь же отметим, что в силу непрерывности Ф при t* G T и x(-) G Cn([t*,$o]) функция

t -—> Ф(t, x(t)): [t*,$o] —> R+ (10.3)

непрерывна. Напомним (9.10). Тогда согласно (10.2) при t* G T и x(-) G Cra([t*,$o])

Z (т,х(т )) = 1(||.||- inf)[x(r); N(t >] ^ ^[max ||x(t)| + c] Vt G [t*,$o]. (10.4) к к te[t»,tfo]

Далее, полагаем, что при t G T отображение

It G P'(Mo])Mo] (10.5)

определяется следующими условиями

(It(t) = {t})&(It($) = [t,$[ V$ G]t,^o])- (10.6)

Получаем, что при t* G T, x(-) G Cra([t*,$o]) и $ G [t*,$o]

w«(t*,a;(-),tf) = sup(^($,x($)); sup Z(t,x(t))}) G R+. (10.7)

teit» (tf)

Тогда, как следствие, имеем при t* G T и x(-) G Cn([t*,$o])

(^K(t*,x(-),$))^e[it;^o] GR+[[t*,$o]]. (10.8)

Легко видеть, что имеет место следующее свойство

^(t*,x(-),t*) = ^(t*,x(t*)) Vt* G T Vx(-) G Cn([t*,$o]). С учетом (10.8) полагаем, что при t* G T

= ( ^ ^(¿*,ж(-)^))х(0ес«([^о]) е Я+[Си([**,0о])]. (10.9)

Согласно (10.9) при Ь* е Т функционал 7(к): Си([^*,^о]) —> !+ таков, что Уж(-) е е си([**,^о])

т;:)(ж(-)) = ш£, ^«(¿*,ж(-),^). (10.10)

Если Ь е Т и ж(-) е Си([£,$о]), то полагаем, что

Иж(-)Н(С) = тах Нж(т)Н.

т еМо ]

Разумеется, при Ь е Т в виде отображения

ж(-) -^Нж(-)Н(С): ОДМо]) !+,

обозначаемого кратко через Н ■ Н(С), имеем обычную норму равномерной сходимости, порождающую топологию равномерной сходимости на Си([Ь, $о]) с поточечно определяемыми линейными операциями.

Предложение 10.1. Если ** € Т, то семейство всех функционалов

ж( ■ ) -о ^к(**,ж(-),0): С"([**,0о]) -о

(с)

при переборе 0 € [¿*,0о] равностепенно равномерно непрерывно на (С",([¿*,$0]), || ■ ||£с ) :

Vе €]0, с[ 35 €]0, с[ Vжl( ■ ) € С"([**,0о]) Vж2( ■ ) € С"([**,0о])

(|ж1 ( ■ ) - ж2(■ )||(с) <5)=^ (|^(**,ж1(■ ),0) - ^(¿*,ж2(■ ),0)| < е ^ € [**,0о]).

Доказательство легко следует из свойства 1-липшицевости функции расстояния от точки до (непустого) множества в метрическом пространстве (см. [40, (2.7.14)]).

Предложение 10.2. Если ** € Т, то функционал 7(к) (10.9) непрерывен на пространстве С"([**,0о]) с топологией равномерной сходимости: V(жi( ■ ))ген € С"([**, 0о])к Vж(■ ) € С"([**,0о])

((жг( ■ ))геН ^ ж(■ )) ((71к)(жг( ■ )))^ -о т!к)(ж( ■ ))).

Доказательство. Фиксируем ** € Т. Выберем произвольно последовательность

(х*( ■ ))г€н € С"([**,0о])к и х(■ ) € С"([**,0о]) со свойством

(хг( ■ ))гем ^ х(■ ). (10.11)

В силу (10.11) имеем, что V5 €]0, с[ Зт € N:

||х,-( ■ ) - х(■ )||(с) <5 V? (10.12)

Пусть е €]0, с[. Согласно предложению 10.1 для некоторого $ €]0, с[ имеет место свойство: Vж/(■ ) € С"([**,0о]) Vж//(■ ) € С"([**,0о])

(||ж'( ■ ) - ж''(■ )||(с) < 5) (М**,ж'( ■ ),0) - ^к(**,ж"( ■ ),0)| < | ^ € [**,0о]). (10.13) С учетом (10.12) подберем г € N такое, что

||х,-( ■ ) - х(■ )||(С) <* V? € г-Й. Пусть I € -"о°. Тогда с учетом (10.13) получаем свойство

М**, хг(■),#) - Шк(**, х(),0)| < | ^ € [**,0о]. Как следствие получаем (см. (10.10)) весьма очевидное неравенство

(*(■)) - т1к)(х(0)| ^ | <е. Поскольку I € - сС выбиралось произвольно, требуемое свойство установлено:

(т^ЫО))^ -о т1к)(х(-)).

□

§ 11. Минимакс в классе квазистратегий

Рассмотрим далее задачи на минимакс функционалов (10.9) в классах квазистратегий, имея в виду всякий раз случай фиксированной начальной позиции. Однако сначала напомним некоторые важные общие положения [10], связанные с решением задачи игрока I в классе квазистратегий. Напомним, что [10, (10.22)] при M 6 F, N G F, (t, x) G N и v G Et

ngW)(v|M,N> = {n G nt(v)|3tf G [t,tfo]: ((tf, t, x, n)) G M )&((C, p(C, t, x, n)) G W (M, N) VC G [t, tf [)}

(учитываем замечание 1 в § 7). При этом, однако, в случае M G F, N G F и (t, x) G

G W(M, N)

ng^ -|M,N> = (niJV|M, N>)ve£t G Atn (11.1)

(учитываем [10, предложение 10.3] и замечание 1 в §7). Далее, напомним [10, (10.20)]:

Sm,n (t,x) = {n G Ht|3tf G [t, tfo]: (11.2)

((tf, t, x, n)) G M)&((C, p(C, t, x, n)) G N VC G [t, tf [)} VM GFVN G F V(t, x) G N.

Согласно [10, следствие 10.2] при M G F, N G F и (t,x) G W(M, N)

(J ng°(v|M,N> С Sm,n(t,x). (11.3)

Итак, (11.1)—(11.3) определяют конкретный вариант квазипрограммы игрока I, гарантирующей реализацию (M, N)-сближения. В этой же связи напомним (7.4) и более общий вариант [10, теорема 10.1]: с учетом замечания 1 в § 7

W(M, N) = {(t,x) G N|3a G Л: ^ a(v) С Sm,n(t,x)} = {(t,x) G N|3a G Atn:

U a(v) С Sm,n(t,x)}VM gFVN G F. (11.4)

В силу (4.5) и предложения 10.2 имеем, что при (t*,x*) G T х Rn функционал

n 7(%(■, t*, x*, n)): Ht, R+ (11.5)

непрерывен; в силу *-слабой компактности функционал (11.5) ограничен. Поэтому (см. (4.7)) при (t*, x*) G T х Rn и a G A, определено (конечное) значение

sup 7i(:)(x(■ )) G R+ (11.6)

(если a G а4|;П , то sup в (11.6) можно заменить на max). С учетом этого получаем при

(t*,x*) G T х Rn, что

v(t*,x*)= inf sup 7iW(x( ■ )) G R+ (11.7)

«eAt, x(-)el[t,;x,;a]

(ниже будет показано, что в (11.7) inf можно заменить на min); ясно, что

v(t*,x*) ^ inf max 7i(K)(x( ■ )). (11.8)

aSAtn x(^)€X[i»;x»;a]

Поскольку согласно (8.8) и предложению 8.4 при (t*,x*) G T х Rn

(t*,x*) G W(So(M,£o(t*,x*|«)),S(N,K-o(t*,x*|«))), (11.9)

определена (см. (11.1)) следующая квазипрограмма

aKW)(t*,x*) = пД,( -|So(M,eo(t*,x*|«)),S(N,K£o(t*,x*|K))> G A4,". (11.10)

Предложение 11.1. Если (**,ж*) € Т х К", то

тах . 71к)(ж(^)) ^ ео(**,ж*|к).

ж(^)€Х[/:* * ;ак *)]

Доказательство. Фиксируем (**, ж*) € Т х К". Тогда имеем (11.10) и при этом (см. (11.3), (11.9))

У аКж)(**,ж*)(^) С ^о(м,е *),§(к,кв*)(**,ж*), (11.11)

где е* = ео(**,ж*|к) € К+. В силу (4.7), (11.9) и (11.11)

Vж(■) € Х[**; ж*; а^)(**,ж*)] 30 € [**,0о]: ((0,ж(0)) € 50(М,е*))&((*,ж(*)) € ке*) V* € [**,0[).

Поэтому (см. (5.2), (8.3), (9.8), (11.12)) имеем, что

Vж(■) € Х[**; ж*; аКЖ)(**,ж*)] 30 € [**,0о]: (Ф(0,ж(0)) ^ е*)&((|| ■ || - 1п£)[ж(*); ^ ке* V* € [**,0[).

С учетом (9.10) и (11.13) получаем очевидное следствие

(11.12)

(11.13)

Vж(■) € Х[**; ж*; аКЖ)(**,ж*)] 30 € [**,0о]: (Ф(0,ж(0)) ^ е*)&(((*,ж(*)) ^ е* V* € [**,0[).

Пусть ж() € Х[**; ж*; аКЖ)(**, ж*)]. Тогда, в частности, ж(-) € С"([**,0о]) и при этом для некоторого 0 € [**, 0о] реализуются свойства:

Ф(0,ж(0)) ^ е* (11.14)

и, вместе с тем, имеет место система неравенств

с(*,ж(*)) ^ е* V* € [**,0[. (11.15)

Тогда (0 = **) V (0 €]**, 0о]). Оба упомянутых случая рассмотрим отдельно.

1) Пусть сначала у нас 0 = **. Тогда (см. (10.6)) 14* (0) = {**}. По выбору ж() имеем равенство ж(**) = ж*. Тогда (см. (11.14))

Ф(**,ж*) = Ф(**,ж(**)) = Ф(0,ж(0)) ^ е*. (11.16)

Кроме того (см.(6.10),(11.9)), имеем свойство

(**,ж(**)) = (**,ж*) € ке*). (11.17)

Тогда с учетом (5.5), (8.3) и (11.17) получаем неравенство

-

к

- 1п£)[ж(**); ^*)] ^ е*. (11.18)

Из (9.10), (11.18) вытекает в рассматриваемом случае, что

8ир ((*,ж(*)) ^ е*. (11.19)

t&t * (1?)

С учетом (10.7), (11.16) и (11.19) получаем теперь, что х(), г?) ^ е*. Как следствие (см. (10.10)) 7(к)(х()) ^ е* в случае 1). Итак, имеем импликацию

(г? = **)=^ (^(хО) ^ е*). (11.20)

2) Рассмотрим теперь случай г? €]**,г0]. Тогда 14*(г?) = [**,$[. При этом (см. (11.14), (11.15))

(Ф(г?,х(г?)) ^ е*)&(((*,х(*)) ^ е* V* € 14*(г?)). (11.21)

Поэтому (см. (10.7), (11.21)) получаем неравенство х(), г?) ^ е* и, тем более,

7(Г)(х(^)) ^ е* ив случае 2). Итак,

(г? е]**,г,])=^ (т1к)(?(•)) ^ е*). (11.22)

Из (11.20) и (11.22) имеем, что 7(к)(х()) ^ е* во всех возможных случаях. Поскольку выбор х() был произвольным, получаем требуемое неравенство

тах ) 7?)(х0) ^ е*.

Предложение доказано. □

Из (11.8), (11.10) и предложения 11.1 имеем при (**,х*) € Т х Ега, что

■^*,х*) ^ т£ тах 7(Г)(х(^)) ^ тах 7(К)(х(^)) ^ ео(**,х*|к).

Предложение 11.2. (**, х*) € Т х Ега, Ь € [0, е 0(**, х*|к)[ м а € А *, то

Зх(-) € Х[**; х*; а?]: Ь ^ ^(хО). (11.23)

Доказательство. Фиксируем (**, х*), Ь и а?, упомянутые в условиях предложения. Тогда Ь € : Ь < е0(**,х*|к). Согласно (8.11) Ь € £0(**,х*|к). Из (8.8) следует, что

(**,х*) € ^(50(М,Ь),§(N,^0). (11.24)

Покажем, что справедливо (11.23). В самом деле, допустим противное: пусть

7(к)(х(0) < Ь Vx(•) € Х[**; х*; а]. (11.25)

Поскольку Х[**; х*; а?] = 0, выберем и зафиксируем х() € Х[**; х*; а?], получая, в частности, что х(**) = х* (см. (4.1), (4.2), (4.7)). В силу (11.25) имеем неравенство

^(хО) < Ь. (11.26)

Тогда (см. (10.10), (11.26)) для некоторого г* € [** ,г0]

^(¿*,х(о,г*) < ь. (11.27)

Отдельно рассмотрим два возможных случая (г* = **) V (г* €]**,г0]). 1) Пусть г* = **. Тогда I* ($*) = {**}, а потому

^«(¿*,х(-),г*) = 8ир({Ф(**,х*); ((**,х*)})

и, как следствие, ((**,ж*) < Ь. С учетом (9.10) получаем (см. (5.5), (8.2), (8.3)), что в случае 1) (**,ж*) € §(^кЬ). Итак, истинна импликация

(0* = ((**,ж*) € §(^кЬ)). (11.28)

2) Пусть 0* €]**,0о]. Тогда I*(0*) = [**,0*[= 0. При этом (см. (10.7), (11.27)) ** € [**,0*[

и

С(**,ж*) = ((**,ж(**)) ^ ^к(**,ж(^),0*) < Ь. (11.29)

Как следствие и в данном случае 2) получаем (см. (5.5), (8.3), (9.10), (11.29)), что (**,ж*) € € кЬ). Итак, истинна импликация

(0* €]**,0о]) ((**, ж*) € §(^кЬ)). (11.30)

С учетом (11.24), (11.28) и (11.30) получаем во всех возможных случаях, что

(**, ж*) € §(^кЬ) \ ^(5о(М,Ь), §(^кЬ)). (11.31)

Учтем (11.4), получая (см. (11.31)) следующее свойство

( и )) \^5о(м,ь),§(к,кЬ)(**,ж*) = 0. (11.32)

*

С учетом этого выберем и зафиксируем ОУ Пу из множества в левой части (11.32). Тогда, в частности, Пу € % *. Далее, в силу (11.25) для

ж() = **, ж*, п) € Х[**; ж*; а]

(см. (4.7)) имеем следующее неравенство 7(к)(ж()) < Ь. Поэтому (см. (10.10)) для некоторого 0 € [** , 0о ]

^к(**,жо,0) < Ь. (11.33)

С учетом (5.2), (9.8) и (10.7) получаем поэтому, что (0,ж(0)) € 50(М, Ь). Далее, при 0 = ** имеем, как легко видеть (см. (11.33)), что (**, ж*) € 50(М, Ь) ПкЬ), что приводит к противоречию с (11.24). Остается допустить, что 0 €]**, 0о], а тогда в силу (10.6) * (0) = [**, 0?[. Но в этом случае из (11.33) легко извлекается свойство

,8(№,к6) , ж*)

(см. (11.2), (11.31))), что невозможно по выбору Пу. Полученное при условии (11.25) противоречие показывает, что само (11.25) невозможно и, следовательно, верно (11.23). □

Следствие 11.1. Если (**, ж*) € Т х К", Ь € [0, е0(**, ж*|к)[ и а € А *, то

Ь ^ йир 7(к)(ж(^)).

ж(^)€Х[4 * * ;а]

Доказательство очевидно. Из последнего следствия вытекает следующее предложение. Предложение 11.3. Если (**, ж*) € Т х К", то е0(**, ж*|к) ^ ж*). Теорема 11.1. Если (**,ж*) € Т х К", то

ео(**,ж* |к) = т/ тах 7(к)(ж(^))= тах 7(к)(ж(^)).

«еА?* ж(0еХ[* *;х *;«] ж(0еХ[4*;х*)(**,х*)]

Отметим простейшие следствия, фиксируя позицию (** ,х*) € Т х Мга до конца настоящего параграфа. Прежде всего, из (11.10) следует, что аК^)(**, х*) € Л *, а потому (см. (11.7) и теорему 11.1) на самом деле

v(t*,x* ) = £o(t*, х*|к) = min sup т1к)(х(-))- (11.34)

aSAt „ ;a]

C другой стороны, из (11.10) и теоремы 11.1 следует, что

v(t*,x* ) = £o(t*, х*|к) = min max Yt(K)(x(-)). (11.35)

Из (11.34) и (11.35) вытекает эквивалентность квазистратегий и квазипрограмм в минимаксной задаче настоящего параграфа.

§ 12. Вспомогательный программный оператор на пространстве функций

В этом параграфе вводится специальный оператор, действующий из M^ в R+[T х Rn] и играющий далее важную роль в построении итерационной процедуры в множестве M^. Напомним (9.13).

Предложение 12.1. Если t* £ T и x(-) £ Cn([t*, $o]), то функция

т ^к(т,ж(т)): [t*,$o] R+ ограничена, т.е. 3c £ R+: ^(т,х(т)) ^ c Vt £ [t*,$o].

Доказательство следует из определений (см. также (10.1), (10.4)). Как следствие имеем

при t* £ T и x(-) £ C„([t*,$o]), что

sup ^„(t,x(t)) £ R+; te[t *,tfo]

кроме того, если g £ M^, то в силу (9.28) имеем, что

2(т,ж(т)) ^ sup ^K(t,x(t)) Vt £ [t*,$o]. (12.1)

te[t *,tfo]

С учетом этого при g £ M^ и t £ T полагаем, что функционал

H[g;t] £R+[Cra(Mo]) х [t,$o]] определяется следующим правилом: при x(-) £ Cn([t,$o]) и $ £ [t,$o]

H[g; t](x(-),$) = sup({ sup g(T,x(t)); Ф($,x($))}). (12.2)

t eit(^)

В силу (9.13) при t £ T, x( ■ ) £ Cn([t,$o]) и $ £ [t,$o]

Ф($,ж($)) ^ sup ^к(т,ж(т)). (12.3)

T e[t,^o]

Из (12.1), (12.2) и (12.3) получаем, что при g £ M, t £ T, x( ■ ) £ Cra([t,$o]) и $ £ [t,$o]

0 ^ H[g; t](x( ■ ),$) ^ sup ^(т,ж(т))

T e[t,^o]

(учитываем, что согласно (10.5) It($) С [t,$o]). В связи с (12.2) имеет смысл выделить при g £ M^, t £ T и $ £ [t, $o] для отдельного рассмотрения функционал

x(■ ) H[g; t](x(■ ),$): Cn([t,$o]) R+,

обозначаемый кратко через H[g; t](■, $).

Предложение 12.2. Если д € , ** € Т, 0 € [**,0о] и Ь € К+, то множество Лебега

Н[д;**](■,0)-1([0,Ь]) = {ж(-) € С"([**,0о])|Н[д;**](ж(О,0) ^ Ь} (12.4)

замкнуто в топологии равномерной сходимости пространства С"([**,0о]) : V(жi(■))iеN € € Н[д;**](■,0)-1([0,Ь])к Vж(■) € С"([**,0о])

((жДО)^ ^ ж( ■ )) (ж( ■ ) € Н[д;**](■,0)-1([0,Ь])).

Доказательство. Фиксируем д, t* , 0 и b в соответствии с условиями предложения юлагаем дд произвольно

и полагаем для краткости, что Y = H[g; t*](■, 0) 1([0, b]). Тогда Y G P(Cn([t*, 0o])). Выберем

((yi(■ ))i€H G YN)&(y( ■ ) G Cra([t*,0o]) со следующим свойством сходимости:

(yi( ■ ))ieN ^ y(■ ). (12.5)

Тогда (см. (12.5)) имеем, что Ve g]0, o[ 3m G N:

lly(t) - y(t)|| < e Vj G m—0 Vt G [t*,0o]. (12.6)

Из (5.1) и (12.6) вытекает сходимость последовательности позиций:

(p((0,yi(0));(0,y(0))))i€N 0. (12.7)

Из (9.8) и (12.7) получаем, как следствие, свойство

(Ф(0,Уг(0)))^ Ф(0,у(0)). (12.8)

По выбору (yj)jgN имеем систему неравенств

H[g; t*](y( ■ ),0) ^ b Vj g N. (12.9)

С учетом (12.2) и 12.9) получаем, в частности, что Ф(0,у(0)) ^ b Vj G N. Поэтому (см. (12.8))

Ф(0,у(0)) ^ b. (12.10)

Кроме того, из (12.2) и (12.9) вытекает следующее свойство:

sup д(т,у (т)) ^ b Vj G N. (12.11)

т eit „ (tf)

Покажем, что справедливо неравенство

sup д(т, у(т)) ^ b. (12.12)

т eit „ (tf)

В самом деле, допустим противное: пусть

sup д(т, у(т)) > b. (12.13)

т eit „ (tf)

Тогда для некоторого t* G It „ (0) реализуется неравенство

g(t*,y(t*)) > b. (12.14)

В силу (12.6) имеем, однако, следующее свойство сходимости:

(yi(t*))ieN y(t*). (12.15) Вместе с тем согласно (12.11) справедливы неравенства

g(t*,y(t*)) ^ b Vj G N. Поскольку g G M, получаем, в частности, что g-1([0, b]) G F, а тогда (см. (5.4))

g-1([0, b])(t*) = {x G Rn|(t*,x) G g-1([0, b])} G F. (12.16)

При этом, как легко видеть, y(t*) G g-1([0, b])(t*) Vj G N. В силу (12.15) и (12.16) имеем поэтому включение y(t*) G g-1([0, b])(t*), а потому (t*,y(t*)) G g-1([0,b]) вопреки (12.14). Полученное при условии (12.13) противоречие показывет, что само (12.13) невозможно и, стало быть, верно (12.12). Из (12.2), (12.10) и (12.12) получаем, что H[g; t*](y(■ ),0) ^ b. Тогда (см. (12.4)) y( ■ ) G Y. Замкнутость множества Y установлена. □

Если g G M^, (t*, x*) G T x Rn и v G Q, то полагаем, что

h[g; t*; x*; v] = (H[g; t*]X(t*,x*,v) x [t*,0o]) G R+X(t*,x*,v) x [t*,0o]]; (12.17) ясно, что при x( ■ ) G Xn(t*,x*,v) и 0 G [t*,0o]

h[g; t*; x*; v](x(), 0) = sup({ sup g(T, х(т)); Ф(0, x(0))}). (12.18)

т eit „ (tf)

При g G M^, (t*,x*) G T x Rn, v G Q и 0 G [t*,0o] имеем 0-сечение функционала (12.17):

h[g; t*; x*; v]( ■ ,0) = (h[g; t*; x*; v](x( ■ ),0))х(Оелл(t„x„«) G R+X(t*,x*,v)].

Отметим, что при g G M^, (t*,x*) G T x Rn, v G Q, 0 G [t*,0o] и b G R+

h[g; t*; x*; v]( ■, 0)-1([O, b]) = H[g; t*](■ ,0)-1([O,b]) П X(t*,x*,v).

Следствие 12.1. Если g G M^, t* G T, x* G Rn, v G Q, 0 G [t*,0o] и b G R+, mo h[g; t*; x*; v]( ■ ,0)-1([O,b]) есть множество, компактное в Cn([t*,0o]) с топологией равномерной сходимости.

Доказательство получаем из предложения 12.2 с учетом компактности множеств (4.8). Справедливо следующее предложение.

Предложение 12.3. Если g G M^, t* G T, x* G Rn, v G Q и 0 G [t*,0o], то 3x( ■ ) G Xn(t*, x*, v):

h[g;t*;x*;v](x( ■ ),0)= ч inf 4h[g;t*;x*;v](x( ■ ),0). (12.19)

x(-)eXn (t „,ж *,v)

Доказательство. Число в правой части (12.19) обозначим через а. Тогда a G R+. Если b G]a, o[, то

XX ь = h[g; t*; x*; v]( ■, 0)-1 ([O, b]) G P'(X*(t*, x*, v)); (12.20)

согласно следствию 12.1 данное множество компактно в Cn([t*, 0o]) c топологией равномерной сходимости. Как следствие множества XXb, b G]a, o[, замкнуты в Xn(t*,x*, v) с топологией, индуцированной из Cn([t*,0o]). Упомянутая индуцированная (относительная) топология превращает Xn(t*,x*,v) в непустой компакт, в котором все множества (12.20) непусты и замкнуты. Итак, в виде

X = {XXь: b G]a, o[} G P'(P'(X^(t*,x*,v))) (12.21)

имеем непустое семейство непустых замкнутых п/м компакта. По свойствам операции взятия прообраза имеем также свойство

р| Хг = 0 Vk £ N V(Xi)ieik £ Xk.

i=1

Итак, (12.21) есть центрированное семейство замкнутых п/м компакта (центрированная система замкнутых множеств), а потому

PI Xb = П X = 0. (12.22)

хех

Для траектории ж( • ) из множества (12.22) получаем равенство a = h[g; t*; ж*; v](x( •), $). □ С учетом предложения 12.3 получаем, что при g G M^, t* G T, ж* G Rn, v G Q и $ G [t*,$0] определено значение

min h[g; t*; ж*; v](x(• ),$) G R+.

* *

Кроме того, имеем при g G M^, t* G T, ж* G Rn и v G Q, что

inf min h[g; t*; ж*; v](x( • ),$) G R+.

* * ,v)

Вернемся к (12.1). Заметим, что согласно (9.14) Ф(£,х) ^ (¿, х) при (¿,х) € Т х Ега. С учетом этого получаем при ¿* € Т, х( ■ ) € Сга([£*,$0]) и $ € [¿*,$о], что

Ф($,ж($)) ^ sup ^K(t,x(t)). te[t

С учетом (10.5), (12.1) и (12.2) получаем теперь, что при g £ M^, t £ T, ж( ■ ) £ Cn([t,$o]) и $ £ [t,$o]

H[g;t](x( ■ ),$) ^ sup ^(£,ж(£)). (12.23)

Из (12.23) следует, что при g £ M^, t* £ T, ж* £ Rn, v £ Q, $ £ [t*,$o] и ж( ■ ) £ (t*,x*,v)

h[g; t*; ж*; v](ж( ■ ),$) ^ sup ^(t^t)).

te[t ]

Напомним (10.1). В силу непрерывности функции (10.3) она достигает максимума на промежутке [t*,$o], где t* £ T. Итак, при t* £ T и ж( ■ ) £ Cn([t*,$o]) определено (конечное) значение

max Ф(^жШ) £ R+. te[t *Ao]

С учетом этого и условия равномерной ограниченности (см. § 4) легко устанавливается с использованием (10.4) следующее предложение.

Предложение 12.4. Если t* £ T и ж* £ Rn, то 3b £ R+:

h[g; t*; ж*; v]^( ■ ),$) ^ b Vg £ M^ Vv £ Q Vж( ■ ) £ X(t*^*,v) V$ £ [t*,$o]. Как следствие получаем, что при g £ M^, t* £ T и ж* £ Rn для некоторого b £ R+ inf min h[g; t*; ж*; v]^( ■ ),$) ^ b Vv £ Q.

* * ,v)

Поэтому при g G M^, t* G T и ж* G Rn определено (конечное) значение

sup inf min h[g; t*; ж*; v](x(■ ),$) G R+. (12.24)

tfe[tx(-)eXn(t

С учетом (12.24) корректно следующее определение оператора

Г: M —► R+[T х Rn]; (12.25)

а именно, полагаем, что Vg G M^

r(g) = (sup mf min h[g;t;ж;v](x( ■ ),0))(t,x)eTxRn. vgQ tfeMo] x(-)ex,(t,x,v)

Итак, при g G M^ функция r(g) G R+[T х Rn] такова, что

r(g)(t, ж) = sup inf min h[g; t; ж; v](x(- ),0) V(t,x) G T х Rn. (12.26)

Мы именуем далее отображение (12.25)-(12.26) программным оператором. Данный оператор рассматриваем как средство реализации последовательности, определяемой в (8.13), и ее предела.

§ 13. Итерации в пространстве функций

Ниже рассматривается вопрос о «прямой» реализации последовательности

(4fc)( ■ |K))fc€No: N0 M,

а также предельной (см. предложение 8.5) функции е0(■ |к); см. в этой связи (9.29). Важную роль будет играть здесь оператор Г (12.25)-(12.26). Отметим прежде всего, что в силу (9.29) и (12.25) при k G N0

(4fc+1)( ■ |к) G R+[T х Rn])&(r(4k)( ■ |к)) G R+[T х Rn]). (13.1)

Мы ставим своей целью установить совпадение функций (13.1). Однако, сначала отметим некоторые простые вспомогательные положения.

Предложение 13.1. Если g G M^, то g = r(g).

Доказательство отличается от аналогичного утверждения в [11,12] лишь несущественными деталями и по этой причине опущено в данном изложении.

Предложение 13.2. Оператор Г является изотонным: Vg1 G M^ Vg2 G M^

(gl = g2) (r(gl) = r(g2)). Доказательство следует фактически из определения Г.

Теорема 13.1. Если k G N0, то справедливо равенство e0k+1)( ' |к) = r(e0fc)( ■ |к)).

Доказательство. Фиксируем k G N0. Тогда e0fc)( ■ |к) G M^, e0k+1)( ■ |к) G M^ и r(e0fc)( ■ |k)) G R+[T х Rn]. В частности, имеем (13.1). Сравним функции (13.1). Для этого выберем произвольно и зафиксируем позицию (t*,x*) G T х Rn. Тогда

(а* = £0fc+1)(t*,ж*|к) G R+)&(b* = r(e0fc)( ■ |K))(t*,x*) G R+). (13.2)

В силу предложения 8.3 и (13.2) а* € Е0к+1)(^*,х*|к). С учетом (8.8) получаем

(**,х*) € ^й+1(5о(М,а*), ка*)). (13.3)

В силу (6.10) имеем, в частности, что

(**,х*) € Ж(5о(М,а*),§(^ка*)). (13.4)

Таким образом, реализуется следующее включение:

(**, х*) € ка*). Кроме того, из (6.6) и (13.3) вытекает свойство

(**,х*) € А[£о(М,а*)](Ж(5о(М,а*),§(^ка*))). (13.5)

Поэтому в силу (6.1) получаем (см. (13.5)), что Уу € Q 3х( ■ ) € (**,х*, V) 3$ € [**,$о]:

(($,х($)) € 5о(М,а*))&((*,х(*)) € Ж(5о(М,а*),§(^ка*)) V* € [**,$[). (13.6) Пусть ? € Q. Тогда в силу (13.6) для некоторых х(■ ) € (**, х*, V) и $ € [**,$о]

(($,х($)) € 5о(М,а*))&((*,х(*)) € Ж(£о(М,а*),§(^ка*)) V* € [**,$?[). (13.7) В силу (5.2), (9.8) и (13.7) получаем, что

Ф($,х($)) ^ а*. (13.8)

Отметим, что ($ = **) V ($ €]**,$о]). Оба этих случая рассматриваются отдельно.

1) Пусть г? = **. Тогда в силу (13.8) имеем

Ф(**,х*) = Ф($,х($)) ^ а*. (13.9) При этом согласно (10.6) * (г?) = {**} и согласно (13.4) получаем, что

(т,х(т)) € Ж(£о(М,а*), §(^ка*)) Ут € I;* (г?). (13.10) С учетом (8.10) имеем теперь, что а* € ^^(т,х(т)|к) Ут € 1;*($$). Согласно (8.12)

£ок)(т,х(т)|к) ^ а* Ут € *($). (13.11)

С учетом (12.18), (13.9) и (13.11) получаем в рассматриваемом случае 1), неравенство

Ь[^ок)( ■ |к); **; х*; г)](х( ■ ),$$) ^ а*. Получили импликацию

($ = **) (Ь[£ок)( ■ |к); **; х*; г](х(■ ),$?) ^ а*). (13.12)

2) Пусть г? €]**, $о]. Тогда ** < г? и [**,$[= 0. При этом согласно (10.6) I; * (г?) = [**,$[. Из (13.7) снова получаем (13.10). Как следствие реализуется (13.11) и с учетом (13.8) в случае 2) снова получаем

Ь[£ок)( ■ |к); **; х*; ?](х(■ ),г?) ^ а*. (13.13)

Установлена импликация

(г? €]**, $о]) (Ь[£ок)( ■ |к); **; х*; ?](х(■ ),г) ^ а*). (13.14)

Из (13.12) и (13.14) получаем неравенство (13.13) во всех возможных случаях. Следовательно,

щ

Поскольку V выбиралось произвольно, установлено, что

min _ h[e0 )( ■ |k); t*; ж*; v](x(■ ),0) ^ а*.

h| c(fc)

tfe[t*,tfo] (t * * )

inf _ _ .min h[e0)( ■ |k); t*; ж*; ^](ж( ■ ),0) ^ а* Vv G Q. (13.15)

Из (12.26) и (13.15) получаем, что

6* = Г(е0к)( ■ |к))(**,ж*) ^ а*.

Проверим противоположное неравенство. В силу предложения 13.1 е0к)( ■ |к) = Г(е0к)( ■ |к)). В частности,

-(к),

В силу предложения 9.1 b* G E0fc)(t*,ж*|к). Это означает, что (см. (8.10))

£0 )(t*, ж*|к) ^ Ь*.

J* G ^0 (ь* j ж* 1

(t*, ж*) GWk(S0(M,b*), S(N, Kb*)). (13.16) В силу (12.26) и (13.2) имеем следующее свойство: Vv G Q

inf min h[e0fc)(■ |k); t*; ж*; v](ж( ■ ),0) ^ b*. (13.17)

* * ,v)

Выберем произвольно b* G]b*, Тогда b* G R+ и при этом b* < b*. Фиксируем v* G Q. В силу (13.17) получаем, что для некоторых 0* G [t*,00] и ж*( ■ ) G (Ь*,ж*,v*)

h[e0fc)( ■ |k); t*; ж*; v*](ж*( ■ ),0*) < b*. (13.18)

Из (12.18) и (13.18) следует, что

(£0fc)(r,ж*(т)|k) < b* Vt G It*(0*))&(Ф(0*,ж*(0*)) < b*). (13.19)

С учетом (6.11) и (13.16) получаем следующее включение:

(Ь*,ж*) GWk(S0(M,b*), S(N, Kb*)). (13.20)

При этом (0* = t*) V (0* G]t*,00]). Данные два случая рассматриваем отдельно.

1') Пусть 0* = t*. Тогда получаем (см. (10.6)) равенство It*(0*) = {t*}. При этом [t*,0*[= 0. Поэтому тривиальным образом имеем, что

(*,ж*(*)) е Ж(50(М,6*),§(N,«6*)) V* е [**,0*[.

Из (13.19) легко извлекается свойство (0*, ж*(0*)) е $0(М, 6*). Итак, получили в случае 1'), что

((0*,ж*(0*)) е 50(М,6*))&((*,ж*(*)) е Ж(50(М,6*),§(N,«6*)) V* е [**,0*[). (13.21)

Следовательно, истинна (см. (13.21)) следующая импликация

(0* = **) (((0*,ж*(0*)) е 50(М,6*))&((*,ж*(*)) е Ж(50(М,6*),§(N,«6*))

V* е [**,0*[)). ( . )

2') Пусть теперь г* €]**,$о]. Тогда в силу (10.6) 1;*(г*) = [**,г*[. Согласно (13.19) еок)(т,х*(т)|к) <6* Ут € [¿*,г*[. С учетом предложения 9.1 получаем, что

6* € Еок)(т,х*(т)|к) Ут € [**,г*[.

В силу (8.10) имеем, что

(т,х*(т)) € Ж(5о(М,Ь*),§(N^6*)) Ут € [**,г*[.

Поскольку (см. (13.19)) ($*,х*($*)) € £о(М,6*), получаем (13.21) и в случае 2'). Следовательно, истинна импликация

(г* €]**,$о]) ((($*,х*(г*)) € Я,(М,6*)) (13 23)

&((*,х*(*)) €Ж(5о(М,6*),§(N,к6*)) У* € [**,г*[)). ( . )

Из (13.22) и (13.23) получаем, что (13.21) имеет место во всех возможных случаях. Поскольку выбор V* был произвольным, установлено, что Уь € Q Зх( ■ ) € (¿*,х*,г>) Зг € [**,$о]

(($,х($)) € $о(М,6*))&((*,х(*)) € Ж(5о(М,6*),§(N,к6*)) У* € [**,г[). (13.24)

Из (6.1), (13.20) и (13.24) вытекает, что

(**,х*) € А[5о(М,6*)](Жк(5о(М,6*),§(N,к6*))). (13.25)

Поэтому (см. (6.6), (13.25)) получаем следующее свойство:

(**,х*) € Жк+1(5о(М,6*),§(N,к6*)).

Это означает, что (см. (8.10)) 6* € ^ок+1)(**,х*|к) и, как следствие (см.(8.12)),

а* ^ 6*.

Поскольку выбор 6* был произвольным, установлено, что а* ^ 6 У6 €]6*, Но в этом случае а* ^ 6*. В итоге а* = 6*, а тогда

е ок+1)(**, х* |к) = Г(е ок)( ■ |к))(**,х*). Поскольку выбор (**,х*) был произвольным, установлено требуемое равенство

еок+1)( ■ |к) = Г(е ок)( ■ |к)).

□

Таким образом, имеем (см. предложение 9.5, теорему 13.1) следующую итерационную процедуру в множестве (9.28):

(еоо)(■ |к) = С)&(еок+1)( ■ |к) = Г(еок)( ■ |к)) Ук € Мо). (13.26)

§ 14. Свойство неподвижной точки

В (13.26) мы имеем представление последовательности, определяемой в (9.29), в терминах итерационной процедуры на основе оператора Г. Логично поставить вопрос и о представлении предела данной последовательности, т.е. вопрос о представлении функции ео( ■ |к). В этой связи отметим, что согласно (9.29) определена функция Г(ео( ■ |к)).

Теорема 14.1. Функция ео(■ |к) является неподвижной точкой оператора Г:

ео( ■ |к) = Г(ео( ■ |к)).

Доказательство. Поскольку ео( ■ |к) G M^ (см. (9.29)), то согласно предложению 13.1

ео( ■ |к) = Г(ео( ■ |к)). (14.1) Выберем произвольно и зафиксируем позицию (t*,x*) G T x Rn. Тогда

а* = £о (t*, x* | к) G R+ (14.2)

и, вместе с тем, имеем

b* = Г(ео(■ |к))(t*, x*) G R+. (14.3) Из (14.1)—(14.3) имеем с очевидностью неравенство

а* ^ b*. (14.4)

Проверим справедливость противоположного неравенства. В силу предложения 8.4

а* G Ео^*^*^), (14.5)

а тогда (см. (8.8), (14.5)) имеем свойство

(t*,x*) GW (5о(М,а*), S(N, ка*)). (14.6)

В силу (6.8) это означает, что справедливо свойство

(t*,x*) G A[S(M,a*)](W(5о(М,а*),S(N,Ka*))). (14.7)

Из (6.1) и (14.7) вытекает, что Vv G Q 3x( ■ ) G Xn(t*,x*, v) 30 G [t*,0о]:

((0,x(0)) G 5о(М,a*))&((t,x(t)) G W(5о(М,а*),S(N,Ka*)) Vt G [t*,0[). (14.8)

Поэтому (см. (5.2), (8.8), (14.8)) имеем, что Vv G Q 3x( ■ ) G Xn(t*,x*, v) 30 G [t*,0о]:

(Ф(0,x(0)) ^ а*)&(а* G Eо(t,x(t)|к) Vt G [t*,0[). (14.9)

Как следствие из (8.11) и (14.9) получаем, что Vv G Q 3x( ■ ) G Xn(t*,x*, v) 30 G [t*,0o]:

(Ф(0,x(0)) ^ а*^(ео^Мк) ^ a* Vt G [t*,0[). (14.10)

Выберем произвольно ? G Q. Тогда в силу (14.10) для некоторых x(■ ) G Xn(t*,x*,v) и 0 G [t* ,0о]

W0,x(0)) ^ а*)&(ео(М(^|к) ^ а* Vt G [t*,0[). (14.11)

Как и прежде, рассматриваем отдельно случаи 0 = t* и 0 G]t*,0о].

1) Пусть 0 = t*. Тогда Itt (0) = {t*}. Из (8.8) и (14.6) имеем свойство

а* = ео(М(^|к) Vt G It ,(0?);

(sup ^(t^t)^) = а*)&(Ф(0, x(0)) ^ а*). (14.12)

teit „ (tf)

Как следствие в случае 1) получаем из (12.18) и (14.12) следующее неравенство

h[^(■ |к); t*; x*; v](x( ■ ),0) ^ а*. (14.13)

Итак (см. (14.13)), установлена импликация

(0 = t*) (h[eо(■ |к); t*; ж*; v](x( ■ ),0) ^ а*). (14.14)

2) Пусть 0 G]t*,00]. Тогда (см. (10.6)) It„(0) = [t*,0[. С учетом (14.11) получаем, что

(Ф(0,ж(0)) ^ a*)&(eo(t,x(t)|K) ^ а* Vi G It „(г?)). (14.15)

С учетом (12.18) и (14.15) имеем неравенство (14.13) и в случае 2). Итак, истинна импликация

(0 G]t*,0o]) №о(■ |к);t*;ж*; v](x( ■ ),0) ^ а*). (14.16)

Из (14.14) и (14.16) получаем, что неравенство (14.13) выполнено во всех возможных случаях. Тогда, как следствие,

inf min h[eo(■ |к); t*; ж*; v](x( ■ ),0) ^ а*. (14.17)

tfe[t *До] (t * * ,l)

Поскольку выбор v был произвольным, установлено (см. (14.17)), что

inf min h[e0(■ |к); t*; ж*; v](x( ■ ),0) ^ а* Vv G Q. (14.18)

tfe[t „До] (t

Из (12.26), (14.3) и (14.18), следует, что b* = Г(ео(■ |«))(t*,x*) ^ а*. В силу (14.4) получаем равенство а* = b*. С учетом (14.2) и (14.3) имеем теперь, что е0^*,ж*|к) = = Г(е0(■ |к))^*,ж*). Поскольку выбор позиции (t*,x*) был произвольным, теорема доказана. □ Введем в рассмотрение следующее множество

МГ) = {g G M|(g = r(g))&(Z = g)}. (14.19)

Теорема 14.2. Функция е0(■ |к) есть = -наименьший элемент множества (14.19):

ы■ |к) G Мш5Г))&(е0( ■ |к) = g Vg G МШ(Г)).

Доказательство теоремы подобно доказательству аналогичного положения в [11, 12] и по этой причине опущено в настоящем изложении. Отметим,что согласно (9.27)-(9.29)

(Z = £0( ■ |к))&(е 0( ■ |к) = ^к). Предложение 14.1. Если (t*,ж*) G T х Rn, то

(^(Н ■ || - inf)[^*; N(t*)] ^ е0(t*, ж*|к) ^ sup({p((t*, ж*); M); ^(Н ■ || - inf)^*; N(t*>]}). к к

Доказательство очевидно. Отметим простое следствие. Следствие 14.1. Если позиция (t*, ж*) G T х Rn такова, что

p((t*, ж*); M) ^ 1(Н ■ Н - inf)^*; N(t*>], (14.20)

к

то справедливо равенство

e0(t*, ж*|к) = ^(Н ■ Н - inf)[ж*; N(t*)]. к

Итак, для позиции (t*,ж*) со свойством (14.20) значение функции е0( ■ |к) для данной позиции определяется расстоянием от ж* до множества N(t*>.

§ 15. Связь с решением задачи уклонения

Рассмотрим вопрос об уклонении (задача игрока II) по отношению к окрестностям множеств М и N. Для этого отметим, что согласно (5.2), (7.1) и (8.3) при е е

(50(М, е) е )&(§(^ ке) е #).

Поэтому в задаче, где (при е е М+) £о(М,е) играет роль ЦМ игрока I, а §(^ке) — роль множества, определяющего ФО, вполне применимы методы [30,31]) (см., в частности, [30, (6.1)]). Из [30, теорема 9.2] вытекает, что при е е М+ и 5 е N

§(^ке) \ Ж(£о(М,е), §(^ке)) = {(*,ж) е е V 3,5 е С** Зк е

Vх(■ ) е ж; V; в; к] V0 е [*,0о] (15.1)

((0,х(0)) е Яо(М,е)) (З£ е [*,0[: (С,х(£)) / §(^ке))}

(отметим здесь же полезное свойство, указанное в [30, следствие 9.1]). Здесь же отметим, что в силу (6.7), (6.10) при е е

Ж(5о(М,е),§(^ке))= р| Ж(5о(М,е),§(^ке)) (15.2)

кем

(учитываем, что Ж(£о(М,е), §(^ке)) С Жо(5о(М,е), §(^ке)) = §(^ке)). Тогда при

е е Е+

§(^ке) \ Ж(5о(М,е), §(^ке)) = У(§(^ке) \ Ж(3)(М,е),§(^ке))). (15.3)

кем

Из (15.1)—(15.3) получаем, что Vе е Е+ V(t,ж) е §(^ке) \ Ж(5о(М,е), §(^ке)) ЗУ е V Зв е С* Зк е N Vx(■ ) е Х[*; ж; V; в; к] V0 е [*, 0о]

((0,х(0)) е Яо(М,е)) (З£ е [*,0[: (С,х(С)) е Б^ке)). (15.4)

Заметим, что (см. § 4) при (**,ж*) е ТхМп, V е V, в е С*, к е N и ж( ■ ) е Х[**; ж*; V; в; к] имеем в силу (10.10)

т!к)(ж( ■ )) е

Т, Ь а Т^Г Г*™

При (**,ж*) е Т х Ега, V е V, в е С* и к е N стратегии-тройке (V, в, к) сопоставляется

1п£ 74( (ж(■ )) е Е+.

^(•)еж[* * * ;У ф;к] *

Предложение 15.1. Если ** е Т, е е ж( ■ ) е Сп([**, 0о]) и 0 е [**, 0о] обладают свойством

((0,ж(0)) е Бо(М,е)) (З* е I**(0): (*,ж(*)) е ВДке)), то справедливо неравенство шк(**,ж(■ ),0) > е.

Доказательство следует из определений. Также вполне очевидно следующее положение.

Следствие 15.1. Если ** е Т, е е и ж( ■ ) е Сп([**, 0о]) таковы, что

V0 е [**,0о] ((0,ж(0)) е Яо(М,е))=^ (З* е I**(0): (*,ж(*)) е ВДке)), то справедливо неравенство е ^ т!к)(ж( ■ )).

Предложение 15.2. Если (t*,x*) G T x Rn и e* G [0,e0(t*, x*|k)[, то 3V G V 3/ G G* 3k G N:

e* ^ т!к)(х(-)) Vx(-) G X[t*; x*; V; /; k]. Доказательство. Пусть (t* ,x*) G T x Rn и e* G [0, e0(t*, x*|k)[. Тогда

e* G R+: e* < eo(t*,x*|K). (15.5)

Поэтому в силу (8.11) и (15.5) имеем свойство

e* G £о(£*,х*|к), (15.6)

а тогда согласно (8.8), (15.5) и (15.6) получаем, что

(t*,x*) G W(So(M, e*), S(N, Ke*)). (15.7)

С учетом (15.7) получаем, что непременно

((t*,x*) G S(N,Ke*)) V ((t*,x*) G S(N,Ke*) \ W(So(M, e*), S(N,Ke*))). (15.8)

Оба случая, упомянутых в (15.8), рассмотрим отдельно.

1) Пусть сначала (t*,x*) G S(N,Ke*). Тогда получаем, что

(t*,x*) G (T x Rn) \ S(N, Ke*). (15.9)

Поэтому (см. (8.3), (15.9)) реализуется свойство

x* G В(N(t*), Ke*).

Тогда согласно (5.5) Ke * < (|| ■ || — inf)[x*; N(t*)], откуда вытекает (см. (9.10)) неравенство

e* <Z(t*,x*). (15.10)

Тогда e* < Z(t*, <p(t*, t*,x*, n) Vn G H. Выберем произвольно V3 G V и /3 G G^ (выбор осуществляется из непустых множеств). Тогда 3(t*,x*) G P'(Q). С учетом этого выберем произвольно

v G y(t*,x*). (15.11)

Тогда v G Q, а потому (см. (4.8))

Xn(t*,x*,v) = |^(-,t*,x*,p 0 v): p G } G P'(Cra([t*,0o])). (15.12)

Из (15.10) и (15.12) получаем следующее свойство:

e* <Z(t*,x(t*)) Vx(-) G Xn(t*,x*,v) (15.13)

(напомним, что x(t*) = x* при x(-) G Xn(t*,x*,v)). При этом (см. [30, (7.7)]) по выбору v имеем, что

Xn(t*, x*, v) С X[t*; x*; V3; /; 1].

В силу (10.6) t* G It„(0) V0 G [t*,0o]. Поэтому согласно (15.13) Vx(-) G Xn(t*,x*,v) V0 G [t*,0o]

e* <Z(t*,x(t*)) ^ sup Z(t,x(t)) ^ w«(t*,x(-),0). (15.14) teit „ W

Из (10.10), (15.12) и (15.14) получаем, как следствие, что

е* ^ ^ ^(¿*,жО,0) = 7*(к)(ж(^)) Vж(■) еХп(**,ж*,г)). (15.15)

*,^о] *

Поскольку выбор V (15.11) был произвольным, установлено (см. (15.15)), что

е* ^ т!к)(ж(0) Vv е ж*) Vж(■) е Хп(**,ж*,г). Но в этом случае согласно [30, (7.7)] получаем следующее утверждение:

е* ^ т!к)(ж(^)) Vж(■) е Х[**; ж*; ) /3; 1]. (15.16)

Из (15.16) получаем, в частности, что в случае 1) 3V е V Зв е С** Зк е N:

е* ^ т!к)(ж(^)) Vж( ■ ) е Х[**; ж*; V; в; к].

Итак, установлена следующая импликация:

((t*,x*) G S(N, ке*)) (3V G V 3в G Gt*t 3k G N: е* ^ 7i(;t)(x( ■ ))

Vx(■ ) G X[t*; x*; V; в; k]).

(15.17)

2) Пусть теперь (t*,x*) G S(N^e*) \ W(£о(М,е*),§(^ке*)). Тогда согласно (15.4)

3V G V 3в G G* 3k G N Vx(■ ) G X[t*; x*; V; в; k] V0 G [t*,0o]

((0,x(0)) G 5о(М,е*)) (3t G [t*,0[: (t,x(t)) G S(N,«e*)). (15.18)

Пусть (см. (15.18)) V* G V, в* G и r G N таковы, что для любых x( ■ ) G X[t*; x*; V*; в*; r] и 0 G [t *, 0о] истинна импликация (15.18). Выберем произвольно y( ■ ) G X[t*; x*; V*; в*; r]. Тогда, в частности, y( ■ ) G Cn([t *,0о]) и при этом (см. [30, (7.6)]) y(t *) = x *. С учетом (15.18) получаем, что V0 G [t , 0о]

((0,y(0)) G 5о(М,е*)) (3t G [t*,0[: (t,y(t)) G §(^ке*)). (15.19)

В силу (10.7) получаем следующие равенства

^(t*,y(■ ),0) = sup(^(0,y(0)); sup Z(t,y(t))}) G R+ V0 G [t *,0о]. (15.20)

teIt (tf)

При этом согласно (10.10) имеет место (см. (15.20)) равенство

т1%( ■ ))= inf ]wK(t*,y(■ ),0). (15.21)

tfe[t *,tfo]

Пусть 0* е [**,0о]. Тогда (0* = **) V (0* е]**,0о]).

a) Пусть 0* = **. Тогда [**,0*[= 0. Поэтому в силу (15.19) имеем, что (0*,у(0*)) е е £о(М,е*), откуда легко следует (см. (15.20)), что е* < (**, у(), 0*). Итак, получили импликацию

(0* = **) (е* < ^(¿*,уО,0*)). (15.22)

b) Пусть 0* е]**,0о]. Тогда (см. (15.19)) имеем дизъюнкцию

((0*,у(0*)) е ^о(М,е*)) V (З* е [**,0*[: (*,у(*)) е §(^ке*)). (15.23) В силу (10.6) I* (0*) = [**, 0*[. Тогда (см. (15.23)) имеем импликацию

((0*,у(0*)) е 5о(М,е*)) (З* е 14*(0*): (*,у(*)) е §(^ке*)). (15.24)

При этом ** € Т, е* € у(^) € Сп([**,$о]) и г* € [**,$о]. С учетом предложения 15.1 имеем импликацию

((($*,у($*)) € 5о(М,е*)) (3* € Ъ*(г*): (*,у(*)) € §(^ке*))) (15

Из (15.24) и (15.25) получаем, что е* < шге(**,у(-),$*) и в случае Ь). Итак, установлена импликация

(г* €]**,$о]) (е* < ^(¿*,у(-),$*))- (15.26)

Из (15.22) и (15.26) получаем требуемое строгое неравенство во всех возможных случаях. Поскольку г* выбиралось произвольно, установлено, что

е* < ^(¿*,у(0,$) Уг € [**,$о]. (15.27)

Из (10.10), (15.21) и (15.27) получаем, что е* ^ т^К^уО). Тем самым установлено, что

е* ^ ^(хО) Ух(-) € Х[**; х*; V*; в*; г]. (15.28)

Из (15.28) следует, что и в случае 2) ЗУ € V Зв € Зк € N:

е* ^ т!к)(х(^)) Ух(^) € Х[**; х*; V; в; к].

Итак, истинна следующая импликация:

((**,х*) € §(^ке*) \ Ж(5о(М, е*), §(^ке*))) (ЗУ € V Зв € €** Зк € N:

е т!к)(х(-)) Ух(^) € *; х *; V; в; к]). (15.29)

Из (15.17) и (15.29) вытекает требуемое утверждение. □

Следствие 15.2. При (* *, х *) € Т х Ега и е * € [0, е о(* *, х * |к)[ непременно З(У в, к) € € V х €* х N:

е * ^ 1п£ 7(к)(х(^)).

* „ ;У ф;к] ' *

Доказательство очевидным образом следует из предложения 15.2. Предложение 15.3. Если (* *,х *) € Т х Ега, V € V, в € €*и и к € М, то

Зх(-) € *; х *; V; в; к]: Т(к)(х(^)) ^ ео(**,х*|к).

Доказательство. Фиксируем (* *, х *) € Т х Ега, V € V, в € €** и к € N. Пусть

1 *

е * = ео(* *,х *|к). Тогда е* € и согласно предложению 8.4 е* € Ео(**,х*|к). В силу (8.8)

(**, х*) € Ж($о(М, е*), §(N, ке*)). (15.30) С учетом (6.10) и (15.30) получаем, в частности, что

(**, х*) € Ж($о(М, е*), §(N, ке*)). (15.31)

Тогда (см. (15.31), [31, предложение 7.5]) для некоторых у(-) € *; х *; V; в; к] и г € [**, $о] реализуются свойства

(($,у($)) € $о(М,е*))&((*,у(*)) € §(N,ке*) У* € [**,г?[). (15.32)

Тогда (см. §4) y(-) G Cn([t*,г0]) и согласно [31, (7.6)] y(t*) = x*. При этом (г? = t*) V V (г? G]t *,г0]). Рассмотрим оба возможных случая.

1) Пусть г? = t *. Тогда (г?,у(г?)) = (t *,x*), а потому (t *,x *) G $0(М,е*), откуда следует,

что

Ф^*,x *) = Ф(г?,у(г?)) ^ е*. (15.33)

Далее, из (10.6) получаем равенство It* (г) = {t *}. Из (6.6), (6.10) и (15.30) вытекает, что

(t *,y(t *)) = (t *,x*) G S(N,Ke*). Поэтому (см. (5.5), (8.3))

(I ■ II - inf)[y(t*); N(t *>] ^ ке*. (15.34)

Иными словами, из (15.34) вытекает (см. (9.10)) следующее неравенство:

Z(t*,y(t*)) ^е*. (15.35)

Как следствие в рассматриваемом случае имеет место (см. (15.35)) оценка

sup Z(t,y(t)) ^е*. (15.36)

teit * (tf)

Из (10.7), (15.33) и (15.36) вытекает, что в случае 1) wK(t*,y(-),г?) ^ е*. Итак, установлена импликация

(г? = t *) (wK(t*,у(-),г?) ^ е*). (15.37)

2) Пусть теперь г? G]t *,tfo]. Тогда (см. (10.6)) It*(г?) = [t *,г?[= 0. Из (15.32) вытекает, что (t,y(t)) G S(N, ке*) Vt G It * (г?). Последнее означает, что Z(t, y(t)) ^ е* Vt G It * (г?). Кроме того, из (5.2), (9.8) и (15.32) следует, что Ф(г?,у(г?)) ^ е*. В итоге wK(t*,y(-),г?) ^ е * и в случае 2). Итак,

(г? G]t*,tfo]) Mt*,y(-),tf) ^ е*). (15.38)

Из (15.37) и (15.38) получаем требуемое неравенство wK(t*,у(-),г?) ^ е* во всех возможных случаях. Тем более (см. (10.10)) 7(к)(у(-)) ^ е*. По выбору y(-) имеем требуемое утверждение. □

Следствие 15.3. Если (t *,x *) G T x Rn, V G V, ß G G** и k G N, то

inf 7(r)(x(-)) ^ е o(t *,x *|к).

Доказательство очевидно. Напомним, что (см. [31, § 7]) V x G£* x N = 0 при t * G T. С учетом следствия 15.3 при (t *,x *) G T x Rn определено значение

sup inf (x(-)) G [0,ео^*,x*|к)].

(v„3,fc)€®xGt** xN x(^)eX[t *;x *;V;ftk]

Теорема 15.1. Если (t *, x *) G T x Rn, то справедливо равенство

ео^*^* |к) = sup inf 7lK)(x(-)).

(V,e,k)e®xc ** xN x(^)eX[t * ;x * ;V ;ftk]

Доказательство получается непосредственной комбинацией следствий 15.2 и 15.3. Из (11.34), (11.35), теорем 11.1 и 15.1 вытекает, что при (t *,x *) G T x Rn

ео^*^* |к) = min sup y1k)(x(-))

aeAt * x(^)eX[t**;a]

= min max 7i(r)(x(-))= sup inf i7t(r)(x(-));

«e^p* x(-)ex[i*;x*;«] (v,e,fc)€®xGt* xNx(-)eX[t*;x *;V;ftk]

итак, е 0(t *,x *|к) — цена игры на минимакс-максимин функционала Yt(

(к)

*

§ 16. Заключение

В настоящей статье ДИ сближения-уклонения рассматривается как некоторый первоначальный объект исследования (при этом для несколько более общих условий относительно множества, задающего ФО, устанавливается один естественный аналог теоремы об альтернативе Н. Н. Красовского и А. И. Субботина). Мы конструируем ослабленные аналоги условий окончания игры сближения путем замены исходных ЦМ и множества, определяющего ФО, окрестностями, размеры которых выбираются с учетом приоритетов в вопросах достижения ЦМ и соблюдения ФО. Среди всевозможных вариантов упомянутого ослабления условий мы стремимся выбрать оптимальный с точки зрения игрока I, соблюдая, однако, требование гарантированной разрешимости задачи этого игрока. В результате каждой позиции сопоставляется (с поправкой на приоритетность) аналог наименьшего размера окрестностей ЦМ и множества, задающего ФО, для которого игрок I еще располагает возможностью гарантированной реализации наведения на соответствующую окрестность ЦМ при ослабленных должным образом ФО. Возникает функция позиции, значения которой оказываются всякий раз ценой игры с некоторым весьма естественным функционалом качества. Кроме того, данная функция оказывается неподвижной точкой программного оператора. Последний определяет, кроме того, итерационную процедуру на пространстве функций позиции. Таким образом, реализуется некоторый новый вариант МПИ, в котором задействован упомянутый программный оператор. С другой стороны, введение самой итерационной последовательности функций и их предела осуществляется посредством итераций стабильности, т. е. посредством варианта МПИ на пространстве множеств, элементами которых являются позиции игры. Представляется, что в этих построениях проявляется существо МПИ как средства конструктивной реализации новых теоретических положений, связанных с ДИ, и новых представлений, касающихся вопросов структуры упомянутых ДИ. Финансирование. Исследования выполнены при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта 18-01-00410.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Альтернатива для игровой задачи сближения // Прикладная математика и механика. 1970. Т. 34. № 6. C. 1005-1022.

2. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

3. Кряжимский А. В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения // Доклады АН СССР. 1978. T. 239. № 4. C. 779-782. http://mi.mathnet.ru/dan41626

4. Ченцов А. Г. О структуре одной игровой задачи сближения // Доклады АН СССР. 1975. Т. 224. № 6. С. 1272-1275. http://mi.mathnet.ru/dan39354

5. Ченцов А. Г. К игровой задаче наведения // Доклады АН СССР. 1976. Т. 226. № 1. С. 73-76. http://mi.mathnet.ru/dan39693

6. Ченцов А. Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени // Матем. сб. 1976. Т. 99 (141). № 3. С. 394-420. http://mi.mathnet.ru/msb2757

7. Чистяков С. В. К решению игровых задач преследования // Прикладная математика и механика. 1977. Т. 41. № 5. С. 825-832.

8. Ухоботов В. И. Построение стабильного моста для одного класса линейных игр // Прикладная математика и механика. 1977. Т. 41. № 2. С. 358-364.

9. Ченцов А. Г. Об игровой задаче сближения к заданному моменту времени // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1978. Т. 42. Вып. 2. C. 455-467. http://mi.mathnet.ru/izv1773

10. Ченцов А. Г. Метод программных итераций в игровой задаче наведения // Труды ИММ УрО РАН. 2016. Т. 22. № 2. С. 304-321. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2016-22-2-304-321

11. Ченцов А. Г., Хачай Д. М. Релаксация дифференциальной игры сближения-уклонения и методы итераций // Труды ИММ УрО РАН. 2018. Т. 24. № 4. C. 246-269. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-4-246-269

12. Chentsov A., Khachay D. Program iterations method and relaxation of a pursuit-evasion differential game // Advanced control techniques in complex engineering systems: Theory and applications. Cham: Springer, 2019. P. 129-161. https://doi.org/10.1007/978-3-030-21927-7_7

13. Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967.

14. Красовский Н. Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970.

15. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985.

16. Krasovskii A. N., Krasovskii N.N. Control under lack of information. Basel: Birkhauser, 1995. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-2568-3

17. Лукоянов Н. Ю. Функциональные уравнения Гамильтона-Якоби и задачи управления с наследственной информацией. Екатеринбург: УрФУ, 2011.

18. Chikrii A. A. Conflict-controlled processes. Boston-London-Dordrecht: Springer Science and Business Media, 2013.

19. Субботин А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.

20. Субботин А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М.: Наука, 1991.

21. Субботин А. И. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с полной памятью // Доклады АН СССР. 1972. Т. 206. № 3. C. 552-555. http://mi.mathnet.ru/dan37142

22. Красовский Н. Н. Дифференциальная игра сближения-уклонения, I // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1973. № 2. C. 3-18.

23. Красовский Н. Н. Дифференциальная игра сближения-уклонения, II // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1973. № 3. C. 22-42.

24. Fleming W. H. The convergence problem for differential games // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1961. Vol. 3. Issue 1. P. 102-116. https://doi.org/10.1016/0022-247X(61)90009-9

25. Fridman A. Differential games. New York: Wiley-Interscience, 1971.

26. Roxin E. Axiomatic approach in differential games // Journal of Optimization Theory and Applications. 1969. Vol. 3. No. 3. P. 153-163. https://doi.org/10.1007/BF00929440

27. Elliott R. J., Kalton N. J. The existence of value in differential games of pursuit and evasion // Journal of Differential Equations. 1972. Vol. 12. Issue 3. P. 504-523. https://doi.org/10.1016/0022-0396(72)90022-8

28. Ryll-Nardzewski C. A theory of pursuit and evasion // Advances in game theory. Vol. 52. Princeton University Press, 1964. P. 113-127.

29. Elliott R. J., Kalton N. J. The existence of value in differential games // Memoirs of the AMS. No. 126. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1972. https://bookstore.ams.org/memo-1-126/

30. Ченцов А. Г. Итерации стабильности и задача уклонения с ограничением на число переключений // Труды ИММ УрО РАН. 2017. Т. 23. № 2. С. 285-302. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-2-285-302

31. Ченцов А. Г. Итерации стабильности и задача уклонения с ограничением на число переключений формируемого управления // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2017. Т. 49. C. 17-54. https://doi.org/10.20537/2226-3594-2017-49-02

32. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.

33. Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1977.

34. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970.

35. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964.

36. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.

37. Ченцов А. Г. Об альтернативе в классе квазистратегий для дифференциальной игры сближения-уклонения//Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. № 10. C. 1801-1808. http://mi.mathnet.ru/de4097

38. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

39. Энгелькинг Р. Общая топология. M.: Мир, 1986.

40. Chentsov A. G., Morina S. I. Extensions and relaxations. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Acad. Publ., 2002.

41. Ченцов A. Г. Метод программных итераций для дифференциальной игры сближения-уклонения. Деп. в ВИНИТИ, № 1933-79 / Уральский политехнический институт им. С.М. Кирова. Свердловск, 1979. 103 c.

Поступила в редакцию 02.10.2020

Ченцов Александр Георгиевич, д. ф.-м. н., член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник, Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, 620990, Россия, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16;

профессор, Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б. Н. Ельцина, 620002, Россия, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19. E-mail: chentsov@imm.uran.ru

Цитирование: А. Г. Ченцов. Некоторые вопросы теории дифференциальных игр с фазовыми ограничениями // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2020. Т. 56. С. 138-184.

A. G. Chentsov

Some questions of differential game theory with phase constraints

Keywords: alternative, differential game, quasistrategy, program iteration method, relaxation of approach problem.

MSC2010: 49J15, 49K15, 93C15, 49N70 DOI: 10.35634/2226-3594-2020-56-10

Differential game (DG) of guidance-evasion is considered; moreover, its relaxations constructed with due account for priority considerations in the implementation of target set (TS) guidance and phase constraints (PC) validity are considered. We suppose that TS is closed in a natural topology of position space. With respect to the set that defines PC, it is postulated that the sections corresponding to time fixing are closed. For this setting, with the use of program iteration method (PIM), a variant of alternative for some natural (asymmetric) classes of strategies is established. A scheme of relaxation for the game guidance problem with nonclosed (in general case) set defining PC is considered. Under relaxation construction, reasons connected with priority in the implementation of guidance to TS and PC validity are taken into account (the case of asymmetric weakening of conditions of game ending is investigated). A position function is introduced, values of which (with priority correction) play the role of an analogue of least size for neighborhoods of TS and set defining PC under which it is possible to get a guaranteed solution of a relaxed problem of a player interested in approaching with TS while observing PC. It is demonstrated that the value of given function (when fixing the position of the game) is a price of DG for minimax-maximin quality functional which characterizes both the "degree" of approaching with TS and the "degree" of observance of initial PC.

Funding. The study was funded by RFBR, project number 18-01-00410.

REFERENCES

1. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. An alternative for the game problem of convergence, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1970, vol. 34, issue 6, pp. 948-965. https://doi.org/10.1016/0021-8928(70)90158-9

2. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Pozitsionnye differentsial'nye igry (Positional differential games), Moscow: Nauka, 1974.

3. Kryazimskii A. V. On the theory of positional differential games of convergence-evasion, Sov. Math., Dokl., 1978, vol. 19, pp. 408-412. https://zbmath.org/?q=an:0399.90118

4. Chentsov A. G. The structure of a certain game-theoretic approach problem, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1975, vol. 224, no. 6, pp. 1272-1275 (in Russian). http://mi.mathnet.ru/eng/dan39354

5. Chentsov A. G. On a game problem of guidance, Sov. Math., Dokl., 1976, vol. 17, pp. 73-77. https://zbmath.org/?q=an:0395.90105

6. Cencov A. G. On a game problem of converging at a given instant of time, Mathematics of the USSR-Sbornik, 1976, vol. 28, issue 3, pp. 353-376. https://doi.org/10.1070/SM1976v028n03ABEH001657

7. Chistiakov S. V. On solving pursuit game problems, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1977, vol. 41, issue 5, pp. 845-852. https://doi.org/10.1016/0021-8928(77)90167-8

8. Ukhobotov V. I. Construction of a stable bridge for a class of linear games, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1977, vol. 41, issue 2, pp. 350-354. https://doi.org/10.1016/0021-8928(77)90021-1

9. (Cencov A. G. On the game problem of convergence at a given moment of time, Mathematics of the USSR-Izvestiya, 1978, vol. 12, no. 2, pp. 426-437. https://doi.org/10.1070/IM1978v012n02ABEH001985

10. Chentsov A. G. The program iteration method in a game problem of guidance, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2017, vol. 297, suppl. 1, pp. 43-61. https://doi.org/10.1134/S0081543817050066

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

Chentsov A. G., Khachai D. M. Relaxation of a differential game of approach-evasion and iterative methods, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2018, vol. 24, no. 4, pp. 246-269 (in Russian). https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-4-246-269

Chentsov A., Khachay D. Program iterations method and relaxation of a pursuit-evasion differential game, Advanced control techniques in complex engineering systems: Theory and applications, Cham: Springer, 2019, pp. 129-161. https://doi.org/10.1007/978-3-030-21927-7_7

Isaacs R. Differential games. A mathematical theory with applications to warfare and pursuit, control and optimization, New York-London-Sydney: John Wiley and Sons, Inc., 1965. https://zbmath.org/?q=an:0125.38001

Krasovskii N. N. Igrovye zadachi o vstreche dvizhenii (Game problems on the encounter of motions), Moscow: Nauka, 1970.

Krasovskii N.N. Upravlenie dinamicheskoi sistemoi. Zadacha o minimume garantirovannogo rezul'-tata (Control by dynamical system. The minimum problem of a guaranteed result), Moscow: Nauka, 1985.

Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under lack of information, Basel: Birkhauser, 1995. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-2568-3

Lukoyanov N.Yu. Funktsional'nye uravneniya Gamil'tona-Yakobi i zadachi upravleniya s nasled-stvennoi informatsiei (Functional equations of Hamilton-Jacobi and control problems with hereditary information), Yekaterinburg: Ural Federal University, 2011.

Chikrii A. A. Conflict-controlled processes, Boston-London-Dordrecht: Springer Science and Business Media, 2013.

Subbotin A. I., Chentsov A. G. Optimizatsiya garantii v zadachakh upravleniya (Guaranteed optimization in control problems), Moscow: Nauka, 1981.

Subbotin A. I. Minimaksnye neravenstva i uravneniya Gamil 'tona-Yakobi (Minimax inequalities and Hamilton-Jacobi equations), Moscow: Nauka, 1991.

Subbotin A.I. Extremal strategies in differential games with perfect memory, Sov. Math., Dokl., 1972, vol. 13, no. 3, pp. 1263-1267. https://zbmath.org/?q=an:0295.90046

Krasovskii N. N. Differential game of guidance-evasion, I, Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Tekhni-cheskaya Kibernetika, 1973, no. 2, pp. 3-18 (in Russian).

Krasovskii N. N. Differential game of guidance-evasion, II, Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Tekhni-cheskaya Kibernetika, 1973, no. 3, pp. 22-42 (in Russian).

Fleming W. H. The convergence problem for differential games, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1961, vol. 3, issue 1, pp. 102-116. https://doi.org/10.1016/0022-247X(61)90009-9 Fridman A. Differential games, New York: Wiley-Interscience, 1971.

Roxin E. Axiomatic approach in differential games, Journal of Optimization Theory and Applications, 1969, vol. 3, no. 3, pp. 153-163. https://doi.org/10.1007/BF00929440

Elliott R. J., Kalton N. J. The existence of value in differential games of pursuit and evasion, Journal of Differential Equations, 1972, vol. 12, issue 3, pp. 504-523. https://doi.org/10.1016/0022-0396(72)90022-8

Ryll-Nardzewski C. A theory of pursuit and evasion, Advances in game theory. Vol. 52, Princeton University Press, 1964, pp. 113-127.

Elliott R. J., Kalton N. J. The existence of value in differential games, Memoirs of the AMS. No. 126, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1972. https://bookstore.ams.org/memo-1 -126/

Chentsov A. G. Stability iterations and an evasion problem with a constraint on the number of switchings, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2017, vol. 23, no. 2, pp. 285-302 (in Russian). https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-2-285-302

Chentsov A. G. Iterations of stability and the evasion problem with a constraint on the number of switchings of the formed control, Izvestiya Instituta Matematiki i Informatiki Udmurtskogo Gosu-darstvennogo Universiteta, 2017, vol. 49, pp. 17-54 (in Russian). https://doi.org/10.20537/2226-3594-2017-49-02

Warga J. Optimal control of differential and functional equations, New York: Academic Press, 1972. Gamkrelidze R. V. Osnovy optimal'nogo upravleniya (Foundations of optimal control), Tbilisi: Tbilisi

University, 1977.

34. Kuratowski K., Mostowski A. Set theory, North-Holland, 1967.

35. Dieudonne J. Foundations of modern analysis, New York: Academic Press, 1960.

36. Billingsley P. Convergence of probability measures, New York: John Wiley, 1968.

37. Chentsov A. G. On an alternative in a class of quasistrategies for a differential approach-evasion game, Differentsial'nye Uravneniya, 1980, vol. 16, no. 10, pp. 1801-1808 (in Russian). http://mi.mathnet.ru/eng/de4097

38. Dunford N., Schwartz J. T. Linear operators. Part I: General theory, New York-London: Interscience, 1958.

39. Engelking R. Obshchaya topologiya (General topology), Moscow: Mir, 1986.

40. Chentsov A. G., Morina S. I. Extensions and relaxations. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Acad. Publ., 2002.

41. Chentsov A. G. The program iteration method for differential game of guidance-evasion, UPI, Sverdlovsk, 1979, 103 p. Deposited in VINITI, no. 1933-79 (in Russian).

Received 02.10.2020

Chentsov Aleksandr Georgievich, Doctor of Physics and Mathematics, Corresponding Member of the

Russian Academy of Sciences, Chief Researcher, N. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, ul. S. Kovalevskoi, 16, Yekaterinburg, 620990,

Russia;

Professor, Ural Federal University, ul. Mira, 19, Yekaterinburg, 620002, Russia.

E-mail: chentsov@imm.uran.ru

Citation: A. G. Chentsov. Some questions of differential game theory with phase constraints, Izvestiya

Instituta Matematiki i Informatiki Udmurtskogo Gosudarstvennogo Universiteta, 2020, vol. 56, pp. 138184.