Некоторые теоремы о разрешимости стохастических систем дифференциально-алгебраического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9 + 519.216.2

НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О РАЗРЕШИМОСТИ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ТИПА

© 2014 Е. Ю. Машков

аспирант каф. математического анализа и прикладной математики e-mail: [email protected]

Курский государственный университет

Под стохастической системой дифференциально-алгебраического типа понимается специальный класс стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито, у которых в левой и правой частях имеются зависящие от времени непрерывным образом прямоугольные вещественные матрицы одинаковых размеров. Кроме этого, в правой части имеется слагаемое, зависящее только от времени. Этот класс уравнений является естественным обобщением класса обыкновенных дифференциально-алгебраических уравнений. Подобные уравнения встречаются в приложениях к экономике и радиотехнике. Результатом статьи являются утверждения, в которых для рассматриваемого типа уравнений приведены достаточные условия существования решений, а также приведены формулы для нахождения этих решений.

Ключевые слова: дифференциально-алгебраическая система, уравнение

леонтьевского типа, винеровский процесс.

Рассматривается специальная система стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито (см. [Булинский 2005]), которая задается следующим образом:

А0 аО - Д 0) f(0) = £ M(s) АО ds + £ As) ds + £ N(s) dw (s), 0 < t < T, (1) где AO £ Rn - искомый случайный процесс, AО, M(t), N(t) - вещественные непрерывные тХп - матрицы, АО £ Rm - интегрируемая вектор-функция, w(t) £ Rn -винеровский процесс, заданный на полном фильтрованном вероятностном пространстве (П, 3) (30te[0 Г], Т}, подчиненный (3t)!е[0,т] и выходящий из нуля. Системы уравнений типа (1) принято называть стохастическими системами дифференциально-алгебраиче-ского типа [Alabert 2006; Winkler 2013], а в случае, когда в рассматриваемой системе уравнений матрицы коэффициентов являются постоянными, она еще называется стохастическим уравнением леонтьевского типа [Шестаков 2010]. Данные системы уравнений применяются в моделировании радиотехнических устройств [Шестаков 2010], финансово-экономической деятельности предприятий [Власенко 2011] и других областях [Winkler 2013]. Приведем некоторые теоремы о существовании решений системы (1), достаточные условия разрешимости и формулы для вычисления решений.

Определение [Булинский 2005]. Решением системы (1) называется случайный процесс АО е Rn, имеющий п. н. непрерывные траектории, неупреждающий относительно семейства -алгебр (3t)te[o,r], который с вероятностью единица удовлетворяет равенству (1).

Символом L+ будем обозначать матрицу, псевдообратную к матрице L (см.: [Гантмахер 1967]). Из результатов работ [Бояринцев 1998; Mashkov 2014] вытекает следующее утверждение:

Теорема 1. Пусть в системе (1) матрицы А0, M(t) и вектор f(t) удовлетворяют условию совместности:

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

[Е - ДОД(0]X(ОG+{[ X* (О[Я - ДОL+(0]ДОds +

Jo

+ f X*(s)[Я — L(s)L+ (ОX(О[f X_1(и)N(u)dw(u)]ds} =

•/о J о

= [Я - ДО£Д0](Д0 + ДО f *_Д0N(Оdw(s)},

Jo

где E - единичная матрица, a z(t) является решением задачи Коши:

dz(t) = М(t)L+(t)Д0dt + Д0dt, Д0) = 0.

Тогда если столбцы матрицы L(t) линейно-независимы, то система (1) разрешима, а ее общее решение имеет вид

ДО = £+(0ДО, 0 < t < т,

а вектор ДО является решением следующей задачи Коши:

d^( 0 = М (0 Т+( О Д 0 dt + Д 0 dt + N (0 dw (0,

Д 0)

= —G+{f х* (О [я — ДО£+(0]ДО+

Jo

+ f X ДО [£ — ДО ^ДО] ДО [f Х~\ и) N (и) dw(u)]ds}

Jo Jo

+ а.

Здесь а - произвольное решение уравнения Ga = 0, в котором матрица G вычисляется по формуле

G = f X* (О [Е - ДО Д(0]ДОds,

Jo

а матрица X(t) является решением задачи Коши

dX(t)

= м (ОД(оД0, Д0 = Е.

dt

□

Введем вспомогательные теоремы. Для этого рассмотрим систему

АХ = Y, (2)

где X - искомый вектор, А и Y - матрица и вектор подходящих размеров (т.е. такие, что возможно записать систему (2)). Тогда имеет место классическая теорема Кронекера-Капелли о разрешимости системы (2):

Теорема 2 (Кронекера-Капелли [Бояринцев 1998]). Для разрешимости системы (2) необходимо и достаточно выполнения равенства

{Е - АА+)Y = 0.

Приведем теорему о представлении решений системы (2):

Теорема 3. [Бояринцев 1998]. Если система (2) разрешима, то ее общее решение записывается по формуле

X = А+ Y + (Е - А+А) U,

где U - произвольный вектор.

Если в системе (1) матрицы коэффициентов постоянные вещественные, то, применяя к ней теоремы 2 и 3, получим следующую теорему о разрешимости.

Теорема 4. Пусть в системе (1) L, М, N - постоянные вещественные матрицы и выполняются условия

(Е - LL+)М = 0, (Е - LL+)Д0 = 0ДЕ - LL+)N = 0.

Тогда (1) имеет решение вида

ДО = х (0 ДО) + Д of х-ДО Д/(0 ds + Д of *_1 (О L+Ndw (О,

Jo Jo

где X(t) - нормальная фундаментальная матрица системы

Auditorium: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2014. № 4

Машков Е. Ю. Некоторые теоремы о разрешимости стохастических систем

дифференциально- алгебраического типа

dX(0 = L+MX(0dt, X(0) = Е .

□

Также с применением теорем 2 и 3 к системе (1) с постоянными матрицами L, М, N получаем следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть в системе (1) L, М, N - постоянные вещественные матрицы, S = rank M+L и выполняются следующие условия:

(£ - LL+)М А 0, (Я - ММ!L = 0,

(£ - ММ!f = 0, (Я - ММ!N = 0, (0 Еп_!S~!М+N = 0, а также матрица M+L не имеет среди собственных чисел нулей геометрической кратности, отличной от алгебраической. Тогда уравнение (1) разрешимо и принимает следующий канонический вид:

Ж0 - Ж0) = /0! V О)ds + S"!М+ /0! f (s)ds + S_1M+Nw(t), (3)

где t) = S_Жt),/(t) = ^ q 0 ^, detjs(t) A 0, 0 - нулевая матрица.

□

Чтобы привести формулы для решения системы (3), введем обозначения t) = col (б(t), d(t)), где в G Rs, д G Rn~s, S~!М+ f (s)ds = col (/0 ^ (s)ds,ф (s)ds,

ф = (Es 0)S_1 M+f £ R5, ф = (0 En_s')S~1M+f £ Rn~s. Тогда с учетом этих обозначений каноническая система (3) распадается на две независимые подсистемы. Первая подсистема имеет вид

К 0 - К 0) = я1 /о в О) ds + Л £ (s) ds + J-S\ES 0) S "!M+Nw (t),

для решений которой известна аналитическая формула

0(0 = *«(0^0) + Xs(0 f X!1 (5)Я>0)ds +

Jo

+xs(0 f X!1 (!J!\E,! 0)5!lM+Ndw(s),

Jo

где (t) - нормальная фундаментальная матрица системы

= Я%(0, *4( О = е4.

Вторая подсистема системы (3) задается таким образом:

д (s) ds = — Ф (s) ds,

Jo Jo

откуда d(t) = -фЦ.

Библиографический список

Бояринцев Ю. Е., Чистяков В. Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования. Новосибирск: Наука, 1998. 224 с.

Булинский А. В, Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2005. 408 с.

Власенко Л. А., Лысенко Ю. Г., Руткас А. Г. Об одной стохастической модели динамики предприятий корпорации // Экономическая кибернентика. 2011. №1-3 (67-69). С. 4-9.

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 1967. 575 с.

Шестаков А. Л., Свиридюк Г. А. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов // Вестник Южно-Уральского государственного университета. 2010. №16(192). С. 116-120.

Alabert A. Linear stochastic differential algebraic equations with constant coefficients / A. Alabert, M. Ferrante // Electr. Comm. in Probability. 2006. 11. P. 316-335.

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Mashkov E. Yu. On the stochastic sustems of differential-algebraic type // Journal of Computational and Engineering Mathematics. 2014. Vol. 1. No. 1. P. 34-45, Publisher Center of South Ural State University, Chelyabinsk, Russia

Winkler R. Stochastic differential algebraic equation of index 1 and applications in circuit simulation // J. Computat. and Appl. Math. 2013. 157, №2. P. 477-505.

Auditorium: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2014. № 4