Некоторые уравнения на основе одномерных хаотических динамик Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51-72:512.54

НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ОСНОВЕ ОДНОМЕРНЫХ ХАОТИЧЕСКИХ ДИНАМИК

Д. Б. Волов

Самарский государственный университет путей сообщения,

Россия, 443066, Самара, 1-й Безымянный пер., 18.

E-mail: volovdm@mail. ru

На основе одномерных хаотических динамик получены модифицированные уравнения Клейна—Гордона—Фока и найдены их исходные лагранжианы. Введены понятия т-экспоненциального отображения и групп с нарушенной симметрией. Рассмотрена система битриальных ортогональных функций.

Ключевые слова: одномерные хаотические динамики, уравнения Клейна—Гордона, лагранжиан, экспоненциальное отображение, алгебра, ортонормированные системы.

При изучении одномерных точечных отображений вида хп^\ —> f(xn) было обнаружено [1], что некоторые динамики демонстрируют особое поведение.

Было показано, что в отличие от одномерного отображения Ферхюль-ста—Пирла [2] хп+\ —> дхп(1 — хп) и от дискретной модели Рикера [3] хп+\ —>■ дхп ехр(—хп), д € М, бифуркационная диаграмма обобщённой динамики Ферх-юльста—Рикера—Планка (ФРП) [1,4]:

наряду с характерными каскадами бифуркаций удвоения периода, окнами периодичности и т.п. обладает рядом новых свойств.

1. При Ф = 1 и при приближении а справа к значению минус 1 хаотическая составляющая динамики ФРП обедняется, а при а = — 1 исчезает, так что система «очищается» от хаотических раздвоений, оставляя одну-единственную бифуркацию.

2. При Ф = —2 и при приближении а слева к значению 1/137 у динамики

хаотическая составляющая обедняется и возникает характерная картина ограниченных бифуркаций типа четырёх «крысок» [4].

Таким образом, существуют два предельных значения безразмерного параметра: а = —1 паи 1/137. При приближении к первому значению бифуркационная диаграмма вырождается в две «ветви», а при приближении ко второму имеет конечное число бифуркаций на всей области существования, за исключением строго ограниченного участка с хаотической составляющей.

Дмитрий Борисович Волов (д.т.н., доц.), профессор, каф. физики и экологической теплофизики.

,Ф

ФРП

(1)

Объединяя два предельных случая, запишем предельное отображение ФРП в виде

^ ^ (,,хЩе^ + а)- <2>

При постоянном х и а = — 1 получаем первую предельную динамику, а при постоянном ц и а ~ 1/137 — вторую. Сейчас предпринимаются попытки использовать свойства отображения (2) при моделировании атомных ядер с потенциалом Вудса—Саксона [5] и при моделировании полей различной природы [6].

Далее мы задались вопросом: если замена

ехр(—х)

ехр(ж)+ а

в функциональных зависимостях так существенно влияет на поведение хаотической системы, то к каким изменениям в дифференциальных уравнениях движения приводит эта замена?

В качестве примера рассмотрим операцию замены в потенциале Юкавы

const • е~^г

V =-------------•

г

Этот потенциал, как известно, является стационарным решением уравнения, аналогичного уравнению Клейна—Гордона, и приближённо описывает поведение поля остаточных сил сильного взаимодействия в стационарном сферически симметричном случае [7].

Показано, что уравнению, решением которого в осесимметричном стационарном случае является модифицированный потенциал Юкавы

_ const ^ г(е^г + а) ’

а частным волновым решением

Ф = (4)

Y e%^z + a J

соответствует система линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

((1 + ае~^х) □ + 2цкдк + ii2)ipi = 0, (5)

где в экспоненте под цх понимается скалярное произведение 4-векторов с компонентами и х^, используется правило Эйнштейна суммирования по повторяющемуся индексу, □ — даламбертиан, ipi — многокомпонентное поле, z в (4) — выделенное направление распространения волны.

Уравнения (5) восстановлены по известному решению. Для построения (5)

мы дважды продифференцировали выражение (4) по z, из первой и второй

производных составили такое одномерное уравнение с переменной z, чтобы его решением являлось (4):

((1 + ае щг)с% + 2г/л, ■ dz — ц2)ф = О,

и далее, обобщая последнее уравнение для любого 4-вектора ц.к (как собственного ВОЛНОВОГО вектора) И многокомпонентного ПОЛЯ ірі, получили (5). Здесь /і2 = (тс/К)2, с —скорость света, Н — редуцированная постоянная Планка, т — масса.

Волновое решение получается из (5) при замене в уравнениях ц —>■ іц. Поскольку решения (5) при а = 0 есть часть решений уравнения Клейна— Гордона—Фока (КГФ) с положительной экспонентой, мы назвали уравнения системы (5) модифицированными уравнениями Клейна—Гордона—Фока (ш-КГФ). Вторая, сопряжённая часть решений КГФ с отрицательной экспонентой соответствует решениям ш-КГФ (5) с заменой в уравнениях ц —>■ —ц.

При этом важно, что стационарное уравнение ш-КГФ в сферических координатах для выполнения условия (3) требует наличия источника поля в правой части:

(1 + ае-п?!М+2,ДгМ+Л,= ^

гдг2 r2gr г2(е^Т + а) ’

который, что удивительно, и появляется в предельном отображении ФРП в формуле (1).

Мы имеем дело со случаем, когда по известным частным решениям, интересным для нас в силу особенностей упорядочивания хаотических динамик, восстановлен вид самих уравнений ш-КГФ (5). Уравнения ш-КГФ расширяют класс уравнений КГФ путем добавления безразмерного параметра а, разрушающего симметрию экспоненциального представления.

В связи с этим было обращено внимание на свойства функции

, . const ^

техр(/хж) = ———, реС, деЯ,

е Vх + а

названной битриальной экспонентой [6]. Термин «битриальный» (от «би» (2) к «три» (3)) появился в более ранних работах по формальной логике при переходе от классической логики (с значениями высказываний «да» (1), «нет» (0)) к расширенной, основанной на трёх чётких значениях: «да» (1), «нет» (—1) как противоположность «да» (1) и «отсутствие» (0). Именно с помощью битриальной логики было осуществлено обобщение динамики Ферхюльста на динамику ФРП. Поскольку битриальная экспонента, в отличие от обычной, ограничена на всей области определения, была высказана гипотеза о том, что разработать новые методы регуляризации в решениях задач, где для обобщённых функций используются Фурье-преобразование, двустороннее преобразование Лапласа, другие интегральные преобразования, калибровочные преобразования для функций поля, где имеются расходящиеся про-пагаторы, координаты Крускала и т.д., можно путём замены экспоненты в соответствующих функциональных зависимостях битриальной экспонентой

е~^х + а

и последующим устремлением о; к 0.

По найденному виду уравнений (5) мы задались целью восстановить лагранжианы, из которых эти уравнения получаются.

Оказалось, что лагранжиан к уравнениям (5) даже в одномерном случае не существует (по этому поводу есть специальная теорема [6]). Зато существует лагранжиан вида

£ = (а + e^x)dnUi dnU* - ii2UiU*e^x к схожим с (5) уравнениям движения

(1 + ае^х)Пиг ± 11пдпиг + !л2иг = 0.

Отсутствие коэффициента «2» перед вторым членом последнего уравнения принципиальным образом сказывается на возможности построения лагранжиана. Однако устранить данную трудность удалось, записав (5) с источником справа:

(1 + ае^х)ПСг ± /j.ndnGt + !12Сг = ТИпдпСг

и с учётом существования лагранжиана сугубо для левой части этого уравнения. Здесь U, G — некоторые комплексные поля.

Сказанное выше дало основание предположить, что уравнение ш-КГФ описывает самодействующую систему «поле - источник поля», не выделяя источник поля и свободное поле по отдельности, как это делается в теории возмущений, в квантовой теории поля. Пропагатор G к уравнению ш-КГФ тогда и есть собственная битриальная экспоненциальная функция однородного уравнения (5).

Условимся использовать символ «ш» в названиях функций, для которых проведена замена по схеме ев —> (е~в + а) 1, обозначая V/(ж),

mf(x) = (—i--------V

1/1 7 Kx-i + aJ

Будем, например, обозначать функцию (е~гв + а) 1 (где в — число, угол) как тегв. Такая замена в [6] называется битриальной. Символ «т» здесь и далее будет ставиться и перед другими модифицированными по данной схеме объектами и математическими определениями.

В дальнейшем целесообразно ввести понятие групп с нарушенной симметрией G(a) и выделить в них класс специальных унитарных групп SU(n,a). Построение таких групп начнем с построения новой групповой алгебры и рассмотрения группы U( 1).

Комплексные числа g и д\, по модулю равные единице, могут быть представлены как д = егв, д\ = егв1, а могут —как д = (е~гв' + а) 1, <71 =

= (е~г+ а) 1, так что произведение д и д\ даёт третий элемент $2 той же группы. Но ЭТОТ третий элемент — тоже элемент группы U( 1). Элемент $2 группы U (1) в вещественной алгебре представлен как

а в новой алгебре этот же элемент $2 группы U( 1) мы определим как

где под ф будем подразумевать такую операцию сложения, что выполняется тождество:

дд 1 = те те 1 = те 4 ^ 17 = I

1 л / 1

е №' + о; У V е + о;'

е-г{в'+в'1) _|_ _|_ е-г0/1) + а2 ^

Итак, мы вводим новую алгебру {0/,®} в пространстве параметров в' = {в1} С К, определив с точностью до постоянной величины бинарную операцию (6), удовлетворяющую следующим аксиомам:

1) в группе и( 1) существует единичный элемент до, для которого

9'0 = г 1п(1 — а)]

2) для каждого элемента д группы 11(1) существует обратный д~1 с соотношением

' 1 — ае~в' — а2'

(в1)-1 =г1п(-

е~и + а

3) операция умножения элементов группы и(1) ассоциативна:

9(9192) = (ш)02-

Для того чтобы доказать свойства коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности в таком представлении, обратимся к графику функции (р' = (е~%е + а) в комплексной плоскости. Он представляет собой окружность с радиусом (1 — а2)-1 и центром в точке —а/(1 — а2). Поэтому для более полного сравнения пронормируем функцию р)! \

Ч>

, 1 — а

2

е~гв' + а

Сначала, на отрезке [0,7г/2], скорость изменения (р1 отстаёт от равномерной скорости вращения по окружности = (е~гв — а) с центром в —а. Под равномерным вращением здесь понимается последовательное применение операции сложения на одну и ту же величину изменения угла на каждом шаге. На [7г/2,7г] функция р)' навёрстывает упущенное, так что в точку в = тт р)! и (рл приходят вместе. Вследствие непрерывности и монотонности изменения параметров в1 и в внутри промежутка [0,7г] всегда найдётся такое в, которое однозначно соответствует в' из промежутка [0,7г]. Затем на [7г,37г/2] битриальная экспонента р>' опережает равномерное движение по окружности <£>д, а на оставшемся участке отстаёт от неё, так что к в = 2тт они приходят одновременно. Вследствие непрерывности и монотонности изменения параметров в1 и в внутри промежутка [-/г, 27г] всегда найдётся такое в, которое однозначно соответствует в1 из промежутка [-/г, 2ж\. Таким образом, вращение по р)' неравномерно. В среднем на участке [0, 2ж] получается одинаковый результат при рассмотрении в том и другом отображении. Будем их различать внутри [0, 27г] , называя экспоненциальным и ш-экспоненциальным отображениями.

Между углом О, измеряемом в системе координат (fR, и углом О', измеряемом в системе координат ip1, на отрезке [0,2ж] существует однозначное соответствие

/1 + аегв' \

О = г\щ—7-------). (7)

V егв + а ) v 7

Кроме трансляции центра окружности в общем случае должно быть рассмотрено вращение центра группы, учитываемое путём добавления фазы Ow в (7). Это важно для калибровочных преобразований полей с нарушенной симметрией, а в данной работе они не рассматриваются.

Определяя операцию сложения О' ф 0[ в ш-экспоненциальном отображении, мы тем самым задаём групповую алгебру, в данном случае для U( 1), отличную от алгебры вещественных чисел с операцией 0 + 01 в экспоненциальном отображении егв элементов g группы, в данном случае комплексных чисел, по модулю равных единице. Таким образом, для элементов одной и той же группы U(1) задаются две разные алгебры с разной бинарной операцией, отличающиеся видом отображения.

Все сказанное по m-отображению для группы U( 1) можно распространить на произвольную группу, допускающую экспоненциальное отображение eY.i Ti$i; и сформулировать следующую теорему.

Теорема. Любая группа G, имеющая экспоненциальное отображение eJ2iTidi с генераторами Ti и параметрами в = {0}, допускает изоморфное

т-экспоненциальное отображение (е^ Tidi + а) с теми же генераторами Ti и т-алгеброй {в', ф} над параметрами в', где а имеет тот же ранг, что и G, |а| > 0.

После краткого описания ш-алгебры введём понятие группы с нарушенной симметрией, опять же на примере исходной группы U(1). Группой U(1, а) с нарушенной симметрией будем называть такую мультипликативную абеле-ву группу всех комплексных чисел, равных по модулю единице, каждый элемент которой получен равномерным последовательным применением операции сложения к инфинитезимальной величине угла А О1 в ш-алгебре. Другими словами, группой [7(1, си) называется группа, полученная равномерным вращением элементов ш-алгебры с постоянной угловой скоростью сУ = dO1 /dt = = A0f/At = const. В комплексной плоскости при этом наблюдается неравномерное вращение элементов группы. Каждый элемент g = (е~ге' + а) группы U(l,a) является элементом g = егв группы 11(1), и между элементами этих групп существует однозначная связь:

л Л/ • 1 ( 1 + ае%в' \ л/ л • 1 ( 1 “ ае%в \

Поэтому алгебраическую операцию (6) правомерно записать в виде

/ 1 _ ,^>*(01+02) ч

0\®0'2 = (0г + 02)+Ип (1_ае_г{в1+в2))-

При достаточно большой частоте вращения со = dO/dt различие в алгебрах и неравномерность вращения в группах U(l,a) и U(l) незаметны. Все

элементы группы U(l,a) являются элементами группы U( 1), полученной путём трансляции центра группы в комплексной плоскости. Отличие U(l,a) от U (1) состоит в неравномерном вращении этих элементов группы внутри отрезка [0, 27г].

Итак, получаем абелеву компактную группу [7(1, а), изоморфную U( 1) с трансляцией и неравномерным вращением. Для неё операция умножения (6) элементов д называется сложением элементов в', а единичный элемент 9Г0 называется нулём. Пользуясь правилом сложения для этой группы, определяют такие тригонометрические функции, как битриальный косинус, синус:

1-а2( 1 1

т cos 6 = а Н-------—^--------1—^-----

2 \е~гв + а егв + а

msind =

1 — а2

2г \е~гв + а егв + а/ битриальный логарифм

/ в т\пв = 1п(

Л + аО,

гиперболические функции и т.д. Причём весь арсенал известных соотношений между этими функциями сохраняется, если для них задана операция сложения ф.

Далее рекурсивной процедурой Кели—Диксона понятие группы с нарушенной симметрией 11(1, а), введённой для комплексных чисел, распространяется на случай кватернионов (изоморфно £'[/(2, а:)), октонионов и седени-онов. Здесь важно отметить, что с практической точки зрения наибольший интерес представляют как раз группы со скалярным произведением с в = цх. Например,

в = ЦоХ° + 11\Х1 + /х 2Х2 + /хзж3 = — кг,

где к — волновой вектор, г — радиус-вектор.

Если матрицы, реализующие группу 311(2, а), параметризовать в ш-виде

( в' \ в' в'

= тсов — + твт —,

где а = (<71, <72, <7з) — матрицы Паули, п — вещественный единичный трёхкомпонентный вектор, то при малых преобразованиях группы ви(2,а) (элементов из группы 0(3)) п опять же указывает направление оси вращения, а в' — угол поворота. Те же рассуждения, что приведены для 11(1, а) и 311(2, а), можно повторить для любой ви(п,а).

В ш-представлении произвольные источники поля в уравнениях движения (5) раскладываются с применением тригонометрических многочленов

^ л N ( 1 ~ о? \п Рп = техфв,п) = , пей,

получаемых из 11(1, а) как прямое произведение групп. Возникающие при этом бесконечные ряды ш-Фурье с коэффициентами ш-Фурье любой функции /(0) на [0, 27г] :

11 - а2 [2ж ап = у J / (9)т ехр* (г0, п)с?0 =

11 — а2 (2ж / 1 — ск2 \ га

= Ч^г1 т{ж+^)м' ”е2'

эквивалентны рядам Фурье при си = 0 (звёздочка — сопряжение функций).

Есть некоторые особенности представления сопряжения. Дело в том, что при следующем сопряжении битриальные функции неортогональны в обычном понимании этого слова: для срп и сопряжённой ей на отрезке [0, 2ж] действительно выполняется тождество

[2?г * лл [2ж( I - а2 \п / I - а2 \~т Г27Г, т = п,

I = I (р^) м = (о, т * п,

за исключением случая

[2ж ( 1 -а2 \п ( 1 -а2 \~т 1П 2тг а

/ ---~а--- --ч,--- ав = --------т = п + 1.

Уо \е~гв + а) \е~гв + а) 1 — о?

Естественно, при а = 0 система

становится обычной ортонормированной системой Фурье, обладающей полнотой. Полнота же представления при а ф 0 доказывается проведением в ряде Лорана J2n£Zan(z ~ а)п замены z —> егв, а —> —а.

Если же поставить в соответствие ipn сопряжённую функцию в виде

( 1 — а2 \т

tPm = 171 ехр(—г0, т) = ( —к~— , т € Z,

V ew + а /

то, вычисляя интеграл Пуассона, нетрудно показать, что такая система образует базис безо всяких исключений для т ф п.

Таким образом, на основе хаотических динамик с особым поведением установлен вид исходных уравнений движения, решениями которого эти динамики являются. По найденным уравнениям движения восстановлены их лагранжианы. Введены понятия ш-алгебры и группы с нарушенной симметрией. Показано, что источники поля имеют разложение в ряд ш-Фурье, являющийся обобщением ряда Фурье для системы с нарушенной симметрией. Данные исследования могут оказаться полезными в квантовой теории поля.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Д. Б. Волов, “Обобщенная динамика Ферхюльста—Рикера—Планка и её связь с постоянной тонкой структуры”// Вестн. транспорта Поволжья, 2011. №5(29). С. 82-90. [D. В. Volov, “Generalized Verhulst-Ricker-Planck dynamic and its relation to the fine-structure constant” // Vestn. Transporta Povolzh’ya, 2011. no. 5(29). Pp. 82-90].

2. P.-F. Verhulst, “Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement” // Corresp. Math. Phys., 1838. Vol. 10. Pp. 113-121.

3. W. Е. Ricker, “Stock and recruitment”// J. Fish. Res. Bd. Canada, 1954. Vol. 11, no. 5. Pp. 539-623.

4. D. B. Volov, Specific behavior of one chaotic dynamics near the fine-structure constant, 2012. 9 pp., arXiv: 1205.6091 [nlin.PS].

5. A. P. Trunev, “Binding energy bifurcation and chaos in atomic nuclei” // Chaos and Correlation., 2012. 10 pp. (http://chaosandcorrelation.org/Chaos/CR_l_5_2012.pdf)

6. Д. Б. Волов, “Битриальный подход к теории поля”// Вестн. СамГУПС, 2012. №15. С. 144-153. [D. В. Volov, “The bitrial approach to the field theory” // Vestn. SamGUPS, 2012. no. 15. Pp. 144-153].

7. H. H. Боголюбов, Д. В. Ширков, Введение в теорию квантовых полей. М.: Наука, 1984. 597 с. [N. N. Bogolyubov, D. V. Shirkov, Introduction to the Theory of Quantized Fields. Moscow: Nauka, 1984. 597 pp.]

Поступила в редакцию 15/XI/2012; в окончательном варианте — 13/11/2013.

MSC: 37J15; 03С05, 37D45

EQUATION ON THE BASIS OF ONE-DIMENSIONAL CHAOTIC DYNAMICS

D. B. Volov

Samara State Transport University,

18, First Bezimyanniy per., Samara, 443066, Russia.

E-mail: volovdm@mail. ru

Modified, Klein-Gordon-Fock equations were obtained, on the basis of one-dimensional chaotic dynamics and, the original Lagrangians were found. The concepts of rn-exponential map and, groups with broken symmetry are introduced. A system of bitrial orthogonal functions is considered.

Key words: one-dimensional chaotic dynamics, Klein-Gordon equation, Lagrangian, exponential map, algebra, orthonormal systems.

Original article submitted 15/XI/2012; revision submitted 13/11/2013.

Dmitry B. Volov (Dr. Sci. (Techn.)), Professor, Dept, of Physics and Ecological Thermophysics.