Некоторые свойства элементарных теорий и пространства моделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510:164

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ТЕОРИЙ И ПРОСТРАНСТВА МОДЕЛЕЙ

П, В, Черников

Далее будем использовать в основном терминологию и обозначения из [1].

1. Пусть — непрерывная логика с множеством значений X, где X — компактное хаусдорфово пространство. Пусть — совокупность всех моделей логики «5?, наделенная элементарной топологией. Обозначим через £ & множество всех высказываний логики .

В [1, с. 66] указано, что если в — (элементарная) теория, то

в э ТЬ(Мо<1(в)). (*)

В [2] рассматривается вопрос о том, когда в соотношении (*) имеет место равенство. Напомним, что множество Е С У, где У — топологическое пространство, называется плотным в множестве Уо С У, если ЁэУо.

В [2] доказана следующая

Теорема 1. Для того чтобы для теории в С Х5^ выполнялось вв

вала теория в0 С плотная в в и такая, что в0 = ТЬ(Мос1(во)).

Из теоремы 1 вытекает такое

Следствие. Для того чтобы теория в С Х5^ была непротиворечива, необходимо п достаточно, чтобы существовала теория во С Х5^ такая, что П в ф 0 и вд = в

Покажем, что верно © 2013 Черников П. В.

Утверждение 1. Пусть 9® с г = 1,2, — такие две теории,

что для каждого г = 1,2 существует теория 9® С , плотная в 9® н такая, что 9® = ТЬ(Мо(1(9г0)). Тогда

9 = ТЬ(Мо<1(9)),

где 9 = 9\ и 9 ^ ■

Доказательство. Согласно [1, с. 66] имеем

ТЬ(Мос1(9)) = ТЬ(Мос1(91)) и ТЬ(Мо<1(92)).

По теореме 1

ТЬ(Мос1(9®)) = 9®, г = 1,2. 99

В [3, с. 117; 4, с. 71] с помощью теоремы компактности доказан следующий конечный аналог теоремы Лёвенгейма — Сколема.

Теорема 2. Если для любого п € ш множество предложений Т логики I имеет модель Вп мощности ^ п, то Т имеет бесконечную модель.

Приведем доказательство теоремы 2, не использующее теорему компактности.

Доказательство. Пусть Г — фильтр Фреше па множестве натуральных чисел ш, Бр — ультрафильтр, содержащий Г. Модель

А* = Бр — рго с1 ХпВп,

очевидно, искомая. Теорема доказана.

Следующая теорема является распространением теоремы 2 на случай непрерывной логики .

9сХ

любого п € ш существует модель Вп € Мо(1(9) мощноетн ^ п, то теория 9 имеет модель любой мощности в ^

Доказательство. Докажем сначала, что теория в имеет бесконечную модель. Пусть D — неглавный ультрафильтр над множеством натуральных чисел ш. Модель

A* = D — pro d XnBn в

в

Из теоремы Лёвенгейма — Сколема о повышении мощности [1, с. 95] следует, что теория в имеет модели любой мощности в ^ Н^И-Теорема доказана.

Теорема 3 является конечным аналогом теоремы Лёвенгейма — Сколема из [1, с. 95].

Следствие. Пусть в С X— замкнутая теория, не имеющая (бесконечных) моделей некоторой мощности a ^ Тогда суще-

ствует такое число n, что каждая модель A £ Moс1(в) имеет мощность n

Приведенное следствие является распространением утверждения из упражнения 7.5 в [5, с. 25] на случай логики Jz?.

Замечание. Если дано некоторое множество предложений T логики /, то нетрудно построить замкнутую теорию вт С 2s¡ такую, что mod(T) = Mod(eT). Здесь через mod(T) обозначен класс всех моделей,

T

вт= П

ver

где Fv = {h £ 2S¡ : Н(ф) = 1}. Отсюда получаем, что из теоремы 3 следует теорема 2.

Далее будем использовать следующее определение полной теории.

в С X

модели и все ее модели элементарно эквивалентны, т. е. если A,B £ Mod(e), то [A] = [В].

В утверждениях 2-4 будем предполагать, что логика Jz? обладает t-, k- и е-множествами. Имеет место [1, с. 119]

9

ных моделей, имеет с точностью до изоморфизма единственную конечную модель.

Таким образом, в утверждении 2 заранее предполагается, что все 9

пение утверждения 2.

9

АА

В9 кажем, что Во изоморфна модели Ао- Так гак теория 9 полна, моде-А В А В

В

ТЬ(А) = ТЬ(В), то А — В. Следовательно, А — Во. Утверждение доказано.

Следующее утверждение обобщает утверждение 2.

9СХ

(бесконечных) моделей некоторой мощности а ^ ||^?||- Тогда 9 имеет с точностью до изоморфизма единственную конечную модель.

9

модель. Тогда из теоремы Лёвенгейма — Сколема [1, с. 95] следует,

9а ние 2, получаем требуемое. Утверждение доказано.

| | ш

множества констант, предикатных символов, связок и кванторов имеют мощность ^ ш, а пространство истинности Х имеет счетную базу (т. е. оно есть метрический компакт). В данной работе приводится доказательство теоремы компактности А. II. Мальцева для непрерывной | | ш

| | ш

Доказательство Согласно [1, с. 68] элементарная топология компактна тогда и только тогда, когда теория ТЬ(^£>) замкнута в про-Х

Х

довательность {хп}™=1 точек множества ) сходится к некоторой

точке х € , то х € Определим отображение / : ш ^ Х5^

по формуле

1(п) = хп (п = 1,2,...).

Пусть Г — фильтр Фреше на множестве натуральных чисел ш, Бр — ультрафильтр, содержащий Г. Тогда очевидно, что

Бр- Ит / = х.

хп € Ап € хп Ап

Рассмотрим модель

А = БР-ргоА\пАп € .Ж

По следствию 5.1.6 из [1] имеем

[А] = Бр-1ш1 \п[Ап} = х.

Таким образом, х = [А] для модели А € .Жт. е. х € ТЬ(.уМ^) и,

Х

доказана.

3. Остановимся на понятии Б-предела [1]. В этом пункте через Х обозначается финально компактное хаусдорфово пространство. Пусть I — произвольное непустое множество, Б — счетно полный ультрафильтр над I. Покажем, что имеет место

Лемма. Пусть / € Х1. Тогда существует единственная точка Хо € Х такая, что для всякой окрестности V точки Хд

{г € 1:/(г) € V}€ Б.

Доказательство. Пусть для всякой точки x е X существует окрестность Vx такая, что {г : /(г) е Vx} е D. Пространство X финально компактно, поэтому можно выбрать счетное подпокрытие {VXn покрытия {Vx}xex пространства X. Поскольку

U{^/W е Vx„ } = I,

n=l

найдется номер n0, для которого {г : /(г) е Vx } е D; протнворе-

X

едннственность. Пусть существуют две различные точки X и Y> обладающие указанным свойством. Пусть U, V — такие открытые в X множества, что X е U, Y е ^U П V = 0. Тогда

{г: /(0 е и} п {г: /(0 е V} = {г: /(0 е и п V} = 0 е D,

что невозможно. Лемма доказана.

Эту точку обозначим, следуя [1], через D-lim / и назовем D-пределом функции /. В случае, когда D — ультрафильтр, X — компактное хаусдорфово пространство, теорема о существовании D-предела, аналогичная лемме, содержится в [1]. Докажем некоторые утверждения о D

Теорема 5. Пусть {/„}^ С X/ е XПусть S = {г е I : lim /n(г) = /г)} е D

n—

н существует lim D-lim/n = Y. Тогда Y = D-lim/.

n—

Xn D /n X D / X Y Найдутся открытые в X множества U, V такие, что X е U Y е V, U П V = 0. Существует такой номер N, что Xn е n ^ N. Пусть

Mk = {г : /fc(г) е V}. Так как D — счетно полный ультрафильтр,

M = S П {г : /(0 е U} П Р| Mk ^ 0.

k=N

Пусть г0 е M. Найдется помер Ni, для которого /n(е U П V при n > Ni,noU П V = 0; противоречие. Теорема доказана.

Теорема 6. Пусть X — финально компактное регулярное хау-сдорфово пространство, {fn}Oi С X1, f G X1. Пусть

S= {i G I: lim fn(i) = f(i)}G D.

n—>o

Тогда последовательность {D-lim fn}OOi сходится к точке D-lim f.

Xn D fn X D f U — окрестность точки X0. Пространство X регулярно, поэтому найдется такая окрестность V точки Xq, что V С U. Покажем, что существует такой номер Ж, что {i : fn(i) G V} G ^и n > N. Допустим противное. Тогда существует такая подпоследовательность {fnfc }OOi последовательности {fn}OOi) что

{i-fndi) G V} g D.

Пусть

Mk = I \{i:fnfc « G V}.

D

О

M = S П {i : f (i) G V} П Pl Mfc # 0.

k=1

Пусть i0 G M. Найдется номер N, для которого fn(io) G ^и n > N.

oo

Поскольку ig G p| Mk, найдется такой номер m ^ Ni, что fm(io) G V;

k

противоречие. Следовательно, существует номер N, для которого {i : /„(г) G V^} G D при n ^ N, поэтому Xn G V С U при n > N. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кейслер Г. Дж., Чэн Чень-чунь. Теория непрерывных моделей. М.: Мир, 1971.

2. Черников П. В. Об элементарных теориях, пространстве моделей и D-пределах // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 1. С. 155-158.

3. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. М.: Наука, 1987.

4. Справочная книга по математической логике / Под. ред. Дж. Барвайса. T. 1. Теория моделей. М.: Наука, 1982,

5. Сакс Дж. Теория насыщенных моделей. М.: Мир, 1976.

г. Новосибирск

10 сентября 2012 г.