CC BY
58
Математические структуры и моделирование 1998. Вып. 1, с.86-97.
УДК 519.6:681.14
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ОБЩЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
С.Ю. Полякова
The problems of mathematical modeling of social processes are discussed. The different points of view on the mathematical models and modeling are given.
1. Особенности математического способа познания действительности
Существуют различные точки зрения на математический способ познания действительности. Многие считают, что математика разделяется на две ветви: чистая (теоретическая) и прикладная. Специфику чистой математики многие математики видят прежде всего в отвлеченности, абстрактности суждений. Затем - в используемом методе рассуждений, основу которого составляет набор аксиом и применение к этим аксиомам дедуктивного вывода, а также в логической определенности и строгости формулировок.
В.В. Фирсов предлагает формулировку положения, из которого вытекают все выше перечисленные особенности, и которое «действительно выделяет математику из ряда естественно-научных дисциплин, - возможность отказа от обязательной экспериментальной проверки математических утверждений. Именно подобный отказ приводит к необходимости уделять внимание логике точного математического рассуждения, которое становится единственным критерием его корректности» [3, с.223].
Отметим, что далее В.В. Фирсов подчеркивает, что данное положение более всего характерно для той ветви математики, которая отвечает за внутреннее развитие математических теорий.
Мнение о том, что при решении конкретных прикладных задач в математическом методе существенными становятся иные черты, широко распространено. Так, например, Г.И. Рузавин отмечает: «Методы чистой математики основываются на использовании только строго дедуктивных методов рассуждений... В прикладной математике приходится отказываться от таких жестких стандартов и обращаться к понятиям, менее огрубляющим действительность, и пользоваться правдоподобными рассуждениями» [4, с. 31]. Многими
0 1998 С.Ю.Полякова
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
87
математиками отмечается, что принципиальной особенностью решения прикладных задач является широкое использование эвристических или правдоподобных рассуждений. К их числу относят (см, например, [1]):
- рассуждение по аналогии,
- применение понятий вне рамок их первоначального определения,
- применение актуальной бесконечности (то есть трактовка бесконечно малых и бесконечно больших величин как постоянных, но имеющих другой порядок, чем остальные величины),
- использование результатов приближенного решения при отсутствии точного решения.
Ввиду такого различия в методах, применяемых математиками для решения разных по природе задач, существует точка зрения, что математика разделяется на две ветви: чистую (теоретическую) математику и прикладную. Мы придерживаемся мнения, что лучше говорить не о разделении самой математики, а о том, что для одних ученых математика служит способом познания окружающей реальности, и в этом они видят мотив расширения математического знания. А для других математика сама представляет целый мир для изучения.
В связи с этим уместно привести по книге [2, с.35] определение того аспекта математики, который отвечает за применение математического аппарата при решении прикладных задач. Это определение выглядит так: «Прикладная математика - наука об оптимальном решении математических задач, возникающих вне математики». Данное определение позволяет говорить о ведущей роли метода математического моделирования в процессе познания различных сторон действительности.
2. Математическое моделирование
Под моделью понимается любой заместитель изучаемого объекта, который воспроизводит свойства и закономерности последнего. Моделирование (то есть построение моделей) лежит в основе любой науки.
Замена объектов познания их моделями является дополнительным орудием познания. Между человеком и познаваемым миром появляется искусственное звено в виде модели и метода (моделирования), помогающего получать знания. Свойства этого звена делают современное познание свободным относительно своих объектов. Это особенно важно при изучении тех из них, с которыми затруднен и даже невозможен непосредственный эксперимент (объекты космоса, критические ситуации на энергетических станциях, глобальные экологические процессы, явления микромира, критические воздействия на организм человека, эксперименты над обществом и т.д.). Благодаря этому моделирование стало чрезвычайно эффективным и, во многих случаях, незаменимым способом познания.
Моделирование может внести в познание необходимую наглядность. В настоящее время характеристики сложных объектов не всегда наглядны, и аппарат качественных методов в таких случая недостаточно помогает. Поэтому
88 С.Ю. Полякова. Некоторые вопросы математического моделирования...
можно предположить, что, развив качественные способы моделирования до требуемого уровня, мы тем самым решим проблему наглядности количественного познания, количественного моделирования.
В научном понимании метод моделирования есть общий метод опосредованного познания, основанный на научной аналогии, который позволяет получать знания об объективно существующем объекте по моделям, находящимся с объектом в определенном сходстве, подобии. Эти модели создаются в специальных (модельных) информационных средах и дают возможность экспериментировать на них в целях получения новых знаний об изучаемом объекте.
Под информационной средой здесь подразумевается такая отдельная среда, которая может поставить человеку информацию о познаваемом объекте, выделяющуюся относительно других своими средствами, возможностями отображения объектов действительного мира.
В философии выделяют приемы познания, которые являются составляющими метода моделирования. Конспективно изложим их здесь.
1. Умозаключение по аналогии - такой прием познания (прием аналогий), когда из сходства некоторых признаков двух или более предметов, явлений действительности делается вывод о сходстве других признаков этих предметов, явлений. Чтобы быть полезной познанию, аналогия должна быть разумно неполной. В неполноте соответствия, только соответствия в основном, заключается познавательная ценность аналогии. Данная особенность позволяет делать без лишней траты ресурсов познания правдоподобные, обоснованные выводы о новых свойствах изучаемого объекта, пусть не похожего на прототип, но схожего по главным, определяющим свойствам.
2. Прием гипотез - способ выдвижения обоснованных теоретических предположений. При невозможности проверить правильность гипотезы в среде самого объекта ее предположения переводят в информационную среду аналогов объекта, при моделировании ее называют модельной. В случае удачи этого мероприятия как бы формулируется задача создания модели объекта познания.
3. Прием синтеза - процесс создания из разрозненных фактов сформулированной гипотезы единого целого, превращение этих фактов еще не в модель, а пока только в аналог, поскольку адекватность модели еще не доказана.
4. Созданный целостный аналог, чтобы быть полезным, подвергается возможным упрощениям путем выделения одного наиболее интересного для изучения и одновременно посредством пренебрежения мало существенного. Этот прием называется приемом абстрагирования. Именно он, отбирая самое существенное, основное, делает модель эффективной (простой и действенной).
5. Прием анализа - наблюдая за конкретным, мы абстрагируемся от несущественного и осознаем абстракции (абстрактное). Потом воплощаем эти абстракции в модели, проводим над ними эксперименты в целях обнаружения и описания более полного - конкретного содержания объекта познания в виде новых свойств у доступной для исследования модели. Полученные знания переносим на изучаемый объект (конкретное). Далее рассматриваем оригинал на новом теоретическом уровне, начиная с выделения новых свойств, поиска новых знаний путем абстрагирования и создания моделей, повторяя пройденные
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
89
этапы. Здесь знания о модели все более организуются во все более конкретное.
6. Подвергнутый анализу на принципиальную непротиворечивость, соответствие целям познания, аналог требует далее более уточненной проверки на свое соответствие статусу модели приемом эксперимента, который есть следующая составляющая моделирования, прямо дополняющая прием анализа. Эксперимент на модели производит основную проверку истинности гипотезы, где после всестороннего наблюдения проявлений модели либо принимается гипотеза, либо отклоняется, после чего выдвигается новая.
В зависимости от способа построения модели различают два типа моделей: материальные (материальные аналоги изучаемых явлений) и мысленные (мысленный образец изучаемого явления).
Мы будем далее рассматривать только мысленные модели, построенные средствами математики для исследования объектов, возникших вне математики.
Известно, что одним из наиболее плодотворных методов математического познания действительности является построение математических моделей изучаемых явлений.
По одному из определений, математическая модель - это «система математических зависимостей, описывающих структуру или функционирование объекта» [5, с.207].
Основные предъявляемые требования к математическим моделям [2]:
1) адекватность процессу;
2) разрешимость модели.
Эти два основных требования находятся в противоречии друг с другом: чем модель более адекватна изучаемому реальному объекту или явлению, тем она, вообще говоря, менее проста. Искусство математического моделирования и состоит в том, чтобы для каждой конкретной задачи определить баланс между этими двумя требованиями.
Общепринято делить процесс применения математики к любой практической задаче на три этапа:
1) этап перехода от ситуации, которую необходимо разрешить к формальной математической модели этой ситуации - этап формализации,
2) решение поставленной математической задачи методами, развитыми в самой математике для задач данного типа - этап решения задачи внутри построенной математической модели,
3) интерпретация полученного решения математической задачи, применение этого решения к исходной ситуации и сопоставление его с нею.
Математические модели можно классифицировать по их основным функциям [6]:
1. Модели-описания (связывают реальные объекты и явления с абстрактнологическими методами их изучения);
2. Модели-интерпретации (конкретны по отношению к моделируемому объекту, возникают при переходе от одной модели к другой на втором этапе моделирования);
90 С.Ю. Полякова. Некоторые вопросы математического моделирования...
3. Модели-аналогии (адекватны по уровню общности своим прототипам, используются на втором этапе).
3. Роль математики в исследованиях гуманитарных наук
В литературе хорошо освещены все типы математических моделей и этапы математического моделирования применительно к задачам, взятым из области техники, механики и физики. Это связано прежде всего с тем, что все понятия, величины, фигурирующие в таких задачах, достаточно хорошо поддаются измерениям, количественной оценке. По выражению А.Я. Хинчина (цитата по книге [7]) вопрос о том, «может ли быть тот или иной предмет, то или иное явление реального мира исследуемо с помощью данного математического метода.., решатся не конкретной материальной природой предмета или явления, но исключительно их формальными структурными свойствами и прежде всего - теми количественными соотношениями и пространственными формами, в которых они живут или протекают».
Академик А.Н. Крылов писал [4]: «Есть множество величин; то есть того, к чему приложены понятия «больше» и «меньше», но величин точно не измеримых, например, ум и глупость, красота и безобразие, храбрость и трусость, находчивость и тупость и так далее. Для измерения этих величин нет единиц, эти величины не могут быть выражены числами». Подобные величины носят название латентных.
Из этого может показаться, что сравнение латентных величин возможно лишь на некоторой интуитивной основе. На основе этого некоторыми (например [8]) делается вывод о том, что оценка таких величин числом (а значит, и какие-либо математические операции над ними) представляется очень искусственным приемом. А так как латентные величины чаще всего используются в общественных науках, то, исходя из подобных соображений, трудно будет найти место математическим методам в решении задач гуманитарных отраслей.
Однако, например, Г.И. Рузавин отмечает: «Там, где нельзя образовывать количественные понятия, чаще всего ограничиваются сравнительными понятиями, которые устанавливают отношения порядка между свойствами и другими характеристиками явлений в терминах «больше», «меньше», «равно». Всюду, где в ходе исследования обнаруживается определенная упорядоченность в интенсивности (неверен принцип аддитивности) или экстенсивности (верен принцип аддитивности) свойств вещей и явлений, могут быть применены методы их количественного сравнения и измерения» [4].
На трудности применения математики в гуманитарных областях указывает много математиков, работающих над такими проблемами. Так, например, академик И.М. Гельфанд [9] подчеркивает, что в целом математика, основные идеи которой развивались в тесной связи с науками, изучающими объекты неживой природы, оказалась неудобной для описания живых систем, будь то отдельная
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
91
клетка, человеческий организм или общество. Выход из этой ситуации ученый видит в создании нового адекватного математического аппарата. Такое же мнение высказывает и Е.С. Венциль, предостерегая от «механического» переноса, существующих математических методов на материал, ранее изучавшийся только гуманитариями.
Причины сложностей с формализацией описания различных объектов гуманитарных наук В.М. Петров и Я.И. Яблонский [10] видят в «неделимости изучаемой системы на элементы, неоднородности структуры сложных систем, нелинейности характеристик, резко асимптотическом распределении параметров, многоконкурентных взаимосвязях».
А.А. Петров и П.С. Краснощеков [11], говоря о математических моделях управляемых систем с участием людей, указывают, что трудности, возникающие при этом, «отражают факт, что еще не открыты фундаментальные принципы целенаправленной сознательной деятельности», то есть «...главная проблема заключается в том, что еще не открыты принципы математического описания процессов с участием людей, принципы, подобные разработанным в физике». Поэтому многие задачи, которые решаются математиками в гуманитарных областях, по выражению И.М. Гельфанда [9] «навеяны обсуждением проблем этих наук»; математический аппарат, наиболее часто используемый, (а это в основном статистика, факторный анализ, иногда дифференциальные уравнения) является полезным средством, но носит лишь вспомогательный характер.
Известны три формы (иногда их называют этапами) математизации научного знания (по книге [12, с.316]). Первая состоит в «численном выражении изучаемой реальности для выявления количественной меры и границ соответствующих качеств». То есть к данным, полученным эмпирическим путем, применяется аппарат математической статистики, предлагается количественная формулировка качественно установленных фактов и обобщений.
Вторая форма является основной формой математизации научного познания. Она заключается в разработке математических моделей рассматриваемых явлений.
Третья форма - «использование математического аппарата для построения и анализа конкретных научных теорий (объединение частных построений в фундаментальную теоретическую схему, переход от модели к теории)» [13, 10].
В целом гуманитарные науки освоили только первую форму математизации знания. Лидером в этой области являются экономические исследования, в которых уже обычным явлением стало построение математических моделей.
Одна из хорошо известных моделей развития мировой экономики предложена была Д. Форрестером. В книге [11] содержится критический разбор этой математической модели, которую, кстати, сам Д. Форрестер считал предварительным и дискуссионным результатом. Форрестер учитывал, что в мировой системе протекают и взаимодействуют демографические процессы, процессы накопления капитала и производства, исчерпания природных ресурсов и загрязнения среды обитания. Состояние системы описывается численностью населения, количеством накопленного капитала, долей капитала в сельском хозяй-
92 С.Ю. Полякова. Некоторые вопросы математического моделирования...
стве, количеством имеющихся природных ресурсов, загрязнением среды обитания. Общая структура модели - система дифференциальных уравнений, описывающая динамику системы, качественный разбор которой приводится в [11].
П.С. Краснощеков и А.А. Петров указывают на несовершенство системы, разработанной Д. Форрестром, так как не выделены «аккуратно объекты изучения, не описаны адекватно характеризующие их параметры, не установлены правильные взаимодействия объектов». «В модели Форрестера совершенно отсутствует конкретный анализ конкретных экономических явлений. Все...зависимости основаны на неконкретных общих соображениях, которые основываются на наблюдениях за видимыми экономическими явлениями в мире. Даже не ставится вопрос об адекватном математическом описании процессов, протекающих в экономической системе» [11, с. 181, 182]. Авторы предостерегают от некритического восприятия этой модели и предлагают свой вариант описания различных систем с участием людей. П.С. Краснощеков и А.А. Петров поставили перед собой задачу: разрабатывать принципы и методы математического описания процессов в управляемых системах с участием людей, чтобы можно было строить адекватные математические модели самой управляемой системы. В соответствии с этим они построили и исследовали с помощью системного анализа математическую модель экономической системы, основанной на частной собственности и рыночных отношениях совершенной конкуренции. Выбор именно этой экономической системы авторы объясняют тем, что «в ней описание влияния социальной структуры системы на экономические процессы сведено к описанию свободных рыночных отношений». А особенности рыночного хозяйства уже достаточно хорошо изучены экономической наукой.
Приведем конспективно схему построения этой математической модели.
Экономическая система описывается на трех уровнях. На первом уровне производятся описания производственных процессов (выпуск продуктов и использование природных ресурсов) и непроизводственных процессов (процессов потребления продуктов, формирования трудовых ресурсов, демографические процессы, социальная миграция, научно-технический прогресс).
На втором уровне содержится описание экономических механизмов регулирования процессов первого уровня.
Третий уровень содержит способы воздействия государства на экономические механизмы, отражая решения политических и государственных органов, выражающих интересы организованных социальных групп.
Проведя численные эксперименты с математической моделью рыночной экономики, авторы, в частности, выяснили, что причины кризиса рыночной экономики не в физическом исчерпании природных ресурсов, как считали Форрестер и Медоуз, а в «неспособности рыночных механизмов удовлетворительно регулировать развитие хозяйства».
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
93
4. Математическое моделирование исторических процессов
Ветвь истории, которая занимается применением количественных методов в исследовании исторических процессов и явлений, называется квантитативной историей (клиометрикой).
Отечественная квантитативная история развивается уже около 30 лет. Особенно большое количество работ было выполнено на историческом факультете МГУ имени Ломоносова в содружестве с учеными из МФТИ (лаборатория исторической информатики, возглавляемая доктором исторических наук Л.И. Бородкиным).
Отмечается, что за этот период выработалось устойчивое отношение к применению математического аппарата. Суть этого отношения состоит в том, что «математические методы исторического анализа имеют свои границы применения и должны сочетаться с другими, традиционными методами. Успех применения этих методов зависит от тех теоретических и методологических подходов, на основе которых ставится исследовательская задача, проводится отбор, обработка и анализ данных исторического источника» [13, с.15].
Остановимся на наиболее типичных применениях математического аппарата в исторических исследованиях.
Еще в середине шестидесятых годов появился ряд статей о методике исследования массового археологического материала, о датировке слоев по процентному соотношению типов керамики, об организации информационного поиска. Эти работы в целом характеризовались прямым переносом методов статистики и математики на исследование археологических памятников. Позже появляется новое направление - моделирование в археологии путем внедрения в археологические исследования математической логики и рассмотрения систем формализации материала. А также ведутся работы по классификации различных предметов, в основу которой положена статистическая обработка памятников искусства и погребальных комплексов.
Например, в работе В.М. Массона [14] рассматриваются основные ступени палеоэкономического моделирования: палеодемографические расчеты по площади жилищ, экономическому разделению труда - по локализации находок орудий, расчет экономического потенциала на основании определения потребностей общества; определение суммы трудовых затрат по всем отраслям экономики для обеспечения прожиточного минимума общества с целью выявления возможности существования расширенного производства.
Американские клиометристы к середине семидесятых годов считали уже обычным использование чисел и количеств в истории (сравнение, классификация), а также связанную с этим неизбежность упрощения в научном обобщении, поиске закономерностей развития (по статье Гарсковой [16]). В числе достоинств квантификации выделялись возможность обработки больших массивов информации, экономия времени анализа даже на уровне описания данных, точность и строгость определений и концепций, возможность проверки полученных результатов.
94 С.Ю. Полякова. Некоторые вопросы математического моделирования...
В книге Деллара и Джексона «Введение в статистику для историков. Количественный анализ и историческое исследование» (по [16]) излагались основные принципы научного исследования с применением количественных методов:
1) построение соответствующей теоретической базы и модели явления, основанной на этой базе;
2) формирование и проверка гипотез, относящих к ранней модели;
3) получение проверяемых результатов, которые могут быть повторены другими исследователями.
К количественным же методам авторы относили следующие:
1) Дескриптивная статистика (отвечающая на вопросы «как?», «когда?») -частотные распределения, графические изображения данных;
2) Измерения взаимосвязей между признаками (отвечающих на вопрос «почему?» - то есть рассматриваются вопросы о наличии связей, их формах, силе) - на основе регрессионного анализа и корреляционного анализа.
3) Множественный регрессионный анализ (с применением ЭВМ);
4) Многомерная классификация (здесь рассматривается методика обработки результатов голосования, где вводятся показатели «согласия» между голосующими, «сплоченности» групп. Составляются матрицы связи, формируются кластеры (группы) из людей, связь между которыми внутри кластера выше, чем их связь с остальными объектами других кластеров). Используя эту методику, авторы строят показатели «успеха» лиц, показатели «силы».
Некоторые исследователи используют бихевиористский подход к анализу исторических событий. Этот метод тесно связан с проблемами моделирования, так как это изучение регулярности, стандартов, стереотипов в поведении людей, и основано оно на законах логики. Отсюда широкое применение методов, в основе которых лежат формальная логика, математика, кибернетика. Моделирование, как проблема отношений познающего субъекта к объективной реальности и соотношения теории и эмпирических исследований, рассматривается бихевиористами в качестве универсального метода и сближает, по мнению некоторых авторов, все научные дисциплины. При этом особенностью исторических моделей является воспроизведение не объектов исследования, как в точных науках, а только некоторых сторон исследуемого процесса, позволяющих постепенно подходить к более целостному представлению о нем.
Методы новой экономической истории, возникшей на рубеже 50-60-х годов двадцатого века, заключались в обращении к ярко выраженному математическому моделированию, верификации, то есть проверке предлагаемых гипотетико-дедуктивных моделей с помощью фактических данных, отложившихся в исторических источниках, измерению явлений, иногда даже с помощью введения условных переменных, определению на этой основе отношения причины и следствия. Акцент был перенесен на ревизию многих положений традиционной экономической истории (рассматривались, например, вопросы о том, выгодно ли экономически рабовладение, какова роль металлургии в индустриализации, какова роль железных дорог в экономическом развитии государства). Все это на основе заимствования разработанных в экономике математических моделей вложения средств - выхода продукции, доходности, спроса
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
95
и предложения, экономического роста. В готовые модели подставлялись конкретные исторические данные. Вопрос в том, насколько полны исторические источники, существовали ли систематические серии данных, насколько точна модель, насколько согласованы различные толкования сведений.
В рамках «новой экономической истории» появилось течение, которое к настоящему времени привлекает большое внимание клиометристов. Оно основано на применении контрфактических моделей, то есть гипотетической реализации в истории альтернативных вариантов развития. (Например, лауреат нобелевской премии «за развитие новых подходов в исследованиях по экономической истории, основанных на применении экономической теории и количественных методов» Р. Фогель рассматривал, в частности, вопрос, что было бы в экономике США, если бы главную роль в перевозках играли водные пути, а не железная дорога).
К настоящему моменту количество работ, посвященных построению каких-либо математических моделей исторических явлений, уже таково, что назрел вопрос о типологии получаемых моделей (на основе применяемых принципов и методов). Можно, например, ввести классификацию с точки зрения зависимостей между параметрами и состояниями моделируемого явления, тогда все модели разобьются на два класса ([15], [19]):
- детерминистические - при совместном рассмотрении соотношений состояния явлений в заданный момент времени однозначно определяются через параметры, входящую информацию и начальные условия. Примером может служить модель, состоящая из дифференциальных уравнений;
- вероятностные - при совместном рассмотрении соотношений состояния явлений в заданный момент времени однозначно определяются распределения вероятностей для состояний системы, если известны распределения вероятностей для начальных условий, параметров системы и входной информации. Заметим, что данная типология носит универсальный характер и применима не только к моделям исторических процессов.
Можно вводить типологию моделей по способу конструирования и дальнейшего использования модели. Данной проблемой занимались, в частности, акад. И.Д. Ковальченко [12] и Л.И. Бородкин, М.В. Тирании [15]. Приведем конспективно их результаты.
Модели исторических процессов можно отнести к двум типам: отражательно-измерительным и имитационным.
Модели первого типа отражают реальность такой, какой она была в действительности. Применение математики сводится к выявлению и анализу статистических взаимосвязей в системе показателей, характеризующих объект.
Модели второго типа можно распределить по двум группам: аналитические модели и имитационные модели (входящие в эти группы модели (и аналитические, и имитационные) можно распределить по целям, к которым стремится исследователь - имитационно-прогностические (ретропрогностические), имитационно-контрфактические и имитационно-альтернативные). Рассмотрим подробнее модели второго типа [15, с.32-33]:
- для аналитических моделей характерно, что процессы функционирования
96 С.Ю. Полякова. Некоторые вопросы математического моделирования...
элементов рассматриваемой системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений. Эти соотношения могут исследоваться либо аналитически (результат получают в виде явных зависимостей), либо численно с помощью компьютера.
- для имитационных моделей характерно, что сам изучаемый процесс воспроизводится исходя из моделей элементарных явлений, составляющих рассматриваемый процесс, и из предположительных логических связей между ними.
В числе преимуществ имитационных моделей перед аналитическими отмечается возможность моделирования весьма сложных объектов (с большим числом переменных, с нелинейными зависимостями и т.д.). Основным недостатком является то, что полученное решение всегда носит частный характер, отвечая фиксированным значениям параметров начальных данных.
Наибольший интерес у исследователей вызывают имитационные модели, которые позволяют, сравнивая различные гипотетические варианты течения одного и того же процесса, более детально понимать реальный ход событий, уяснять связи между элементами явлений, выявлять закономерности процессов, делать обоснованные прогнозы. В качестве примера подобных исследований приведем модели этногенеза и социогенеза, созданные А.К. Гуцем [20, 21, 20, 21], а также работы, помещенные в сборнике [22].
Подводя итог всему выше сказанному, повторим, что математическое моделирование является одним из основных способов исследования процессов различной природы. И в настоящее время к этому методу познания действительности обращается все большее количество ученых, работающих в областях, традиционно далеких от математики.
Литература
1. Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики. -М.: Просвещение, 1990.
2. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика. - М.: Наука, 1983.
3. Фирсов В.В. О прикладной ориентации курса математики // Углубленное изучение алгебры и анализа - М.: Просвещение, 1977. С.215-239.
4. Рузавин Г.И. Математизация научного знания. - М., 1983.
5. Першиков В.И., Савинков В.М. Толковый словарь по информатике. - М. : Финансы и статистика, 1995.
6. Морозов К.Е. Математическое моделирование в научном познании. -М.: Мысль, 1969.
7. Гнеденко В.В. В в едение в специальность математика. - М.: Наука, 1991.
8. Гусев В.А. Изучение величин на уроках математики и физики в школе. -М.: Просвещение, 1981.
Математические структуры и моделирование. 1998. Вып. 1.
97
9. Гельфанд И.М.Очерки о совместной работе математиков и врачей. - М.: Наука, 1989.
10. Петров В.М., Яблонский Я.И. Математика и социальные процессы (гиперболические распределения и их применения). - М.: Знание, 1980.
11. Петров А.А., Краснощеков П.С. Принципы построения моделей. - М.: МГУ, 1983.
12. Ковальченко И.Д. Методы исторического исследования. - М., 1987.
13. Бородкин Л.И. Математические модели в исторических исследованиях: Deus ex mashina? // Математическое моделирование исторических процессов. - М.: Ас-соц. «История и компьютер», 1996. С.6-30.
14. Массон В.М. Метод палеоэкономического анализа в археологии // Математические методы в социально - экономических и археологических исследованиях. -М.: Наука, 1981.
15. Бородкин Л.И., Таранин М.В. О типологии математических моделей исторических процессов II Математическое моделирование исторических процессов. -М.: Ассоц. «История и компьютер», 1996. С.30-57.
16. Гарскова И.М. Количественные методы и ЭВМ для историка // Математические методы в социально - экономических и археологических исследованиях. -М.: Наука, 1981.
17. Асланов Р.М. Гуманитарный потенциал профессионально ориентированного курса дифференциальных уравнений в педвузе. - М.: Прометей, 1996.
18. Гуц А.К. Математическая модель этногенеза. - Деи. в ВИНИТИ 20.07.94, N 1885-В94. 18 с.; То же: Фундаментальная и прикладная математика. - Омск, ОмГУ, 1994. С.90-106.
19. Гуц А.К. Математическая модель социогенеза. - Деи.в ВИНИТИ 21.10.96, N 3101-В96. 15 с.
20. Гуц А.К., Ланин Д.А., Никитин С.И. Математическое моделирование этноге-нетических процессов. - Деи. в ВИНИТИ 21.10.96, N 3100-В96. 17 с.
21. Гуц А.К. Глобальная этносоциология. - Омск, ОмГУ, 1997. 212 с.
22. Математическое моделирование исторических процессов. - М.: Ассоц. «История и компьютер», 1996.
