CC BY
14
В то же время для s ^ 2 и слагаемых степени три и выше при ограничениях на число существенных переменных по модулю Us уже можно показать однозначность для разложения, имеющего максимальное число слагаемых.
Теорема 1. Если при s ^ 2 функция f = f (xl,... ,xn) имеет тривиальную группу инерции (Hn)/s 1) и линейно разложима в бесповторную сумму по модулю Us, то для этой функции найдётся линейное разложение по модулю Us в бесповторную сумму линейно неразложимых (в бесповторную сумму) слагаемых, однозначно определённое в том смысле, что любое другое такое разложение соответствует тому же самому разложению пространства в прямую сумму подпространств, а соответствующие функции линейно эквивалентны по модулю Us.
Метод доказательства аналогичен тому, который применён в работе [3]. В качестве следствия получаем описание группы инерции таких функций в полной аффинной группе.
Следствие 1. Если в условиях теоремы 1 функция f представлена в виде суммы линейно неразложимых в бесповторную сумму по модулю Us функций
f = f ©•••© fm (mod Us),
причём множество функций {fi,... , fm} разбивается на t классов аффинной эквивалентности по модулю Us: f,... f} С , ... , [fVl,... , f Vq} С Tnt, то для группы инерции бесповторной суммы этих функций справедлив изоморфизм
AGL (n, 2)fs1)e...e/m = [AGL (nb 2)5?)]SP x ■ ■ ■ x [AGL (nt, 2)5^1 ]Sq.
Здесь через G/s) обозначена группа инерции функции f по модулю Us в группе G, а [G]Sp — операция экспоненцирования группы G с помощью симметрической группы Sp степени p. Аналогичное описание справедливо для полной линейной группы GL (n, 2).
ЛИТЕРАТУРА
1. Черемушкин А. В. Однозначность разложения двоичной функции в бесповторное произведение нелинейных неприводимых сомножителей // Вестник Московского государственного университета леса «Лесной вестник». 2004. №4(35). C. 86-90.
2. Черемушкин А. В. Методы аффинной и линейной классификации двоичных функций // Труды по дискретной математике. М.: Физматлит, 2001. Т. 4. С. 273-314.
3. Черемушкин А. В. К вопросу о линейной декомпозиции двоичных функций // Прикладная дискретная математика. 2016. №1(31). С. 46-56.
УДК 512.55 Б01 10.17223/2226308Х/10/24
ОПИСАНИЕ НЕКОТОРЫХ ДЕКОМПОЗИЦИЙ ДЛЯ КВАДРАТИЧНЫХ БУЛЕВЫХ ПОРОГОВЫХ ФУНКЦИЙ
А. Н. Шурупов
Приводятся необходимые и достаточные условия функциональной разделимости квадратичных булевых пороговых функций, задаваемых распавшейся на два константных блока квадратичной формой.
Ключевые слова: функциональная разделимость, квадратичные булевы пороговые функции.
Полиномиальная булева пороговая функция f (х1,... , хп) определяется следующим образом [1]:
f(жь... ,жга) = 0 ^ д(жь... ,жга) ^ 0, (1)
где д — действительный полином. Если degд = 2, то говорят о квадратичных булевых пороговых функциях (к.б.п.ф.). В последнем случае неравенство из (1) может быть преобразовано в эквивалентное и(х1,... ,хп) ^ Ь, где и — квадратичная форма; Ь — свободный член многочлена д, взятый с противоположным знаком и называемый порогом. Пару (и,Ь) часто называют структурой квадратичной пороговой функции f. Если для некоторых т из {1,... , п — 1} и квадратичных форм и и V справедливо представление и(х1,..., хп) = и(х1,... , хт) + v(жm+1,... , хп), то этот факт для краткости будем обозначать и = и + V.
Введём бинарное отношение ~ на множестве целочисленных матриц одного размера. Будем полагать, что А ~ В, если
Зъ (^¿1,31 < аг2,32 ^^ Ьil,3l < ^¿2,32 & ^2,32 ^^ ЬН,31 ^¿2,32 ).
Очевидно, что отношение ~ является отношением эквивалентности, и множество всех матриц одного размера разбивается на классы эквивалентных матриц по введённому отношению.
Пример 1. Построим класс матриц, эквивалентных единичной матрице Е3: это любые целочисленные матрицы вида
а Ь Ь\ Ь а Ь I , Ь Ь ау
где а > Ь.
Пусть Аад = {|и(ж) : х Е {0,1}п}} —мультимножество значений квадратичной формы и(х). Через {Аад} обозначим множество значений и(х); и* = (и0,и*,..., и*п-:1) —упорядоченный по неубыванию набор элементов множества Аад. В [1] введены понятия нижнего и верхнего |~а]ад приближений действительного числа а в множестве значений и(х):
= шах{г € {Аад} : г ^ а}, [а]ад = шт{г € {Аад} : г > а}.
Заметим, что нижнее и верхнее приближения а существуют, если и только если а ^ и* и а < и*п_ 1 соответственно. В дальнейшем для удобства максимальный элемент последовательности и* обозначим и^ах. Кроме того, положим = — то, если а < и0, и [а]= то, если а ^ и^ах; в этом случае будем говорить о бесконечных приближениях.
По аналогии с таблицей $|т) = ||зз ||, г = 0,..., 2т — 1, 3 = 0,..., 2п-т — 1, введённой в [1] для к.п.б.ф. f со структурой (u+v, Ь), элементы которой определяются следующим образом:
зз = 0 ^ и* + V* ^ Ь, = 1 ^ и* + V* > Ь,
введём таблицу = 1|, г = 0,... , 2т — 1, 3 = 0,... , 2п-т — 1, для распавшейся
квадратичной формы и = и + V, элементы которой определяются следующим образом: qiз• = и* + V*. Для таблицы как и для $|т), справедливо свойство монотонности:
если р ^ г, q ^ 3, то qpq ^ qiз•.
Свойство функциональной разделимости [1, определение 1] булевых функций с данным отношением связывает
Утверждение 1. Пусть w, z — квадратичные формы от n переменных и к.б.п.ф. f со структурой (w,t) допускает простую декомпозицию с параметром m. Если QWm) ~ Qzm), то существует такое d, что к.б.п.ф. со структурой (z,d) также допускает простую декомпозицию с параметром m. (Как ив [1], для простоты полагаем, что перестановка переменных в простой декомпозиции для f тождественная.)
Доказательство. Достаточно заметить, что в качестве d можно взять элемент qZj, такой, что qw = _tJW. Тогда по свойству монотонности и из эквивалентности
z"\(m) r\(m) o(m) n(m) гл. " f J^
матриц QW и QZ следует, что S/ = Sg , где g — к.б.п.ф. со структурой (z,d).
Действительно, sfs = 1 ^ qWs > t ^ |_tJ w = qW ^ qZs > qfj = d ^ sgs = 1. ■
Следствие 1. К.п.б.ф. f со структурой (w,t) и g со структурой (z,d) из утверждения 1 эквивалентны относительно группы перестановок переменных.
Замечание 1. Пусть w(x) = xf +... + x^ Тогда к.п.б.ф. f со структурой (w,t) является функционально неразделимой для невырожденных значений порогов, так как f является линейной п.б.ф. со структурой (€, t), где € = xl + ... + xn, и, следовательно, функционально неразделимой для невырожденных значений порогов [2].
В некоторых случаях матрица QWm) может быть разбита на группы смежных строк и столбцов так, что подматрицы, лежащие на пересечении строк из какой-либо группы строк и столбцов из какой-либо группы столбцов, состоят из одинаковых элементов а. Такие подматрицы будем называть блоками и обозначать через [a]rxs или arxs, где r x s — размер блока. В очевидных случаях указание на размер блока может опускаться. Например, для квадратичной формы w(x) = xf +... + xn матрица QWm) распадается на m +1 групп строк и n — m +1 групп столбцов и приобретает блочный вид
/ 0 1 ... n — m \
1 2 ... n — m +1
\m m +1 ... n у
где блок [i + j] имеет размер ^ x ^n . . Блочную матрицу (2) будем обозначать
[QWm)].
Очевидным является
Утверждение 2. Если матрицы QWm) и QZm) для квадратичных форм w и z эквивалентны, т.е. QW ~ QZ 7, то [QW ] ~ [QZ ].
Обратное, вообще говоря, неверно, однако в утверждении 1 можно перейти к более общей формулировке.
Утверждение 3. Пусть w,z — квадратичные формы от необязательно одного и того же числа переменных и к.б.п.ф. f со структурой (w,t) допускает простую декомпозицию с параметром m. Если для некоторого натурального r выполняется [QWm)] ~ [QZr)], то существует такое число d, что к.б.п.ф. со структурой (z,d) также допускает простую декомпозицию с параметром m.
Утверждение 3 представляет собой переформулировку утверждения 1 из [3], которое основано на отношении частичного порядка на множестве квадратичных форм. Дальнейшее обобщение утверждения 3 может быть связано с рассмотрением полиномиальных пороговых функций, что показывает следующий пример.
Пример 2. Пусть £(х) = х1 + ... + хп и и(х) = (х1 + ... + хп)к. Тогда [0|>т)] ~ - 0т)].
Следующая теорема даёт полное описание нетривиальных простых декомпозиций для к.б.п.ф. с распавшейся на два константных блока квадратичной формой. Доказательство проводится путём непосредственного применения критерия функциональной разделимости для квадратичных булевых пороговых функций [1, теорема 4].
Теорема 1. Пусть квадратичная форма ет задана матрицей 1т, квадратичная форма и = ет + аеп-т, а € N — распавшаяся, к.б.п.ф. f, заданная структурой (и,Ь), существенно зависит от всех своих переменных. Тогда f допускает нетривиальную простую декомпозицию с параметром т тогда и только тогда, когда выполняется любое из условий:
1) Ь < т2 и существует 3 € {1,..., п — т}, что |_Ь|е + а(3 — 1)2 ^ Ь < [Ь]е;
2) Ь > т2 и существуют г € {1,..., т}, 3 € {1,..., п — т}, такие, что
шах{(г — 1)2 + а(п — т)2,т2 + а(3 — 1)2} ^ Ь < г2 + а32;
3) Ь > т2 и существуют г € {1,..., т}, 3,1 € {1,..., п — т}, такие, что 3 < 1 и
шах{(г — 1)2 + а(1 — 1)2, т2 + а(3 — 1)2} ^ Ь < шт{а/2, г2 + а32}.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шурупов А. Н. Критерии функциональной разделимости квадратичных булевых пороговых функций // Прикладная дискретная математика. 2015. №2(28). С. 37-45.
2. Шурупов А. Н. О функциональной разделимости булевых пороговых функций // Дискретная математика. 1997. Т. 9. Вып. 2. С. 59-73.
3. Шурупов А. Н. Некоторые структурные свойства квадратичных булевых пороговых функций // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2015. №8. С. 48-51.
