CC BY
38
УДК 512.55 Б01 10.17223/2226308Х/8/18
НЕКОТОРЫЕ СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА КВАДРАТИЧНЫХ БУЛЕВЫХ ПОРОГОВЫХ ФУНКЦИЙ
А. Н. Шурупов
На основе бинарного отношения частичного порядка, заданного на множестве квадратичных форм с булевыми переменными, предлагается способ описания классов квадратичных булевых пороговых функций (к.б.п.ф.), одновременно допускающих (или не допускающих) нетривиальную декомпозицию. Указаны представители классов, функциональная разделимость которых означает выполнение этого свойства и для всех функций из класса. В частных случаях исследована существенная зависимость к.б.п.ф. от своих переменных.
Ключевые слова: квадратичная булева пороговая функция, декомпозиция, существенная переменная.
Полиномиальные булевы пороговые функции определяются следующим образом [1]:
f (хь ... ,Хп) = 0 ^ #(жъ ... ,Хп) ^ 0, (1)
где д — действительный полином. Если deg д = 2, то говорят о к.б.п.ф. В последнем случае неравенство из (1) может быть преобразовано в эквивалентное д(х^... , хп) ^ где д — квадратичная форма, а £ — свободный член многочлена д, взятый с противоположным знаком и называемый порогом.
Пусть Л-ш = {{и(х) : х € {0,1}п}} —мультимножество значений квадратичной формы и(х). Через {Лт} обозначается множество значений и(х). Под набором и* = = (иш0 ,и*... , и*п_1) понимается набор упорядоченных по неубыванию элементов множества Лад. В тексте без особых оговорок используются обозначения из [2] для линейных булевых пороговых функций, которые без изменения переносятся на полиномиальный случай. В частности, факт, что к.б.п.ф. задаётся квадратичной формой д и порогом для краткости записывается как f ~ (д,£). Имея две квадратичные формы от независимых переменных— р(х) и д(у), можно составить новую квадратичную форму Л(х, у) = р(х) + д(у) (будем обозначать Л = р|д).
Рассмотрим бинарное отношение частичного порядка на множестве действительных квадратичных форм. Если д* является подпоследовательностью г* для квадратичных форм д(х) и г(у) (возможно, от разного числа переменных, но все переменные из х входят в у), то будем обозначать этот факт как д — г. В дальнейшем без ограничения общности будем полагать все веса целыми числами. Важность введённого бинарного отношения по отношению к изучению функциональной структуры к.б.п.ф. следует из следующего утверждения.
Утверждение 1 [2]. Пусть к.б.п.ф. f ~ (р1|д1,£) и д ~ (р2|д2,£) удовлетворяют свойству р1 — р2, д1 — д2. Тогда если д допускает простую декомпозицию, то и f допускает простую декомпозицию.
Под нетривиальной простой декомпозицией понимается следующая бесповторная суперпозиция для некоторого т € {2,... , п — 1}:
f (хЬ . . . ,хп) = ^(^(хь . . . ,хт),хт+1, . . . ,хп) .
Утверждение 1 позволяет предложить способ построения классов функционально разделимых (или функционально неразделимых) к.б.п.ф., равно как и подход к анализу функциональной разделимости заданной к.б.п.ф. Пусть {щ} и {г^} —множества
квадратичных форм от mi и щ переменных (mi , щ > 1), имеющие верхние грани u и v относительно введённого бинарного отношения. Тогда если пороговая функция со структурой (u|v,t) функционально разделима, то и любая пороговая функция со структурой (ui|vi, t) также функционально разделима. Справедливо и отрицание этого утверждения.
Замечание 1. Утверждение 1 и вышеприведённые рассуждения не зависят от вида неравенства, задающего пороговую функцию, и поэтому справедливы для полиномиальных пороговых функций.
Для целочисленной матрицы W квадратичной формы определим троичное представление — матрицу UW = (uW)i,j=i,...,N некоторой квадратичной формы uW, задаваемую следующим образом. Элементу wij матрицы W в матрице UW соответствует клетка размера li х lj, причём клетки не пересекаются и расположены в том же порядке, что и сами элементы wij в матрице W. Натуральные числа li, i = 1,...,n, удовлетворяют условиям
lilj ^ |wj |,
п (2) N = li ^ min.
i= 1
В каждой клетке произвольным образом (с сохранением свойства симметричности матрицы UW) расставляются единицы в случае wij > 0 и —1 для wij < 0. Остальные элементы полагаются равными нулю. Троичное представление всегда существует, например, можно положить li = max wij, хотя в этом случае условие минимальности
j€{1,...,n}
размера N троичного представления не обязательно выполняется. Несмотря на то, что минимизация размера N полезна в практическом смысле, использование троичного представления не связано строго с этим свойством, поэтому в дальнейшем под троичным представлением также будем понимать и неоптимальные по размеру матрицы.
Дополнительный способ сокращения размера троичного представления связан с переходом к матрице W = - W, где d =НОД^^}.
Задача (2) относится к задачам целочисленного квадратичного программирования с линейной целевой функцией. Путём перехода к величинам ri = log li эта задача приобретает вид задачи линейного программирования в дискретной решётке log N. Для решения последней задачи с учётом необязательности выполнения требования оптимальности может быть применён полиномиальный алгоритм Хачияна [3] с последующим «округлением» результата в ближайший узел решётки. Отсутствие требования оптимальности делает возможным использование приближённых алгоритмов решения задачи целочисленного программирования [4, 5].
Из определения троичного представления и предшествующих рассуждений следует его неоднозначность. Другое важное свойство заключается в том, что если для булева вектора a = (a1,..., an) положить компоненты булева вектора b = (b1,..., 6n) в соответствии с условием ai = 1 ^ b1l+...+1i_1+1 = ... = b1l+...+1i = 1, то
w(a) = aWaT = bUW bT = uW (b). (3)
Справедливость (3) следует из того, что серии нулей и единиц в векторе b соответствуют клеткам матрицы UW. Следовательно, коэффициенты wij, участвующие в вычислении (т. е. индексы i и j, такие, что ai = aj = 1), соответствуют клеткам с суммарным количеством элементов равным sgn(wij)|wij |. Таким образом, доказано
Утверждение 2. Справедливы следующие отношения:
1) и — п№;
2) и — , где & =НОД{и>у}.
Представляет интерес описание функциональной структуры к.б.п.ф с матрицей квадратичной формы, имеющей вид троичного представления. Для этого, в частности, рассмотрим вопрос о существенных переменных к.б.п.ф. с матрицами квадратичных форм простого вида.
Пусть 1п — целочисленная квадратная матрица размера п, состоящая из одних единиц. Легко видеть, что {Лхп } = {к2 : к = 0,... , п}.
Утверждение 3. К.б.п.ф. f ~ (1п,£), отличная от константы, зависит существенно от всех своих переменных.
Доказательство. Так как функция f симметричная, достаточно доказать утверждение для первой переменной. Пусть для некоторого в выполняется £ € [в2, (в + 1)2). Такое 0 ^ в ^ п — 1 существует всегда, так как по условию 0 ^ £ < п2. Тогда выполняются неравенства и(0, а) = в2 ^ £ и и(1, а) = в2 + 2п — 1 ^ (в + 1)2 > где а — произвольный вектор размера п — 1 с весом в. ■
Рассмотрим структурные свойства к.б.п.ф. f ~ (1т|1п_т,£), где 1 ^ т ^ п — 1.
Утверждение 4. К.б.п.ф. f ^ (1т 11п_т, £) зависит существенно от первых ^^ (1 ^ т ^ п — 1) переменных, если и только если найдутся такие г € {0,... ,т — 1}, в € {0,... , п — т}, что выполняется система неравенств
22
^ I /. , ,
\ 2 , 2 ™ ^ (4)
г2 + в2 ^ Ш, (г + 1)2 + в2 ^
где квадратичная форма т = (1т|1п-т); и Г/|ш —нижние и верхнее приближения числа / в множестве {Лад} [2].
Доказательство. Без ограничения общности будем рассматривать существенную зависимость функции f от первой переменной. Докажем утверждение, заменив (4) на равносильную систему
г2 + в2 ^ /< (г + 1)2 + в2. (5)
Действительно, по свойствам верхнего и нижнего приближений ^ / < Г^!™, поэтому из (4) следует (5). Так как г2 + в2, (г + 1)2 + в2 € {Лад}, то справедлива и обратная импликация.
Достаточность. Если для некоторых г € {0,... , т — 1} и в € {0,... , п — т} выполняется (4), то значения функции f на булевых векторах (0, и, г) и (1, и, г) различаются, где и — произвольный вектор длины т — 1 и веса г, а г — произвольный вектор длины п — т веса в. Действительно, и(0,и, г) = г2 + в2 ^ £ < (г + 1)2 + в2 = и(1, и,г).
Необходимость. Пусть от противного выполняется отрицание (5), т.е. для каждой пары (г, в) верно £ < г2 + в2 или £ ^ (г + 1)2 + в2, что в силу неравенств £ < г2 + в2 < < (г + 1)2 + в2 и £ ^ (г + 1)2 + в2 > г2 + в2 равносильно совпадению значений функции на произвольных векторах (0, и, г) и (1, и, г), т. е. несущественной зависимости функции f от первой переменной. ■
Следствие 1. К.б.п.ф f ~ (1111п_1, £) зависит существенно от первой переменной тогда и только тогда, когда к2 ^ £ < к2 + 1 для некоторого к € {0,...,п — 1}.
Пример 1. К.б.п.ф. f ~ (1i|13, 2) зависит несущественно от первой переменной. Её таблица истинности и многочлен Жегалкина такие же, как для пороговой функции ((1,1,1), 1), т. е. x2x3 + x2x4 + x3x4.
Пример 2. К.б.п.ф. g1 ~ (12|13, 8) имеет многочлен Жегалкина x3x4x5, хотя при порогах 7 или 9 с той же матрицей квадратичной формы соответствующие функции g2 и g3 зависят существенно от всех пяти переменных и имеют многочлены Жегалкина x1x2x3x4 + x1x2x3x5 + x1 x2x4x5 + x3x4x5 + x1x2x3x4x5 и x1x3x4x5 + x2x3x4x5 + x1x2x3x4x5 соответственно. При этом функция g1 является линейной пороговой со структурой ((0, 0,1,1,1), 2), а функции g2 и g3 —линейными пороговыми со структурами ((1,1, 3, 3, 3), 7) и ((1,1, 3, 3, 3), 9) соответственно. Кроме того, обе функции допускают декомпозиции g2 = x1x2(x3x4 + x3x5 + x4x5 + x3x4x5) и g3 = (x1 + x2 + x1x2)x3x4x5.
Приведённые примеры показывают, что даже в случае очень простых квадратичных форм задаваемые ими к.б.п.ф. могут сильно отличаться в смысле существенной зависимости от переменных при небольших (последовательных) изменениях порога. Кроме того, интерес представляет нахождение пороговой степени (см. определение в [1]) к.б.п.ф. В заключение отметим, что даже для линейной пороговой булевой функции задача определения существенной зависимости переменной является NP-полной [6, теорема 9.26, с. 436], что повышает значимость разработки эвристических методов её решения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Подольский В. В. Оценки весов персептронов (полиномиальных пороговых булевых функций): автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2009.
2. Шурупов А. Н. О функциональной разделимости булевых пороговых функций // Дискретная математика. 1997. Т. 9. Вып. 2. С. 59-73.
3. Хачиян Л. Г. Полиномиальный алгоритм в линейном программировании // Докл. АН СССР. 1979. Т. 244. №5. С. 1033-1096.
4. Dreo J, PetrowskiA., Siarry P., and TaillardE. Metaheuristics for Hard Optimisation. Methods and Case Studies. Springer, 2006. 372 p.
5. Хохлюк В. И. Прямой метод целочисленной оптимизации. Новосибирск: Ин-т математики им. С. Л. Соболева, 2002. 38с.
6. Crama Y. and Hammer P. Boolean Functions. Theory, Algorithms and Applications. Cambridge University Press, 2011.
УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308X/8/19
О СВОЙСТВАХ МНОЖЕСТВА ЗНАЧЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ВЕКТОРНОЙ БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ1
Г. И. Шушуев
Исследуются свойства множества значений производных векторной булевой функции из Fn в F^. Получены достаточные условия того, что множество всех значений производных некоторой булевой функции совпадает с Fn. Этот результат связан с некоторым открытым вопросом о метрических свойствах APN-функций.
1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №15-31-20635.
